Учет дилатансии в решении задач расширения полости в грунте Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.374

Учет дилатансии в решении задач расширения полости в грунте

А.А. Гревцев

Научно-исследовательский, проектио-изыскательский и коиструкторско-техиологический институт оснований и подземных сооружений (НИИОСП) им. Н.М. Герсеванова, Москва, 109428, Россия

В настоящей работе проводится сравнительный анализ моделей, учитывающих постоянную и переменную дилатансию грунта на примере задачи расширения полости в грунте. Показывается, что для оценки предельного давления расширения полости модели, предполагающие постоянную дилатансию, неточно описывают напряженно-деформированное состояние грунта и могут использоваться только с учетом поправочного коэффициента.

Ключевые слова: механика грунтов, расширение полости в грунте, пластические деформации, дилатансия, пористость

Dilatancy in problems of cavity expansion in soils

A.A. Grevtsev

Gersevanov Scientific Research Institute of Foundations and Underground Structures, Moscow, 109428, Russia

The paper provides comparative analysis of models accounting for constant and variable dilatancy on the example of cavity expansion in soils. It is shown that the models in which dilatancy is taken constant give inaccurate description of the stress-strain state of soils and can be used only to estimate the limiting pressure of cavity expansion with a certain correction factor.

Keywords: soil mechanics, cavity expansion in soils, plastic strains, dilatancy, porosity

1. Зависимость дилатансии от плотности грунта

Одним из проявлений дисперсной (зернистой) природы грунтов является их способность изменять свой обьем при сдвиговых деформациях. В плотных грунтах наблюдается дилатансия (разрыхление), в рыхлых — контракция (уплотнение). Дилатансионные эффекты в большей степени характерны для материалов неоднородной микроструктуры при относительно слабых меж-зеренных связях.

При развитых пластических деформациях грунт переходит в критическое состояние — пластическое, течение в котором характеризуется неизменным обьемом (нулевая дилатансия), следовательно, при решении задач расширения полости в грунтах с выраженной дила-тансией необходимо учитывать изменение коэффициента дилатансии от его начального значения до нулевого.

Различные авторы, изучавшие дилатансию грунтов [1-3], отмечают ее связь с плотностью грунта. В работе рассматриваются две различные зависимости переменной дилатансии от плотности. Одна из рассматривае-

мых зависимостей дилатансии от пористости и была предложена В.Н. Николаевским [1, 2]:

л^1-1--^} (1)

где X — некоторый коэффициент; исг( р) — критическая пористость, которую авторы [4] рекомендуют определять следующим образом:

Псг(р) = а - Ь(1п(р/ра))е, (2)

где а = 0.46, Ь = 0.019, с = 1.35, ра — атмосферное давление.

Учитывая, что пористость грунта и связана с коэффициентом пористости е и удельным объемом V соотношением

е V -1

1 + e v

уравнение (1) можно переписать в виде:

Л = А

Г1_ v ^

vcr( Р)

(3)

(4)

© Гревцев А.А., 2013

где ссг — критический удельный объем, при котором Л = 0:

^Р) = \ (5)

1 - «сг(Р)

Коэффициент X можно определить исходя из характеристик грунта в естественном залегании, характеризуемом начальным коэффициентом дилатансии Л0, начальным средним давлением р0 и начальным удельным объемом и0:

А, = Ал

Vcr( Ро)

(6)

^сг(Ро) - ^0

В настоящей работе рассматривается вариация модели Мора-Кулона, в которой изменение коэффициента дилатансии определяется зависимостью Николаевского. Эта модель имеет существенное отличие от исходной модели Николаевского [1]. В последней переменна не только дилатансия, но и угол внутреннего трения, т.е. она относится к классу моделей критического состояния с упрочнением (разупрочнением) и переходом при больших деформациях сдвига в критическое состояние. Используемая здесь модель значительно проще — в ней фиксированные угол внутреннего трения и сцепление, а переменный только коэффициент дилатансии.

Вторая рассматриваемая зависимость, в которой коэффициент дилатансии Л пропорционален индексу относительной дилатансии 1К, была предложена М. Болтоном [3]:

Л = А1„

Я'

e — e

т _ max =

(Q — ln p) — Я,

(7)

(8)

где e, e,

' ma^' min

текущии, максимальный и минимальный коэффициенты пористости грунта соответственно; Q и R — параметры модели. Коэффициент пропорциональности A определяется начальными значениями коэффициентов дилатансии Л0, пористости e0 и среднего давления p0.

Модели, основанные на зависимостях Николаевского и Болтона, в значительно большей степени применимы для песков, чем для глин, т.к. пластической сжимаемостью песков при всестороннем обжатии можно пренебречь, что и делается с использованием модели Мора-Кулона.

2. Модель Мора-Кулона

Наиболее общепринятым условием начала пластической деформации является критерий текучести Мора-Кулона

— a3 = (ст1 +CT3)sin ф + 2с cos ф, (9)

где a2, a3 — главные компоненты напряжений; ф — угол внутреннего трения грунта; c — сцепление. В настоящей работе рассматривается критерий текучести Мора-Кулона с постоянными прочностными характеристиками.

Для задач расширения цилиндрической и сферической полостей в грунте критерий (9) записывается в цилиндрических и сферических координатах:

ar — ае = (ar + ае )sin ф+ 2с cos ф,, (10)

где используется предположение, что вертикальное напряжение az в задаче расширения цилиндрической полости является средним из трех главных, и, следовательно, пластические деформации в вертикальном направлении отсутствуют. В работе [5] получен строгий критерий для коэффициента Пуассона |Л, при котором выполняется данное предположение: 1 — sin ф

(11)

Использование коэффициента дилатансии Л в качестве независимого параметра, связывающего приращение объемных пластических dep и приращение интенсивности сдвиговых пластических деформаций dyp, было предложено В.Н. Николаевским [6]:

Л = —deV = —(dep + dep + dep) x

dYP 1 2 3

x [2/3 ((dep — deP)2 +

+ (dep — dep)2 + (dep — dep)2)]—1/2. (12)

Часто коэффициент дилатансии Л выражают через угол дилатансии у:

Л = sin у. (13)

Определяя в соответствии с теорией пластического течения приращения компонент пластической деформации через производную функции пластического потенциала g по соответствующим компонентам напряжений

deP dX = gB. dX, da,- '

(14)

где dX — некоторый бесконечно малый скалярный множитель, получим связь коэффициента дилатансии с функцией пластического потенциала:

Л = -(ga1 + ga2 + ga3 )[2/3((gст1 - ga2)2 +

+ (ga2 - ga3)2 + (ga3 - ga1)2)Г1/2• (15)

Простейшая функция пластического потенциала, учитывающая дилатансию и соответствующая (15), имеет вид [7]:

g = 9Д/э -Лр, (16)

где q = -у/[(стг - сте )2 + (стг - ст2 )2 + (сте - ст2 )2 ]/2 — де-виаторное напряжение; р = (стг + сте + ст2 )/3 — среднее напряжение.

Упругие характеристики грунта принимаются в рассматриваемой модели постоянными и определяются модулем общей деформации Е и коэффициентом Пуассона ц.

Необходимо сказать, что существуют и другие модели грунтов, учитывающие переменную дилатансию.

1 — нулевая дилатансия, у0 = 0°; 2 — постоянная дилатансия, у0 = 10°; 3 — зависимость Болтона; 4 — зависимость Николаевского; ф = 45°, с = 0 кПа, E = 40 МПа, ц = 0.25, p0 = 300 кПа

Так, в работе [7] описывается зависимость коэффициента дилатансии от давления, а влияние накопленной объемной пластической деформации проявляется через значение порогового давления. В моделях семейства Cam-Clay [8] коэффициент дилатансии не входит в явном виде в уравнение функции пластического потенциала, но, по сути, является переменной величиной.

3. Расширение полости с учетом постоянной и переменной дилатансии

Решение задачи расширения полости, полученное в работе [9], основанное на численном интегрировании системы дифференциальных уравнений, описывающих расширение цилиндрической и сферической полостей в грунте, допускает использование сложных моделей грунта, в том числе учитывающих переменный характер дилатансии. С помощью полученного решения в настоящей главе проводится сравнительный анализ результатов расчета для модели Мора-Кулона с постоянной и переменной дилатансией, описываемой зависимостями Болтона и Николаевского.

Расчеты расширения цилиндрической и сферической полостей проводились для углов внутреннего трения ф = 30°, 35°, 40 ° и значений модуля общей деформации E = 30, 40, 50 МПа, характерных для песчаных грунтов, наиболее выраженно проявляющих дилатан-сию. Для каждого набора характеристик грунта расчеты проводились для трех значений начального давления p0 = 100, 300, 500 кПа, что соответствует практическому диапазону давлений для фундаментов глубокого заложения.

При практических расчетах удобно использовать угол дилатансии у (13), начальные значения которого принимались равными у0 = 5°, 10°, 15°.

На рис. 1 представлены перемещения стенок сферической и цилиндрической полостей u от давления в

ней Р, нормированные по начальному радиусу а0 и начальному давлению р0 соответственно. Результаты расчета, представленные на рис. 1, являются типичными для всего диапазона рассматриваемых параметров грунтов и приводят к следующим выводам:

1) характер зависимостей перемещений стенки полости от давления одинаков в моделях, учитывающих постоянную и переменную дилатансию, различие проявляется только в величине предельного давления;

2) использование в расчетах расширения полости нулевого значения дилатансии существенно преуменьшает предельное давление, в то время как в расчетах с постоянным начальным значением дилатансии предельное давление преувеличивается;

3) зависимости дилатансии от плотности, предложенные различными авторами [1, 3], дают близкие значения.

При малых и средних деформациях полости (до 0.5), характерных, например, для прессиометрии, переменный характер дилатансии проявляется крайне слабо и его влиянием можно пренебречь.

4. Расчет предельного давления расширения полости с учетом переменной дилатансии грунта

Простой способ учета переменного характера дила-тансии при решении задач расширения полости был предложен в работе [10]. Так как в процессе пластического деформирования грунт вокруг расширяющейся полости переходит в критическое состояние и коэффициент дилатансии от некоторого начального значения стремится к нулевому значению, то было предложено приближенно учесть переменный характер дилатансии, приняв в расчетах половину начального значения угла дилатансии.

Очевидно, что подход [10] скорее основан на качественном представлении о характере изменения дилатан-

Таблица 1

Эффективный угол дилатансии у'/у0 при различных ф и р0

ф р0, кПа у0

5° 10° 15°

100 0.74 / 0.79 0.66 / 0.72 0.60 / 0.66

35° 300 0.74 / 0.74 0.64 / 0.67 0.58 / 0.62

500 0.74 / 0.74 0.64 / 0.66 0.57 / 0.60

100 0.73 / 0.75 0.66 / 0.72 0.59 / 0.65

40° 300 0.73 / 0.74 0.64 / 0.67 0.57 / 0.61

500 0.74 / 0.73 0.64 / 0.66 0.56 / 0.60

100 0.72 / 0.76 0.64 / 0.72 0.59 / 0.65

45° 300 0.72 / 0.73 0.63 / 0.66 0.56 / 0.60

500 0.74 / 0.73 0.63 / 0.65 0.56 / 0.59

Таблица 2

Эффективный угол дилатансии у'/у 0 при различных Е и р0

Е, МПа р0, кПа у0

5° 10° 15°

100 0.75 / 0.77 0.67 / 0.71 0.61 / 0.67

30 300 0.76 / 0.75 0.66 / 0.68 0.59 / 0.62

500 0.78 / 0.76 0.66 / 0.67 0.58 / 0.61

100 0.73 / 0.75 0.66 / 0.72 0.59 / 0.65

40 300 0.73 / 0.74 0.64 / 0.67 0.57 / 0.61

500 0.74 / 0.73 0.64 / 0.66 0.56 / 0.60

100 0.72 / 0.78 0.64 / 0.69 0.58 / 0.65

50 300 0.71 / 0.72 0.62 / 0.66 0.56 / 0.61

500 0.71 / 0.72 0.62 / 0.64 0.55 / 0.59

сии и является достаточно грубым. В настоящей работе предложен более точный способ расчета предельного давления расширения полости с учетом переменной дилатансии грунта и показаны ограничения модели, предполагающей дилатансию грунта постоянной.

Предельное давление расширения полости в грунте, который описывается моделью Мора-Кулона с учетом переменной дилатансии, зависящей от плотности, с хорошей точностью (ввиду близости значений предельного давления) можно принять равным среднему из предельных давлений для рассматриваемых зависимостей Болтона и Николаевского, каждое из которых определялось по методу, описанному в работе [11].

Эффект переменной дилатансии грунта в задачах расширения полости можно учесть, введя для модели Мора-Кулона с постоянной дилатансией понятие эффективного угла дилатансии у':

рик(у') = 0.5(ри^(у0) + Рик (У 0)), (17)

где Ри^ (у') — предельное давление расширения полости в грунте, описываемом моделью Мора-Кулона с постоянной дилатансией у'; р^ (у 0) — предельное дав-

ление расширения полости в грунте, описываемом моделью Мора-Кулона с начальным углом дилатансии у 0, зависящим от текущей плотности в соответствии с зависимостью Николаевского; р^(у 0) — то же для зависимости Болтона.

В табл. 1, 2 приведены относительные значения эффективных углов дилатансии у', нормированные по начальному значению у0, для различных значений угла внутреннего трения ф, модуля общей деформации Е, начального давления р0. Слева от дроби указаны значения для задачи расширения сферической полости, справа — цилиндрической.

Графически результаты расчетов отражены на рис. 2. Для каждого значения начальной дилатансии у 0 показаны диапазоны, в которых изменяется отношение у'/у0 при различных ф, Е, р0. Видно, что относительное уменьшение угла дилатансии в большей степени определяется его начальным значением, следовательно, используя оценку снизу, изменение эффективного угла дилатансии можно описать следующими функциональными зависимостями:

Рис. 2. Влияние параметров задачи на относительное снижение эффективного угла дилатансии у '/у0 для сферической (а) и цилиндрической полости (б): 1 — диапазоны изменения эффективного угла дилатансии при изменении ф, Е, р0; 2 — предлагаемые зависимости (оценка снизу)

Рис. 3. Изменение удельного объема на стенке для сферической (а) и цилиндрической полости (б): 1 — постоянная дилатансия; 2 — зависимость Николаевского; 3 — предельное давление; ф = 40°, у0 = 10°, с = 0 кПа, E = 40 МПа, p0 = 300 кПа

(18)

(19)

для сферической полости 24.4

у о 29.4 + у о' для цилиндрической полости 32.1

у о 39.7 + ¥ о'

Предложенный подход к определению эффективного угла дилатансии, позволяющий учитывать ее переменный характер, является более точным, чем было предложено в работе [10]: у'/у0 = 0.5.

Способ учета переменного характера дилатансии с использованием постоянного эффективного угла дила-тансии в модели Мора-Кулона применим только для оценки предельного давления расширения полости. При описании напряженно-деформированного состояния в грунте вокруг расширяющейся полости использование в расчетах постоянного коэффициента дилатансии не вполне корректно, поскольку приводит к нереальным с точки зрения физики процесса результатам в виде неограниченного увеличения удельного объема вблизи стенки полости по мере приближения к предельному давлению (рис. 3).

5. Заключение

С использованием зависимостей Болтона и Николаевского, учитывающих изменение коэффициента ди-латансии от плотности и среднего давления, изучено влияние переменного характера дилатансии на значение предельного давления расширения полости. Показано, что использование в расчетах расширения полости нулевого значения дилатансии существенно уменьшает предельное давление, в то время как в расчетах с по-

стоянным начальным значением дилатансии предельное давление увеличивается.

Введено понятие эффективного угла дилатансии в модели Мора-Кулона, учитывающего переменный характер дилатансии, изучена его связь с характеристиками грунта, получены аналитические выражения для эффективного угла дилатансии, учитывающие переменный характер дилатансии в задачах расширения полости.

Показано, что использование моделей, предполагающих постоянный коэффициент дилатансии грунта, допустимо для определения предельного давления расширения полости, но не вполне корректно для описания напряженно-деформированного состояния грунта вокруг полости, поскольку приводит к нереальным с точки зрения физики процесса результатам в виде неограниченного увеличения удельного объема грунта вблизи стенки полости по мере приближения к предельному давлению. Для задач прессиометрии (расширение цилиндрической полости), где деформации, как правило, не превышают 50 %, допустимо рассматривать дила-тансию как постоянную величину.

Литература

1. Huкoлaeвскuй B.H. Механические свойства грунтов и теория плас-

тичности. Механика твердых деформируемых тел // Итоги науки и техники ВИНИТИ AH СССР. - 1972. - Т. б. - С. 5-85.

2. Kaпустянский C.M., Huкoлaeвскuй B.H., Жилентв AT. Неголо-номная модель деформирования высокопористого песчаника при его внутреннем дроблении // Физика Земли. - 2010. - № 12. -С. 82-92.

3. Bolton M.D. The strength and dilatancy of sands // Geotechnique. -198б. - No. 36(1). - P. б5-78.

4. Vesic A.S., Clough G. W. Behavior of granular materials under high stresses // J. Soil Mech. Found. Div. Proc. Amer. Soc. Civil Eng. -1968. - V. 94. - No. 3. - P. 661-688.

5. Yu H.S., Houlsby G.T. Finite cavity expansion in dilatants soils: loading analysis // Geotechnique. - 1991. - No. 41(2). - Р. 173-183.

6. Huкoлaeвскuй B.H. Определяющие уравнения пластического деформирования сыпучей среды // ПММ. - 1971. - Т. 35. - № 6. -С.1070-1082.

7. Стефанов Ю.П. Режимы дилатансии и уплотнения развития деформации в зонах локализованного сдвига // Физ. мезомех. -2002. - Т. 5. - № 5. - С. 107-118.

8. Schofield A.N., Wroth C.P. Critical State Soil Mechanics. - London: McGraw-Hill, 1968. - P. 93-115.

9. Гревцев А.А. Решение одномерной задачи расширения полости в грунте в рамках теории пластического течения // ОФМГ. - 2012. -№ 6. - С. 2-8.

10. Collins I.F., Pender M.J., Yan W. Cavity expansion in sands under drained loading condition // Int. J. Numer. Analyt. Meth. Geomech. -1992. - No. 16. - P. 3-23.

11. Гревцев А.А., Федоровский В.Г. Расширение цилиндрической полости в упрочняющейся упругопластической среде // Труды НИИОСП. Вып. 100. - М.: НИИОСП, 2011. - 418 с.

Поступила в редакцию 05.02.2013 г.

Сведения об авторе

Гревцев Александр Алексеевич, асп. НИИОСП, rudel@rambler.ru