Учебное компьютерное моделирование физических явлений, описываемых статистическими законами Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПЕДАГОГИКА И МЕТОДИКА ПРЕПОДАВАНИЯ

Вестн. Ом. ун-та. 2013. № 2. С. 205-210.

УДК 372.853

О.Е. Раенко, М.И. Старовиков

УЧЕБНОЕ КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ЯВЛЕНИЙ,

ОПИСЫВАЕМЫХ СТАТИСТИЧЕСКИМИ ЗАКОНАМИ

Анализируются факторы, затрудняющие понимание студентами статистической природы физических законов. Обосновывается целесообразность использования вычислительного эксперимента для обучения статистическим понятиям, законам и методам в курсе физики. Приводятся примеры компьютерных моделей для исследования явлений, описываемых распределениями Бернулли и Пуассона.

Ключевые слова: учебный вычислительный эксперимент, статистические испытания, распределение Бернулли, распределение Пуассона.

Современная физическая картина мира характеризуется как квантово-полевая, вероятностно-статистическая. Статистические законы в физике отражают объективное существование вероятностных связей между явлениями, свойствами предметов. Динамические закономерности, напротив, устанавливают строго определенные связи. Различие в характере вероятностно-статистических и динамических законов обусловлено типом детерминации связей. Для динамических законов отношение между причиной и следствием выступает в форме необходимости, для статистических - в форме случайности. Случайные явления причинно обусловлены, но они не являются необходимыми. Современная методология науки не признает ни «чистой» случайности, ни «чистой» необходимости. Они едины в своей противоположности. Динамические закономерности являются частным, предельным случаем статистических связей, их особого сочетания (см. напр.: [1, с.165]). Это относится и к законам функционирования простых механических систем [1; 2]. Отсутствие жесткого детерминизма обусловливает в общем случае многовариантность и непредо-пределенность событий, невозможность их обращения вспять, что делает развитие мира необратимым.

Статистические законы более глубоко отображают объективные связи в природе по сравнению с динамическими законами, они соответствуют более высокому этапу познания окружающего мира. Отсюда следует необходимость раскрытия статистического смысла физических законов, а также представления вероятностных методов в вузовском курсе физики.

Следует отметить и личностный аспект формирования у обучаемых представления о примате статистических закономерностей. Л.В. Тарасов вводит понятие «вероятностное мышление», для которого характерны «понимание условности догматов, ориентация на многовариантность, готовность к перестройке, к поиску оптимальных путей» [2, с. 232]. Эти психологические установки актуальны не только в научной деятельности, но и в повседневной жизни.

Обучение статистическим понятиям, законам и методам в курсе физики должно основываться на выявлении, анализе и последующем преодолении характерных для данного учебного материала препятствий, барьеров, затрудняющих его освоение студентами. На наш взгляд, основные препятствия состоят в следующем.

1. Вероятностно-статистическая природа физических законов во многих случаях первоначально скрыта. Как правило, она представляет собой сущность более высокого порядка по сравнению с сущностями, отражаемыми динамическими законами. Этому порядку раскрытия сущностей должны соответствовать определенные этапы в обучении. Однако в

© О.Е. Раенко, М.И. Старовиков, 2013

ограниченном временными рамками учебном процессе далеко не всегда удается реализовать такие этапы. В связи с этим традиционное изложение материала по таким разделам, как «Механика», «Электродинамика», «Оптика», фактически не предусматривает рассмотрения статистической природы законов. Статистические представления актуализируются при изучении лишь тех разделов физики, в которых они непосредственно используются для обоснования тех или иных закономерностей, например при выводе основного уравнения молекулярно-кинетической теории газов (уравнения Клаузиуса).

2. Математические выражения, описывающие вероятностные законы, не указывают на случайность процесса. Физические формулы в неявном виде могут представлять стандартные вероятностные распределения, но авторы учебных пособий не всегда обращают внимание на этот факт. Например, формулы для вычисления средней скорости молекул газа или среднего числа молекул в некотором интервале скоростей по виду не отличаются от формул, выражающих динамические законы, поэтому статистическая природа этих величин часто упускается из виду после того, как соответствующие формулы были получены.

3. Сложность математического аппарата теории вероятностей и математической статистики, громоздкость формул для статистической обработки данных существенно ограничивают число вопросов и задач, при рассмотрении которых они могли быть использованы.

4. Статистические процессы гораздо сложнее воспроизвести в учебном натурном эксперименте (демонстрационном или лабораторном), поскольку для получения статистических данных как результатов многократных измерений необходимы большие затраты времени. Кроме того, для постановки таких экспериментов, как правило, требуется дорогостоящее оборудование.

На наш взгляд, преодолению всех отмеченных трудностей может способствовать использование в учебном процессе компьютерного моделирования в форме вычислительного эксперимента. Он позволяет проводить огромное множество испытаний моделируемой системы за ограниченное время, варьировать в широких пределах параметры эксперимента, сохранять и упорядочивать результаты испытаний (т. е. строить вариационные ряды случайных величин); использовать самые совершенные математические методы при обработке полученных данных, анализировать характер распределения случайных величин при помощи графиков и гистограмм.

Метод статистических испытаний, реализуемый в компьютерном эксперименте, целесообразно проводить по следующему плану.

1. Планирование исследования

Актуализация знаний об исследуемом

явлении, выделение «элементарного акта» или «элементарного процесса», определяющего протекание явления; определение статистической закономерности, лежащей в основе явления, запись формулы для вероятности наступления «элементарного акта» рассматриваемого явления; определение состава контролируемых в эксперименте величин; проектирование модели. При имеющейся возможности выдвижение гипотезы относительно вида закона распределения случайной величины.

2. Выполнение действий по получению первичных данных

Реализация компьютерной модели, проверка правильности ее функционирования (тестирование), проведение статистических испытаний, фиксирование их результатов.

3. Обработка и интерпретация полученных данных

Статистическая обработка полученных данных, сопоставление полученного закона (функции) распределения случайной величины с известными из теории вероятностей, содержательная интерпретация результатов (установление их соответствия свойствам реальной физической системы); изложение процесса, результатов и выводов исследования; при необходимости осуществление дополнительных исследовательских процедур с моделью.

Отметим, что приведенное описание деятельности по постановке вычислительного эксперимента со стохастической моделью представляет собой конкретизацию структуры всякого научного исследования [3, с. 226] и соответствует составу и последовательности действий по постановке натурного эксперимента (как генетически исходного по отношению к модельному).

Существенная особенность вычислительного эксперимента рассматриваемого вида состоит в том, что в нем не производится аналитическое решение уравнений, описывающих поведение физической системы как целого. В данном случае закономерности функционирования системы устанавливаются по результатам изучения свойств составляющих ее элементов и их взаимосвязей. Такого вида эксперимент обозначается как имитационный [4, с. 148-156]. В науке имитационное моделирование используется главным образом для исследования сложных систем, не поддающихся аналитическому описанию. Вместе с тем, по нашей оценке, его применение целесообразно также для учебного моделирования простых физических систем и явлений, описываемых вероятностными законами.

Рассмотрим примеры моделирования явления распределения молекул газа между половинами объема сосуда, в котором он находится, и явления радиоактивного рас-

пада. Оба явления, несмотря на их различную природу, подчиняются биноминальному закону распределения (распределению Бернулли):

Pn (m )б = Cymqn-m =-

nI

:P q

(l)

т!(п —т)Г

В приведенном выражении п - число испытаний, в которых случайное событие (назовем его событием А), состоящее в попадании молекулы в одну из половин сосуда или распаде ядра атома за определенный промежуток времени, может наступить или не наступить, т - число произошедших событий (случайная величина), р - вероятность реализации события А, q - вероятность реализации события А, противоположного А. В рассматриваемых примерах числу испытаний п соответствует число N молекул газа или число N атомов радиоактивного препарата, поскольку каждая молекула или атом подвергается статистическому испытанию. Величина Рп (т) есть вероятность в п испытаниях получить т событий А, СШ - число сочетаний из п элементов (числа атомов или молекул) по т (по числу случаев наступления события А). Сочетанием из п элементов по т называется любое подмножество из т элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из п различных элементов.

При моделировании рассматриваемых явлений необходимо актуализировать следующие сведения из теории вероятностей.

В каждом испытании могут выпасть два

противоположных события А или А . Пусть событие А реализуется с вероятностью р,

тогда вероятность наступления события А составит q = 1 - р . Если в физической системе находится N атомов или молекул, то вероятность совместного наступления в определенной последовательности т раз

события А и п - т раз события А , согласно теореме умножения вероятностей, составит ртдп т. Но событие А может появиться т раз в п опытах в различных последовательностях. Число вариантов таких последова-

/~1п

тельностей равно числу сочетаний Ст из п по т. Это число совпадает с числом способов, которыми можно выбрать т элементов (атомов или молекул) из имеющихся п, не

учитывая их порядка. Все Спт вариантов наступления события А т раз представляют собой несовместные события, вероятность

т п—т т—г

каждого из которых составляет р q . По теореме сложения вероятностей искомая вероятность Рп (т) равна сумме вероятностей всех этих несовместных событий, т. е.

Ст т п—т

пр q .

В качестве инструментального средства для постановки всех описанных ниже имитационных экспериментов используются электронные таблицы Excel, что обусловлено следующими причинами.

• На листе Excel все компоненты модели открыты пользователю. Благодаря этому можно проследить «судьбу» каждого атома, в наглядной форме представить процесс и результаты статистических испытаний.

• MS Excel обладает достаточным «функционалом» в отношении выполнения вычислений и построения графиков. Реализация этих возможностей не требует затрат времени на обучение студентов, поскольку изучение табличного процессора Excel предусматривается программами общего и профессионального образования по информатике. Благодаря этому все рассмотренные ниже модели допускают реализацию и исследование в течение одного двухчасового занятия.

Структурно модели представляют собой таблицы, в ячейках которых содержатся случайные числа и логические функции. В отдельном блоке ячеек записаны значения параметров модели. Эта область рабочего листа обозначена как «Блок обозначения величин и присваивания им значений». Управление моделью осуществляется вводом значений параметров в ячейки этого блока.

Далее приведем описание процесса и результатов моделирования явления распределения молекул газа между половинами объема сосуда, в котором он находится.

Положим, в сосуде находится N молекул. Разделим мысленно сосуд на две равные части. Состояние отдельной молекулы может быть охарактеризовано указанием того, в какой половине сосуда она находится. Вероятность того, что молекула окажется в какой-то одной половине сосуда, равна p = q = 0,5. С учетом этого произведение

pmqn~m окажется равным 0,5" = 0,5N, и формула (1) приобретет вид

Pn (m“ m!(TV-m)!- 2 . (2)

Формула (2) содержит факториалы, поэтому число молекул газа должно быть небольшим. Моделирование статистических испытаний для N = 10 молекул выполним следующим образом. Создадим с помощью функции СЛЧИС() столбец из десяти случайных чисел, лежащих в интервале от 0 до 1. Копируем его в горизонтальном направлении так, чтобы получилось сто столбцов. Тем самым получим возможность одновременно получать результаты серии из K = 100 испытаниям. Будем полагать, что если случайное число окажется больше 0,5, молекула находится в правой половине сосуда, если меньше 0,5 - в левой. Подсчет числа молекул в правой половине сосуда будем осуществлять

с помощью функции СЧЁТЕСЛИ(диапазон; критерий). Диапазон для этой функции включает интервал из десяти ячеек, аргументом является условие «>0,5».

В правой половине сосуда число молекул может изменяться от m = 0 до m = 10. Следует подсчитать число реализаций к каждого из этих одиннадцати вариантов расположения молекул в серии из K = 100 экспериментов. Для этого также используем функцию СЧЁТЕСЛИ(). В данном случае диапазоном для функции служит строка ячеек, в которых записаны результаты подсчета молекул, находящихся в правой половине сосуда, а аргументом - различные значения числа m.

Воспользовавшись классической формулой вероятности, найденную в вычислительном эксперименте вероятность Pn (m~)эксп

реализации того или иного состояния газа можно найти как отношение к/ K. Очевидно, определенные в результате конечного числа опытов значения вероятностей различных состояний газа будут несколько отличаться от теоретических, рассчитанных по формулам (1) или (2), соответствующих бесконечному числу испытаний.

Модель позволяет оперативно наблюдать множество вариантов распределения Pn (m)3Kcn . Для получения очередного варианта следует произвести любое изменение на рабочем листе Excel или нажать на клавиатуре клавишу «Delete». При этом автоматически производится обновление значений случайных чисел в таблице, пересчет данных и перестроение графиков. Экспериментальные гистограммы при повторных испытаниях показывают различную степень приближения к теоретической. На рис. 1, к примеру, видно, что определенная в результате серии из ста испытаний вероятность появления четырех молекул из десяти в правой половине сосуда составляет 0,18, в то время как теоретическое значение вероятности равно 0,21. Результаты экспериментов с моделью могут быть также представлены в виде точечного графика, показывающего число молекул в одной половине сосуда в различные моменты времени, или в виде анимации с изображением сосуда и находящихся в нем молекул.

Моделирование явления радиоактивного распада ядер атомов будем осуществлять с учетом следующих соображений. Распад каждого отдельно взятого ядра - случайное событие, вероятность наступления которого не зависит ни от предыстории ядра, ни от распада других ядер. Число dN ядер, распавшихся за время dt, определяется законом dN = -МЛ dt, где N - число имеющихся ядер, А - постоянная распада. Перепишем данную формулу в виде приближенного равенства

AN

N

: -Л At

(3)

и обратим внимание на то, что доля распавшихся ядер ------, в соответствии с клас-

N

сической формулой вероятности, равна вероятности р распада ДN ядер из имеющихся N за малое время Дt (такое, при котором ДN << N). Отвлекаясь от того несущественного в данном случае факта, что ДN отрицательно (число ядер с течением времени убывает), получим р и ЯД/ . Вероятность р не зависит от числа ядер и может характеризовать вероятность распада одного ядра. С учетом этого можно определить смысл постоянной распада А как величины, равной вероятности распада любого ядра в единицу времени.

Р н (Ml) экс

Р „(т) 1

0,20

0,15

0,10 0,05 0,00

0123456789т I эксперимент ■ теория

Рис. 1. Результаты моделирования распределения молекул газа в сосуде.

Вероятности появления m молекул из десяти в одной половине сосуда

Как и в предыдущей модели, число атомов N0 в начальный момент времени выбираем относительно небольшим, например N0 = 100. Задача состоит в определении методом статистических испытаний числа распавшихся ядер за малый промежуток времени At. Приближенное равенство (3) выполняется тем точнее, чем меньше AN. Выберем AN/N = 0,1. Тогда произведение AAt = 0,1 и, например, при At = 1 с постоянная распада составит 0,1 с-1. Очевидно, параметры А и At можно варьировать.

Реализацию модели на листе MS Excel выполним в следующей последовательности. С помощью функции СЛЧИС() создадим столбец из ста равномерно распределенных случайных чисел, изменяющихся в пределах от нуля до единицы. Копируем этот столбец в горизонтальном направлении с помощью маркера заполнения так, чтобы получилось, к примеру, пятьдесят столбцов. Тем самым получим возможность одновременно проводить серию из пятидесяти испытаний с сотней ядер. Далее создадим таблицу такой же размерности, в каждой ячейке которой запишем выражение вида «=ЕСЛИ(С16>$Е$9;0;1)». Здесь логическая функция ЕСЛИ() присваи-

вает ячейке значение 0, если случайное число в ячейке С16 больше значения ЯД/ , записанного в ячейке Е9. В противном случае ячейке присваивается значение «1». Значение «1» символизирует распад ядра. Подсчет числа распавшихся ядер в каждом столбце будем производить с помощью функции СУММ().

Пробные эксперименты с моделью при допустимых значениях ЯД/ < 0,1 показывают, что число распавшихся ядер в каждом столбце практически никогда не превышает двадцати, т. е. ДN = т < 20. Подсчет числа реализаций к каждого из этих вариантов в серии из К = 50 экспериментов будем производить с помощью функции СЧЕТЕСЛИ(). По полученным данным с помощью формулы Рп (т~)эссп = к / К рассчитаем выборочную вероятность реализации каждого варианта.

Р н (т) Эка Р„Мп Рп(т)ь 0,20 -0,15 0,10 0,05 0,00

0 1 2 3 4 5 гп

I эксперимент ■ распределение Пуассона □ распределение Бернулли Рис. 2. Результаты моделирования явления радиоактивного распада.

Вероятности распада за одну секунду т ядер из ста

В настоящей модели число атомов выбрано достаточно большим для того, чтобы можно было проверить соответствие экспериментальных данных о распаде ядер не только распределению Бернулли, но и распределению Пуассона. Из-за необходимости вычисления факториалов формула (1) малопригодна при большом числе испытаний п = N. В этом случае применяется асимптотическая формула Пуассона

Pn (m)п

" «Г",

m!

(4)

где Рп (т)П - вероятность в п испытаниях

получить т событий; ц = пр, при этом вероятность р реализации события (распада ядра) должна быть малой. Формулу (4) может использоваться при п > 10 (лучше при

п > 100) и ц < 10. На учебном занятии перед построением модели распределение Пуассона может быть получено из распределения Бернулли в результате предельного перехода п ^-<х> .

Настоящая модель, как и предыдущая, позволяет оперативно наблюдать множество

вариантов распределения Pn (m~)эксп с различной степенью их соответствия теоретическим распределениям Pn (m)я и Pn (m) .

Один из вариантов представлен на рис. 3. Здесь гистограммы получены при n = N = 100, K = 50, p = 0,02, ц = 2. На рис. 3 видно, что при этих значениях параметров распределения Бернулли и Пуассона близки. Модель также позволяет наблюдать существенное различие между ними при ц > 10.

Исследование статистической природы явления радиоактивного распада целесообразно дополнить построением по результатам статистических испытаний графика зависимости числа Nskoi нераспавшихся ядер атомов от времени и сопоставлением его с «теоретическим», построенным в соответствии с

законом Nтеор = N0e~Л<. Стохастическая модель для построения графика Nmm от времени, как и все предыдущие, представляет собой таблицу на листе Excel, в которой каждому атому соответствует строка. В каждую ячейку первого столбца введем цифру 1, что символизирует наличие нераспавшегося ядра атома. В следующих столбцах разыгрывается «судьба» каждого ядра при увеличении времени с заданным шагом At. В ячейки этих столбцов введем выражение вида «=ЕСЛИ(И(С15>0;СЛЧИС()>$Н$8);1;0)». Здесь логическая функция ЕСЛИ() присваивает ячейке значение 1 при выполнении двух условий: 1) в ячейке слева (на предыдущем интервале времени At) имеется нераспавшееся ядро атома (значение ячейки больше нуля); 2) случайное число, полученное с помощью функции СЛЧИС(), больше значения ЛА!, записанного в ячейке Н8. В противном случае ячейке присваивается значение 0 (ядро на данном временном промежутке At распалось). Далее с помощью функции СУММ() подсчитывается количество нераспавшихся ядер в каждом столбце. Результаты одного из модельных экспериментов представлены на рис. 3.

О эксперимент • теория

Рис. 3. Результаты моделирования явления радиоактивного распада. Зависимость числа ядер атомов от времени

В учебном процессе познавательный цикл, включающий проектирование, реализацию и исследование моделей, наиболее полно можно воспроизводить на лабораторно-практических занятиях в аудитории, оснащенной компьютерами. При изучении явлений распределения молекул газа в сосуде и радиоактивного распада с использованием моделей студентами выполняются следующие мыслительные и практические действия:

• рассмотрение данных явлений на уровне их «элементарных актов»;

• математическое описание этих актов как вероятностных процессов;

• программная реализация моделей, обеспечивающих возможность проведения не менее тысячи испытаний в одной серии и многократное повторение серий испытаний;

• экспериментирование с моделью;

• применение аппарата теории вероятностей и математической статистики для обработки полученных данных, построение

экспериментальной и теоретической гистограмм распределения случайной величины, их сравнение.

Результатом выполнения этих действий, по нашей оценке, является углубление знаний о рассмотренных явлениях, установление общности их статистической природы, формирование умения создавать имитационные модели и проводить с ними статистические испытания, выявлять закономерности поведения физических систем по результатам этих испытаний.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Канке В. А. Философия: исторический и систематический курс. М., 2001. 344 с.

[2] Тарасов Л. В. Современная физика в средней школе. М., 1990. 288 с.

[3] Философский энциклопедический словарь / гл. ред. : Л.Ф. Ильичев, П.Н. Федосеев, С.М. Ковалев, В.Г. Панов. М., 1983. 840 с.

[4] Королев А. Л. Компьютерное моделирование. М., 2010. 230 с.