Убегание в одной задаче о «Мягкой поимке» Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.934

© J1.C. Чиркова

lmvstk@udin.ru

УБЕГАНИЕ В ОДНОЙ ЗАДАЧЕ О «МЯГКОЙ ПОИМКЕ»

Ключевые слова: групповое преследование, «мягкая» поимка.

Abstract. It is proved the possibility of an escape of the «soft» meeting a inertion evader of group inertion objects.

Введение

Рассматривается задача о «мягкой» поимке группой инерционных преследователей одного инерционного убегающего, дри условии, что динамические возможности игроков одинаковы, а корпи характеристического уравнения вещественны и отрицательные. При условии дискриминации преследователей доказана возможность уклонения от встречи.

В случае, если корни характеристического уравнения нулевые, задача рассматривалась Р. П. Ивановым [1].

Задача о «мягкой» поимке группой преследователей одного убегающего в примере JI. С. Понтрягина при одинаковых динамических возможностях и дискриминации убегающего рассматривалась в [2].

Статья примыкает к исследованиям [3-7].

1. Постановка задачи

В пространстве Rn (п ^ 2) рассматривается дифференциальная игра к + 1 лиц: к преследователей Р1?...,.Р* и убегающий Е.

Закон движения каждого из преследователей Р, имеет вид:

В уравнениях (1.1), (1.2) константы а, Ь такие, что Л] ф А2 1 Л2 — отрицательные вещественные корни характеристического уравнения А2 + аХ + Ь = 0 . И пусть для определенности Ах < А2 .

Определение 1.1. Говорят, что в дифференциальной игре (1.1), (1.2) возможно убегание, если существует измеримая функция и(£) , |Н| ^ 1, £ ^ 0. что при любых измеримых и,(£) , || гг, || ^ 1 , г = 1,..., к , £ ^ 0, пара (х,(£), у(£)) для £ ^ 0 не попадает в терминальное множество

При этом в момент £ ^ 0 управление убегающего формируется на основе информации

и значениях щ{Ь), г = 1,..., к , в тот же момент времени. Управление преследователей формируется на основе информации о состоянии

хг + аіі + Ьх-і = щ. 11гл*11 < 1, х,(0) = х?, Іі(0) = і?.

(1.1)

Закон движения убегающего Е имеет вид:

2/(0) = у0, 2/(0) = у°.

(1.2)

М = {ж,(£) = у(£), *,•(£) = ?/(£),£ > 0}.

(г/(£), ?/(£), *!(«), Ж1(£),... , ®*(«), х*(0)

дифференциальной игры (1.1), (1.2) в момент £. Перейдем от уравнений (1.1), (1.2) к системам

(1.3)

[у]=у\ у1(0) = у10, (14,

\ у2 = -ау2 - Ьу1 + п, ?/2(0) = у20.

Пусть г\ — ж] — у1 . г2 — х? — у2 . Получаем систему

% = А (о) = ,15)

2? = -аг2 - Ьг\ + щ — V, г2(0) = г20.

Обозначим через г° — (г]0, г20,... , г|°, г^°) начальное положение в системе (1.5), через - д-окрестность начала координат,

и5 = {хе^2 | \\х\\ ^ 6}. г(х,у) —евклидово расстояние между точками ж и у.

2. Решение задачи

Теорема 2.1. В дифференциальной игре (1.1), (1.2) возможно убегание.

Доказательство. Поскольку начальная позиция уклонящегося игрока не совпадает с начальной позицией любого из догоняющих, то из-за конечности числа игроков всегда можно Найти такое двумерное подпространство пространства Е2п , что оно содержит начальную позицию уклоняющегося игрока и что проекции начальных позиций догоняющих на это подпространство не совпадали с начальной позицией уклоняющегося. Считаем г}, г- 6 К1 .

Исследуем поведение траекторий системы (1.5) при постоянной функции (мг — и)(£) = К , К € [—2,2]. Система имеет точку покоя (у,0).

Обозначим а прямую, заданную уравнением г2 = Х2г1 — ,

которая является наклонной асимптотой для траекторий системы (1.5).

Исследуем знак производных г2 , г1 . Производная £2 меняет знак при пересечении с прямой I, заданной уравнением

-аг2 - Ьг1 + К’ — 0. Точка (у,0) — точка пересечения прямой

I и асимптоты а . г] , схематически изобразим Тогда поведение траекторий системы (1.5) описывается следующим образом.

Пусть К ^ 0. Возьмем точку, принадлежащую первой четверти. Тогда, учитывая, что а ^ О, Ь ^ О, \\К\\ ^ 2,

-аг2 — бг1 -+• К ^ 0 и, следовательно, функция г2(Ь) в первой четверти на бесконечности убывает, г2 ^ 0, поэтому функция г1^) , напротив, возрастает.

Функция г1 возрастает до тех пор, пока не пересечет ось Ог1 . Далее г2 <С 0 и функция 2гх(£) убывает. Функция 22(£) убывает до тех пар, пока траектория не пересечет прямую I. В точке пересечения г2 = 0 .

Далее функция г2(£) возрастает вдоль асимптоты а. Функция г1 (£) убывает до тех пор, пока траектория не попадет в «узел» (рис. 2.1).

Затем г2 меняет знак на противоположный, а следовательно, меняется знак производной г1 (рис. 2.2).

Функция г2(£) в третьей четверти на бесконечности возрастает. Функция г1^) имеет отрицательную производную г1 = г2 , г2 ^ 0 , поэтому она в III четверти убывает.

После пересечения траектории с осью Ог1 производная г1 меняет знак, тогда г1{Ь) будет убывать. Функция 2г2(£) не меняет характера до тех пор, пока траектория не пересечет прямую /. В точке пересечения г2 = 0. Далее г2(£) убывает, г1(1) не меняет

2

Й\ /

Рис. 2.2

характера — тоже убывает. Таким образом, траектория попадает в «узел» (рис. 2.3).

Вдоль асимптоты а слева также существует траектория, которая не меняет характера возрастания-убывания: начиная с бесконечности г2(1) возрастает, г1 (С) —убывает (рис. 2.4).

Используя такие же рассуждения, получим вид кривой при К ^ 0 (рис. 2.5).

Пусть теперь {(г10, г20)},- — начальные условия в дифференциальной игре (1.5).

Рассмотрим возможные «передвижения» точки, траектория движения которой задана системой (1.5). Пусть К О,

5 € {1,...,т}. Обратимся к схематическому графику траектории системы. Если точка (г1, г2) из первой четверти, то она, двигаясь по траектории, заданной системой (1.5), может попасть

Рис. 2.3

Рис. '2.5

в «узел» или в четвертую четверть. Из четвертой четверти можно попасть в первую или третью четверть, а также в «узел». Из третьей четверти можно попасть во вторую, из второй — в первую. Отобразим возможные «передвижения» точки {zl>z2) при К ^ 0 диаграммой (2).

II —> I —► Node

t I

III <— IV —> Nodt

I

/

Пусть теперь К ^ 0. Тогда из первой четверти можно попасть в четвертую, из четвертой — в третью, из третьей — во

вторую или в «узел» , из второй — в первую, третью четверть

и .пи в «узел». Соответственно; получим диаграмму (2).

I <— II —> Node

I I

IV —> III —f Node

i

II

Пусть К = 0. Система (1.5) тогда примет вид:

Траекториями системы (1.5) в случае, если разность управлений - ноль, являются параллельные прямые (рис. 2.6).

Рис. 2.6

При К — 0 в начало координат попасть нельзя. Если разность управлений положительная, то в начало координат можно попасть из четвертой четверти (рис. 2.7).

Рис. 2.7

При К ^ 0 также существует траектория, проходящая через начало координат. Она начинается во второй четверти (рис. 2.8).

Сначала выберем управление V = — 1. Тогда К = щ —V ^ 0. Диаграмма (2) отражает возможные «передвижения» точки (г1,, г2) при К ^ 0 . Траектория системы для К ^ 0 в общем виде описана на рисунках (рис. 2.1-2.4). В начало координат при К ^ 0 можно попасть только из четвертой четверти (рис. 2.7). Чтобы не допустить попадания точки (г1 (£), 2г2(£))*х в начало координат выберем <$і > 0 такое, что

И в момент времени £ = £1 , когда точка (г1(£), л2(£)),-1 попадет на границу <5х -окрестности начала координат, переключим управление V с —1 на +1. То есть при £ ^ £1 управление г; = 1. Точка (•г1(£), 22(£))г1 согласно диаграмме (2) и виду траектории при К = щ — V = щ — 1 ^ 0 (рис. 2.5) покинет ^ -окрестность начала координат и начнет двигаться в обратную сторону.

Через промежуток времени т\ = £2 - £1 неположительное К = щ — V может обусловить сближение с другим преследователем, что в плоскости г10г2 будет выглядеть как приближение

Рис. 2.8

Пусть 8 — малое положительное число, такое, что

к началу координат. При К ^ 0 в начало координат можно попасть только из второй четверти (рис. 2.8). Чтобы не допустить попадания в начало координат точки (г1(£), 22(£))^2 выберем 62 такое, что

6-2 ^ т.іп (г(2г*(і'і), 22(£і))і, 1т"|)*

г=1,...,А: О

И в момент £ =.£2 , когда точка (г1 (і), ^2(£))і2 попадет на границу 62 -окрестности начала координат, преключим управление V с +1 на —1. Точка (г1^), л2(£)),-2 согласно диаграмме (2) и виду траектории при К = щ — г? = щ + 1 ^ 0 (рис. 2.1-2.4) по-кинет 62 -окрестность начала координат и начнет двигаться в обратную сторону.

Теперь К = щ — V ■= щ + 1^0. Поступаем так же, как описано выше при неотрицательном К. Выберем

63 <$ шіп (ф1^),*2^))^ ІТ-І)-

1=1,...,*: О

И в момент времени £ = £3, когда (г1 (£), £2(£))і3 Є д11$я , переключим управление V с -1 на +1. Тогда К снова становится неположительным.

Таким образом, мы переключаем управление, если видим, что существует / такое, что точка (г1 (£), г2(£))/ принадлежит границе £-окрестности начала координат. Таких переключений будет счетное множество, так как преследователей конечное число. В результате такой стратегии все номера {1,..., Ат} разделятся на три группы. Одна из которых состоит из номеров і таких, что (г1 (£), а2(£)), принадлежит второй четверти, другая — из номеров У таких, что (г1^), г2(£)); принадлежит четвертой четверти. Третья группа нам неинтересна, так как из третьей и первой четверти нельзя попасть в начало координат.

Так как одновременно из второй и четвертой четвертей при гаком управлении невозможно двигаться к началу координат, то тем самым мы будем уводить от границы £-окрестности начала координат то одну, то другую группу. Теорема доказана.

1. Иванов Р. П. К вопросу о мягкой поимке в дифференциальных играх, со многими догоняющими и одним уклоняющимся игроком // Труды Математического института АН СССР. 1988. Т. 185. С. 74-84.

2. Петров Н. Н. «Мягкая» поимка в примере Л. С. Понтрягина со многими участниками // Прикладная математика и механика. 2003. Т. 67. Вып. 5. С. 759-770.

3. Черноусько Ф. Л. Одна задача уклонения от многих преследователей //Прикладная математика и механика. 1976. Т.40. Вып.1.

С.14-24.

4. Прокопович П.В. Чикрий А. А. Одна дифференциальная игра убегания//Док лады АН УССР. Сер. А. 1989. С.71-74.

5. Пшеничный Б. Н. Простое преследование несколькими объектами// Кибернетика. 1976. №3. С.145- 146.

6. Иванов Р. П. Простое преследование на компакте// Докл. АН СССР. 1980. Т. 256. №6. С. 1318-1321.

7. Чиркова Л.С. Уклонение от группы инерционных объектов в конусе// Известия ИМИ. 2000. №2(19). С.59-73.