CC BY
329
Н А У Ч Н А Я Ж И З НЬ
УДК 82-43
«У ГЕОМЕТРИИ ПРИРОДЫ ФРАКТАЛЬНОЕ ЛИЦО1» (памяти Бенуа Мандельброта)
© 2011 г. Г.С. Розенберг 1, Е.В. Чупрунов 2, Д.Б. Гелашвили 2, Д.И. Иудин 2
1 Институт экологии Волжского бассейна РАН, г. Тольятти 2 Нижегородский госуниверситет им. Н.И. Лобачевского
Поступила в редакцию 23.12.2010
Статья посвящена памяти выдающегося математика ХХ века Б. Мандельброта - создателя фрактальной геометрии. Рассмотрены основные вехи жизненного пути и научной деятельности Б. Мандельброта.
Ключевые слова: Б. Мандельброт, биография, фрактальная геометрия.
В четверг, 14 октября 2010 г., в городе Кембридже (штат Массачусетс, США) после продолжительной и тяжелой болезни скончался выдающийся математик, создатель нового направления в геометрии - фрактальной геометрии - профессор Бенуа Мандельброт. Разработанная им теория фракталов оказала существенное влияние на разные области человеческой деятельности и знания - компьютерную графику, финансы, экологию и др. Некрологи о нем поместили такие влиятельные газеты и журналы, как New York Times и The Atlantic (США), Telegraph и Guardian (Великобритания), Le Monde (Франция) и др.
«Если Вы знаете начало и конец, то у меня была самая обычная карьера», - говорил Мандельброт в Йельском университете на церемонии присуждения ему почетного звания Sterling2 Professor of Mathematical Sciences. - Но это не была прямая линия между началом и концом. Это была очень изогнутая, фрактальная кривая» [4].
Бенуа Мандельброт (фр. Benoît B. Mandelbrot3) родился 20 ноября 1924 г. в Варшаве в семье литовских евреев. Его отец был галантерейщиком, а мать - врачом. В 1936 г. вся семья, спасаясь от нацистов, эмигрировала на юг Франции (городок Тюль, Tulle), а потом перебралась и поселилась в Париже. Здесь Бенуа
«4
попал под влияние своих дядей , которые и заинтересовали его математикой. При этом выяснилось, что у Бенуа великолепное пространственное воображение - даже алгебраические
Бенуа Мандельброт (20.11.1924-14.10.2010)
задачи он решал геометрическим способом. Он поступает в Политехническую школу в Париже, а сразу после войны становится студентом Сорбонны, где обучается под руководством Г астона Жулиа (Gaston M. Julia) и Пауля Леви (Paul Lévy). После окончания Сорбонны Мандельб-
рот переезжает в США, где оканчивает Калифорнийский технологический институт. По возвращении во Францию в 1952 г. он защищает ученую степень PhD (доктора философии) по математике в Парижском университете, в 1955 г. женится на Альетт Каган (Aliette Kagan) и переезжает в Женеву, «наездами» в Принстоне повышает свою квалификацию у Дж. фон Неймана (John von Neumann)5, а в 1958 г. окончательно поселяется в США, где приступает к работе в научно-исследовательском центре IBM (T.J. Watson Research Center) в Йорктауне (Yorktown Heights).
В IBM Мандельброт проработал 35 лет и 12 дней (до 1987 г.). Первоначально он занимался вопросами «чистой» математики. Потом решает задачу исследования ошибок, возникающих при передаче компьютерной информации по телефонным каналам связи компании. Анализируя природу этих, казалось бы, совершенно случайных ошибок, Мандельброт находит периоды их появления и определяет самоподобную структуру этих периодов: ошибки не появляются хаотично, а «собираются» в серии-кластеры; каждый кластер состоит из своих кластеров. Это открытие позволило не только сохранить компании огромные денежные средства на преодоление помех, но и стало первым толчком для нового, геометрического осмысления мира. Работая в IBM, Мандельброт все дальше и дальше уходит в сторону от чисто прикладных проблем компании. Он работает в области лингвистики, теории игр, экономики, аэронавтики, географии, физиологии, астрономии, физики... и не раз покидает еще неоконченные исследования ради нового, «не освоенного» им раздела науки. Так, например, еще в 1951 г. Мандельброта «.слегка заинтересовала закономерность, описывающая частотность употребления слов в речи, называемая законом Ципфа, причем узнал я о ней из книжного обозрения. Упомянутое обозрение я выудил из корзины для ненужных бумаг одного «чистого» математика6, имея в виду разжиться легким чтением на время поездки в парижском метро. Закон Ципфа оказалось несложно объяснить, а в качестве побочного эффекта моя работа поспособствовала рождению новой дисциплины - математической лингвистики.» [1, с. 584-585]. В экономике Мандельброт обнаружил, что внешне произвольные (случайные на вид) колебания цены на хлопок за большой временной интервал (более ста лет) следуют скрытому математическому порядку во времени, который не описывается стандартными кривыми; он проследил симметрию в длительных и кратковременных колеба-
ниях цены. Это открытие оказалось неожиданностью для экономистов. Как говорится, «процесс пошел», и «...я начал обращать внимание на аналогичные эмпирические закономерности в различных областях человеческой деятельности.» [1, с. 585].
В середине 60-х годов Мандельброт задал себе вопрос: какой длины побережье Великобритании [6]? Оказалось, что все зависит от инструмента, с помощью которого эта длина будет измеряться. Опыт показывает, что длина береговой линии L зависит от масштаба l, которым проводятся измерения, и увеличивается с уменьшением последнего по степенному закону
L = Л l ~а, Л = const.
Так, например, для побережья Великобритании а ~ 0,3. Происхождение такой зависимости понятно: чем меньше масштаб мы используем, тем меньшие детали побережья будут учтены и дадут вклад в измеряемую длину (рис. 1). Наоборот, увеличивая масштаб, мы «спрямляем» побережье, уменьшаем тем самым его длину L. Таким образом, «понятие "длины" обычно бессмысленно для географических кривых» [6, p. 636].
В 1975 г.7, в изданной во Франции книге «Les objets fractals: forme, hasard et dimension», Мандельброт вводит в научный оборот понятие «фрактал»8. «Термин фрактал я образовал от латинского причастия fractus. Соответствующий глагол frangere переводится как ломать, разламывать, т.е. создавать фрагменты неправильной формы. Таким образом, разумно - и как кстати! - будет предположить, что, помимо значения "фрагментированный" (как, например, в словах фракция или рефракция), слово fractus должно иметь и значение "неправильный по форме"» [1, с. 18]. Иными словами, «вырезав» небольшую часть из структуры, имеющей свойства фрактальности, можно рассмотреть её в некотором увеличении и обнаружить, что она подобна всей структуре в целом; выделив еще более мелкую часть из уже вырезанной части и увеличив её, опять обнаружим, что и она подобна первоначальной структуре. Для идеальной фрактальной структуры, такую операцию можно проделывать до бесконечности, и даже самые микроскопические частички будут подобны структуре в целом. Самоподобие предполагает, что копирование и масштабирование некоторого «эталонного» образа позволяет природе легко создавать сложную многомасштабную структуру. Реальные объекты имеют довольно четко ограниченный интервал масштабов, в которых они проявляют свою фрактальную природу.
50 км
100 км
200 км
Рис. 1. Береговая линия побережья Великобритании [7]
«Фракталы вокруг нас повсюду, и в очертаниях гор, и в извилистой линии морского берега. Некоторые из фракталов непрерывно меняются, подобно движущимся облакам или мерцающему пламени, в то время как другие, подобно деревьям или нашим сосудистым системам, сохраняют структуру, приобретенную в процессе эволюции» [9, с. 7]. А вот еще одна цитата - из работы В.Н. Беклемишева [10, с. 37]: «.живой организм (и экосистема. -
Авт.) не обладает постоянством материала -форма его подобна форме пламени, образованного потоком быстро несущихся раскаленных частиц; частицы сменяются, форма остается». Иными словами, подобно мольеровскому Жур-дену, экологи давно «говорят прозой» (о фракталах), не догадываясь об этом. И вновь Мандельброт [1, с. 13]: «Облака не являются сферами, горы - конусами, береговые линии нельзя изобразить с помощью окружностей, кору деревьев не назовешь гладкой, а путь молнии - прямолинейным. В более общем виде я заявляю, что многие формы Природы настолько неправильны и фрагментированы, что в сравнении с евклидовыми фигурами. Природа демонстрирует не просто более высокую степень, но совершенно иной уровень сложности». Пример фрактального множества, ставшего классическим, приведен на рис. 2.
В арсенале современной математики Мандельброт нашел удобную количественную меру «неидеальности объектов» - извилистости контура, морщинистости поверхности и пористости объема (её предложили два математика -Ф. Хаусдорф (Felix Hausdorff) и А.С. Безикович, которая носит сегодня имена своих создателей (размерность Хаусдорфа - Безиковича; она же - хаусдорфова размерность). Как и любая количественная характеристика, эта размерность прошла проверку на работоспособность. В предельных случаях (применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии) она давала те же численные значе-
Рис. 2. Фрактальное множество Мандельброта9, иногда называемое его автографом
ния, что и известная задолго до нее так называемая топологическая размерность (иначе говоря, была равна нулю для точки, единице - для гладкой плавной линии, двум - для «ровной» фигуры и поверхности, трем - для тела и пространства). Однако новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать то, что прежде было безлико и неразличимо - степень «извилистости». Но самое непривычное10 в размерности Хаусдорфа -Безиковича состоит в том, что она может принимать не только целые, но и дробные значения. Именно для того, чтобы подчеркнуть эту способность такого рода размерностей, Мандельброт и предложил называть их фрактальными размерностями.
Интересно отметить, что само определение понятия «фрактал» («фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому») предоставляет пищу для системологических рассуждений. Действительно, в своей монографии Мандельброт [1, с. 31] дает математически более корректное определение: «фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа - Бези-ковича которого строго больше его топологической размерности». Это определение достаточно строго в математическом плане; однако именно это и является его недостатком, поскольку оно требует определения еще и понятий размерности (топологической и хаусдорфо-вой), к тому же оно исключает многие классы фрактальных объектов, встречающиеся в различных областях. Однако все виды математических фракталов являются абстракциями, непосредственное применение которых для описания реальных объектов возможно только с некоторыми оговорками. Математическое фрактальное множество, как это следует из его определения, должно обладать некоторыми «неестественными» свойствами (например, у него должны отсутствовать наибольший и наименьший масштабы самоподобия). С другой стороны, в любой физической структуре должен существовать конечный наименьший масштаб. Кроме того, такая структура всегда ограничена в занимаемом ею пространстве, что приводит к нарушению самоподобия вблизи границы (достаточно малая область, содержащая границу множества, не подобна области того же размера, находящейся вдали от границы). «Сила понятия фрактальной размерности по Хаусдор-фу в том, что она позволяет различать категории "гладкий" и "хаотичный". Слабость же её в том, что не удается различить категории "нере-
гулярный, но самоподобный" и "геометрически хаотичный". Это происходит из-за того, что определение является весьма общим, что и требуется для математики. Но для конкретной области науки общий характер этого определения оказывается чрезмерным: оно становится не только неудобным, но и совершенно неподходящим» [12, с. 139]. Иными словами, на примере определения понятия «фрактал» хорошо иллюстрируется один из важных системологических принципов - принцип несовместимости Заде (Lotfi Ali Asker Zadeh): чем глубже анализируется реальная сложная система, тем менее определенны наши суждения о её поведении [13]. Поэтому для решения задачи о фракталь-ности, например, видовой или родовой структуры сообщества вполне подходящим является первое (может быть, более вербальное) определение «фрактала». Можно сказать, что фрактальный объект статистически единообразен в широком диапазоне масштабов. В идеальном случае (математический фрактал) такое самоподобие приводит к тому, что фрактальный объект оказывается инвариантным относительно масштабных изменений пространства (растяжений и сжатий).
Другим важным свойством фракталов является их иерархичность, т.е. способность повторяться в разных масштабах пространства и времени. Существует четкий критерий принадлежности объекта к фракталам - объект нельзя считать фрактальным, если он не обладает свойством самоподобия, но можно - если он не иерархичен.
Кроме самоподобия и иерархичности, диагностическими признаками фрактального объекта являются [14-16]:
• Степенная зависимость числа структурных элементов от масштаба, поскольку математическим выражением самоподобия являются степенные законы вида:
fх) = сха .
• Масштабная инвариантность (скейлинг; от англ. scaling - масштабирование) - возможность воспроизводить объект при изменении масштабов.
• Строгое отличие фрактальной размерности (а), которая может быть как целочисленной, так и дробной (например, размерность а = = 2.87), от топологической (всегда целочисленной).
«Фракталы были чужды уютному евклидовому миру с его регулярными структурами» [17, с. 122]11. Для реального природного фрактала существует некоторый минимальный масштаб
длины lmin, такой, что на расстояниях l « lmin его основное свойство - самоподобие - пропадает. Кроме того, на достаточно больших масштабах длин l > lmax, где lmax - характерный геометрический размер объектов, это свойство самоподобия также нарушается. Поэтому свойства природных фракталов рассматриваются лишь на масштабах l, удовлетворяющих соотношению
lmin < l <lmax [18].
Плодотворные идеи Б. Мандельброта оказали свое влияние и на авторов этой статьи, которые совместно с коллегами развивают подходы применения фрактального формализма в физике [19], кристаллографии [20], экологии [21].
Продолжим краткое жизнеописание Бенуа Мандельброта. Параллельно с работой в IBM, «я стал популярным в разных крупных университетах как visiting professor, но ни один из них не хотел видеть меня на постоянной должности в силу непредсказуемости моих (научных) интересов12. Однажды, когда я все еще был относительно молодым, я получил от одного из ведущих американских университетов очень очаровательное предложение, от которого отказались на другой день, как только декан заинтересовался моей профессиональной деятельностью в других [смежных с математикой] областях» [3]. В это же время (в 1974 г.) Мандельброту присваивается звание Почетного сотрудника IBM (IBM Fellow)13, которое является самым высоким знаком отличия для технических специалистов компании и признанием их выдающихся технических достижений и лидерства в таких областях, как проектирование, программирование, услуги, научная деятельность и технологии. Почетным сотрудникам предоставляются более широкие возможности, чтобы поддерживать их деятельность по разработке инноваций (Мандельброт возглавляет небольшую группу).
Только после ухода из IBM, с 1987 г. Мандельброт начал систематически преподавать на математическом факультете Йельского университета, а штатным профессором стал лишь в 1999 г., и как он сам отметил [3], «Йельский университет, возможно, следует считать мировым рекордсменом, в моем случае, т.к. в штат я был зачислен в столь преклонном возрасте» (75 лет. — Авт.). С этой должности Мандельброт ушел в 2005 г., став, как уже отмечалось выше, Sterling Professor. Среди огромного числа его наград и почетных званий следует, наверное, назвать чрезвычайно престижные премии Александра Гумбольдта (Alexander von Humboldt Prize, 1988), Вольфа по физике (Wolf Prize, 1993), Японии (Japan Prize, 2003) и др. Он был
академиком Национальной академии наук США (с 1987 г.), Американской академии искусств и наук, Академии IBM-технологии, почетным членом Норвежской академии наук и литературы, почетным доктором (Honoris causa) более 15 крупнейших университетов мира, в мае 2010 г. он был удостоен Почетной ученой степени Университета Джона Хопкинса (Балтимор, Baltimore, Maryland); Мандельброт был награжден орденами и медалями многих стран (орденом Почетного легиона, Франция, медалью Президента Республики Италия, медалью Ричардсона (Lewis Fry Richardson Medal) Европейского геофизического общества и пр.).
Завершить это короткое и грустное эссе хочется тремя цитатами. Первая принадлежит самому Бенуа Мандельброту [3]: «Судьба того, чтобы быть названным лучшим физиком среди математиков или лучшим математиком среди физиков, была тем, чего я всегда боялся и с чем боролся. И я не ценю похвалу своих работ в экономике всеми, кроме самих экономистов. Конечно, хорошо быть свободным от экономистов "перед фактом" цензуры и обсуждения; но я также хочу победить и "после факта", путем понимания и одобрения, по крайней мере, части их сообщества».
Президент Франции Николя Саркози (Nicolas Sarkozy), воздавая должное Бенуа Мандельброту, сказал, что у него был «сильный, самобытный склад ума, который никогда не уклонялся от нововведения и разрушения предвзятых понятий. Его исследования, полностью развитые вне господствующих представлений, привели к развитию современной информационной теории» [22].
Наконец, последняя цитата заимствована из книги М. Шредера [15, с. 18-19]: «Вспоминая славные имена прошлого, мы не должны забывать о нашем великом современнике, несравненном Бенуа Мандельброте. Как выяснилось, все эти годы мы жили с фрактальными артериями неподалеку от фрактальных речных систем, собирающих влагу со склонов фрактальных гор под фрактальными облаками и катящих свои воды к фрактальным берегам морей и океанов. Но, как и мольерову мещанину во дворянстве, нам не доставало надлежащей прозы - существительного фрактал и прилагательного фрактальный, который мы обрели благодаря Бенуа Мандельброту».
Примечания
1. См. [1, с. 16]. Биографические подробности почерпнуты из интервью Б. Мандельброта [2; 3].
2. Самое высокое ученое звание в Йельском университете, присуждается с 1920 г. Джон Уильям Стерлинг (John William Sterling; 1844-1918) был адвокатом и филантропом; он завещал свое состояние Йельскому университету ($18 млн, которые в 2003 г. «превратились» в $180 млн). На эти средства построена библиотека, химическая лаборатория, факультеты правоведения, богословия, школа медицины и пр.
3. Он сам добавил среднюю заглавную букву, хотя она не обозначает второе имя.
4. Один из них был парижским математиком, членом группы, известной под общим псевдонимом «Николя Бурбаки (Bourbaki Nicolas)», которая выступала с концепцией построения математики с точки зрения принципов логики и аксиоматики теории множеств.
5. Интересный факт: грант Рокфеллерского
фонда [3] по рекомендации фон Неймана был устроен У. Уивером (Warren Weaver), который с 1932 г. более 20 лет возглавлял отдел естественных наук этого Фонда и как менеджер науки способствовал поддержке наиболее талантливой молодежи. Достаточно часто информационный индекс разнообразия называют индексом Шеннона - Уивера, хотя в совместной работе с К. Шенноном (Claude E. Shannon) над книгой «Математическая теория связи» Уивер «отвечал» за философско-методо-логическое обоснование построений Шеннона (см.: [5]).
6. В одном из интервью [2] Мандельброт признался, что этим «чистым» математиком был его дядя.
7. Правда, англоязычные исследователи ведут свой «отсчет» от перевода этой работы на английский язык [8].
8. «Дайте чудовищу какое-нибудь уютное, домашнее имя, и вы удивитесь, насколько легче будет его приручить!» [1, с. 18].
9. Впервые множество Мандельброта было описано в 1905 г. французским специалистом в области аналитической динамики комплексных чисел П. Фату (Pierre Joseph Louis Fatou). Однако именно Мандельброт не только смог сказать, почему это важно, но и смог убедить в этой важности остальных.
10. Хотя что тут непривычного? Любые усреднения «уходят» от изначальной целочисленности исходных значений. Например, «По данным ЦРУ США, в среднем женщины в России рожают 1.39 ребенка» (11), или детская классика С. Маршака -стихотворение «Про одного ученика и шесть единиц»: «- Задачу задали у нас. Её решал я целый час, /И вышло у меня в ответе: Два землекопа и две трети».
11. Приведем еще одну цитату из работы
Н.Г. Макаренко [17, с. 122]: «Позднее оказалось, что фракталами являются и давно известные в анализе нерегулярные функции, вызывавшие отвращение аналитиков прошлого века». Подтверждением тому служат слова из письма 1893 г. французского математика Ш. Эрмита (Charles Hermite) нидерландскому математику Т. Стилтьесу (Thomas Johannes Stieltjes]), которые также приводит Макаренко: «С омерзением и ужасом я отворачиваюсь от этой зловредной язвы -
непрерывных функций, нигде не имеющих производных...».
12. Мандельброт приводит такую аналогию [2]: «Соревнование важно в жизни, следовательно, и в науке; но почему наука должна подражать спорту, где гонку на милю и 1500 метров (только на 7,3% короче!) часто выигрывают разные чемпионы? И хуже того, в то время как десятиборье является Олимпийской дисциплиной, "научное десятиборье", которое я, казалось, практиковал, не приветствовалось в академии».
13. За всю историю компании IBM («Голубого Гиганта») этого звания были удостоены чуть более 200 специалистов.
Список литературы
1. Мандельброт Б.Б. Фрактальная геометрия природы («The Fractal Geometry of Nature»). Ижевск: Ин-т компьют. иссл., 2002. 656 с.
2. Barcellos А. // Mathematical People. Boston: Birkhäuser, 1985. P. 205-225.
3. Mandelbrot B. B. A maverick’s apprenticeship // The Wolf Prize for Physics. Singapore: World Scientific, 2004. http://www.math.yale.edu/mandelbrot/dfs/mave-ricks - Apprentice ship. pdf
4. http://mathnotations.blogspot.com/search/label/M andelbrot (дата обращения: 01.12.2010).
5. Розенберг Г.С. Информационный индекс и
разнообразие: Больцман, Котельников, Шеннон,
Уивер // Самарская Лука: проблемы региональной и глобальной экологии: Бюл. 2010. Т. 19. № 2. С. 4-25.
6. Mandelbrot B.B. // Science. 1967. V. 156. № 3775. P. 636-638.
7. http ://en.wikipedia.org/wiki/Lewis_Richardson (дата обращения: 29.11.2010).
8. Mandelbrot B.B. Fractals: Form, Chance and Dimension. San Francisco (CA): W.H. Freeman and Co., 1977. 265 p.
9. Пайген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М.: Мир, 1993. 176 с.
10. Беклемишев В.Н. // Бюл. МОИП. Отд. биол. 1964. Т. 69. Вып. 2. С. 22-38.
11. Газета «Ведомости» от 22 ноября 2007 г.
12. Мандельброт Б.Б. Фракталы и возрождение теории итераций // В кн. Пайген Х.О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем. М.: Мир, 1993. С. 131-140.
13. Розенберг Г.С., Мозговой Д.П., Гелашви-ли Д.Б. Экология. Элементы теоретических конструкций современной экологии. Самара: СНЦ РАН, 1999. 396 с.
14. Федер Е. Фракталы. М.: Мир, 1991. 254 с.
15. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы. Миниатюры из бесконечного рая. М.; Ижевск: Ин-т компьют. иссл., 2001. 528 c.
16. Морозов А.Д. Введение в теорию фракталов. М.; Ижевск: Ин-т компьют. иссл., 2004. 160 с.
17. Макаренко Н.Г. // Научная сессия МИФИ-2002. IV Всероссийская научно-техническая конференция
«Нейроинформатика-2002». Лекции по нейроинформатике. Часть 2. М.: МИФИ, 2002. С. 121-169.
18. Божокин С.В., Паршин Д.А. Фракталы и мультифракталы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»», 2001. 128 с.
19. Иудин Д.И., Трахтенгерц В.Ю. // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 2000. Т. 36. № 5. С. 650-662.
20. Иванькова Т.В., Марычев М.О., Сомов Н.В., Чупрунов Е.В. // Нелинейный мир. 2006. Т. 4. № 12. С. 715-719.
21. Гелашвили Д.Б., Иудин Д.И., Розенберг Г.С. и др. // Успехи соврем. биол. 2008. Т. 128. № 1. С. 21-34.
22. Ежедневная французская газета «Le Figaro» от 16 октября 2010 г.
«NATURE’S GEOMETRY HAS A FRACTAL FACE»
(in memory of Benoît Mandelbrot)
G.S. Rozenberg, E. V. Chuprunov, D.B. Gelashvili, D.I. Iudin
This article is dedicated to the memory of Benoît B. Mandelbrot, an outstanding mathematician of the twentieth century and the creator of fractal geometry. Principal milestones of his life and scientific activity are considered.
Keywords: B. Mandelbrot, biography, fractal geometry.
