CC BY
48
УДК 621.317.4
А.В. Гетьман, А.В. Константинов
ЦИЛИНДРИЧЕСКИЕ ГАРМОНИКИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ ОДНОРОДНО НАМАГНИЧЕННОГО ЦИЛИНДРА
Розглянуто застосування апарату циліндричних гармонік до магнітного поля однорідно намагніченого циліндра. Результати отримані при використанні двох моделей намагніченого циліндра: на основі фіктивних магнітних зарядів та на основі просторовогорозподілу магнітних диполів.
Рассмотрено применение аппарата цилиндрических гармоник к магнитному полю однородно намагниченного цилиндра. Результаты получены при использовании двух моделей намагниченного цилиндра: на основе фиктивных магнитных зарядов и на основе пространственногораспределения магнитных диполей.
ВВЕДЕНИЕ
Современной тенденцией разработки новых и оптимизации существующих технических объектов (ТО) является построение их математических моделей, наиболее полно и точно описывающих их свойства. В этой связи представляет интерес адаптация аналитических моделей к ТО, расчет параметров которых обычно проводят численными методами. Построенные на основе точных аналитических моделей описания ТО, как правило, легко могут быть использованы для синтеза его оптимизированного варианта исполнения сразу по нескольким рабочим характеристикам. Например, для магнитных исполнительных органов (МИО), кроме главного критерия - величины создаваемого магнитного момента (ММ), также важны минимально возможные значения таких параметров: потребляемая мощность, масса, габаритные размеры и др. Немаловажным фактором, повышающим интерес к аналитическим моделям, является существенное упрощение анализа и синтеза моделей при использовании современной компьютерной техники и программных пакетов (Маріє), позволяющих не только визуализировать результаты математического расчета, но и упростить ее аналитическое представление.
Как известно [1], к важным факторам, требующим учета при создании модели МИО, следует отнести зависимость ММ от формы и размеров сердечника. Поскольку наиболее технологичной формой для сердечника внутри токовой катушки является круговой цилиндр, то очевидно, что аналитическая модель его ММ примет наиболее простой вид при использовании цилиндрической системы координат, а выражение для магнитного поля (МП) - на основе цилиндрических гармоник.
Целью работы является построение аналитической модели МП равномерно намагниченного вдоль аксиальной оси цилиндра на основе цилиндрических гармоник скалярного потенциала.
В первом случае ввиду равномерного распределения магнитных диполей можно считать, что МП создается магнитными зарядами, равномерно распределенными по торцевым поверхностям цилиндра (рис. 2).
Рис. 2. Фиктивные магнитные заряды на торцевой поверхности цилиндра
Причем, магнитный заряд дм на каждой из торцевых поверхностей:
М
~И
(1)
ИСХОДНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ Будем рассматривать МП, создаваемое равномерно намагниченным вдоль аксиальной оси цилиндром с высотой И и радиусом Я (рис. 1). При этом воспользуемся двумя моделями: на основе фиктивных магнитных зарядов и на основе пространственного распределения намагниченности.
где М - суммарный дипольный магнитный момент цилиндра, такой, что М = ЗУ.
Тогда для каждого элементарного заряда йдм на элементе торцевой поверхности йБ в цилиндрической системе координат справедливо:
йЧм = = Зг'й<рйг'.
(2)
Во втором случае, при использовании модели намагниченности, по ее определению имеем:
dM = JdV = const. (3)
При этом магнитный потенциал цилиндра связан с потенциалом диполей следующим соотношением:
U = j dUd, (4)
V
где U - потенциал, создаваемый намагниченным цилиндром, Ud - потенциал диполя. Здесь мы полагаем распределение диполей непрерывным по всему объему V цилиндра.
МОДЕЛЬ ПОВЕРХНОСТНЫХ ЗАРЯДОВ Сначала вычислим магнитный потенциал, создаваемый одной торцевой поверхностью в произвольной точке пространства, заданной цилиндрическими координатами (r, ф, z).
Согласно принципу суперпозиции, общий потенциал равен сумме потенциалов, создаваемых в данной точке каждым элементарным зарядом:
U = J dU. (5)
Потенциал точечного заряда представляется в
виде:
dU =
1 dq л
(6)
4 тс |р - р'|
В свою очередь, для дальнейших вычислений, обратное расстояние в цилиндрической системе координат удобно представить в следующем виде [2]:
1 2
Р_Р П А V 1 I n=0
( ^
¿(2 -§n )cos n (ф-ф')>
(7)
J Kn (Xr )ln (Xr') cos X(z - z’^dX
U+ =J 2%
u z(2 _5° )cos n (ф-ф')>
0 0 n=0
(8)
j Kn (Xr)ln (Xr')cos xi z — IdX
0
r 'dqdr'.
Вычислив данный двойной интеграл, получим следующее представление для потенциала положительно заряженного торца цилиндра при г < Я :
З гГ 1 Я „ и и 0| „( И
2
0
U+= - j I — --Ki (XR)І0 (Xr) I cos X\z - - IdX , ((9)
а для r > R:
Ui = 2- _—Кі(Х—)і0 (Xr) j sin X—sin XzdX,
r < R,
U 2 = —— f—Ii(XR)K0 (Xr )sin X—sin XzdX, ж J X 2
0
r > R.
Учитывая, что
f -^-sin X—sin XzdX = — ■ a2 2 2
— —
--, z < —,
22
і і — z, z < —,
2
— —
—, z > —; 22
(12)
выражение (11) можно представить в виде: - внутри цилиндра: (|z| < h/2, r < R):
U1 = J
2R r1 z---------—
— f—^(XR )І0 (Xr)sin X—sin XzdX к J X 2
■ вне цилиндра: (|z| > h/2, r <R):
U1 = J
— f—K1 (XR)l0 (Xr)sin X—sin XzdX к J X 2
(13)
; (14)
■ r > R:
U2 = J f-11 (XR)K0 (Xr)sm X—sin XzdX. (15)
к J X 2
где 1п и Кп - модифицированные функции Бесселя первого и второго рода п-го порядка.
Используя выражение (7), для потенциала положительно заряженного торца цилиндра будем иметь:
Я 2п
Компоненты поля выражаются через скалярный потенциал следующим образом:
Нг =-—, Н2 =-—. (16)
г дг 2 д2
Получим следующие представления для напряженности магнитного поля, создаваемой однородно намагниченным цилиндром:
- поле внутри цилиндра (2| < И/2, г <Я):
H1r =---------j" ^(XR )l1(^r)sin X—sin XzdX,
■w J 2
0
(17)
H1z = - J + 2 JR j" K1 (XR )l0 (Xr )sin X—cos XzdX
'к J 2
2 JR
I K1[XR )I0 [Xr)sin A ж J 2
0
поле вне цилиндра (|z| > —/2, r < R):
да
2JR /„ „w /„ 4 . „ — .
H1r =■
- JK1 (XR)і1 (Xr)sin X—sin XzdX,
0
(18)
H1Z =
■ r > R:
2 JR
JK1 (XR)l0 (Xr)sin X—cos XzdX.
(X) / 4
U+= JR I1(XR )K0 (Xr)cos ^ - -A^dXdK . (10) H2r = J j I1 (XR)K1 (Xr )sin X—sin XzdX
Соответственно, потенциал отрицательно заряженного торца имеет противоположный знак. Тогда суммарный потенциал системы двух противоположно заряженных торцов будет равен:
0
2 JR
(19)
H2z =--------f I1(XR)К0 (Xr)sin X—cos XzdX.
ж J 2
0
Легко видеть, что (18, 19) эквивалентны выражениям для внешнего магнитного поля однослойного
бесконечно тонкого соленоида, полученными в [3] (рис. 3, 4). Отличие для внутреннего решения заключается в дополнительном слагаемом, определяемым намагниченностью З цилиндра.
Рис.3. Распределение поля однородно намагниченного цилиндра, полученное в программе Maple
Рис.4. Распределение поля однородно намагниченного цилиндра, полученное в программе Ansys
МОДЕЛЬ РАВНОМЕРНОЙ НАМАГНИЧЕННОСТИ Представим поле однородно намагниченного цилиндра как суперпозицию полей магнитных диполей, равномерно распределенных по всему объему цилиндра.
Известно [2], что потенциал элементарного объ-ема dV представляется через ММ, его координаты и координаты точки наблюдения следующим образом:
л dM Ud =-— grad
4n
,P~P,
vir rl У
(20)
Тогда, исходя из выражения (7) и учитывая, что каждый элементарный объем имеет единственную составляющую ММ по г, получим следующее выражение для потенциала:
йМ7- £(2 -5<П)со8п(ф - ф')х
(21)
Ud =
2 %2
п=0
Í О
л
¡kK„ (kr )I„ (к/) sink{z - z')dX 0
В соответствии с уравнением (4) магнитный потенциал однородно намагниченного цилиндра представится в виде:
h
R 2 2 л да
U =
J
л 2 <Х / \
III El2_5П)cosп(ф-ф')х
0 _ h о п=0 2
(22)
¡XKn (к г )!п (кг') sink(z - z')dk
/dty'dz'd/.
В результате интегрирования получим выражение (9):
U = —-1 ^-2 - R K (kR )І0 (kr sin X — sin XzdX, r < R, (23)
да
U2 =------f -11 (kR)K0 (kr) sin X — sin XzdX, r > R.
% J X 2
0
ВЫВОДЫ
В результате анализа внешнего и внутреннего магнитного поля однородно намагниченного цилиндра, представленного с помощью цилиндрических гармоник, подтверждена его эквивалентность с внешним магнитным полем бесконечно тонкого соленоида тех же размеров.
Полученные выражения для размагничивающего МП внутри намагниченного цилиндра отличаются от соотношений для поля внутри соленоида на величину намагниченности, тем самым показана эквивалентность распределений магнитной индукции внутри однородно намагниченного цилиндра и соответствующего соленоида.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Коваленко А.П. Магнитные системы управления космическими летательными аппаратами. - М.: Машиностроение, 1975. - 248 с.
2. Smythe W. Static and Dynamic Electricity. - ISBN: 0891169172, Publisher: Hemisphere Publishing Corporation, 1989. - 623 p.
3. Гетьман А.В., Константинов А.В. Аналитическое представление магнитного поля соленоида с помощью цилиндрических гармоник. // Електротехніка і електромеханіка. -2010. - № 5. - С. 43-45.
Bibliography (transliterated): 1. Kovalenko A.P. Magnitnye sistemy upravleniya kosmicheskimi letatel’nymi apparatami. - M.: Mashinostro-enie, 1975. - 248 s. 2. Smythe W. Static and Dynamic Electricity. -ISBN: 0891169172, Publisher: Hemisphere Publishing Corporation, 1989. - 623 p. 3. Get’man A.V., Konstantinov A.V. Analiticheskoe pred-stavlenie magnitnogo polya solenoida s pomosch’yu cilindricheskih garmonik. // Elektrotehnika і elektromehanika. - 2010. - № 5. - S. 43-45.
Поступила 24.06.2011
Гетьман АндрейВладимирович, к.т.н., с.н.с.,
КонстантиновАлександр Викторович
Научно-технический центр магнетизма технических объектов
Национальной академии наук Украины
61062, Харьков, ул. Индустриальная, 19
тел. (057) 99-11-75
e-mail: ntcmto@ukrpost.ua
Getman A.V., Konstantinov A. V.
Cylindrical harmonics of magnetic field of a uniformly magnetized cylinder.
Application of cylindrical harmonics apparatus to magnetic field of a uniformly magnetized cylinder is considered. Results are obtained under utilization of two magnetized cylinder models: one based on fictitious magnetic charges and the other based on spatial distribution of magnetic dipoles.
Key words - magnetic field, cylindrical harmonics, modified Bessel functions.
