CC BY
59
Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов, Е. В. Кудряшова
ЦИКЛЫ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМ. КОМПЬЮТЕРНЫЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ, ДОКАЗАТЕЛЬСТВА, ЭКСПЕРИМЕНТЫ*
1. Введение
Исследование циклов двумерных динамических систем стимулировалось как чисто математическими проблемами (шестнадцатая проблема Гильберта, проблема центра-фокуса), так и многими прикладными задачами (колебания электронных генераторов и электрических машин, динамика популяций, опасные и безопасные границы устойчивости, см. например [1-7] и другие).
Одна из центральных проблем в исследовании малых циклов в окрестности состояний равновесия — это вычисление ляпуновских величин [8-13].
Если первая и вторая ляпуновские величины были вычислены в общем виде в сороковые-пятидесятые годы [9, 14], то третья ляпуновская величина вычислялась лишь в некоторых специальных случаях [12, 15, 16].
В настоящей статье даны общие формулы для вычисления третьей ляпуновской величины. При этом наряду с классическим ляпуновским методом вычисления ляпуновских величин, основанным на переходе к полярным координатам [8], описан и используется другой метод, который разработан для евклидовых координат и во временной области.
Первые шаги в развитии этого метода были сделаны в [17-20].
Вычисление ляпуновских величин двумя различными аналитическими методами с привлечением современных программных средств символьных вычислений позволяет убедиться в правильности полученных здесь формул для третьей ляпуновской величины.
Эти результаты применяются к квадратичным системам и уравнению Льенара. Для квадратичной системы проведены компьютерные эксперименты по вычислению «больших» циклов. Наш опыт компьютерных вычислений показал, что практически невозможно обнаружить «малые» циклы в окрестности состояния равновесия, где нулевая и первая ляпуновские величины равны нулю. Однако «большие» циклы отчетливо видны в целом ряде компьютерных экспериментов.
В других экспериментах обнаружено интересное явление существования некоторых областей «уплощения», т. е. «предельных» точек и «предельных» кусков непериодических траекторий. Последнее существенно осложняет качественный анализ квадратичных систем.
Для анализа квадратичных систем часто оказывается полезным их сведение к уравнениям Льенара специального типа. В статье используется такое сведение и с его помощью оцениваются множества в пространстве параметров, которые соответствуют существованию четырех циклов в квадратичных системах. Численный анализ двух эк-
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №07-01-00151)) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (гранты №ЫХ-162.2007Л и НШ-2387.2008.1).
© Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов, Е. В. Кудряшова, 2008
вивалентных объектов — квадратичной системы и уравнения Льенара — позволяет убедиться в достоверности полученных здесь результатов компьютерных экспериментов.
2. Нахождение приближенного решения двумерной системы в окрестности состояния равновесия
Рассмотрим систему двух автономных дифференциальных уравнений
^ = -y + f{x,y),
J (11)
■£=х + д(х,у),
где ж, у £ R и функции f (•, •) и g(, •) имеют непрерывные частные производные (n +
1)-го порядка в открытой окрестности U радиуса Ru точки (ж, у) = (0,0),
f(•, •),g(^, •): R х R ^ R £ C(n+1)(U). (12)
Пусть разложение функций f, g начинается с членов не ниже второго порядка и, сле-
довательно,
/(0.0) = 9(0,0) = О, f(0,0) = |(0,0) = £(0,0) = *(0,0).о. (13)
Далее мы будем использовать гладкость функций f и g и следовать первому методу
Ляпунова на конечном интервале времени [21-22]. В силу предположения о гладкости
(12) в окрестности U имеет место представление
f (ж,у)= ¿ fkj xk yj + o( (|ж| + |y|)n) = fn(x,y)+ o( (|ж| + |y|)n),
k+j=2
(14)
д(ж,у) = Е 9к] жк у3 + о( (|ж| + |у|)") = д„(ж,у) + о( (|ж| + |у|)").
к+з = 2
Условие существования (п + 1)-ых частных производных по ж и у для / и д будет использоваться для простоты изложения и может быть ослаблено.
Пусть ж(£, ж(0), у(0)), у(¿, ж(0), у(0)) —решение системы (11) с начальными данными
ж(0) = 0, у(0) = й. (15)
Введем обозначения:
ж(£, й) = ж(£, 0, й), у(¿, й) = у(¿, 0, й).
Далее, производную по времени будем также обозначать ж' и ж.
Лемма 1. Существует такое положительное число Н € (0, Кц), что для всех й € [0, Н] решение (ж(£, й), у(¿, й)) определено при t € [0, 4п].
Справедливость леммы вытекает из условия (13) и наличия двух чисто мнимых собственных чисел матрицы линейного приближения системы (11).
Отсюда, согласно [23], справедливо следующее утверждение.
Лемма 2. Если выполнено условие гладкости (12), то
ж(, ■), у(, ■) € С(п+1)([0, 4п] х [0,Н]). (16)
Далее, будем рассматривать достаточное малые начальные данные Н £ [0, Н], конечный промежуток времени £ £ [0,4п] и будем использовать равномерную ограниченность решения (ж(£, Н), у(£, Н)) и его смешанных частных производных по Н и £ до порядка п+1 включительно на рассматриваемом множестве [0,4п] х [0, Н].
Проведем теперь хорошо известную процедуру линеаризации [24, 25].
Из леммы 2 следует, что для каждого фиксированного £ решение системы может быть представлено по формуле Тейлора
ж(і, Н) = Н
у(і, Н) = Н
дж(і, п) дг/
ду{*, г]) дг]
= 0 +
7=0 +
Н2 д2ж(і, п)
2 дп2
Н2 д2у(і, п)
2 дп2
П=квх(Ь,к)
П=Нву(Ь,Н)
0 < 0ж(г, Н) < 1,
0 < (і, Н) < 1.
(17)
Заметим, что в силу леммы 2 и равенства (17) функции
Н2 д2у(і, п)
/і2 <92ж(і, 'г/) 2 дгр
П=Квх(і,К),
2 дп2
П=Нву (¿,Ь)
и их производные по времени — функции гладкие по £, а также о(Н) равномерно по £ на рассматриваемом конечном интервале времени [0, 4п].
Введем обозначения: (і) =
З і((, ?у) дкг]
n=0, уЛ,к (і) —
дйу(і,п)
дйп
. Суммы
п=о
хн™{г, /і) = Е хкк^)~гт = Е &=1 к! й=1
у^(і, /і) = Е Уь,к (¿)тт = Е й=1 Й=1
дкх(Ь, г/) Ьк
дг]к 77=0 А?Г’
дку(і,'і]) Нй
дг]к 4=0 *Г
будем называть т-м приближением решения системы по Н. Подставим представление (17) в систему (11). В полученных равенствах приравняем коэффициенты при Н1 и, учитывая (13), получим
¿хьі (і)
сМ
<1щ і (¿)
сМ
= —Ун1 (t), = хЛі (і).
(18)
Отсюда, учитывая условия на начальные данные (15), для первого приближения по Н решения (ж(£, Н), у(£, Н)) имеем
ж^і (і, Н) = х^і (і)Н = —Няіп(і), у^і (і, Н) = у^і (і)Н = Неов(і).
(19)
Аналогично, для нахождения второго приближения (ж^2 (£, Н), у^2 (£, Н)) подставим представление
Н3 д3ж(і, п)
x(t, Д) (^, /?.) —|— 7^з |ї7=/і0ж(і!/і)?
, ,, , ,, Н3 д3у(і, п) і
у{і,К) = ук2 (¿, 1%) + — |т7=Л.0и(*,/г)
(20)
п
ГС
в формулу (14) для /(ж, у) и д(х,у). Заметим что, коэффициенты при Н2 в получившихся выражениях для / и д (обозначим их через м^2 и соответственно) в силу
(13) будут зависеть только от х^і (і) и ул (і), то есть, учитывая (19), получим известные функции времени, не зависящие от неизвестных функций х^2(і) и Хл,2(і). Таким образом,
/(ж^2 (і, Н) + о(Н2), у^2 (і, Н) + о(Н2)) = м^2 (і)Н2 + о(Н2), д(ж^2 (і, Н) + о(Н2), у^2 (і, Н) + о(Н2)) = м®2 (і)Н2 + о(Н2).
Подставляя (20) в систему (11) для определения х^2(і) и ул2(і), получаем
¿Х^2 (і)
сМ
(ІУк2 (¿) Л
Лемма 3. Для решений системы
¿хлк (і)
сМ ¿улк (і)
= — уЛ2 (і) + ил2 (і)
= Хл2 (і) + м®2 (і).
= — Укк (і) + (і)
= ж^(і) +м^(і)
с начальными данными
(21)
(22)
хкк (0) = 0, ул^ (0)=0
(23)
(24)
І
Хлк(і)= (0)ео8(і)+ео8(і^ео8(т)((иЛк(т))' + (т)) ёт+
0
і
+ БІп(і^ ЯІп(т)((иЛк (т))' + (т)) ат — (і),
0
і
Хлк(і)= (0)яіп(і)+8Іп(і^еов(т)((иЛк(т))' + (т)) ат—
0
і
— соб^У біп(т)((м^(т))' + (т)) ат.
Равенства (24) проверяются непосредственно дифференцированием.
Повторяя указанную процедуру определения коэффициентов ж^ и у^ь функций (£) и (£) по формуле (24), последовательно находим приближения
(ж^ь (£, Н), у^ь (£, Н)) для к = 1,..., п. При Н £ [0, Н] и £ £ [0, 4п] имеем
йп+1 дп+1х(£, п), х(г,к) = хНп(г, к) + д^п+1 \п=ьвхЦ,ь) =
п йк
= хкгг(г,Н) + о(1гп) = Ё хкк(г)— + о(1гп),
к=1 к!
, йп+1 дп+1у(г,п), (25)
у{Ь,К) — 2/л.^ (*, М + ^ + ¿^п+1 1»7=Л.0И(*,Л.) —
йк ’к!
0 < ^(¿, й) < 1, 0 < 0у (¿, й) < 1.
= Ун^, Н) + о{кп) = Е Уьк(1)тт + о{кп), к=1 к!
Здесь в силу леммы 2
^ (•), 2/лк (•) е Сп([0,4п]), к =1,...,п, (26)
и оценка о(йп) равномерна для любого £ е [0, 4п]. Из (23) и выбора начальных данных в (18) получим
х^к (0, й) = х(0, й) = 0, у^к (0, й) = у(0, й) = й, к =1, ...,п.
3. Метод вычисления ляпуновских величин во временной области
Рассмотрим для начального данного й е (0, Н] время Т(й) первого пересечения решения (х(£, й), у(£, й)) с полупрямой {х = 0, у > 0}. Доопределим (по непрерывности) функцию Т(й) в нуле: Т(0) = 2п. Так как первое приближение решения согласно (19) пересечет полупрямую {х = 0, у > 0} через время 2п, время пересечения представимо в виде
Т (й) = 2п + ДТ (й),
где ДТ(й) = О(й). Будем называть ДТ(й) невязкой времени пересечения.
В силу определения Т (й)
х(Т (й),й)=0. (27)
Так как х(, •) имеет согласно (16) непрерывные частные производные по обоим аргументам до порядка п включительно и Х(£, й) = — еов(£)й + о(й)), по теореме о неявной функции [26] функция Т(•) п раз дифференцируема. Можно показать (например, рассматривая функцию г(£, й) = х(£, й)/й и доопределяя ее в нуле функцией х^1 (£), или используя специальные теоремы математического анализа), что Т(й) дифференцируема п раз также и в нуле. По формуле Тейлора
п
Т(й) = 2п +Е Тй + о(йп), (28)
к=1
^ 1 ^ гдеГ‘ = Сумму
к
ДТй(й)=^ Т- й- (29)
5=1
будем называть к-ым приближением невязки времени пересечения Т(й) решения
(х(£, й), у(£, й)) с полупрямой {х = 0, у > 0}. Подставляя выражение (28) для £ = Т(й)
в правую часть первого уравнения (25) и обозначая коэффициент при через жд, получаем разложение х(Т(й), й) по степеням й:
п
х(Т (й),й)=^ Тдйк + о(йп). (30)
к=1
Чтобы выразить коэффициенты Т через коэффициенты Тд разложения невязки времени пересечения, положим £ = 2п + т в (25):
п йк
ж(27г + т, /г,) = Ё хкк(2п + т)— + о(/1п). (31)
д=1 к!
В силу условия гладкости (26)
п тт
хкк(2тт + г) = хНк(2тг) + У'' х)™\2п)—- + о(т”), /г = 1,
п т!
т=1
Подставим полученное представление в выражение (31) для решения х(2п + т, й) при т = ДТ(й) и соберем коэффициенты при одинаковых степенях й. Поскольку (ДТ(й))п = 0(йп), учитывая выражение (28) для Т(й), согласно (27) получаем
й : 0 = Ж1 = Тд (2п),
й2 : 0 = Ж2 = 5:^2 (2п) + Т^ (2п)Т1,
Ь3 : 0 = ж3 = хкз{2п) + ^х'к2{2т1)Т1 + х'к1 {2п)Т2 + ^ж^ (2^)^, йп : 0 = жп = ...
Отсюда последовательно определим Т-. Коэффициенты 2"к=1,...,п______1 (здесь и далее бу-
дем использовать индексы ¿д= 1,...,п_ 1, 1^д<п и {•}п_1 для обозначения соответствующих подмножеств, например Тй=1,...,п_1 для {Т1,..., Тп_1}) могут быть определены последовательно, так как в выражение для Т могут входить только коэффициенты Т1^т<,д и множитель Т^ (2п) перед Тд_1 равен —1.
Проведем аналогичную процедуру для определения коэффициентов Т разложения
п
у(Т (ВД = £ Ткйк + о(йп).
к=1
Для этого подставим представление
укк(2-к + АТ (к)) = укк (27т) + ^ у^\2п)АТ^---------\-о(кп), /г = 1,
" т!
т= 1
в выражение
п йк
у(2тг + АТ(Н), Ь) = ^2укк(2тг + АТ{Ь))— + о(/г”).
д=1 !
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях Ь, получим равенства Ь : У1 = г/л.1 (2п),
Л2 : У2 = Ун (2п) + у 1 (2п)Ть
: Уз = У к3 (2тг) + (27г)Т\ + у^ (2тг)Т2, (гтг)^,
Ь” : У” = ...
для последовательного определения г/й=1,...,п, где у}1к=1,..,п(■) и Тй=1,..,”_1, —определенные выше величины.
Таким образом, для п = 2т + 1 при условии /(■, ■), $(•, •) € С(2т+2)(и) нами последовательно найдены приближения решения (ж(£, Ь),у(£, Ь)) в момент времени первого пересечения £ = Т(Ь) с полупрямой {ж = 0, у > 0} с точностью до о(Ь2т+1) и приближение самого времени Т(Ь) с точностью до о(Ь2т). Если при этом у =0 для к = 2,..., 2т, то у2т+1 называется т-ой ляпуновской величиной Ьт. Заметим, что согласно теореме Ляпунова первый отличный от нуля коэффициент разложения у всегда имеет нечетный номер и знак у (ляпуновской величины) при достаточно малых начальных данных Ь определяет качественное поведение (закрутку, раскрутку) траектории (ж(£, Ь), у(£, Ь)) на плоскости [8].
4. Алгоритм вычисления ляпуновских величин
Опишем процедуру символьного вычисления выражения ляпуновской величины Ьт через коэффициенты /¿¿- и »¿¿- системы (11). Так как для вычисления Ьт необходимо найти разложение по Ь решения у(£, Ь) до Ь” в момент времени Т(Ь) при п = 2т + 1, достаточно рассмотреть разложение правой части системы до Ь”. Введем обозначения:
”
/”(ж,У)= /”(ж,У, Ш }”+^'=2) = Е ^^,
¿+¿=2, «>о (з2)
5”(ж,У)= й1”^^ {5^'}”+^=2) = Е ж®У^.
¿+¿=2 ¿,¿>0
4.1. Нахождение приближений решения. Подставим приближение решения (ж^п(£, Ь),у^п (¿, Ь)) в виде
”
ж^,1г) = хкп({хкк(г)}1=1, /г) = Е хкк(1;) — ,
Д=1 к!
_ ” _
Уьп(г, /г) = у^(К^Ж=1, М = Е Укк(1)т7
Д=1 к!
в (32) и рассмотрим члены до порядка Ь”. Получим
п
(^ Ь),у^п (^ Ь)) = /”({уь^ Ык Ш}¿+¿=2, Ь) = Е ^
Д=2
(зз)
»”(жнпЬ),унп(^ Ь)) = 5”({ун^{ун^{5^'}”+^'=2,Ь) = Е
Д=2
(34)
з1
Заметим, что в силу условия (1з)
инь = Ш}k+j=2, {жн {ун (£)}г<0,
и^ = 44{^'}д+¿=2, {ун (^)}г<й, {Ун И}г<й).
Далее, последовательно определяем зависимость (¿) и У/,> (¿) от времени. Соглас-
но (19) имеем
Ун1 (¿) = - вт(£), Ун1 (¿) = соб^). (36)
Подставляя эти выражения в (33) при к = 2, получаем и¿2 и и^2 как функции времени и коэффициентов системы
иН2 (£) = и{^Ш }¿+j=2, ¿) , иН2 (£) = ин2 ({5^'^+¿=2,^).
Зная и^ (¿) и и^ (¿) как функции времени, для определения ул (¿) и У/,> (¿) находим решение системы (22) с начальными данными (0) = 0, ун (0) = 0 по формуле
г
(¿) = (0) соб(£) + соб(£) Усов(т)((и^(г))' + и^(г)) ёт+
о
г
+ вт(г)У бш(т)((и^(т))' + и^(т)) ёт - и^(¿),
0 г (37)
УН(¿) = и^(0) в1п(£) + в1п(£^сов(т)((и^(т))' + и^(т)) ёт-
о
г
- соб^У бш(т)((и^ (т))' + и^(т)) ёт. о
Подставляя найденные выражения для Жн1<г<ь (¿) и Ун1<г<ь(¿), зависящие от коэффициентов /¿¿- и »¿¿- системы и времени ¿, в формулу (35), находим символьные выражения для м^+1 (¿) и и^ь+1 (¿) как функций времени и коэффициентов системы. Повторяя указанную процедуру (п -1) раз определим коэффициенты ж^ (¿) и ун (¿) в представлении решения (33) как известные функции времени £ через коэффициенты системы
жнп (¿, Ь) = жнп (£, Ь, {/^' }®+^'=2, {5^ }®+^'=2) =
п ьк
(38)
2 жЛ.,г (^; {/¿¿}и-^ = 2; {№.^¿+¿=2) > | ; й=1 к!
УНп (^ Ь) = Унп ^ {/^ {5^' }Г+^ = 2) =
= Ё Укк(^: {fij}i+j=2^ {9ij}i+j=2)~Г7 й=1 к!
Заметим, что для вычисления Ьт достаточно вычислить ж^1<ь<2т-1 (¿, Ь), ж^2т (2п, Ь) и Ун_1<ь<2т (¿, Ь), Ун2т+1 (2п, Ь) .
4.2. Нахождение времени пересечения с осью ж = 0. Рассмотрим (п - 1)-е приближение невязки времени пересечения Т(Ь) решения ж(£, Ь), у(£, Ь) с полупрямой {ж = 0, у > 0}:
” —1
ДТ”_1(Ь) = ДТ”— 1({Т}”—1, Ь) = ^ УЬ. (39)
¿=1
Символьные коэффициенты Т будут последовательно определятся из равенства
”
жнп(2п + ДТ”—1(Ь), Ь) = УдЬк = о(Ь”).
_ к= 1
Для определения Тк разложим ж^ь+1 (¿, Ь) в (38) по степеням £ и, учитывая (39), в полученное разложение подставим £ = 2п + ДТк(Ь):
( к _ \ к+1 ( = ТИ
ж^+1 2^ + ]Гт>^ = 2^+1(271-, /г) + ^ ж^^, К)—-----:-----. (40)
\ ¿=1 / т=1 т-
Сгруппируем члены при одинаковых степенях Ь в правой части и рассмотрим выражение
Гк+1 = Гк+1({Т}к=1, /}к++1= 2, {<7«}к^=2)
при Ьк+1, которое согласно определению Т(Ь) равно 0. Из (40) получаем
0 = Гк+1 = Гнь+1 (2п) + Г^1 (2п)Тк + ... (41)
Заметим, что Г^1 (2п)Тк = -Тк и что Тк не входит в остальные слагаемые. Тогда последовательно рассматривая (41) при к = 2, ..,п, выразим Тк—1 через коэффициенты системы
Тк—1 = Тк—1/}к+=2, {^}к+=2). (42)
Заметим, что в силу формул для первого приближения решений (19) для вычисления Ьт достаточно вычислить Т1^к^2т—1. Для первых пяти коэффициентов разложения невязки времени пересечения, которые требуются для вычисления Ьз, имеем
Ту1 = 0,
Т2 = Тнз (2п),
Тз = хк4(2тг) + ^ж^2(2тг)Т2,
Та = хкв(2тг) + ^х'кз(2тт)Т2 + ^ж^2(27г )Т3,
Т5 = ж^б(2тг) + ^"2(2тг)Т22 + ^2(2тг)Т4 + ^-ж^ (2тг)Т2 + ^ж^ (2тг)Т3.
4.3. Определение коэффициентов разложения решения в момент пересечения с осью ж = 0. Проведем аналогичную процедуру для определения коэффициентов разложения у(Т(Ь), Ь).
Подставим (39) и (38) в представление решения в виде
У^(2тг + ДТц(/*),/г) = укк(2тг,Ь) + ^ у[™}(2тг,. (43)
н т!
т= 1
Соберем члены при одинаковых степенях Ь в правой части и рассмотрим выражение при Ьк для к = 1, ..., п:
Тк = Гк({Т- /} к+=2, {»¿¿- }к+=2).
Отметим здесь, что Гк не зависит от Тк—1 в силу равенства у^1 (2п, Ь) = 0. Подставляя сюда выражения для у через коэффициенты системы (42), получаем выражения для ул через коэффициенты системы
ук = ук({Д; ^+¿=2, {5^'}®+17 = 2).
Для первых семи коэффициентов разложения у(Т(Ь), Ь), которые требуются для вычисления Ьз, имеем
Г1 = 1,
уу2 = 0,
уз = ун3 (2п)
Ш = У^(27Г) + ^2(27г)Т2,
У5 = Ун& (2тг) -^Г2 + ^^з(2тг)Т2 + ^Д2(2тг)Т3,
Уб = У к6 (2тг) + ^^4(2тг)Т2 + (2тг)Т22 + ^у^з(2тг)Тз + ^2(2тг)Т4 - Т2Т3,
у7 = ук?{2-к) +^у"2(2тг)Т2Тз + ^-^4(2тг)Тз + ^2(2тг)Т5 + (2тг)Т4
-Т2Т4 - ^Т2 + ^,(2^ + 1у"3(2^)Т|.
Таким образом, для вычисления ляпуновской величины по указанному алгоритму необходимо провести:
1) итеративную процедуру определения последовательных к-х приближений правых частей системы (33) для определения к-х приближений (37) решений при к =
2,..., 2т + 1; получить выражения (38), зависящие от коэффициентов системы, времени и начального данного Ь, для приближений решений ж^2т+1 (¿, Ь),у^2т+1 (¿, Ь) (заметим, что операция символьного интегрирования в (37) осуществима, так как приближения правых частей (33) являются полиномами от вт(£), соб(£) и ¿);
2) итеративную процедуру (41)-(42) определения к-х приближений невязки времени пересечения и получить выражение для ДТ2т—1(Ь), зависящее от коэффициентов системы и начального данного Ь;
3) определить из разложения (43) ляпуновскую величину (коэффициент при Ь2т+1) через коэффициенты системы (заметим, что полученное выражение для Т2т+1 будет
ляпуновской величиной при условии равенства нулю предыдущих коэффициентов разложения в ун2т+1 (2п + ДТ2т(Ь), Ь) и, таким образом, может быть упрощено).
5. Использование функции Ляпунова для снижения требования к гладкости при вычислении ляпуновской величины
Пусть п = 2т и
/(■, -Ы-, ■) е С(2т+1)(и). (44)
В этом случае описанная выше процедура позволяет вычислить только коэффициенты Г1, ...,Т2т и не позволяет вычислить Т2т+1 (для этого формально требовалось, чтобы
/(■, -Ы-, ■) е с(2т+2)(и)).
В случае ук=2,...,2т = 0 для определения качественного поведения траекторий в окрестности нуля рассмотрим функцию Ляпунова и ее производную в силу системы (11):
(ж2 + у2)
У(х,у) = ----------, У(х,у) = х/(х,у) +уд(х,у). (45)
Введем обозначение:
т(н) _
Ь(Ь) = / У(ж(£, Ь), у(£, Ь))
о( ) ( )
= V(ж(Т(Ь), Ь), у(Т(Ь), Ь)) - V(ж(0, Ь), у(0, Ь)).
Лемма 4.
2п+АТП(Н)
Ь(Ь) ^ J жнп (¿, Ь)/(жнп (¿, Ь),унп(¿, Ь)) +
о
+ унп(¿, Ь)^(жнп (¿, Ь), унп(¿, Ь)) + о(Ь”+2). (46)
Доказательство. Согласно (25)
fc=i
n
x(t, /г) = Xh^(t7 h) -\- o(hn) = Y] xhk{t)~— + о(/гп),
k!
n hk
2/(t, /г) = /г) + о(/гп) = ^(t)— + о(/гп).
k=1 k!
Здесь коэффициенты Xhfc (t) —ограниченные функции времени и оценка o(hn) является равномерной для любого t G [0, 4п]. Из (45) и (13) получаем
V(x(t, h), y(t, h)) = x(t, h)/(x(t, h), y(t, h)) + y(t, h)g(x(t, h), y(t, h)) = o(h2).
Отсюда
AT„(k)+o(h")
j V(x(t, h), y(t, h)) dt = o(hn+2). (47)
AT„(h)
Согласно (14) и (45) верно представление
V(x(t, h), y(t, h)) = V(xhn (t, h), yhn(t, h)) + o(hn+2),
где оценка о(Ь”+2) является равномерной для любого £ е [0, 4п]. Отсюда, учитывая (47), получим
2п+Тп(^)
Ь(Ь) ^ J V(ж^п(£, Ь),у^п(¿,Ь))Л + о(Ь”+2).
Подставляя в выражение (46) для L(h) найденные решения в виде (25), интегрируя и собирая коэффициенты при одинаковых степенях h, получаем
2m+2
L(h) — ^ Lfchfc + o(h2m+2).
k=3
Лемма 5. Пусть система (11) является достаточно гладкой,
f (■, -Ы-, ■) g C(2m+2)(U),
и
Ук — ° k — 2 ••, 2m, y2m+1 — Lm — 0,
тогда L2m+2 — Lm ■
Доказательство. Из условий леммы 5 и определения T(h) имеем x(T(h), h) — 0, y(T(h), h) — h + y2m+lh2m+1.
Тогда из (45) получим
V(x(T(h), h), y(T(h), h)) = y(T(2),fe)2 = у + У2т+1/»2т+2 + o(h2m+2)7 V(x(0, h),y{0, h)) = y.
Отсюда
L(h) — y2m+lh2m+2 + o(h2m+2).
■
Отметим, что если снизить требование к гладкости,
f (■, •),»(•, ■) G C(2m)(U), (48)
и потребовать равномерность оценки o(hn) по t в представлении (25), то указанная выше процедура вычисления ¿2т+2 позволяет обобщить понятие m-ой ляпуновской величины Lm для недостаточно гладкой системы (если L3 — ... — ¿2т+1 — 0, то знак ¿2т+2 также будет определять качественное поведение траектории при достаточно малых начальных данных).
6. Вычисление ляпуновских величин в частных случаях
Приведенные ниже вычисления проводились с помощью пакетов символьных вычислений в системах MatLab, Maple. Для сокращения времени вычислений общего вида третьей ляпуновской величины были разработаны специальные библиотеки на языке
C++.
Вычислим ляпуновские величины для системы (11) различных частных видов.
6.1. Уравнение Дуффинга. Рассмотрим уравнение Дуффинга X + х + х3 = 0 в виде системы
X = -у,
3
у = x + X 3.
(49)
Пусть xo = 0, уо = hy, тогда
и, следовательно,
y(t)2 + x(t)2 + ^x(t)4 = УІ (50)
y{t) =±\jh2y -x(t)2 - x(t)2 = -1 + ^1 + 2h2y - 2y(t)2.
Отсюда в силу системы (49)
dt 1 1
ЛУ Ж(1+Ж2) ^ї^1 + Щ^2у2х/і + 2к2ІІ-2у2
Тогда для времени пересечения Т (Л.у) имеем
Ну
ёу
T (hy) = 4 J
о у — 1 + у1 + 2hy — 2у2у1 + 2hy — 2у2 Сделаем замену переменных
У п
у = hy cos(z), z = arccos —, у = hy => z = —, dy = —/iy sin(z)dz
и получим
T(i,„) = y -VinWd*
° ^-1 + І I ; -in : у + li>': -in z
Раскладывая Т (Л.) в ряд по степеням Л., получаем оценку для времени пересечения траектории и вертикальной полупрямой (х = 0, у > 0):
ч „ 3^, 2 105^, 4 1155^, 6 6
Т(/іу) - 2тг - у /іу + ^ + °(ку)>
что соответствует значениям, полученным по приведенному выше алгоритму. Ниже приведены полученные согласно алгоритму приближения решений:
Ун (і) = - віп(і), уні (і) = соє(і);
Ун2 (і) = УН2 (і) = 0;
_ 1 3 1
хк3 (¿) = о сов(^)2 вІІІ(і) — —І СОв(і) + — ВІп(і),
8 8 4
_ 3 3 3
Ук*(і) = --івіп(і) + -соє(і) - - соф)3;
■^h4 (t) yh4 (t) 0;
„ 1 45 69
Xhs(t) =--------sin(t) cos(t)4-------cos(t)9 sin(t) H----cos(t)t+
ft V ) 64 V У V ) 256 V У V У -г 256 V У -г
9 7 9
Н-----sin(t)t9-----------sin(t) Н-tcos(t)3,
128 w 32 w 64 w
~ ^ 33 5 , s5 27 , n9
УнгЛЧ =---------sin t t H-eos tГ H----tcos(t) sin(t) —
256 w 64 w 64 w w
9 9 83 , N„ 103
------eos(t)t H------eos(t)----------cos(t);
128 w 256 w 256 v
таким образом, периодическое решение здесь приближается рядом с непериодическими
коэффициентами.
При этом вычисленные ляпуновские величины равны нулю
Li = L9 = ... = 0,
что соответствует условию (50).
6.2. Вычисление первой, второй и третьей ляпуновских величин в общем виде. Рассмотрим полную систему с разложением правой части до седьмого порядка
X = -y + /20Ж9 + fiixy + /02У9 + /30X3 + f2ix9y + fi2xy9 + /озу3+
+/40X4 + /3ix3y + /99X9y9 + /i3xy3 + /о4У4 +
+/50X5 + /4ix4y + /32X3y9 + /93X9y3 + /i4xy4 + /05У5 +
+/60X6 + /5iX5y + /49X4y9 + /33 X3 y3 + /24X9y4 + /i5Xy5 + /06У6
+/70X7 + /6iX6y + /52X5y9 + /43X4y3 + /34X3y4 + /25X9y5 + /i6Xy6 + /07У7 +
+4 (|x| + |y|)^,
9 9 3 9 9 3
y = X + g90X9 + giiXy + g09y9 + g30X3 + g9iX9y + gi9Xy9 + g03y3 +
4 3 9 9 3 4
+g40X4 + g3iX3y + g99X9y9 + gi3Xy3 + g04y4 +
+g50X5 + g4iX4y + g39X3y9 + g93X9y3 + gi4Xy4 + g05y5 +
+g60X6 + g5iX5y + g49X4y9 + g33X3y3 + g94X9y4 + gi5Xy5 + g06y6
+g70X7 + g6iX6y + g59X5y9 + g43X4y3 + g34X3y4 + g95X9y5 + gi6Xy6 + g06y6 +
+4 (|x| + |y|)^.
(51)
Для первой ляпуновской величины имеем [2] п
Li = ^(321 + /12 + З/30 + Здоз + /20/11 + /02/11 — 31132 о + 2302/02 — 2/20320 — З02З11) •
Заметим, что так как Ti = 0, невязка времени пересечения не влияет на Li.
Для вычисления второй ляпуновской величины найдем коэффициенты T9 и T3 разложения невязки времени пересечения
— п
^2 = ^—Эб'30 + 4/!о + 9/оз — З312 + IO3I0 + Ю/02 + 4^02 + 9и + /и + З/21 —
— 5/90gii — /iig90 — 5/iig09 + 10g09g90 — /09gii + IO/90/09), п
Í3 = —^(2/20 + /02 + Ö'll) ( — Э^ЗО + 4/|o + 9/03 — 3#12 + 10^20 + Ю/02 + 4S,02
+g9i + /i9i + 3/9 i — 5/90gii — /iig90 — 5/iig09 + 10g09g90 — /09gii + 10/90/09).
Найдем коэффициентзоз из условия Ьі = 0 503 = -^(52і+/і2+3/зо+/2о/п+/о2/п-
511520+2502/02 — 2/20520—502511) и получим выражение для второй ляпуновской величи-п
ны: Ь2 = — — (-66/205,04-3/п5'з0/20-245Г205,025,2і + 12/з05,іі/02+4/іі/2205,іі-12/іі/2і/20+
25205и — 9511502512 — 12/20/11/03 — 12511502/03 + 3520/12/11 + 9521530 — 6/02/11512 + 9520511502 + 30/20502512 + 30502/21/20 — 60504І02 + 521/11/20 — 5/11/30 — 21/20/13 — 3/11/20 — 9502 521І"11 + 7511521/02 — 5/11511 /02 + 5/02/11/20 —3511520/21 + 6502/20/121 + 9521/03 —3/30/121 + 15/11/40 — 21511530502 — 6511/03/11 + /и/02521 — 18520/03/20 — 42520502/30 — 6511512520 —
30/02520/20 + 3/121502/02 + 60/40520 + 9511540 + 24/20520/21 — 9511520І03 — 10511/220502 +
18502512/02—6511/11530—24/20/03502—30/03/02502—24511520530 — 12/11/30502—3512/11/20+
/12521 — 9/21/30 + 27/30530 + 3/30521 + 15/30502 — 9/02/31 — 28520/02/220 — 25п521 — 3/22/11 — 14/12/20 — 6/12512 + 27513502 — 3/02/31 + 7/20521511 + 35°0/11/20 — 105025и/20 — 10/02/12/20 — 12520/30/11 + 6/02/21520 + 18/02/11522 + 3/12502/11 + 6520502/12 + 185°2/12 + 9513520 — 3/12/21 — 455°0/30 — 15/13/02 + 30/20520 — 18502І04 + 18/20540 — 21520/20511 + 25025и + 3/02520 /21 + 20/02/20502 — 95о2521 — 9521520/11 — 9/04/11 + 6/22520 + 45/30/°2 + 15511520 —
15511504 + 12/02502/21 — 5/12511/20 + 18512520/20 — 5/12511/02 + 20/02521/20 + 21502531 —
3°520502/20 + 6520512/02 + 12/22502 + 3/21521+ 18/20502 + 245115°0502 + 18/205025°0 + 6/11531 — 6522/02 + 15531520 + 3522511 — 12522/20 — 9/30512 — 18/205()2 — 24/20502530 + 15/20/115°2 — 7520/02 521 + 6520/02/11502 — 6511/13 — 28/02511520/20 — 12511/20502/02 + 9502511/11520 — 9/02/21/11 — /11511/02/20 — 15/30/220 + 10/02/20502 — 8521/02502 +42/20/30/02 — 15511520/22 + 6/20520/11502 —6/21/12 + 6520/11/20+66/40502+27/30/03 —45505 — 9523+15521/02 —27/20/31 —
9541 + 3521512 + 95115°0/11 — 15/11/02 /03 — 45/50 + 12/30511/20 + 10520 /230 — 48/20520530 — 10502/022511 — 9521520/20 + 13521/220 — 9/14 — 9/32 — 155215°0).
По-видимому, впервые этот результат получен Серебряковой в 1959 году [14].
_ _ п
Для вычисления третьей ляпуновской величины найдем Т4: Та = ------------------(784/о0 +
1152 20
1540520 + 49541 — 352521520511 + 485°1 — 336/40511 + 26 1 6/220/03 + 48 0 522 502 + 20 0 520 /22 + 700/115230 + 270/03530 — 154/20531 + 1728540502 + 4245п5о2 — 48/22511 + 54/03 /21 + 453/0225121 - 2184/220530 + 4005042 + 864/320 + 1540/042 + 5565220/02511 + 9455320 + 240/122 +
768/20/40 + 23 52/20 /02 522 — 320511521502 — 1805°0/205и — 1134/и530520 + 5172/20/03/02 +
5 1 3/03 + 153 522 + /41 — 762/11/03502 — 1800/20520/11 — 708/20520511502 — 888512502 —
84/21520 + 1040/022522 + 432540/11 + 4692/220/0°2 + 648/21522 + 1180/32511 — 96521/02502 — 198/11530502 — 480/12520/02 — 1500512520502 + 228/20/02511 + 912/02/12/11 — 1944530522 +
672/02/40 - 48522/11 + 402/035121 + 277252205022 - 63/2205121 + 150/215121 + 444/21/022 +
3300/03/022 +384/22/02 +432511/04 — 712/11532 + 880/20/12/11 —18/11/03520 +1992/20/022511 + 162/20/21511—2080/20/12502 —150/11/02511502—828/ц520522 —96/11/30511 + 1392/11/30/02 + 980521520502 + 64/11/20521 — 64/12/11511 — 6/11/21520 — 1812530/20/02 + 112511/12502 — 2744/11/20502 — 1280/20520/12 + 680/22520502 + 80/12520511 — 4164/20/02/11502 —
12 1 2/20/02512 — 408/20511522 + 102/11520512 — 35 52/20/30520 + 22/11/20511 — 1128/20512 —
48520/13 + 696/°1/220 + 672504520 + 2336/°05°2 —162/21512 + 96531511 + 50/°1521 +1128/03502 —
37805305°0 + 21/115°0 + 480/20/22 — 43 2502/31+20 1 6540520 + 30 8 0520502 + 66/11/03 — 48/02531 + 768504502 + 1728/04/20 — 54/21512 +3984520/20 — 2/31520 —198/03512 — 432/20513 + 630530512 — 46/11/20511502 + Ю/11520/20511 +30/20512511+3 1 8/20/02 521 + 168/и5°0502 —4788530520502 — 2400/02/30502 + 1734/20/03511 + 4168/02/20520502 — 62/02/11520511 + 816/30520511 —
2260/11520/20/02 - 82/115205121 + 27925220/20/02 + 96/13/11 + 9/221 - 1536/02/12502 + 928/20520521 +620/02520511502 — 92 45125°0 + 1424520532 — 396/°2512 — 5465305°! +8045°0521 —
180/02530 — 2/02531 — 528/13502 — 18530/і21 + 6/21/01 + 864/30/12 — 198512521 + 4040/32/20 +
369/11502 — 330/11521502 — 172 8520/30/02 + 90/21/02511 + 2 1 6/02511502 + 126/11520502 —
90/о25и512 + 1З92/20/30/11 + 1614/оз/о20и + 54 88/20520502 + 32/ц5215и — 294дзо/2одп + 1332/121/2о/о2 — 1876/и/о225о2 + 1ЗО8/02/20/21 — 3840/оо/зо5о2 + 8ОО/2022Ш2 + 692/°21/о22 — 300/оз522о — 288/зо521+2768/23о/о2—58/31^02 —14432о/з1 — 5283з1/20 — 616/23о511+984/22о/21 + 384#20й,22 — 144/о2^1з + 90/215зо + 2016/о2/о4 — 336/ц^о4 — 366/о25|зо5,11 + 96/02/11521 — 18/02/11^11 + 468/оз#2о5,02 — 96/о2^2о521 + 144/41 — 72О#5о + 720/об + 144/2з — 144^14 — 144#з2 + 816/зо^115о2 + 510/11512502 + 444/21#2о5'02 — 500^2о/и /<з2 — 222/11/21502)-
При вычислении Ьз по указанным алгоритмам в общем случае приходится обрабатывать символьные выражения, содержащие более двух миллионов символов, поэтому для преодоления ограничений по использованию оперативной памяти в пакетах символьных вычислений рассмотрим случай
/20 = /зо = /40 = /бо = /б0 = /70 = О.
К такому виду общую систему (51) сводит замена у0ы ^ упеш:
2 3 4 5 6 7
уоЫ = упеш + /2х + /3х + /4х + /5Х + /6Х + /7Х ;
где /"2 = Л = /Зо + ЛоЛь /4 = /02/20 + /40 + /11/30 + /20/11 + УОоЛь /5 = /20/31 + /5о + 3/11/02/20 + /11/40 + /11/З0 + /20/З1 + 2/11/20/21 + /21/З0 + 2/20/02/З0 + ЛоУоь
Л = /22/20 + /20/41 + /0З/20 + Л60 + 3/21/02/20 + 2/21/11/З0 + 3/21/20/11 + 2/З1/20/11 +
6/11/02/2о + 3/11/12/20 + 2/20/02/40 + 6/11/20/02/З0 + 2/20/02 + 2/20/12/З0 + /Д/ю + /20/21 + /З1/З0 + /11/50 + /11/40 + /11/З0 + /20/11 + Ло/зо Л = 3/21/11/З0 + 2/20/02/50 + 2/41/20/11 + 4/21/20/11 + 6/2о/12/11 + 3/11/20/21 + 2/З1/20/21 + 3/02/11/11о + 3/З1/20/11 + 6/20/02/З0 + 3/0З/20/З0 + 2/02/З0/40 + 2/20/22/З0 + 2/11/21/40 + 3/20/02/З1 + 3/20/12/21 + 4/0З/20/И + 2/З1/11/З0 +4/|о/12/02+3/20/22/11 + 10/20/02/11+2/20/12/40 + 10/20/02/11+/13/20 + /21/30 + /З2/20 + /20/51 + /и/Зо + /12/з0 + /З1/40 + /11/60 + /11/50 + /11/40 + /11/З0 + /20/11 + /21/50 + /70 + 6/20/12/11/З0 + 6/20/02/11/40 + 12/20/02/11/З0 + 12/220/02/11/21 + 6/20/02/21/З0-
Заметим, что эта замена является неособой и не меняет ляпуновские величины системы, так как
упеш(О) = уоЫ(О) = ^ упеш(Т) = уо\ё(Т).
_ _ п
Для Т5 имеем Т5 = — 4320 (23130/оз/о2^11 + 234О02о/о20п + 438/и01102О0О2 -1110/11511Л21502 — 72О5З2511 + 2304/045п — 144/225п + 1200511/22 — 1О2О512/0!2 +
1296/о4/оз + 576д22#1з + 576/о45о2 — 288/22512 — 960/°25215о2 — 1648^215215о2 —
81О/0З5З0Л02 — 18565215205п + 288О/22/22 + 3845315о2 + 1296/0З51З + 96О/22520 —
1296^зо/о4 — 432512513 + 720/ц511 +4725/о25зо + 1ООО/0*25°о+960/125°05о2 + 8640540502/02 +
1684052о511502 — 84 20/02/11302 — 1530330/22311 — 207245303°о511 + 144312/11321 +
216О340З11/11 — 2286з12/о2о311 — 2160зоо/з1311 + 149^51 + 1002/оз/оо/?1 + 144/12/21/11 — 4056/025о2512 — 128/02321/21 + 12096/04/02511 — 318/02/21512 + 458О502/025,20511 + 1014/2152о/о25о2 — 9026/ц/225115о2 — 2032/о25215115о2 — 864/о251з511 — 954512/21511 + 1856/023°2521 — 432/11330Л12 + 2790/11311312302 + 114/11/21520511 + 712О3З2/02320 + 3360504/02320 — 1325°0/215и + 7200/о2/оз5п + 39885203З1302 — 378/озЗзоЗи + 144/о151з + 2ООО50о511 + 960531520 + 1440/о45°о + 864530521520 — 1440/°252о521 — 2400/о2о/12520 — 240/о2/1з520 + 192052о511522 + 34 00/о3222о2о2 — 72О/04502/11 — 36ОО550/02 + 792/11520511502 + 8640540502511 + 288521520512 — 864521502520 — 864/оз521520 + 5040/0*2/11/12 + 432/п5зо521 — 4188/115°25п520 + 4740/03/02520502 — 4290/11/оз5115о2 — 654О512/02520502 — 810512/21/02 — 846/о2/оз512 — 6720/^/12^02 — 264О/13502511 + 96О531502520 — 144513/11520 — 240/п522511 — 290/315115о2 + 2364/21511520502 + 1445125о2521 + 9ОО/о2/оз5°о + 35ОО/и/о25Зо —
2ООО520/12/02511 48^21502 Л11 + 33 4 4520/025п — 2500/02/11520 — 58/11520/02 +48О/02/1З/11 +
288/21502/12 — 14405025°о521 —2640/13502/02 + 138605о2/02520 + 426/03/11511 — 186/и530511 +
112/п521521 + 40052о/12521 + 10080520540511 — 1302/21/02/11502 — 432/ц/оз521 +
14405°о513 — 19625зо531 + 432/2151З — 7505п512 + 480/13/п511 + 3884/1153о511 —
24О/02522/11 — 168О504511/11 — 1854530/02/11502 + 48502520/11521 — 6ОО6/11530520511 —
216О502/З1/02 — 14405З0521/02 — 20 90/о2о520/11511 — 3560/115З2511 — 189ОО5З0/025°0 — 288/11/125о2 — 36 6 0512/02520 + 66 00/0З/02502 —972О/025025З0 —318512/01511 —31765З2/02/11 —
48/°1 /12520 + 2286/о25125зо + 3732/оз52о5115о2 + 24ОО522502/02 — 720/о2/з1520 —
46325о2511512 + 1557/11/025о2 — 72О/З1511520 + 144050252051З + 432/12/0З/11 + 1445115З1/02 + 73125205о2511 + 688/02/11521511 + 1152О/04/02 + 432/21/э4 + 3429/оз511 + 720/41/э2 +
384О504502/02 — 2394052о/о25зо5о2 + 1440/04502520 — 53 8 85125°о511 — 144521502/21 + 192521/°15о2 — 144/ц/о4520 + 336052о5о4511 + 1540053о/о25о2 —144/12/11502 — 288512502/12 — 4146/оз/о2/и5о2 — 8124520511512502 + 414/ц52о5125и — 96531/11520 + 1584/о2/22511 —
5225З0/02/11 +5320/о225о2511 + 656/12521502 — 240520Л13511 — 1710/0З512511 — 434/11/02502 —
48О502/22/11 + 27О/21/02/О1 + 147245§о52о511 + 7700/о5о — 72О514/02 + 200054о/оо — 960521523о + 53Л41/о2 + 7700524о/оо + 3845О2/22 + 720/оз/о2 + 24О5О1511 + 189ОО/оЗо/оз + 3940/о2/о1 + 384/125о2 — 8645зо5з1 — 864530/22 + 333/оо/о21 + ШО/о,/?, + 477/оо52о +
17365025з1 + 72О/2З511 + 31565205з1 — 432/04512 + 864/03Л22 — 72 0514511 + 52ОО/02502 + 3600/об511 + 2885з1л21 + 965з1/21 + 909522511 + 462/215З1 — 12965зо513 + 4725/оз/02 — 432521/оз5о2 +288/21/о2521 +1854/(°2/21511 +38705125зо511 — 864502/12530 + 3624/21/о25о2 — 3180/115о2/02520—'48/11520521 + 585/02520/11+324/0352о511 — 144/11/21521 + 246520/0З/11511 —
96/11/22520 + 864502/03/12 — 7216/12/02511502 — 624/о2/и5215о2 + 384502520/12/11 + 4592/о252о5215о2 — 126/21/02520/11 + 318О/21/02520502 + 144/о4/°1 + 4192/02/12/11511 — 2144521/02520511 — 168О504/02/11 — 330/о2/оз52о/и + 18ОО/11520/02502 — 432/о252о/11521 — 253325зо52о5115о2 — 510/11511530502 + 96О502520/22 — 72О513502/11 + 4325о25зо521 + 240/оо521 + 3180/о1/о3о + 5765з1521 + 5/41511 + 8660524о511 + 288/00/01 — 48/315о1 — 5/оо5п + 1242/оз531 + 154/01531 + 14451з521 + 45/о21511 — 36ОО511550 + 3600/об/оо + 48/31/1о —
72О5З2/02 — 9ОО5З0/З2 + 864/0З5З1 + 11200/о42511 — 2885З1512 + 720/о22513 + 96/22/01 — 192502521 + 5045/02521 + 1391/025з1 +5589530511 +72О5З1/22 + 1854/0З/21/02 + 54О520/02/21 + 2 1 60/02540/11 + 184 55°2/21511 — 480531502Л11 + 60245о2 /03511 + 30/21/21511 — 288/02512 521 — 1170/11531502 +24005025и5,22 + 3082/о22/21511 + 162511Л21530 + 153/115°о511 — 414/02Л21530 —
101045зо522511 — 384/и52о521 — 288521/21520 + 38405о25о4511 + 1782512/02/11502 — 567052о/о25зо/и + 414/о251252о/и + 38/3152о511 + 1920/о2522520 + 480/ц/125°о + 96О/12 522 520 —144512/12/11 +32405225и/21 + ЮО8О520540/02 — 26652о/11531 + 558/оз/21511 — 272/11/105,1)
Из условия Ьх = Ь2 = 0 найдем коэффициенты д0з и 505: доз = ^(5и02о -
/11/02 - 2Зог/о2 + 911902 ~ /12 - 521) 505 = 77(6520/02/21 + 2д\хдю — 95о2б,21 + 95215зо +
45
9521/оз — 6/13511 + 15520531 + 27502513 + 9513520 — 6522/02 + 18502/12 — 6/21/12 + 12/22502 + 9511540 + 21502531 + 15511530 — 6512Л12 + 3511522 — 7521520/02 — 15/13Л02 — 9521520Л11 + 6520/02502/11 + 9520511502Л11 + 3502/11/12 — 155°о521 + 9511520Л11 — 6512511520 + 7511521Л02 — 5511/02/12 — 215115025З0 — 8521502/02 — 3520511Л21 + 245115°о502 — 3О502/02/0З — 155и520/22 — 245115205З0 + 521/11/02 + 18/11/02502 + 6520/02512 — 5511/02/11 + 18512502/02 — 9/11/02/21 — 15/11/02/0З + 3/02520 /21 + 3502/02/11 — 9511520Л0З + 95и502520 — 12511/0З502 — 10511502/о!2 +
6502520/12 + 12502/02/21 — 9521502/11 — 6/11/02512 — 9512511502 — 6511/03/11 — 6530511/11 + 3520/12/11 — 24521520502 — 9/04/11 + 3512521 + 6520/22 + 6/11531 — 9/з2 — 9541 — 9/14 —
952З — 2521521 + 25З1502 — 9/З1Л02 — 18502Л04 — 15511504 — 3/02/З1 + 521/12 — 3/22Л11 +
15521/02 + 3521/21 — 3/12/11 — 6О/02504)- Получим выражение для третьей ляпуновской
величины: L3 = у^(3°й,02й'іій,зо + 6д\х + 36/02/11512520 “ 1080grg26,ii0,20 “ б8б5іі/іі02О ~
14О502511/:)2 + 99/12502/1l530 + 127S5005l1/1l530 + 1Б7Б5°2Й,20511Й,30 - 99/02520/11/31 -19S/2l50o5O2/O2 - 90/125O253O + 144530/2l520/02 + Б4О521540 - Б4/12 522 + 2 1 652l500 + 630/O252l53O + 1S9520/1l5025l1/022 - 10S/12502/1l500 + 1ЗБ532511530 - 261/02502/11/31 +
З6520504521 + 72532520511 + 126521520522 + ЗО6512/11520502/02 + 1S502520/11/22 + 952l/22l + 450255l + 452055l - 6052O53i - 452і54і + 210521/00 - Б76/03530520511 +
2750l522 - 37S/12 502 /03 - 653l520 /21 - 63 9 502 52l530 - 9/01/12530 + 3S4/02/12502521 +
652i50i/2i + 9/l2/3l + 2453i520530 - Б4О511520 + 4ОБ5з0540511 - 144/ii/035ii530 +
9/02/51 + 2/12541 + 63/O250252O/0i - 63/025025l2/0i - 90/1l53O5ll5l2 - Б4522/11/02 -
275l2/32 - 10Б/11/32/21 - 420/O2/O35ll5O2 + 234530/025025l2 + 2615205l1/21 + 270532520521 -Б4540/11502/02 + 42520521/1l521 + 2З4/12502 530 - БО4/03521520502 + Б4/02/11/21 +
S4/o352o52i/o2 - 1S0551/11 + 210502/11520/0*2 - 4Б/23520511 - 1S0504/11520/02 - S1513522 +
S1/22 /31 - 36 0 502 521/o!2 - S1522531 - S4/02502/1l521 - 204/O2/1l53O521 - 1S520/12/11 -30/12/2l521 + 2405O2/025l1/21 + З1Б513/12/02 - 2 1 6/03541 + 63/02502520 /3i + 1S053O52O5ll/01 + 420/1l5005l1/02 + 2 1 6/025ll5205l3 - S15l2523 - 237/0252l5l1/1l520 - 1ОБ/0!2/12521 -
72520/12/11/21 + 1S/o250252o/21 - ІЗБ533520 + 49Б511550502 + ІЗБ530521512 + 16S512502511/02 +
36/13/2l5l1 + З42/02502520/31 + Б4531/21/11 + 99/0l530502/02 + 102/0250l502 - Б4/121540511 -
9О520521/11/21 - lS/02502512/21 + 90/23/12 + 210/o2/025O2 + 210/22/02520 - 1S0514520/02 -
1S52l5205l3 - 63952l502/1l530 + 369/0252l5ll530 - 210/32/13 + 4Б514521 - S405O4/32 + 72/02/11/01 + З1Б/03520511/02 - 22Б514511502 - 234/13502/11/02 - 995ll50O/31 - 1ЗБ550521 + 1ЗБ500/32 - 30652l5l2500 - 9520511/221 + 144/21521/00 - 12520/1l502531 + 9520/12/1l521 -S1/32530 + 1S9/04/13 - S4/12 502 521 + 1ОБ/02/03/12511 + З1Б511502/11530 + 22S52052l502 521 -27/4l521 + 7250252l521 - 2О7520/03/11501 - Б1/0!2502/1і521 - 705l1/11/O42 - 4ББ520521/32 + 1ОБ/121520/32 +4ББ521511/32 + 2SS522502520/02 + 36/12/221 -1ЗБ560511 + 27/22520521+ 9/32/01 -Б4530521521 -ІБ/і2і/і252і + 1625ii52o/i2i/o22 + 36050252o5ii/o2 - 1S0/i35025ii +42З502/03531 -42З502/03511530-З4Б/0!2511/11530 - 2705025ll500-90/01/2l52O/O2 + 21/12/02531-9/225l2/11-
13250253i500 + 1S/o2/3i50o - 42052o52i/ii/o22 - Б4О5зі52;0 + Б454і/і2і + 1S0524/02 -SSБ53052l502/02 + 1ОБ/22/02/11 + 6352l502/13 + 1S90/O25O6 + 1ОБ520/12/11/0!2 + БSБ521/1l530 -
ІЗБ/31520/12 + 72512/11531 + 10S/21540511 - 414/41/02502 + lS/11/03511512 - Б4530/02522 -
Б4/21540/02 -4S/0352l521 - 1Б6/02 521511/11502 + 1S5025l1/l21/022 - 2SS50o502/11/O2 + 9/23521 + ІЗБ/06/11 - 27053252o/i2 - 1ООБ5025з05іі/02 + 10S530511522 - Sl/14/11502 - 90/23/02520 + S1/1l520523 + 144/02502/1l520530 + 10S052l5O2/1l50O + 1S5l2/135l1 - БО4502521/02511 + 4ОБ523502 - З1Б/32/31 - 4Б/21502/11521 + Б45іі5і2522 - 905l253O/O2 - 9/0l522/02 + S1/22/13 -6/02/22521 + 210512/(°2520 + Б225415°2 + З1Б/03/11/02 + 4БО550520511 - 2SS5l2500502/02 -
ЗІБ520551 - Б4/0з5025іі/01 + 396/ii52o54i + 972502520541 + 63/i25o252o/01 + 4S/o352o531 +
1252l502/1l521 + Б4511/03/31 - 19S502/0i/02 + 6/0252l5l1/01 +■ S1/04 /31 + 9/14 521 -ЗО/02501/11 + 4БО541500 + 3/22511521 - 2 1 0/02522 + З4Б531/0!2/11 - 10S512/O2522 + 90500/2l5l1/11 + 99520521/31 - 9/12 502 /01 + 10S522/O252O - 36/1l522520/02 - 969530520521/02 -1ЗБ502511522 - 4Б/32521 - 2SS5225025205l1 - Б4/13502/11511 - 49Б551502 - 210/o225l1/11/O3 + Б4530513/11 - З1Б/0!2/32 - 27/3l5l2 /02 + 2 1 65305205l3 + 36/12 530501 - 63/12 502/1l5l2 -
1ЗБ530513 - З1Б/02523 + Б4/33511 + З1ОБ5025005з0511 + 7Б6/04504 + 177/i2/o25ii/ii52O -
24З502530511/21 - ^Б/11/02521/21 + 171/13/21/02 - 90/13/1l52O/O2 - Б4/11530/21511 -Б4533/11 - З1Б531502/11 + 24З531/21502 + ЗО/025°і520 + 1БЗ/13/121/02 + 1S53l5205l2 -
ІЗБ/05521+66/21/02502 52i+2З4/02502/іі520/2і+ЗБІ5з05025із+117504/0і/02-БО4504/02 52i-4Б/42/11 + БО4/04/02520511 - 114052l502520/022 + 6З/02/14511 + 1S513511/12 - Б4/3l5o2/o2 +
144502520530/12 - S1504531 - 27/02/225l1/11 + 63/045l1/12 - 63/025ll522 - 270/1l5ll53O +
270/ii53o53i - 246520/02502/12511 + 10S/41/12 - 4Б512520511/21 + І7І/03/11/02/21 +
S1/0352i/2i + 1S05oo5ii/ii5i2 +40б5о25205іі5і2 + 1S05ii55O/ii + б4/іі/0з5із -2б2/025іі/32 -10S/ll52O531 - 9О5°0/21/02 + 22Б520/11502511512 - 12/12/025l1/l1 + 6ЗО/0з502/02 -9/02/ii5l2 + 1S/02/ii5205l2 - 30/122521 - З0/13531 + Б4504/22 - 5315025305ll5l2 -2 1 6/035025ll5l2 + 4Б524511 - 660/O252l5ll5°O + 1S520/12/1l5l2 - 1265l25205l1/022 -1S9540531 - 905°O/22 + S1/21/04/11 - 27532521 + 3515205ll5l2 + 420/O2/12/1l5O2 -
4S/o252i53i + ІЗБ/02/33 + Б4513/13 - 1S520511/11/31 + 1S0/02502530/21 + 2Б2502511/03 -
1Б/02/1і521 - 1ОБ/11/02521 - 19S/02502/03 /21 - 39 652l502520/21 + 27/02502/11/21 + 72/03520511502/11 + 6522531 + ЗІБ/03/13/02 + 27/21/32 - Б4531/31 - ЗБІ533502 -ЗБІ530520511/21 + 27 0 532 /22 + 13552i5o252o/i1 + 72502/03/22 + З6/11/03/22 - Б4/24520 -414/42502 - 4Б/02/11530/21 - 1S0502/o35ii/ii - 9О/13502520/02 + 27/24/11 - 67 5515502 + Sl5305045ii - lS/22512502 + 4S52o/o254i + Б4532/12 + ІЗБ511512540 - 545o2/°i/i2 -10S512541 + 540/O2522/1l5l2 - 1S/02/1l5305l2 + 42/03/12521 - 1S052l5O2/1l5l2 - 1ЗБ531532 -45/ll520/03/02 144502/03/2l5l1 + 27/04/l1 27052O/1l532/O2 54/12530 5l2 + 174/02 /22 520511 +
22S5ll502/11/02 - 72/22/2l520 - 2452l5l2521 - S1530523 + 216/0352l530 - 270/14502 -207/125O2/11/21 + 21/022/1l531 - 4S/22511/31 - 162504502521 + 360/O254O521 - 70/125l1/02 +
ІЗ5/51/02 - Sl54o5i3 - ІЗБ520515 + Б4512/14 + 126/03/11/02512 - 6/o2/ii5i252i -
216530541 + 75О520511/02 + 792/02511502513 - Б40500/11531 + 270/12/115з2 + 4ОБ512 502513 + 1175325ll502 - 195/225l1/11/21 + 216531/2l520 - 54540/12502 + 36/12502/21 + 63/12502/1l520 -270/025025205l2 - 9/1l522/12 - 135502521/21 + 504/O35O45l1 + 45531/12 /02 - S4/03521/025l1 -10S/03521/11502 -54520/04/11502 - ІЗБ513/11520502 - 335ii/°25o2 + 270/o65o2 - 1О25205/1511 -
216/21/04502 + 54542/02 + 27/14 /21 — 63504/1l5205l1 - 4205O2/O3/02 — 210/O3/11/(°2 -9005l4/O25O2 + 54/21/14 - 2105205l1/32 + 216502520/035l1 - S915205ll530 + 9455065l1 -1S9504513 + Б4/04522 - 216/24502 - ІЗБ/03/32 + 33/i25o2/ii52i - 2ЗІ/12/02511512 + ЗІБ/02/15 -450541/o!2 + 1S0/155l1 - S4504531 - 27/2l523 - 10S/2l541 + 54/11/03/2l5l1 + 45/21/12/21 + 171/32502 + 396/12502520512 + 24520/025l1/21 + 1S/235l1/11 - 54540/22 - 275425l1 + 630/O5/O25O2 19S502500/22 - 50454O/11502511 -S15205ll522 + 504/02502520521 -1S/22520/21 -4253l520521 + 21О/12/22/02 + 315/0225205l3 - 905O2/O352O/11/O2 - З65и523 - 1ЗБ/03523 + S1/34 + 135/16 + 135561 + 1ЗБ/52 + 1ЗБ525 + S1543 + 945507 + 275l3Í2l520 - 45 530/02/125l1 +
ІЗБ530521/21 + 1S0/12514 - 1S0520/42 + 135052i5o253o + ІІІ521520511/12 + 49550i52i/ii52o -95454o50o5ii - 360/o350o52i + Б7/12/22511 - 12605o4/o225ii - 9/i35°o5ii + 2І6511/03540 -
365045°0511 + 42 0502/11/O!2 + 126/04/02511/11 + 11405O25oo511/O!2 + 267520/115l1/02 + 210/125O252O/22 - 965°l5ll502 + 15/1225205l1 - 90532/O252O + 63504/1l521 - 1S52l541 -27520/14/11 - 360/O254l5l1 - 45/12/1l530 - 72/2l520 /02 - 90/O25O2/1l52O - 1265045l2/02 -1715225°0511 - 63/03/12/1l502 + 4205O2/325l2 - 1S0052l5O252O53O + 234/02502/1l530 +
154S52o/ii5o25ii53O + 1S952i5i2/02 - ІО26504502/11/02 - ІІ7/03520511/21 + 1ЗБ50052з +
1S540531 - 93521/121/02 + 1ОБ/21/12/02 + 4БО530521/02 + 54/31/12/11 - 19S522/1l502/02 -16S502531/022 + 9/31/22 + Sl/0352l5l2 + 90/125llO/21 + 9/1l530/22 - 13Б05ll50253:0 -123 6502520/025ll521 + 63/03/12/121 - 750520521/022 - 14945205ll502540 + 90/125l252O -125005з1/11 - 135/21500511502 + 63/41/02/11 + 213/12502511521 - 9°514520511 + 126/0!3511/11 -З15/03521/02 - 162/035205ll5l2 - 23 4 532 /02 502 + 540/125225l2 + 2105O2/o!2/21 - 270/O45l25O2 +
1З55°0/о2/зі - 1S0504520/12 - lS/21/02522 - 43 25025°05із + І26О/03504/02 - 1S0/41/02520 +
144/0452l502 - 54/21/04520 - 123/02/1l521/12 + 6/1l52l5l1/12 - 27520/04/21 - 171/0452l5l1 -15/i2/025ii/ii502 - 7565o25ii5°o + 14752i52i/02 - 10S0/ii5o25ii53o - 46S5305205ii5i2 + 100553i/O!25o2 - 52254o5025ii + 37S/04/03502 - Б4520/14502 + З6О/03531520 - Б4512/02540 + 117504/11/12 - 3 1 5/02/135l1 + S152l5l3/02 - 30/12/O25ll52O - 14753l520/0!2 + 270/O25o2/21 -Б4/22530/21 - 49Б511502/11520 + 10S/O3/O2/3i - 9/02 522 /31 + 15652o52l521 - 261/121/2l502/02 -305/l5l1/11 + 72/02/2l520530 - 360/23/O25O2 - 455025l1/1l522 - 3505O2/32521 - 6/125l2521 +
26І512520531 - 99502/12/13 - S4/o25o2/o352i + 45О/0і5іі540 - 2SS522502/12 - 545o2/2i/22 -
153/11520512521 - 147/03/11/02511 + 207/03520^11/11 + 45522521/11 + 675530520531 + 162504502520511 + 144512/02520530 + 204/02511/11531 — 450/13502/02 + 750/02520531 — 189/02/13521 — 90520522/12 + 756530502531 + 117521502/31 — 45/02/315°^ + 1З5/23/02/11 + 18512520/22 — 1026504502/12 + 12/115^531 — 36531511/12 — 27540/12/11 + 63/2/31/02 + 210/02520/21 +414512502531 + 18520502/22 — 1305502520531 + 144530520/22 + 144522502521 + 432502520523 + 36/21/02520512 + 609/02531520511 + 18532511/11 + 171502/31/02 + 630/02 502513 +
162512513520 + 9520/13521 + 90522520/02 — 90502/11531 — 9/22/11502 + 3 1 5/022513/11 + 216/12502520/21 — 24521/12 + 180530502/22 + 171/045и520 + 2705225о2/02 — 30/03531/11 +
144/ц/03531 + 315/05/02/11 — 40 5520522513 + 36/22/21/11 + 126/03/13511 + 360502511/05 — 612502520512521 — 378/02/03502512 + 33502/11/02521 — Ш/12/02511/21 + 126512/13/02 + 108/21/02/31 — 81/31530/02 + 135/05520511 — 9531521/02 + 36511/12/11 + 36/11520/32 — 144/23511502 + 240/02511502/22 — 288502/03/21/02 — 738/11520530521 — 135502511522 +
396511502520/21 — 270502521512 — 9/11/12512 — 828/03/02 502/11 — 936520502531 — 45/13520/12 +
54504/21/02 + 45520/11502511/21 + 46502/025^ — 348/02502512521 + 156/02502/115205^ + 180/05511/11 + 135/11502523 — 297/02511523 + 522540521502 — 30531521502 — Ю8502/02520/11 — 270/04502/11 + 18532/02/11 + 54/31530511 + 504540520521 + 18/31521/11 — 9/02/11530 +
135520522511/21 — 213/12502521520 + 54521502513 + 54513511521 — 252/31/22511 — 18/12512/21 — 18/02520/41 + 30520/12/02521 + 108/11/12/13 + 18/03/и511 — 120 0520 /22530511 — 54/04512 520 +
90502511/21530 + 72520/12/11530 — 99/13502520511 — 909531/11520502 + 90/03/22520 +
27/41520511 — 15/225001/11 — 81520/П513 — 297/31502/12 + 207/11540521 — 18/13/11520511 +
63504512511 + 12502531512 — 288/12502520 — 18520/03/11511 — 45/02/11520 + 420/12502/02 +
18/13/21511 + 99/02522521 + 210502/02/21 + 72531511521 + 105/02/12/11 — 87/12520521 — 261520521/21 + 270/02532/21 + 756512502511520 + 180514/02/11 — 125305и/11 + 189/04/03/11 + 123/02521511/21 — 216522/03521 — 72/11522520511 + 9/02520/21521 + 156/02521511512 — 255520/025и512 — 231/022511/11512 — 198/22/21502 + 10805о2521520 + 36512/21521 +
270520/02502 + 1665530511530—93520/02 521/21—72502520531+24/03502531 + 1134520521502/02 +
2/11/02541 + 885511531/02502 — 27/21/02/11512 — 27/21540/02 + 135/03520513 + 360/03511520 —
603520511/11540+504502520/03511—81/04/11502 + 66521502 /22+Ю8502 /03513+252/04/02511502 —
135/11530511 + 2 1 0/22 /22 502 + 228/125о2/02511 — 117520511502/31+ 342/32520502 — 9/22520/11 + 504/11502541 + 36/11502/32 + 81/21520/11/02 + 54/04512/11 + 9/04521/11 + 9/21511522 +
81/03522511 — 504/04521/02 + 18/02511513/11 — 72530521/21 + 135521/21520 + 18/11/12520 — 1125530521520)-
6.3. Уравнение Льенара. Полагая в системе (51)
1(х,у) = 0, (^-^~ = дх\{х), д(х, 0) = дхо(х), ^^(0)=0, ау ах
получаем систему
х = —(52) у/= х + 5х1(х)у + 5ж0(х),
или эквивалентное уравнение Льенара
X + ж + X 5x1 (х) + 5x0 (х) = 0.
Пусть 5х1(х) = 511Х + ..., 5x0(х) = 520Х2 + ..., тогда
Ь1 — —^(520511 -321)-
Если 521 = 520511, то Ь1 = 0 и
п Ьг = —(3^41 - 6520531 — З5405п + 552о5зо5п)-
55 Если 541 = -520531 + 5405и — д<72о5зо51Ь то Ь2 = 0 и
П 3 2
Ьз = —777: (70520530511 + Ю5520551 + Ю5530511520 + 6З540531 —
576
—63511540530 — 105530531520 — 70530531 — 45561 — 105550511520 + 45560511).
Некоторые методы вычисления ляпуновских величин и их символьные выражения для различных видов системы Льенара содержатся также в обзорной работе Линча [12].
7. Возмущение системы и малые циклы
Пусть в системе (51) такие коэффициенты, что Ь1 = Ь2 = 0 и Ь3 = 0 (пусть для определенности Ь3 < 0). Введя обозначение Ь0 (нулевая ляпуновская величина) для вещественной части собственных чисел линейной части системы (51), имеем
Ь0 =0.
Рассмотрим малые параметры £1,£3,£5. Возмутим второе уравнение в системе (51) добавкой £15 + £3у3 + £5У5. Введем обозначения:
503 = 503 + £3,
505 = 505 + £5.
Подставляя в выражения для Ь1, Ь2 и Ь3 вместо 503 и 505 возмущенные коэффициенты
503 и 505, получаем выражения Ь1, 52 и Ь3. Заметим, что 503 и 505 войдут линейно в выражения для 5 и Ь2 соответственно. Выберем последовательно £5 и £3 = £3^5) так, чтобы
52 > 0 > 53, 1521 С |Ь31, (53)
5 < 0 < Ь2, |Ь1|<|Ь2|, ( )
Так как вещественные части собственных чисел линейной части возмущенной системы (обозначим через Ьо) равны выберем £1(£б,£з) так, чтобы
Ь0 > 0 > Ьь |501 ^ |51|.
Тогда при 0 < £1 ^ 1 и достаточно малых начальных данных траектории будут раскручиваться и нулевое состояние равновесия будет неустойчиво.
Таким образом, так как параметры возмущения малы и в силу непрерывной зависимости решений от параметра, в возмущенной системе получим три малых цикла (см. например [12, 15]).
Эта процедура может быть естественным образом продолжена для случая большего числа нулевых ляпуновских величин.
8. Вычисления ляпуновских величин классическим методом Ляпунова (приведение к полярным координатам)
Приведем здесь краткое описание классического метода исследования двумерной системы с двумя чисто мнимыми собственными числами матрицы линейного приближения и алгоритм определения ляпуновских величин, впервые предложенный Ляпуновым в [8]. В дальнейшем этот метод применялся для исследования бифуркаций малых циклов Баутиным и другими [2, 11], а также подробно изложен в [9, 27].
Рассмотрим двумерную автономную систему с аналитической правой частью
х = —у + / (Х,У), (54)
y = +x + g(x,y),
где /(x,y) и g(x, y) —ряды по x и y, сходящиеся в некоторой окрестности начала координат, начинающиеся с членов не ниже второй степени. Перейдем в (54) к полярной системе координат
x = г cos ф, y = г sin ф
и получим
(1) r cos ф — фг sin ф = —r sinф + /(r cos ф, r sin ф),
(2) r sin ф + фг cos ф = r cos ф + g(r cos ф, r sin ф).
Домножая (1) и (2) на cos ф и sin ф, складывая и вычитая, получаем
(1) r = /(r cos ф, r sin ф) cos ф + g(r cos ф, r sin ф) sin ф,
• /(r cos ф, r sin ф) sin ф g(r cos ф, r sin ф) cos ф
(2) 0=1---------------------------1-----------------------.
= Д(г, ф). (55)
Поделив (1) на (2'), получим уравнение
dr /(r cos ф, r sin ф) cos ф + g(r cos ф, r sin ф) sin ф
d0 / (r cos 0, r sin 0) sin 0 g(r cos 0, r sin 0) cos ф
1-------------------------1------------------------
Здесь в силу условий на / и g функция Д(г, ф) будет аналитической периодической функцией ф с периодом 2п для достаточно малых r и Д(0,0) = 0. Тогда справедливо представление
= rñi(0) + г2Н2(ф) + ...
dф
Так как правая часть системы аналитическая, рассмотрим решение r = г(ф, 0, го) в виде ряда
(ф 0 г ) = u (ф)г , u (ф)го + u3(ф)го
Подставим представление решения (56) в систему (55):
r = r(ф, 0 , ro) = М1(ф)го + U2 (ф)г2 + мз(ф)г° + ... (56)
¿1(ф)го + Й2(Ф)г2 + мз(Ф)г3 + ... = Й1(ф)[м1(ф)го + «2(Ф)г2 + ...] +
+ Д2(ФЖ(Ф)го + М2(Ф)^2 + .. .]2 + ...
Приравнивая выражения при соответствующих степенях го, получим уравнения для последовательного определения м*(ф):
¿1(ф) = Й1(ф),
и2(ф) = Й1(ф)и2(ф) + Д2(ф)и2(ф) (57)
где «1(0) = 1, «¿>1(0) = 0. Рассматривая решение при ф = 2п (момент пересечения вертикальной оси) получаем функцию последования
г = г(2п, 0, го) = «1Го + «2 г2 + азг3 + . . ., а* = «¿(2п).
Здесь а* называются фокусными величинами. Если «2 = ... = «2т = 0, то «2т+1 называется т-ой ляпуновской величиной.
Таким образом, для вычисления ляпуновской величины по указанному алгоритму необходимо:
1) найти коэффициенты разложения правой части системы (55) в полярных координатах по степеням переменой г до степени к = 2т + 1, зависящие от коэффициентов системы и угла ф;
2) провести итеративную процедуру (57) последовательного определения коэффициентов м^(ф) разложения решения г(ф, 0, го) по степеням го при к = 2,..., 2т + 1 и получить выражения, зависящие от коэффициентов системы и угла ф (заметим, что операция символьного интегрирование в (57) осуществима, так как правые части являются полиномами от вш(ф), еов(ф));
3) найти значение выражения «2т+1(ф) при ф = 2п (заметим, что полученное выражение для «2т+1 будет ляпуновской величиной при условии зануления предыдущих коэффициентов разложения а^ и, таким образом, может быть упрощено).
Вычисления ляпуновских величин двумя различными аналитическими методами (во временной области и в полярных координатах) с привлечением современных программных средств символьных вычислений позволяет убедиться в правильности полученных здесь формул для третьей ляпуновской величины.
9. Преобразование квадратичной системы к системе Льенара
Как видно из представленных выше выражений для ляпуновских величин, наиболее компактные выражения получаются для «усеченных» систем. Поэтому часто перед анализом системы и вычислением ляпуновских величин ее приводят к более простому виду. Один из распространенных видов, к которому приводят полиномиальные системы различного вида (см., например, обзор [28]), — это уравнение Льенара.
Опишем здесь сведение квадратичной системы к системе Льенара, следуя в основном работам [29, 17, 19, 20].
Рассмотрим квадратичную систему
Будет считать, что в стационарной точке (жяр = 0, = 0) матрица первого при-
ближения
X = Я1Ж2 + &1Жу + С1У2 + «1Х + в1У, у = Я2Ж2 + 62ЖУ + С2У2 + «2Х + в2У.
(58)
имеет два чисто мнимых собственных числа, то есть выполнены условия
«1 + в — 0, Д — «1^2 — в1«2 > 0.
(59)
Отсюда в = —«1, в1«2 = 0
Предложение 1. Не умаляя общности, можно считать С1 = 0.
Сделаем неособую замену переменных
x = X + vy.
(60)
Тогда
(ai - va2)x2 + (—2v2a2 + (2ai - 62)v + bi)xy+ + (-a2v3 + (ai - 62)v2 + (bi - C2)v + ci)y2 +
+ (-v«2 + ai)x + (vai + ei - v(v«2 + ^))y =
= XiX2 + bixy + ciy2 + aiX + /?iy.
Если a2 = 0, то кубическое уравнение (-a2v3 + (ai - b2)v2 + (bi - c2)v + ci) = ci всегда имеет вещественный корень. Следовательно, существует v G R, v = 0, такое что ci = 0. Если a2 = 0, сделаем замены X = y, y = x и получим ci = a2 = 0.
Далее считаем ci =0.
2ai
Предложение 2. Яе умаляя общности, можно считать а2 = ——
Сделав неособую замену переменных
y = у + hx,
получим
ei
(61)
x = (bih + ai)x2 + bixy + (ai + ^ih)x + Д-У,
X = ((c2 - bi)h2 + (62 - ai)h + a2)x2 + ((2c2 - bi)h + b2)xy + C2y2 +
Отсюда при
+(—Д-h2 — 2aih + a2)x + (—^ih — ai)y.
h=h* = + (~al ~ Аа2)1/2
25°
(62)
получим a2 = — 2a\h + a2) = —
/5i
2a2
Предложение 3. Пусть а\ ф 0 и а2 = ——. Тогда, не умаляя общности, можно
Р1
считать в = 1, «2 = —2 и 61 равным 0 или 1.
Рассмотрим некоторые неособые замены:
, / п xA. yai
при 61 ф 0 : ж = -—, у = -—, bi bi
при bi
п yai
°- y = W
(63)
Тогда при bi =0 получим
при bi =0 получим
e ~ , , ei ai— . „ ai~ —х = ... + b1 — —xy + a1—x + (31—y, bi bi bi bi bi
ai ^ 2a2 /3i ~ ai „
7-y = ■■■ - -r~rx - «17-y,
bi ei bi bi
~ , — 1/3 —
X = ... + aix + p\—y, Pi
2a2 _ ai „ x — o. 1 —y.
ÍJi Í3i
Сделав в обоих случаях замену £ = —, окончательно получим а.\ = [3\ = 1, а2 = —2.
«1
При этом 61 равен 0 или 1.
Таким образом, систему (58) при условии (59) можно привести к виду
х = аіж2 + Ьіжу + х + у, 61 Є {0, 1}, у = Я2Х2 + 62ХУ + С2У2 - 2х - у,
22
(64)
то есть, не умаляя общности, можно считать, что
с1 = 0, « = -в2 = 1, в1 = 1, а2 = -2. (65)
Квадратичную систему такого вида далее будем сводить неособыми заменами к уравнению Льенара.
Часто для проведения вычислительных экспериментов бывает удобно сведение квадратичной системы к более простому виду.
Предложение 2'. Не умаляя общности, можно считать а і = в =0.
Полагая в (61)
Ь, = К** = - — , (62')
Р1
получаем «1 = /?2 = 0.
Предложение 3'. Пусть «1 = в = 0. Тогда, не умаляя общности, можно считать в1 = —«2 = 1 и 61 равным 0 или 1.
Сделаем замену переменных:
, , п хРі ул/-«2/Зі
при Ь\ ф 0 : х = ——, у
61 61 ’ (63')
при Ьі = 0 : ж = ж/Зі, у = у\/—(У-2/Зі-
Получим
х = ... + біжу + л/-а2/ЗіУ,
где 61 = а/—а2/31 при 61 ^ 0 и 61 равен 0 в противном случае.
Сделав замену Ь = =, окончательно получим /?1 = —52 = 1. При этом 61
V—«2^1
равен 0 или 1.
Таким образом, систему (58) при условии (59) можно привести к виду
х = Я1х2 + 61ХУ + у, 61 Є {0,1} У = Я2Х2 + 62ХУ + С2У2 - х,
■2 І I „.„,2 (64')
то есть, не умаляя общности, можно считать, что
С1 =0, «1 = в2 = 0, в1 = -«2 = 1. (65')
Замечание 1. При 61 =0 прямая линия в + 61Х = 0 является либо инвариантной, либо трансверсальной для систем (64) и (64').
Доказательство замечания следует из равенства
(в + &1х)* = 61 [(в1 + &1х)у + Я1Ж + «1х]
при ж = — — (здесь символ * означает производную в силу системы).
61
Отсюда следует, что траектории системы (64) и (64') при С1 =0 и 61 =0 являются также траекториями системы
х = у +
2
Я1х2 + «1х
в1 + 61х
Введем в рассмотрение следующее преобразование
в1 + 61х
(66)
Я2х2 + 62ху + С2у2 + «2х + в2у У = ----------
У = у +
2
Я1х2 + «1х
^ в1 + 61х
В этих новых фазовых переменных (здесь мы опускаем знак ~ над переменными: У ^ х, у ^ у) система (66) запишется в виде
х = у, у = -^(х)у2 - Д(х)у - Р(х), (67)
где
<2(ж) = С2
Д(х) = -
в1 + 61х’
(&1&2 — 2аіС2 + аі&і)ж2 + (£*2/Зі + &і/?2 — 2аіС2 + 2аі/?і)ж + сс і/Зі + /?і/?2
(/Зі + Ьіж)2 :
/а2х2+«2х (62 х + в2)(«1х2 + «1х) С2(а1х2+«1х)2 РИ= “ д , і-------------------га , і, --------+'
А+61Ж (^1 + 61Ж)2 (в1+61х)3
Из замечания 2 следует, что траектории системы (67) являются также траекториями системы
Ж = уер(х), у = [ — д(ж)у2 — Д(ж)у — Р(ж)] ер(х),
где р(ж) —некоторый интеграл функции ^(ж).
Из этой системы с помощью замены ж = ж, у = уер(х) получим
ж = у, у = —Рд(ж)у — (ж), (68)
или в виде одного уравнения
ж + Рд (ж)у + (ж) = 0.
Здесь вновь после указанного выше преобразования опущены черточки над переменными ж и у.
Итак, при bi = 0 система (58) может быть приведена с помощью указанных выше неособых замен к уравнению Льенара (68) с функциями
Pq (x) = Ä(x)ep(x) = Д(ж)|в1 + b1x|q,
Gq (x) = P (x)e2p(x) = P (x)|ei + bix|2q.
Здесь q = —-, а выражения для Д(х) и Р(х) могут быть упрощены с учетом (65): bi
Pg(x) = (~&2 + 2с2Д1 ~ aí)X + (1 ~ &2 + 2с2 - 2al)x|x цд
Gq (x) = — ((-&2ai + C2a° + a2)x3 + (-2 — &2ai + ai — 62 + 2a2 + 2c2ai)x2 +
+ (a2 + C2 + ai — 3 — &2)x — 1)/(x + 1)3 • x|x + 1|2q. (69)
10. Обратное преобразование системы Льенара к квадратичной системе
Рассмотрим уравнение Льенара
ж + Р (ж)ж + С(ж) = 0 (70)
и эквивалентную систему
ж = у (71)
у = —Р (ж)у — С(ж), ( )
где
Р (ж) = (Аж + В)ж|ж + 1|9-2,
|х + 1|2д (72)
G(x) = (Cix3 + C2x2 + C3x + 1)x
что в стац
системы (71)
(ж + 1)3
Заметим, что в стационарной точке (жяр = 0, уяр = 0) матрица первого приближения
А(0’0) - ( -у (0) Р(0) ) - ( -1 0
имеет два чисто мнимых собственных числа.
Далее, будем рассматривать невырожденный случай
АфВ, АВф 0, дф1-.
Поставим теперь вопрос о том, когда уравнение (70) может быть сведено неособой заменой к квадратичной системе (64), для которой выполнены соотношения (65).
Предложение 4. Пусть для коэффициентов A, B, Ci, C2, C3, q уравнения (70) выполнены соотношения
(В ~~ ((1 - я)В + (3q - 2)А) = 26*2 - ЗС*1 - С3, (73)
(2q — 1)2 (B — A)
(B + 2(q — 1)A) = C2 — 2C1 — 1. (74)
(2q — 1)2
Тогда неособой заменой уравнение (70) можно свести к квадратичной системе с коэффициентами 61 = 1, «1 = 1, в1 = 1, С2 = —#, «2 = —2, в = —1,
1 В — А
ал — 1 ~\~----,
2? - 1 ’
й2 = —(^ + 1)а2 — Аа1 — С1
62 = —А — а1(2д + 1).
Эти соотношения следуют из равенства функций Р(ж) и Рд(ж), С(ж) и (ж) в (72) и
(69).
11. Исследование состояний равновесия системы Льенара
Уравнение (70) может иметь два особых состояния равновесия
ж зр °
2 В 2 ¿С. 2 ч (76)
х^р = - — , если С(х^р) = 0 и ~^ЫР) > 0,
в которых вещественные части собственных чисел равны нулю.
Тогда, исходя из приведенных выше выражений для ляпуновских величин Ь и Ь2, получим следующие леммы.
11.1. Одно особое состояние равновесия. Рассмотрим нулевое состояние равновесия ж* = 0.
Лемма 6.
Пусть выполнено условие
Ь1(ж1р)=0, 5А — 2В9 — 4В = 0. (77)
Тогда
1) Ь2( ж^) =0 и для С,1,С,2,С'з, определенных из уравнений (73) и (74) и условия
(77), справедливы формулы
с = „+<-й±М,
С*2 = (15(1 — 2д) + ЗВ2) —, (78)
_ 3(3-д).
3 5 ’
2) для Ьз(ж1р), определенного через полученные С1, С2, С3, справедлива формула
т / 1 N = тгВ(д + 2)(3д + 1)[5(д + 1)(2д - I)2 + В2(д - 3)] _ 31 ьр) 20000 ’ 1 '
3) из Ь3(ж1р) = 0 следует Ь^ж^) = 0.
Таким образом, если для уравнения (70) выполнены условия (77), то малыми возмущениями можно получить три малых цикла вокруг одного состояния равновесия.
11.2. Два особых состояние равновесия. Найдем ляпуновские величины при наличии второго вырожденного состояния равновесия ж^ (то есть выполнены условия В (76)).
Лемма 7. Следующие условия эквивалентны
1) Ьі(*1р)=0,
2) Ьі(4,)=0,
3) Ьі(х1р)=0, Ь2(х1р)=0,
4) Мх2р)=°> Ь2(х2р)=0,
и из них следует
ЬзОг^) = Ьз(х2р) =0.
Таким образом, если для уравнения (70) выполнены условия (76), то приведенный выше алгоритм позволяет получить только два малых цикла — по одному вокруг каждого из двух состояний равновесия [20].
12. Компьютерные эксперименты
В. И. Арнольд пишет [30]: «Чтобы оценить число предельных циклов квадратных векторных полей на плоскости, А. Н. Колмогоров раздал несколько сотен таких полей (со случайно выбранными коэффициентами многочленов второй степени) нескольким сотням студентов механико-математического факультета МГУ в качестве математического практикума. Каждый студент должен был найти число предельных циклов своего поля. Результат этого эксперимента был совершенно неожиданным: ни у одного поля не оказалось ни одного предельного цикла! При малом изменении коэффициентов поля предельный цикл сохраняется. Поэтому системы с одним, двумя, тремя (и даже, как стало известно позже, четырьмя) предельными циклами образуют в пространстве коэффициентов открытые множества, так что вероятности попасть в них при случайном выборе коэффициентов многочленов положительны. Тот факт, что этого не случилось, подсказывает, что упомянутые вероятности, по-видимому, малы.»
Наш опыт компьютерных вычислений показал, что практически невозможно обнаружить «малые» циклы в окрестности состояния равновесия, где нулевая и первая ляпуновские величины равны нулю. Однако «большие» циклы отчетливо видны в целом ряде компьютерных экспериментов. Например, для квадратичной системы вида
ж = жу — ж + у,
у = —х? — ху + -у2 — ЮООж + 2 у
наблюдается «большой» цикл, внутри которого содержится стационарная точка (0,0) (рис. 1), что подтверждается следующим теоретическим результатом.
Рис. 1. «Большой» цикл в квадратичной системе.
Теорема 1 [17]. Пусть для коэффициентов квадратичной системы (58) выполнены условия
Ь1 > 0, 0 < 2с2 < 61, в > 0,
0.1^1 в1(2с2 - 61) «1(6162 - 0402)
—--- > «1, ------------- > 02, -------7^------- > Я'2,
6?
в?
и в полуплоскости х < — — система (58) имеет единственное неустойчивое по Ляпунову фокусное состояние равновесия. Тогда система имеет по крайней мере один цикл в полуплоскости {х < —ві/6і}.
На рисунке видны две траектории, которые с разных сторон (одна извне, другая изнутри) наматываются на устойчивый цикл, находящийся в области сгущения траекторий. Здесь
а? =0, 6? = 1, с? =0, а? = —1, ві = 1,
02 = —1, &2 = — 1, С2 = -, ал = —1000,
2
и выполняются все условия теоремы 1.
Также были проведены вычислительные эксперименты для квадратичных систем, у которых Ь = Ь2 = 0 и Ьз = 0. В эксперименте использовалось сведение квадратичной системы к уравнению Льенара специального вида (70)-(72) и с его помощью оценивалось множество параметров В, ц (рис. 2), соответствующих существованию «большого» цикла.
Заметим, что именно сведение квадратичной системы к системе Льенара вида (70)-(72) позволило получить удобное представление в ее пространстве параметров много-
Рис. 2. Область параметров системы Льенара, для которых существует «большой» цикл и в нулевой точке Ьх = Ь2 = 0, Ьэ = 0.
образия Ьх = Ь = 0, Ьз = 0. Здесь по значениям коэффициентов В и ц, согласно (77) и
(78), определяются как функции В и ц оставшиеся коэффициенты А, Сх, С2, Сз, которые удовлетворяют условию Ьх = Ь2 = 0; условие Ьз = 0, согласно (79), соответствует двум прямым и кубической кривой на плоскости (В, ц).
На рисунке изображены линии перемены знака третьей ляпуновской величины и область коэффициентов системы Льенара (Б^), для которых в нулевом состоянии равновесия Ьх = Ь2 = 0, Ьз =0 и был обнаружен «большой» цикл.
В силу равенства нулю двух ляпуновских величин приведенный выше алгоритм построения малых циклов при помощи малых возмущений позволяет для указанной области параметров построить системы с четырьмя циклами — три малых цикла вокруг одного состояния равновесия и один большой цикл вокруг другого состояния равновесия.
Полученная область содержит кривую параметров В и ц системы Льенара (кривая С на рисунке), соответствующих параметрам квадратичной системы, для которой в [31] были получены результаты о существовании четырех циклов.
Наиболее наглядный «большой» цикл в окрестности ненулевой стационарной точки был получен для системы Льенара с параметрами, соответствующими точке Рх (рис. 2).
На рис. 3 изображен «большой» неустойчивый цикл в окрестности стационарной точки (-1.785714285714294, 0) для системы Льенара (68), где параметры соответствуют точке Рх и
п / \ ( 7 1 А х
г а (X) = --X Н----
У'' 1 \ ОСТА 1 ОА
250 20 / |х + х
ч (80)
^ , ч , 2003 3 13203 2 54 У '
Оа{х) = ————X + - г,г,г,г,х + + 1
Ч.\ / \ 1 ОСТАП ' 1 АААА ' ОСТ '
12500 10000 25 ) \х + 1|2х/5 ‘
С цикла, находящегося в области сгущения траекторий, сматываются две траектории Тх и Т2. При этом траектория Тх закручивается вокруг стационарной точки, а траектория Т2 уходит, раскручиваясь, от цикла.
Рис. 3. «Большой» неустойчивый цикл в системы Льенара с функциями (80). а — общий вид; б — поведение траекторий вблизи прямой х = -1.
В правой части графика наблюдается сильное «уплощение» траекторий вблизи прямой х = -1. Увеличенная картина области уплощения (обозначенная на рис. 3,а пунктиром) представлена на рис. 3,б.
Для рассмотренной выше системы Льенара (Рі на рис. 2) с помощью обратного преобразования (75) построена соответствующая ей квадратичная система (система указана с учетом округления значений параметров):
X = 0.99х2 + ху + х + у, ( )
у = —0.58х2 + 0.17ху + 0.6у2 — 2х — у. ( )
«Большой» цикл для указанной квадратичной системы (81) (соответствующий циклу системы Льенара на рис. 3) представлен на рис. 4.
Рис. 4. Поведение траекторий системы (81). а — общий вид; б — устойчивый цикл в квадратичной системе.
Траектория Тх, выпущенная из окрестности нулевой стационарной точки, делает около нее несколько оборотов и начинает закручиваться вокруг второй стационарной точки. Таким образом, траектория Тх «наматывается» на цикл, расположенный вокруг
а р2
р1
Г/ }Т1
1
1 /
\ \ 7
ч _
\Т,
Рис. 5. Поведение траекторий квадратичной системы (82).
а — общий вид; б — увеличенный вид вблизи стационарных точек; в — окрестности нулевой стационарной точки.
второй стационарной точки, извне. Другая траектория (рис. 4,а) раскручивается во-
круг второй стационарной точки и наматывается на цикл изнутри. «Амплитуда» траектории Т1 велика по сравнению с «амплитудой» траектории Т2, поэтому траектория Т2 не видна на рис. 4, а. Устойчивый цикл, «зажатый» между траекториями Т1 и Т2, хорошо виден на рис. 4,б.
В ходе компьютерных экспериментов были получены «большие» циклы для системы Льенара с параметрами, соответствующими кривой С на рис. 2.
На рис. 5 изображен «большой» цикл для квадратичной системы
X = —0.085912х2 + ху + у, (82)
у = —0.078034х2 — 0.25774ху + 0.46339у2 — х, ( )
параметры которой соответствуют точке Р2, лежащей на кривой С (рис. 2). Этот цикл изображен штриховой линией.
Траектория Т1, выпущенная из точки Р1, проходя вблизи нулевой стационарной точки и далее через точку Р2, начинает наматываться на цикл, расположенный вокруг второй стационарной точки. Другая траектория Т2 раскручивается вокруг второй стационарной точки и наматывается на цикл изнутри.
Используя метод сведения квадратичной системы к системе Льенара, получим для квадратичной системы (83) соответствующую ей систему Льенара (68) с функциями
/2322602592277 537 \ ж
9 ^ 8796093022208‘Т + 1250) \х + 1112.317/5000 ’
/ 6972711181226737 3 2653130751809537 2 51951 Л ж(ж+1)3
9(ж) - ^72057594037927936Ж + 2251799813685248‘г’ + 25000Ж + ) \х + 1|231Г/25оо •
(83)
«Большой» цикл для полученной системы изображен на рис. 6. Траектория Т1 сматывается с цикла, обозначенного штриховой линией, и закручивается вокруг стационарной точки. Траектория Т2, сматываясь с цикла, уходит на бесконечность.
X
■20
Г" 1 1 : ! ! -
Ъ ✓-
Т Т2 Ч *т, 1 V
| -
:
:
Рис. 6. Поведение траекторий системы Льенара в окрестности ненулевой стационарной точки. а — общий вид; б — увеличенный вид, поведение траектории в области уплощения; в — большее увеличение вблизи прямой х = — 1.
Для квадратичной системы (82) и для системы Льенара с функциями (83) циклы изображены штриховыми линиями (рис. 5 и рис. 6). Связано это с тем, что скорость «скручивания» и «раскручивания» траекторий систем вблизи циклов в этих случаях
i________I_______I________t 1 I
8 -06 -04 -02 rj. 0 02 04 06
Рис. 7. Уплощение траекторий.
велика. Для квадратичной системы (82) траектории Ti и T2, делая всего несколько оборотов, «слипаются» в очень близкие траектории, неразличимые на маломасштабном рисунке (рис. 5). Между этих траекторий «зажат» устойчивый цикл, обозначенный штриховой линией. Для системы Льенара (рис. 6) траектории Ti и T2 достаточно быстро «расходятся» и в области между ними «зажат» неустойчивый цикл.
В других экспериментах обнаружено интересное явление — существование некоторых «предельных кусков» непериодических траекторий. Последнее существенно осложняет качественный анализ квадратичных систем.
На рис. 7 для системы Льенара (68) с функциями
(72x + 60)x
FqiX) = -----П-----’
x +1
^ . . , 2876 3 2175 2 6 , x
Gq{x) = (——ж3 н------—Ж- + -ж + 1) ——
5 5 5 x +1
представлено поведение траектории, которая раскручивается от состояния равновесия и затем уходит на бесконечность. Для указанной системы выполняется условие Li = L2 =0 и L3 = 0.
Здесь наблюдается сильное уплощение траекторий в нижней области рисунка. Траектории в области уплощения очень близко подходят к стационарной точке (расстояние между стационарной точкой (0,0) и областью уплощения h = 0.026).
Компьютерное моделирование и вычислительные эксперименты, представленные в статье, проводилось с помощью математического пакета MatLab. Для построения траекторий квадратичных систем и систем Льенара в виде (70) использовались встроенные функции приближенного решения дифференциальных уравнений ode. Однако для каждого случая оказалось необходимым подбирать индивидуальные параметры, задаваемые для расчета траекторий движения, такие как абсолютная и относительная точности, первоначальный и максимальный шаги, время расчета. Для получения некоторых результатов (фазовых портретов неустойчивых циклов), приходилось предварительно исследовать систему в обратном времени. Немаловажным фактором является и то, что даже на мощном компьютере расчет одной траектории при некоторых
значениях параметров занимает значительное время. Так, например, исследование области параметров системы Льенара, соответствующих существованию четырех циклов (рис. 2), заняло несколько месяцев (примерно месяц чистого машинного времени на двухядерном Pentium 4).
Таким образом, даже при использовании современных мощных технических средств и специализированных математических пакетов исследование систем дифференциальных уравнений методами компьютерного моделирования оказывается трудоемким процессом.
Литература
1. Баутин Н.Н. Об одном дифференциальном уравнении, имеющем предельный цикл // ЖТФ, 1939. Т. 9. Вып. 7.
2. Баутин Н. Н. О числе предельных циклов, рождающихся при изменении коэффициентов из состояний равновесия типа фокус или центр // Мат. сборник (Н.С.). 1952. Т. 30(72). Вып. 1. С. 181-196. (Transl. into English by F. V. Atkinson and published by the AMS in 1954 as Translation Number 100, 396-413; reprint, AMS Transl. (1) 5 (1962), pp. 396-413.)
3. Андронов А. А., Леонтович Е. А. Рождение предельных циклов из негрубого фокуса или центра и от негрубого предельного цикла // Мат. сборник, 1956. Т. 40. Вып. 2. С. 179.
4. Андронов А. А., Витт А. А., Хайкин С. Э. Теория колебаний. 2-е изд. М.: Физматгиз, 1959; М.: Наука, 1981.
5. Черкасс Л. А. Число предельных циклов автономной системы второго порядка // Дифференциальные уравнения, 1976. Т. 5. С. 666-668.
6. Perko L. M. Global Families of Limit Cycles of Planar Analytic Systems // Trans. Amer. Math. Soc. 1990. Vol. 322. P. 627-656.
7. Blows T. R., Perko L. M. Bifurcation of Limit Cycles from Centers. Preprint Univ. N. Arizona, 1990.
8. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892.
9. Баутин Н. Н., Леонтович Е. А. Методы и приемы качественного исследования динамических систем на плоскости. М.: Наука, 1976.
10. Marsden J., McCracken M. Hopf bifurcation and its applications. New York: Springer, 1976.
11. Lloyd N. G., Pearson J. REDUCE and the bifurcation of limit cycles // Journal of Symbolic Computation. 1990. Vol. 9, issue 2. P. 215-224.
12. Lynch S. Symbolic computation of Lyapunov quantities and the second part of Hilbert’s sixteenth problem // Differential Equations with Symbolic Computations. Wang, Dongming; Zheng, Zhiming (Eds.), Series: Trends in Mathematics, 2005. P. 1-26.
13. Yu P. Computation of normal forms via a perturbation technique // J. Sound Vibr. 1998. Vol. 211. P. 19-38.
14. Серебрякова Н. Н. О поведении динамической системы с одной степенью свободы вблизи тех точек границы области устойчивости, где «безопасная» граница переходит в «опасную» // Известия АН СССР. ОТН Механика и машиностроение. 1959. №2. С. 178-182.
15. Lloyd N. G., Pearson J. Five limit cycles for a simple cubic system // Publicacions Matem‘atiques. 1997. Vol. 41. P. 199-208.
16. Yu P., Han M. Twelve limit cycles in a cubic case of the 16th Hilbert problem // Int. J. Bifurcations and Chaos. 2005. Vol. 15, issue 7. P. 2191-2205.
17. Леонов Г. А. Семейство трансверсальных кривых двумерных динамических систем // Вестн. С.-Петерб. гос. ун-та. 2006. №4. С. 48-78.
18. Kuznetsov N. V., Leonov G. A. Computation of the first Lyapunov quantity for the second-order dynamical system. Third IFAC Workshop Periodic Control System, 2007.
19. Леонов Г. А. Критерий существования циклов в квадратичных системах // Вестн. С.-Петерб. гос. ун-та. 2007. №3. C. 1-29.
20. Leonov G. A. Hilbert’s 16th problem for quadratic system. New method based on a transformation to the Lienard equation // International journal of bifurcation and chaos. Vol. 18, issue 3, 2008. P. 877-884.
21. Lefschetz S. Differential Equations: Geometric Theory. New York: Interscience Publishers, 1957.
22. Cesari L. Asymptotic Behavior and Stability Problems in Ordinary Differential Equations. Berlin: Springer, 1959.
23. Hartman P. Ordinary differential equation. NY.: John Willey & Sons, 1964.
24. Leonov G.A., Kuznetsov N. V. Time-Varying Linearization and Perron effects // International journal of bifurcation and chaos. 2007. Vol. 17, issue 4. P. 1-29.
25. Leonov G.A. Strange attractors and classical stability theory. Saint-Petersburg State University Press, 2008.
26. Зорич В. А. Математический анализ. Часть I, II. М.: Наука, 1984.
27. Hale Jack K., Kocak Huseyin. Dynamics and Bifurcations. Springer, 1991.
28. Albarakati W. A., Lloyd N. G., Pearson J. M. Transformation to Lienard form // Electronic Journal of Differential Equations. Vol. 2000, N 76. P. 1-11.
29. Леонов Г. А. Проблема оценки числа циклов двумерных квадратичных систем с точки зрения нелинейной механики // Украинский математический журнал. 1998. Том 50, № 1. С. 4857.
30. Арнольд В. И. Экспериментальная математика. М.: Фазис, 2005.
31. Shi S. L. A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems // Sci. Sinica. 1980. Vol. 23. P. 153-158.
Статья поступила в редакцию 10 февраля 2008 г.
