CC BY
89
ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
УДК 378.147.88:378.016:51
ББК В1р+Ч448.026.6 ГРНТИ 14.35.09; 14.85.35 Код ВАК 5.8.2
Бодряков Владимир Юрьевич,
доктор физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой высшей математики и методики обучения математике, Институт математики, физики, информатики и технологий, Уральский государственный педагогический университет; 620091, Россия, г. Екатеринбург, пр-т Космонавтов, 26; e-mail: Bodryakov_VYu@ei.ru
Быков Антон Александрович,
старший преподаватель кафедры высшей математики и методики обучения математике, Институт математики, физики, информатики и технологий, Уральский государственный педагогический университет; 620091, Россия, г. Екатеринбург, пр-т Космонавтов, 26; e-mail: bykov_antony@mail.ru
ЦИФРОВЫЕ ЛАБОРАТОРНЫЕ РАБОТЫ ПО МАТЕМАТИКЕ КАК СОВРЕМЕННЫЙ ИНСТРУМЕНТ ФОРМИРОВАНИЯ ОБУЧАЮЩЕГОСЯ-ИССЛЕДОВАТЕЛЯ
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: лабораторные работы; математика; методика преподавания математики; экспериментальное мышление; экспериментально-лабораторный подход; цифровое мышление; цифровые технологии; исследовательская деятельность
АННОТАЦИЯ. В условиях ускоряющейся цифровизации общества формирование функционально грамотного, исследовательского мышления у обучающихся является трудной, но очень важной задачей. Представляется, что математика является одной из наиболее подходящих дисциплин для этого. А соответствующей решению задачи удобной формой проведения занятий являются лабораторные работы по математике (ЛРМ). Действительно, в основе ЛРМ может лежать математическая модель какого-либо реального явления или процесса; в ходе выполнения ЛРМ обучающимся придется проводить натурный и/или виртуальный эксперимент с использованием современного цифрового оборудования, с цифровой обработкой полученных данных; возможно, придется уточнять или модернизировать построенную математическую модель или схему опыта и вновь повторять его. В качестве иллюстрации авторы представляют несколько прошедших апробацию цифровых лабораторных работ по математике, в том числе использующих возможности «Цифровой лаборатории по математике» производства ООО «Научные развлечения» (Москва). Наблюдение за ходом выполнения работ показало, что лабораторные работы по математике, особенно сопровождаемые широким, но целесообразным, применением цифровых инструментов, вызывают активный интерес современных подростков. Происходит заметное «смещение» мышления обучающихся от репродуктивного уровня простого инструктивного исполнения к частично-исследовательскому и даже к исследовательскому уровню. Последовательно решая экспериментальные и/или теоретические задачи, возникающие при выполнении ЛРМ, подросток понимает свои дефициты в определенных разделах математики, и осознанно восполняет их, - самостоятельно или с помощью педагога. Одновременно формируются как конкретные умения, так и личность (само)обучающегося гражданина-исследователя.
БЛАГОДАРНОСТИ: исследование выполнено при поддержке университетского гранта ФГБОУ ВО «УрГПУ» 2021 года (научный проект № 210207 «Разработка методики постановки и проведения цифровых лабораторных работ по математике для повышения уровня функциональной математической грамотности будущих учителей»).
ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Бодряков, В. Ю. Цифровые лабораторные работы по математике как современный инструмент формирования обучающегося-исследователя / В. Ю. Бодряков, А. А. Быков. -Текст : непосредственный / / Педагогическое образование в России. - 2022. - № 3. - С. 148-159.
Bodryakov Vladimir Yur'evich,
Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Head of Department of Higher Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Institute of Mathematics, Physics, Informatics and Technologies, Ural State Pedagogical University, Ekaterinburg, Russia
Bykov Anton Aleksandrovich,
Senior Lecturer of Department of Higher Mathematics and Methods of Teaching Mathematics, Institute of Mathematics, Physics, Informatics and Technologies, Ural State Pedagogical University, Ekaterinburg, Russia
DIGITAL MATHEMATICAL LABORATORY WORKS
AS A MODERN TOOL FOR FORMING THE STUDENT-RESEARCHER
KEYWORDS: laboratory works; maths; methods of teaching mathematics; experimental thinking; experimental laboratory approach; digital thinking; digital technologies; research activities
ABSTRACT. In the context of the accelerating digitalization of society, the formation of functionally competent, research thinking of students is a difficult, but very important task. It seems that mathematics is one of the most convenient disciplines for this. And corresponding to the solution of the problem, a con-
© Бодряков В. Ю., Быков А. А., 2022
venient form of conducting classes is laboratory work in mathematics (LWM). Indeed, LWM can be based on a mathematical model of some real phenomenon or process; in the course of performing LWM, adolescents will have to conduct a full-scale and/or virtual experiment using modern digital equipment, with digital processing of the data obtained; it may be necessary to refine or modernize the constructed mathematical model or experimental scheme.
As an illustration, the authors present several approved digital laboratory works in mathematics, including those using the capabilities of the Digital Laboratory for Mathematics, produced by Scientific Entertainment LLC (Moscow). Observing the progress of the work has shown that laboratory work in mathematics, especially accompanied by a wide, but expedient, use of digital tools, arouses the active interest of modern adolescents. There is a noticeable shift in the thinking of students from the reproductive level of simple instructional execution to a partial research and even research level. Consistently solving the experimental and/or theoretical problems that arise when performing LWM, a teenager understands his deficiencies in certain sections of mathematics, and consciously fills them up, either independently or with the help of a teacher. At the same time, both specific skills and the personality (self) of a student citizen-researcher are formed.
ACKNOWLEDGMENTS: the study was supported by a university grant from the USPU 2021 (scientific project No. 210207 "Development of a methodology for setting up and conducting digital laboratory work in mathematics to increase the level of functional mathematical literacy of future teachers").
FOR CITATION: Bodryakov, V. Yu., Bykov, A. A. (2022). Digital Mathematical Laboratory Works as a Modern Tool for Forming the Student-Researcher. In Pedagogical Education in Russia. No. 3, pp. 148-159.
B1
б
»ведение. Как известно, церебральные психомоторные связи играют существенную, а на ранних этапах и решающую, роль в когнитивном развитии человека (см., например, обзор [36]). По мере развития личности включаются и другие механизмы развития, но роль психомоторных связей остается существенной на протяжении всей жизни человека. Отражение этот хорошо известный психолого-
педагогической общественности факт находит, в частности, в подчеркивании систем-но-деятельностной основы современного обучения по ФГОС1.
1 Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (ФГОС ООО): утв. приказом Министерства просвещения № 287 от 31.05.2021.
Рис. 1. «Конус обучения» Эдгара Дейла
Наглядное сравнение различных техник обучения, в том числе имитации реальной деятельности, дает «Конус обучения» профессора государственного университета штата Огайо, Эдгара Дейла (1900-1985), представленный на рисунке 1. Наиболее эффективными являются методы обучения, содержащие имитацию реальной деятельности или, еще лучше, фактическое выполнение реального профессионально ориентированного действия.
По мнению авторов, разделяющих взгляды, в основном зарубежных методистов исследователей [24; 27; 29-31; 33; 35; 36; 3840], когнитивно-деятельностная основа может и должна стать ключевой при обучении математике [5]. Между тем когнитивно-деятельностный потенциал обучения математике не осознан и не реализован в должной мере. Мы полагаем, и наш педагогический опыт (см., например, работы [2-8; 15]) убедительно свидетельствует в пользу этого
мнения, что лабораторные работы по математике (ЛРМ), совмещающие в себе теоретическую подготовку (работа «математика-теоретика», когнитивный компонент) и практическую, желательно натурную, реализацию (работа «математика-экспериментатора», де-ятельностный компонент), являются действенным и эффективным воплощением ко-гнитивно-деятельностного подхода к обучению математике.
О том же свидетельствуют работы ряда отечественных и зарубежных методистов ([11-13; 20; 22; 23; 25; 26; 28; 32; 34] и др.). Так, И. В. Кисельников отмечает, что одной из форм обучения математике, активно стимулирующей познавательную деятельность учащихся, являются лабораторные работы [13]. Реализуя возможности наглядно-модельного обучения математике, они способствуют:
- развитию и воспитанию ценных вычислительных и экспериментальных навыков и умений;
- повышению уровня наглядности материала на уроках математики;
- более глубокому усвоению материала учащимися;
- развитию логического мышления учащихся;
- развитию у учащихся навыков работы с литературой и др.
З. Ф. Зарипова в исследовании [11] делает выводы о том, что:
- лабораторные работы по математике обладают определенной методологической нагрузкой, мощным потенциалом межпредметных и внутрипредметных связей;
- лабораторные работы по математике при правильной организации и на подходящем материале формируют умения, навыки, готовность к профессионально ориентированной экспериментальной деятельности;
- исходя из состава и предметного содержания экспериментально-исследовательской деятельности, можно оценить уро-
Организация деятельности на;
вень готовности выпускников к выполнению функций будущей профессиональной деятельности и др.
Ряд авторов подчеркивают, что лабораторные работы по математике будут эффективно способствовать решению педагогических задач, которые ставит преподаватель при обучении математике современных подростков, лишь при объемном, но целесообразном применении цифровых технологий [2-4; 6-9; 12; 14-17; 19; 20; 23; 32; 34]. Особенности обучения математике современных «цифровых подростков» систематически обсуждаются на страницах научно-методических журналов информационно-образовательной направленности (см., например, [1; 4; 10; 18; 20; 21]). Цифровые технологии могут гармонично применяться на любых этапах ЛРМ (подготовки, выполнения, обработки данных, представления результатов и др.). Кроме того, поскольку нужно учить математике обучающихся с самым разным уровнем предметной подготовленности, ЛРМ должны носить уровне-вый характер. Например, как в [23], - трехуровневый характер (табл.).
В настоящее время лабораторным работам по математике не уделяется достаточного внимания. ЛРМ, как правило, выполняются не систематически, от случая к случаю, и лишь некоторыми учителями [23]. Причиной этого являются недооценка лабораторных работ, отсутствие необходимого учебного оборудования, недостаток методических разработок по использованию цифровых технологий в обучении математике, но в качестве главной причины, по-видимому, следует назвать отсутствие убежденности нынешних педагогов и управленцев в сфере образования в возможности и необходимости использования ЛРМ как эффективного педагогического инструмента обучения математике современных студентов.
Таблица
-исследовании в форме ЛРМ [23]
Уровень / Деят-ть Учитель Учащиеся Форма работы
Репродуктивный (по образцу) Готовит к уроку учебную карту с выделенными этапами исследования. Сам формулирует проблему, тему и цель исследования. Использует в учебном диалоге вопросы: В чем состоит проблема? Что такое гипотеза? Какое предположение можно выдвинуть? Как проверить гипотезу? и т. п. Следуют алгоритму работы, предложенному учителем. Заполняют учебные карты, листы, рабочие тетради и пр. Сверяют свои действия с образцом исследования, записанным на доске, учебной карте и пр. Отвечают на вопросы учителя Фронтальная на первых и последних этапах, в парах - на этапах сбора, систематизации материала исследования и формулировки гипотезы
ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ В РОССИИ. 202 2. № 3 151
Продолжение таблицы
Уровень / Деят-ть Учитель Учащиеся Форма работы
Частично -исследовательский Готовит к уроку схему (на доске, в презентации) с названиями этапов исследования. Помогает учащимся сформулировать проблему, тему и цель исследования, корректирует их. Направляет деятельность учащихся в русло исследовательской работы. Может дать направление в поиске доказательства гипотезы. Использует вопросы: С чего обычно начинают исследование? Что нужно выяснить? Как это можно сделать? Верный ли вывод вы сделали? Все ли случаи рассмотрели? и т. п. Самостоятельно планируют и выполняют исследовательскую работу. Сами выбирают способ представления информации. При необходимости могут попросить помощь у учителя. Получают оценку учителя за каждый этап исследовательской работы Фронтальная на первых этапах; в парах или группах - на этапах сбора, систематизации и формулировки гипотезы
Исследовательский Подводит учащихся к самостоятельной формулировке проблемы, темы и цели исследования. Создает условия для исследовательской деятельности: использование карточек-подсказок, вспомогательных задач, дополнительного материала, ссылок на интернет-источники, организует деловое общение в группе. При наблюдении за работой учащихся использует вопросы: Ясна ли цель работы? Все ли понятно в выданных материалах? и т. п. Планируют и проводят исследовательскую деятельность самостоятельно, без помощи и консультации учителя. Оформляют результаты исследования и представляют их классу в виде презентации, плаката и пр. Получают оценку класса за результат исследования и его защиту Групповая, парная или индивидуальная работа. Фронтальная - на этапе выводов по результатам исследовательской работы
K. Das по итогам своего исследования [26] подчеркивает важность лабораторной учебной деятельности при обучении математике и дает следующие рекомендации:
- Лабораторное обучение математике может осуществляться на всех образовательных уровнях путем интеграции лабораторных работ по математике в обычную учебную программу - от начального школьного уровня до уровня подготовки учителей в педагогических колледжах и вузах.
- Студенты, изучающие математику, и учителя математики должны быть обучены разнообразному использованию математических лабораторий при изучении методологии математики.
- Учитель математики строит научно-образовательную среду с помощью математического оборудования.
- Выполнение обучающимися лабораторных работ по математике должно оцениваться специальными отметками.
- В каждой школе должна быть создана математическая лаборатория, и обучение подростков математике непременно должно осуществляться с ее использованием.
- В каждом вузе, где присутствует изучение математики, должна быть обязательно построена математическая лаборатория.
- Обучение лабораторному методу преподавания математики должно входить в
программу повышения квалификации учителей математики.
Цель настоящей работы состоит в представлении на нескольких примерах лабораторных работ по математике в качестве инструмента формирования исследовательских мышления и умений математика-экспериментатора, т. е. обучающегося, на практике осваивающего экспериментально-лабораторный подход к изучению математики.
Результаты и обсуждение. В качестве примера, с учетом ограниченного формата журнальной статьи, представим две ЛРМ, кратко охарактеризовав их содержательную и методическую основы в соответствии с рекомендуемой формой отчета по ЛРМ (прил.). Работы выполняли студенты-третьекурсники, обучающиеся в УрГПУ по направлению подготовки «44.03.05 - Педагогическое образование. Математика и информатика», всего 44 чел. Апробация работ прошла также силами студентов Екатеринбургского автодорожного колледжа (ЕАДК). Работы выполняли 68 студентов 1 курса ЕАДК, поступившие в колледж на базе полного среднего образования. Выбранные темы ЛРМ близки к производственным задачам, решаемым выпускниками ЕАДК. Например, при определении площади объекта сложной формы при проведении циф-
ровой аэрофотосъемки местности; измерение динамики охлаждения тел важно в технологии автодорожного строительства. Добавим к сказанному, что задания ЛРМ контекстно близки к заданиям международного сравнительного исследования качества образования PISA, изучающего уровень
сформированности функциональной, в частности математической, грамотности 15-летних подростков. Так, в задании «Нефтяное пятно» (рис. 2) требуется, используя масштаб карты, оценить размер нефтяного пятна в км2 (цит. по [37]).
Рис. 2. Нефтяное пятно
ЛРМ-1. Определение площадей геометрических фигур методом Монте-Карло.
Цель: освоение применения цифрового (пиксельного) метода Монте-Карло (М-К) для измерения площади плоской фигуры.
Задачи: (1) изучить учебную литературу по методу Монте-Карло; (2) разработать алгоритм и создать компьютерную программу для определения площадей геометрических фигур цифровым методом Монте-Карло; (3) реализовать разработанный алгоритм на натурном объекте.
Оборудование и материалы: фигура для измерений (модель из цветной бумаги), мобильное (сканирующее) устройство, ПК со стандартным ПО.
1. Теория. Пусть окрашенная фигура, площадь которой требуется определить, имеет сложную форму (рис. 3), так что применение обычных геометрических методов определения площади путем разбиения фигуры на простейшие фигуры (треугольники) затруднено.
Рис. 3. Отсканированный многоугольник с масштабной линейкой
S "
Для измерения площади фигуры в этом случае можно применить цифровой метод Монте-Карло (метод М-К):
где n
Нш —,
п^го и
число случайных точек (пиксе-
лей), модельно «брошенных» в прямоугольник с известными размерами и, соответственно, с известной площадью (например, лист бумаги формата А4); m - число случайных точек (пикселей) из n, имеющих цвет фигуры.
2. Ход работы. Для компьютерной реализации идеи метода был использован язык программирования Python, так как он является одним из языков с простым синтаксисом и с поддержкой многих модулей. Для работы с изображениями в Python был использован модуль для работы с изображениями Pillow, для псевдографического вывода результата был использован модуль BeautifulTable, и конечный результат был записан в файл MS Excel с использованием модуля Openpyxl.
Также программа создавала книгу MS Excel с таблицей - протоколом испытаний, где фиксировались: n - количество сгенерированных случайных точек; m - количество случайных точек, попавших в много-
угольник; S_exp - площадь многоугольника, найденная по методу Монте-Карло, то есть отношение m/n, умноженное на коэффициент перевода из пкс2 в см2. «Точная» площадь многоугольника, вычисленная геометрически - как сумма площадей трех составляющих фигуру треугольников, составила S = 79,01 ± 0,26 см2.
3. Результаты и обсуждение. Ломаная линия относительных частот (рис. 4), как и следует при достаточно большом (более 6 000) числе наблюдений, демонстрирует тенденцию к выходу на постоянный уровень. «Экспериментальная» площадь <Sexp> была оценена как среднее арифметическое между случайными значениями площади для n от 6 000 до 10 000. Найдено, что <Sexp> = 79,6о см2 отличается от «точного» значения S = 79,01 см2 на 0,59 см2, так что относительная погрешность метода составила »0,75%, что можно считать хорошим результатом.
Рис. 4. Ломаная линия относительнъх частот при определении площади многоугольника методом Монте-Карло. Прямая — «точная» площадь
4."Выводы. В этом разделе студенты подвели итоги ЛРМ, зафиксировав основной результат, решение поставленных задач и достижение цели ЛРМ.
Комментарий к ЛРМ-1. Студенты заранее (модель перевернутого класса) получили задание самостоятельно ознакомиться с теорией метода Монте-Карло, а также подготовить идеи относительно компьютерной реализации метода (разработать блок-схемы программ для ПК). В процессе краткого собеседования перед началом ЛРМ выяснилось, что выделяются три группы студентов, готовых к выполнению ЛРМ, соответственно на репродуктивном (большинство), частично-исследовательском и исследовательском уровнях. Наиболее подготовленные студенты не только предложили идею компьютерной реализации метода М-К, но и с помощью преподавателя написали и отладили компьютерную программу (исследователь-
ский уровень). Само выполнение ЛРМ проходило в интерактивном стиле со свободным обменом идеями и результатами между парными бригадами.
Студентами-математиками была предложена идея определения попадания случайной точки в фигуру неизвестной площади. Так как многоугольник имеет выделенный (зеленый) цвет, то можно определить, попала ли случайная точка в многоугольник по цвету пикселя. Если цвет пикселя случайной точки будет зеленым, то точка попала в фигуру; не зеленым - не попала. Созданная компьютерная программа могла генерировать вспомогательные изображения, которые использовались для наглядности и отладки программы (рис. 5). Неоспоримым преимуществом данного метода оценки площади контрастно окрашенной фигуры является отсутствие необходимости в определении уравнений ее границ.
10 точек
100 точек
1 000 точек
Рис. 5. Отладочные изображения многоугольника со случайными точками
ЛРМ-2. Изучение закона охлаждения тела путем теплообмена.
Цель: освоение математической модели, описывающей охлаждение тела путем теплообмена с окружающей средой.
Задачи: (1) изучить учебную литературу по физическим механизмам и математическим моделям теплообмена тела с окружающей средой; (2) изучить методы измерения и фиксации температуры тела; (3) с помощью оборудования «Цифровой лаборатории по математике» провести динамические измерения температуры Т(£) тела, находящегося в условиях теплообмена с окружающей средой; (4) провести верификацию математической модели охлаждения тела при теплообмене.
Оборудование и материалы: оборудование «Цифровой лаборатории по математике» (датчик температуры, иБВ-кабель, стакан с горячей водой, компьютер с программой «ЦЛ по математике), ПК со стандартным ПО.
1.°Теория. Как уже отмечено, согласно математической модели явления, скорость dT(t)/dt изменения температуры тела Т(£) со временем t прямо пропорциональна разно-
сти T(t) - Ta, где To - температура окружающей среды. С использованием физического смысла производной как скорости процесса сказанное может быть выражено в форме математической модели:
£=- k (T - ToX
где k - коэффициент теплообмена (k = Const > 0). Таким образом, если измерить временную зависимость температуры T(t) нагретого тела, остывающего в среде с неизменной температурой To, то зависимость dT/dt vs. T должна быть линейной, с угловым коэффициентом, равным -k. По «отсечке» на оси ординат определяется величина kTo и затем температурный параметр To.
2.°Ход работы. После сборки экспериментальной установки (рис. 6) устанавливаются подходящие рабочие параметры компьютерной программы: температурный диапазон 0 < T(°C) < 100, временной диапазон o < £(с) < 2 000 и др. Датчик температуры опускается в стакан с нагретой (до ~8o °С) водой и запускается компьютерная программа для фиксации результатов эксперимента.
Рис. 6. Экспериментальная установка к ЛРМ-2 «Изучение закона охлаждения тела путем теплообмена»
Рис. у. Кривая остъюания тела в ЛРМ-2 «Изучение закона охлаждения тела путем теплообмена»
3.°Результаты и обсуждение. Результаты эксперимента в графическом виде приведены на рисунке 7. Получен также протокол испытаний в табличном виде в формате .txt. Обработка данных проведена в таблице и с помощью инструментов MS Excel. На рисунке 8 приведена зависимость скорости изменения температуры тела dT/dt
от температуры тела Т. Видно, что точки dT/dt(T) удовлетворительно ложатся на прямую линию тренда в области температур 321 < Т(К) < 343 (48 < Т(°С) < 70). Методом наименьших квадратов (линейная регрессия) найдено, что коэффициент теплообмена равен к = (9,16 ± 0,з8>10-4 с-1, температурный параметр Т0 = 309,6 ± 13,2 К.
Рис. 8. Зависимость dT/dt vs. T в ЛРМ-2. Прямая — линейный тренд
4."Выводы. В этом разделе студенты подвели итоги ЛРМ, зафиксировав содержательный результат (подтверждение адекватности математической модели охлаждения тела путем теплообмена), решение поставленных задач и достижение цели ЛРМ.
Комментарий к ЛРМ-2. Эту работу, возможно, в наибольшей степени следует считать цифровой ЛРМ, так как для ее выполнения использовались «Цифровая ла-
боратория по математике» [19] разработки ООО «Научные развлечения» [17].
Как и в случае с ЛРМ-1, студенты заранее получили задание самостоятельно ознакомиться с физическим механизмом теплообмена, а также с математической моделью явления: скорость dT(t)/dt изменения температуры тела Т(£) (скорость охлаждения) прямо пропорциональна разности Т(0 - Т0. В процессе краткого собеседова-
ния перед началом ЛРМ вновь выяснилось, что выделяются три группы студентов, готовых к выполнению ЛРМ, соответственно на репродуктивном (большинство), частично-исследовательском и исследовательском уровнях. Наиболее подготовленные студенты предложили идею верификации математической модели явления теплообмена (исследовательский уровень). Само выполнение ЛРМ проходило в интерактивном стиле со свободным обменом идеями между парными бригадами; отметим явный дефицит у подростков школьных навыков в подготовке и осуществлении учебной лабораторной и проектно-исследовательской деятельности. Последнее лишний раз подчеркивает актуальность проведения ЛРМ на постшкольных уровнях образования. И становится особенно актуальным при подготовке будущих учителей.
Заключение. В заключение настоящей статьи отметим, что, как показало наше наблюдение за ходом выполнения серии ЛРМ, в частности описанных здесь, лабораторные работы по математике, особенно сопровождаемые целесообразным применением цифровых инструментов, вызывают активный самоподдерживающийся интерес современных студентов. Более того, происходит «смещение» мышления обучающихся от репродуктивного уровня простого исполнения по инструкции к частично-исследовательскому и даже исследовательскому, когда обучающийся сам генерирует идеи улучшения существующих или постановки новых ЛРМ. Последовательно решая экспериментальные и/или теоретические задачи, возникающие при выполнении ЛРМ, подросток осознает свои дефициты в конкретных математических разделах и восполняет их - самостоятельно или с помощью педагога. Одновременно формиру-
ются как конкретные теоретические и экспериментальные умения, так и деятель-ностная личность (само)обучающегося гражданина-исследователя. Возможно, это является наиболее значимым итогом экспериментально-лабораторного подхода к обучению математике.
ПРИЛОЖЕНИЕ
Форма отчета по лабораторной работе по математике
Ф.И.О.:__, гр.__
Дата:_
Тема: указывается название работы.
Цель: указывается цель работы. Цель вытекает из темы ЛРМ.
Задачи: указываются шаги 1., 2., 3., ..., ведущие к цели.
Оборудование и материалы: дается краткое описание использованного оборудования и материалов, включая программное обеспечение.
1.°Теория. Излагается теория по теме работы с указанием цитируемых первоисточников.
2.°Ход работы. Дается описание хода работы, желательно — в виде последовательного алгоритма, возможно — в виде блок-схемы. Должно быть ясно: что делали, как, в какой последовательности, как и что фиксировали в качестве первичных результатов.
3."Результаты и обсуждение. Приводятся (в табличном и графическом виде) результаты экспериментов и теоретических расчетов. Проводится сопоставление эксперимента с теорией.
4.°Выводы. Кратко подводятся итоги работы, делается обоснованное суждение о том, решены ли задачи 1., 2., 3., ... и достигнута ли цель работы.
Список цитированной литературы. Приводятся надлежащим образом оформленные ссылки на процитированные первоисточники.
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамович, С. М. О развитии взглядов на роль технологий в математическом образовании: от машины-учителя к теориям интеграции формальных рассуждений и компьютерных вычислений / С. М. Абрамович // Информатика и образование. - 2018. - № 6. - С. 58-64.
2. Аксенова, О. В. Лабораторные работы по математике с применением информационных технологий / О. В. Аксенова, В. Ю. Бодряков // Ученые записки ИУО РАО. - 2018. - № 1 (65). - С. 12-15.
3. Аксенова, О. В. Натурный эксперимент с применением средств информационно -коммуникационных технологий и мобильных устройств как инструмент формирования исследовательских умений студентов / О. В. Аксенова, В. Ю. Бодряков // Вестник РУДН. Серия: Информатизация образования. - 2018. - Т. 15, № 4. - С. 363-372.
4. Алексеевский, П. И. Робототехническая реализация модельной практико-ориентированной задачи об оптимальной беспилотной транспортировке грузов / П. И. Алексеевский, О. В. Аксенова, В. Ю. Бодряков // Информатика и образование. - 2018. - № 8. - С. 51-60.
5. Бодряков, В. Ю. Когнитивно--деятельностный подход в обучении математике / В. Ю. Бодряков // Когнитивные исследования в образовании : сб. научных статей VII Международной научно-практической конференции. - Екатеринбург : УрГПУ, 2019. - С. 101-108.
6. Бодряков, В. Ю. Улучшаемые пиксельные оценки мер плоских множеств как методический подход к введению понятия «площадь фигуры» в курсе геометрии. Часть 1 / В. Ю. Бодряков, А. А. Быков // Математическое образование. - 2019. - № 4 (92). - С. 17-29.
7. Бодряков, В. Ю. Улучшаемые пиксельные оценки мер плоских множеств как методический подход к введению понятия «площадь фигуры» в курсе геометрии. Часть 2 / В. Ю. Бодряков, А. А. Быков // Математическое образование. - 2020. - № 1 (93). - С. 15-23.
8. Бодряков, В. Ю. Лабораторные работы по математике как инструмент формирования компонентов когнитивного и деятельностного мышления будущих педагогов / В. Ю. Бодряков, Л. И. Закирова / Формирование мышления в процессе обучения естественнонаучным, технологическим и математическим дисциплинам : материалы всероссийской научно-практической конференции. - Екатеринбург : УрГПУ, 2019. - С. 51-58.
9. Вербицкая, Н. О. Цифровая трансформация непрерывного образования: новый виток развития нейропедагогики / Н. О. Вербицкая // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия: Образование. Педагогические науки. - 2019. - Т. 11, № 3. - С. 6-20.
10. Денисов, И. В. Студенты сетевого поколения: латеральные профили и цифровые навыки / И. В. Денисов, И. А. Корецкая / / Информатика и образование. - 2019. - № 2. - С. 34-41.
11. Зарипова, З. Ф. Лабораторные работы по математике в учебно-воспитательном процессе нефтегазового вуза / З. Ф. Зарипова // Проблемы современного педагогического образования. - 2017. - № 56-5. -С. 54-61.
12. Кириллова, И. К. Лабораторный метод обучения как средство формирования инновационного потенциала будущих бакалавров / И. К. Кириллова, А. Я. Мельникова // Проблемы современного педагогического образования. - 2019. - № 64-4. - С. 91-94.
13. Кисельников, И. В. Лабораторные работы на уроках алгебры и начал математического анализа в старших классах общеобразовательной школы / И. В. Кисельников // Успехи современной науки и образования. - 2016. - Т. 4, № 10. - С. 39-41.
14. Креймер, М. А. Цифровое мышление в естественно-научном образовании / М. А. Креймер // Актуальные вопросы образования. - 2020. - Т. 3. - С. 27-31.
15. Кузовкова, А. А. Формирование познавательного интереса к математике у обучающихся в классах гуманитарно-эстетической направленности / А. А. Кузовкова, Р. Ф. Мамалыга, В. Ю. Бодряков // Математика в школе. - 2018. - № 2. - С. 35-42.
16. Малыгина, О. И. Методы реализации образовательных программ в эпоху цифрового мышления обучающихся / О. И. Малыгина // Актуальные вопросы образования. - 2020. - Т. 3. - С. 35-38.
17. Научные развлечения. - URL: https://nau-ra.ru/education/Basic-general/tsifroYye-laboratorii/ matematike-profilnyy/ (дата обращения: 04.10.2021). - Текст : электронный.
18. Пардала, А. Информатизация математического образования: дидактические возможности, опыт и зарубежные тенденции / А. Пардала // Информатика и образование. - 2019. - № 6. - С. 49-55.
19. Поваляев, О. А. Цифровая лаборатория по математике / О. А. Поваляев, Н. К. Ханнанов, С. В. Хо-менко. - М. : Ювента, 2016. - 68 с.
20. Стародубцев, В. А. Развивающая роль компьютерных моделирующих лабораторных работ / В. А. Стародубцев, О. Г. Ревинская // Информатика и образование. - 2006. - № 2. - С. 120-123.
21. Суворова, Е. Ю. Цифровое поколение: новые образовательные потребности / Е. Ю. Суворова // Информатика и образование. - 2021. - № 6. - С. 38-42.
22. Федосеев, В. М. Лабораторные работы по математике с развитием темы / В. М. Федосеев // Математика в школе. - 2010. - № 6. - С. 62-67.
23. Шабанова, М. В. Экспериментальная математика в школе. Исследовательское обучение : коллективная монография / М. В. Шабанова, Р. П. Овчинникова, А. В. Ястребов [и др.]. - М. : Издательский дом Академии Естествознания, 2016. - 300 с.
24. Alibali, M. W. Embodiment in mathematics teaching and learning: Evidence from learners' and teachers' gestures / M. W. Alibali, M. J. Nathan // Journal of the Learning Sciences. - 2012. - Vol. 21, No. 2. - P. 247-286.
25. Baharom, S. Effectiveness of teaching and learning method in concrete laboratory works / S. Baharom, R. Hamid, M. A. Khoiry, A. A. Mutalib, N. Hamzah, N. Kasmuri / / Pertanika Journal of Social Sciences & Humanities (Malasia). - 2016. - Vol. 24, No. 1. - P. 63-76.
26. Das, K. Significant of mathematics laboratory activities for teaching and learning / K. Das // International Journal on Integrated Education. - 2019. - Vol. 2, No. 5. - P. 19-25.
27. Goldin-Meadow, S. Gesturing gives children new ideas about math / S. Goldin-Meadow, S. W. Cook, Z. A. Mitchell // Psychological Science. - 2009. - Vol. 20, No. 3. - P. 267-272.
28. Ihendinihu, U. E. Comparative effects of mathematics laboratory resources on interest and achievement of students in mathematics / U. E. Ihendinihu / / Rivers State University Journal of Education. - 2020. - Vol. 23, No. 1&2. - P. 51-67.
29. Karlsson, W. L. Learning mathematics without a suggested solution method: Durable effects on performance and brain activity / W. L. Karlsson, J. Lithner, B. Jonsson, Y. Liljekvist, M. Norqvist, L. Nyberg // Trends in Neuroscience and Education. - 2015. - Vol. 4, No. 1-2. - P. 6-14.
30. Lakoff, G. Where mathematics comes from: How the embodied mind brings mathematics into being. Vol. 6 / G. Lakoff, R. E. Nunez. - New York : Basic Books, 2000. - 489 p.
31. Link, T. Walk the number line - an embodied training of numerical concepts / T. Link, K. Moeller, S. Huber, U. Fischer, H.-C. Nuerk // Trends in Neuroscience and Education. - 2013. - Vol. 2, No. 2. - P. 74-84.
32. Ma, J. Hands-on, simulated, and remote laboratories: A comparative literature review / J. Ma, J. V. Nickerson // ACM Computing Surveys (CSUR). - 2006. - Vol. 38, No. 3. - Article 7.
33. Manches, A. The role of physical representations in solving number problems: A comparison of young children's use of physical and virtual materials / A. Manches, C. O'Malley, S. Benford // Computers and Education. - 2010. - Vol. 54, No. 3. - P. 622-640.
34. Maschietto, M. Teachers, students and resources in mathematics laboratory / M. Maschietto // Selected Regular Lectures from the 12th International Congress on Mathematical Education. - Cham : Springer, 2015. -P. 527-546.
35. McNeil, N. M. Should you show me the money? Concrete objects both hurt and help performance on mathematics problems / N. M. McNeil, D. H. Uttal, L. Jarvin, R. J. Sternberg // Learning and Instruction. -2009. - Vol. 19, No. 2. - P. 171-184.
36. Northoff, G. All roads lead to the motor cortex: psychomotor mechanisms and their biochemical modulation in psychiatric disorders / G. Northoff, D. Hirjak, R. C. Wolf, P. Magioncalda, M. Martino. - Text : electronic // Molecular Psychiatry. - 2021. - Vol. 26. - P. 92-102. - URL: https://doi.org/10.1038/s41380-020-0814-5 (mode of access: 04.10.2021).
37. PISA: математическая грамотность. - Минск, РИКЗ, 2020. - 252 с.
38. Ritchie, S. J. Enduring links from childhood mathematics and reading achievement to adult socioeconomic status / S. J. Ritchie, T. C. Bates // Psychological Science. - 2013. - Vol. 24, No. 3. - P. 1301-1308.
39. Tran, C. Support of mathematical thinking through embodied cognition: Nondigital and digital approaches / C. Tran, B. Smith, M. Buschkuehl // Cognitive Research: Principles and Implications. - 2017. - Vol. 2, No. 1. - P. 1-18.
40. Uttal, D. H. Manipulatives as symbols: A new perspective on the use of concrete objects to teach mathematics / D. H. Uttal, K. V. Scudder, J. S. DeLoache // Journal of Applied Developmental Psychology. - 1997. -Vol. 18, No. 1. - P. 37-54.
REFERENCES
1. Abramovich, S. M. (2018). O razvitii vzglyadov na rol' tekhnologii v matematicheskom obrazovanii: ot mashiny-uchitelya k teoriyam integratsii formal'nykh rassuzhdenii i komp'yuternykh vychislenii [On the Development of Views on the Role of Technology in Mathematics Education: From the Machine-Teacher to Theories of Integration of Formal Reasoning and Computer Calculations]. In Informatika i obrazovanie. No. 6, pp. 58-64.
2. Aksenova, O. V., Bodryakov, V. Yu. (2018). Laboratornye raboty po matematike s primeneniem infor-matsionnykh tekhnologii [Laboratory Work in Mathematics Using Information Technology]. In Uchenye zapiski IUO RAO. No. 1 (65), pp. 12-15.
3. Aksenova, O. V., Bodryakov, V. Yu. (2018). Naturnyi eksperiment s primeneniem sredstv informatsion-no-kommunikatsionnykh tekhnologii i mobil'nykh ustroistv kak instrument formirovaniya issledovatel'skikh umenii studentov [Natural Experiment with the Use of Information and Communication Technologies and Mobile Devices as a Tool for the Formation of Students' Research Skills]. In Vestnik RUDN. Seriya: Informatizatsiya obrazovaniya. Vol. 15. No. 4, pp. 363-372.
4. Alekseevsky, P. I., Aksenova, O. V., Bodryakov, V. Yu. (2018). Robototekhnicheskaya realizatsiya model'noi praktiko-orientirovannoi zadachi ob optimal'noi bespilotnoi transportirovke gruzov [Robotic Implementation of a Model Practice-Oriented Problem of Optimal Unmanned Cargo Transportation]. In Informatika i obrazovanie. No. 8, pp. 51-60.
5. Bodryakov, V. Yu. (2019). Kognitivno-deyatel'nostnyi podkhod v obuchenii matematike [Cognitive-Activity Approach in Teaching Mathematics]. In Kognitivnye issledovaniya v obrazovanii: sb. nauchnykh statei VIIMezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii. Ekaterinburg, UrGPU, pp. 101-108.
6. Bodryakov, V. Yu., Bykov, A. A. (2019). Uluchshaemye piksel'nye otsenki mer ploskikh mnozhestv kak metodicheskii podkhod k vvedeniyu ponyatiya «ploshchad' figury» v kurse geometrii. Chast' 1 [Improved Pixel Estimates of Measures of Flat Sets as a Methodical Approach to the Introduction of the Concept of "Figure Area" in the Course of Geometry. Part 1]. In Matematicheskoe obrazovanie. No. 4 (92), pp. 17-29.
7. Bodryakov, V. Yu., Bykov, A. A. (2019). Uluchshaemye piksel'nye otsenki mer ploskikh mnozhestv kak metodicheskii podkhod k vvedeniyu ponyatiya «ploshchad' figury» v kurse geometrii. Chast' 2 [Improved Pixel Estimates of Measures of Flat Sets as a Methodical Approach to the Introduction of the Concept of "Figure Area" in the Course of Geometry. Part 2]. In Matematicheskoe obrazovanie. No. 1 (93), pp. 15-23.
8. Bodryakov, V. Yu., Zakirova, L. I. (2019). Laboratornye raboty po matematike kak instrument formiro-vaniya komponentov kognitivnogo i deyatel'nostnogo myshleniya budushchikh pedagogov [Laboratory Work in Mathematics as a Tool for the Formation of Components of Cognitive and Activity Thinking of Future Teachers]. In Formirovanie myshleniya v protsesse obucheniya estestvennonauchnym, tekhnologicheskim i matematiches-kim distsiplinam: materialy vserossiiskoi nauchno-prakticheskoi konferentsii. Ekaterinburg, UrGPU, pp. 51-58.
9. Verbitskaya, N. O. (2019). Tsifrovaya transformatsiya nepreryvnogo obrazovaniya: novyi vitok razvitiya neiropedagogiki [Digital Transformation of Continuous Education: A New Round of Development of Neuropeda-gogy]. In Vestnik Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Seriya: Obrazovanie. Pedagogicheskie nauki. Vol. 11. No. 3, pp. 6-20.
10. Denisov, I. V., Koretskaya, I. A. (2019). Studenty setevogo pokoleniya: lateral'nye profili i tsifrovye navyki [Network Generation Students: Lateral Profiles and Digital Skills]. In Informatika i obrazovanie. No. 2, pp. 34-41.
11. Zaripova, Z. F. (2017). Laboratornye raboty po matematike v uchebno-vospitatel'nom protsesse neftegazovogo vuza [Laboratory Work in Mathematics in the Educational Process of an Oil and Gas University]. In Problemy sovremennogo pedagogicheskogo obrazovaniya. No. 56-5, pp. 54-61.
12. Kirillova, I. K., Mel'nikova, A. Ya. (2019). Laboratornyi metod obucheniya kak sredstvo formirovaniya innovatsionnogo potentsiala budushchikh bakalavrov [Laboratory Method of Teaching as a Means of Forming the Innovative Potential of Future Bachelors]. In Problemy sovremennogo pedagogicheskogo obrazovaniya. No. 644, pp. 91-94.
13. Kisel'nikov, I. V. (2016). Laboratornye raboty na urokakh algebry i nachal matematicheskogo analiza v starshikh klassakh obshcheobrazovatel'noi shkoly [Laboratory Work in Algebra Lessons and Began Mathematical Analysis in the Senior Classes of a Comprehensive School]. In Uspekhi sovremennoi nauki i obrazovaniya. Vol. 4. No. 3, pp. 39-41.
14. Kreymer, M. A. (2020). Tsifrovoe myshlenie v estestvenno-nauchnom obrazovanii [Digital Thinking in Science Education]. In Aktual'nye voprosy obrazovaniya. Vol. 3, pp. 27-31.
15. Kuzovkova, A. A., Mamalyga, R. F., Bodryakov, V. Yu. (2018). Formirovanie poznavatel'nogo interesa k matematike u obuchayushchikhsya v klassakh gumanitarno-esteticheskoi napravlennosti [Formation of Cognitive Interest in Mathematics among Students in the Classes of Humanitarian and Aesthetic Orientation]. In Matematika v shkole. No. 2, pp. 35-42.
16. Malygina, O. I. (2020). Metody realizatsii obrazovatel'nykh programm v epokhu tsifrovogo myshleniya obuchayushchikhsya [Methods for the Implementation of Educational Programs in the Era of Digital Thinking of Students]. In Aktual'nye voprosy obrazovaniya. Vol. 3, pp. 35-38.
17. Nauchnye razvlecheniya [Scientific Entertainment]. URL: https://nau-ra.ru/education/Basic-general/ tsifrovye-laboratorii/matematike-profilnyy/ (mode of access: 04.10.2021).
18. Pardala, A. (2019). Informatizatsiya matematicheskogo obrazovaniya: didakticheskie vozmozhnosti, opyt i zarubezhnye tendentsii [Informatization of Mathematical Education: Didactic Opportunities, Experience and Foreign Trends]. In Informatika i obrazovanie. No. 6, pp. 49-55.
19. Povalyaev, O. A., Khannanov, N. K., Khomenko, S. V. (2016). Tsifrovaya laboratoriya po matematike [Digital Mathematics Lab]. Moscow, Yuventa. 68 p.
20. Starodubtsev, V. A., Revinskaya, O. G. (2006). Razvivayushchaya rol' komp'yuternykh modeliruyush-chikh laboratornykh rabot [The Developing Role of Computer Modeling Laboratory Work]. In Informatika i obrazovanie. No. 2, pp. 120-123.
21. Suvorova, E. Yu. (2021). Tsifrovoe pokolenie: novye obrazovatel'nye potrebnosti [Digital Generation: New Educational Needs]. In Informatika i obrazovanie. No. 6, pp. 38-42.
22. Fedoseev, V. M. (2010). Laboratornye raboty po matematike s razvitiem temy [Laboratory Work in Mathematics with the Development of the Topic]. In Matematika v shkole. No. 6, pp. 62-67.
23. Shabanova, M. V., Ovchinnikova, R. P., Yastrebov, A. V. et al. (2016). Eksperimental'naya matematika v shkole. Issledovatel'skoe obuchenie [Experimental Mathematics at School. Exploratory Learning]. Moscow. Izda-tel'skii dom Akademii Estestvoznaniya. 300 p.
24. Alibali, M. W., Nathan, M. J. (2012). Embodiment in Mathematics Teaching and Learning: Evidence from Learners' and Teachers' Gestures. In Journal of the Learning Sciences. Vol. 21. No. 2, pp. 247-286.
25. Baharom, S., Hamid, R., Khoiry, M. A., Mutalib, A. A., Hamzah, N., Kasmuri, N. (2016). Effectiveness of Teaching and Learning Method in Concrete Laboratory Works. In Pertanika Journal of Social Sciences & Humanities (Malasia). Vol. 24. No. 1, pp. 63-76.
26. Das, K. (2019). Significant of Mathematics Laboratory Activities for Teaching and Learning. In International Journal on Integrated Education. Vol. 2. No. 5, pp. 19-25.
27. Goldin-Meadow, S., Cook, S. W., Mitchell, Z. A. (2009). Gesturing Gives Children New Ideas about Math. In Psychological Science. Vol. 20. No. 3, pp. 267-272.
28. Ihendinihu, U. E. (2020). Comparative Effects of Mathematics Laboratory Resources on Interest and Achievement of Students in Mathematics. In Rivers State University Journal of Education. Vol. 23. No. 1&2, pp. 51-67.
29. Karlsson, W. L., Lithner, J., Jonsson, B., Liljekvist, Y., Norqvist, M., Nyberg, L. (2015). Learning Mathematics without a Suggested Solution Method: Durable Effects on Performance and Brain Activity. In Trends in Neuroscience and Education. Vol. 4. No. 1-2, pp. 6-14.
30. Lakoff, G., Nunez, R. E. (2000). Where Mathematics Comes from: How the Embodied Mind Brings Mathematics into Being. Vol. 6. New York, Basic Books. 489 p.
31. Link, T., Moeller, K., Huber, S., Fischer, U., Nuerk, H.-C. (2013). Walk the Number Line - an Embodied Training of Numerical Concepts. In Trends in Neuroscience and Education. Vol. 2. No. 2, pp. 74-84.
32. Ma, J., Nickerson, J. V. (2006). Hands-on, Simulated, and Remote Laboratories: A Comparative Literature Review. In ACM Computing Surveys (CSUR). Vol. 38. No. 3. Article 7.
33. Manches, A., O'Malley, C., Benford, S. (2010). The Role of Physical Representations in Solving Number Problems: A Comparison of Young Children's Use of Physical and Virtual Materials. In Computers and Education. Vol. 54. No. 3, pp. 622-640.
34. Maschietto, M. (2015). Teachers, Students and Resources in Mathematics Laboratory. In Selected Regular Lectures from the 12th International Congress on Mathematical Education. Cham, Springer, pp. 527-546.
35. McNeil, N. M., Uttal, D. H., Jarvin, L., Sternberg, R. J. (2009). Should You Show Me the Money? Concrete Objects Both Hurt and Help Performance on Mathematics Problems. In Learning and Instruction. Vol. 19. No. 2, pp. 171-184.
36. Northoff, G., Hirjak, D., Wolf, R. C., Magioncalda, P., Martino, M. (2021). All Roads Lead to the Motor Cortex: Psychomotor Mechanisms and Their Biochemical Modulation in Psychiatric Disorders. In Molecular Psychiatry. Vol. 26, pp. 92-102. URL: https: //doi.org/10.1038/s41380-020-0814-5 (mode of access: 04.10.2021).
37. PISA: Mathematical Literacy. (2020). Minsk, RIKS. 252 p.
38. Ritchie, S. J., Bates, T. C. (2013). Enduring Links from Childhood Mathematics and Reading Achievement to Adult Socioeconomic Status. In Psychological Science. Vol. 24. No. 3, pp. 1301-1308.
39. Tran, C., Smith, B., Buschkuehl, M. (2017). Support of Mathematical Thinking Through Embodied Cognition: Nondigital and Digital Approaches. In Cognitive Research: Principles and Implications. Vol. 2. No. 1, pp. 1-18.
40. Uttal, D. H., Scudder, K. V., DeLoache, J. S. (1997). Manipulatives as Symbols: A New Perspective on the Use of Concrete Objects to Teach Mathematics. In Journal of Applied Developmental Psychology. Vol. 18. No. 1, pp. 37-54.
