CC BY
3
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
2023 Управление, вычислительная техника и информатика № 63
Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science
Научная статья УДК 681.5.015 doi: 10.17223/19988605/63/5
Цифровое моделирование массопотоков смесителя непрерывного действия Светлана Геннадьевна Гутова1, Марина Александровна Новосельцева2
12 Кемеровский государственный университет, Кемерово, Россия 1 gsgl967@mail. ги 2 man300674@gmail. сот
Аннотация. Рассматривается задача цифрового моделирования выходного массопотока смесителя непрерывного действия сыпучих материалов, используемого в пищевой промышленности. Для построения модели используются прямое и обратное преобразования Эйлера, билинейное преобразование, а также непрерывные дроби. Сравнительный анализ показал, что использование авторского подхода на основе непрерывных дробей приводит к наиболее адекватным цифровым моделям массопотоков смесителя непрерывного действия. Ключевые слова: цифровая модель; непрерывная дробь; смеситель непрерывного действия.
Благодарности: Работа выполнена с использованием Центра коллективного пользования научным оборудованием КемГУ в рамках соглашения № 075-15-2021-694 от 05.08.2021, заключенного между Министерством науки и высшего образования РФ и КемГУ (уникальный идентификатор контракта: RF-2296.61321X0032).
Для цитирования: Гутова С.Г., Новосельцева М.А. Цифровое моделирование массопотоков смесителя непрерывного действия // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2023. № 63. С. 37-44. doi: 10.17223/19988605/63/5
Original article
doi: 10.17223/19988605/63/5
Digital modeling of continuous mixer mass flows Svetlana G. Gutova1, Marina A. Novoseltseva2
12 Kemerovo State University, Kemerovo, Russian Federation 1 gsgl967@mail. ru 2 man300674@gmail. com
Abstract. The problem of digital modeling of the output mass flow of a continuous mixer of bulk materials used in the food industry is considered. Forward and inverse Euler transformations, bilinear transformation, and continuous fractions are used to build the model. Comparative analysis has shown that the use of the author's approach based on continuous fractions leads to the most adequate digital models of mass flows of a continuous mixer. Keywords: digital model; continued fraction; continuous mixer.
Acknowledgments: The work was carried out using the Center for the Collective Use of Scientific Equipment of the Kemerovo State University under agreement No. 075-15-2021-694 dated 05.08.2021, concluded between the Ministry of Science and Higher Education of the Russian Federation and Kemerovo State University (unique Contract ID: RF-2296.61321X0032).
For citation: Gutova, S.G., Novoseltseva, M.A. (2023) Digital modeling of continuous mixer mass flows. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 63. pp. 37-44. doi: 10.17223/19988605/63/5
© С.Г. Гутова, М.А. Новосельцева, 2023
Введение
Развитие вычислительных технологий поспособствовало значительной оптимизации производства путем автоматизации решения многих задач, и следующим шагом является цифровизация -применение цифровых решений не только для контроля отдельных технологических процессов, но и для создания виртуальных копий объектов различного масштаба и степени сложности. Цифровые модели объектов или целых предприятий в совокупности с информационно-аналитическими системами дают возможность создавать детальные прогнозы работы оборудования, осуществлять его мониторинг в реальном времени и снижать риски аварийных ситуаций, а также проверять различные теории и гипотезы с достаточно высокой точностью. Достижение адекватного соответствия цифровых и непрерывных моделей объектов является актуальной задачей.
Создание смесителя непрерывного действия (СНД) для сыпучих материалов позволяет перевести на непрерывный метод работы технологические процессы пищевой и других отраслей промышленности. В СНД поступление компонентов и выход готовой смеси происходят непрерывно, в отличие от смесителей периодического действия. Такие аппараты характеризуются высокой производительностью, имеют небольшие энерго- и металлоемкость, позволяют полностью автоматизировать процесс смешения, а также выполнять несколько процессов одновременно: например, смешение и гранулирование; смешение, гранулирование и сушку; смешение, гранулирование и классификацию; смешение и измельчение и т.д.
Разработке теории и инженерных методов расчета непрерывно-действующих смесительных агрегатов, включающих в свой состав СНД и дозирующие устройства различного типа, посвящено небольшое количество работ [1-5]. Отсутствуют цифровые модели смесителей, которые позволили бы разработать автоматизированные системы диагностики, управления и контроля, включающие в себя СНД.
Для цифрового моделирования в настоящее время разработан богатый математический инструментарий [6-14], который, однако, может приводить к нарушению взаимно-однозначного соответствия между непрерывными и цифровыми моделями, к искажению динамических характеристик объекта, к вычислительной сложности и трудоемкости алгоритмов в совокупности с эвристическим подбором характеристик.
Далее в работе будет использован метод цифрового моделирования на основе непрерывных дробей [15, 16] и применения согласованного Z-преобразования [10], позволяющий получить цифровую модель СНД, адекватную ее непрерывным аналогам и полностью отражающую динамические свойства объекта. Метод лишен процедур подбора модели, имеет высокую точность моделирования в сравнении с известными аналогами и пригоден для использования в интеллектуальных системах реального времени управления технологическими процессами смешения сыпучих материалов.
1. Постановка задачи цифрового моделирования СНД
Непрерывная передаточная функция (НПФ) СНД имеет вид [1]:
Ke ~xs
G(s) = 7-Ke-ч. (1)
W (Tis + 1)(T2 s +1) ()
Здесь K - коэффициент передачи, Ti и T2 - постоянные времени, т - время транспортного запаздывания. На вход СНД подается сигнал x(t), который является суммой выходных сигналов двух спиральных дозаторов. Модель такого мультисинусоидального сигнала имеет вид [1]:
x(t) = ц + Ai sin ю1 + A2sin ю2, (2)
где параметрами сигнала являются: амплитуды А1 и А2, круговые частоты ю1 и ю2, постоянное смещение ц. Непрерывная модель выходного сигнала СНД получается с использованием обратного преобразования Лапласа.
Далее требуется получить цифровую модель выходного сигнала СНД в форме конечно-разностного уравнения (КРУ), соответствующую его имеющейся непрерывной модели:
у(Ш) =тщх ((к -1 )ДУъъ^к -1 )Дг), (3)
¿=0 ¿=1
где аг, Ъг - коэффициенты цифровой модели, т, п - целые положительные числа, Д^ - шаг дискретизации.
2. Методы цифрового моделирования динамических систем
Вопрос получения цифровых моделей вида (3) поднимался многими исследователями, что привело к созданию различных методов [6-14].
Одними из таковых являются подстановочные методы [10], осуществляющие замену переменной 5 - преобразования Лапласа в НПФ (1) СНД, на переменную Z-преобразования тем или иным способом. К ним относятся прямое (4) и обратное (5) преобразования Эйлера, билинейное преобразование Тастина (6), которые позволяют получить следующие приближения дискретной передаточной функции (ДПФ):
^ -1 ^^ КД2
5 =-^ в(г) =-, (4)
Дг (Т1г - Т1 +Дt)(Т2г - Т2 +Дt)
^ -1 _КД12 г 2_
5 =-^ и(г) =-, (5)
гДг (Т1г - Т1 + гДг)(Т2г - Т2 + гДг)
2 ^ -1 _Ш 2( г +1)2_
5 ----^ и(г) =-----. (6)
Дг г +1 (2Т1г - 2Т1 + гДг + Дг)(2Т2г - 2Т2 + гДг + Дг)
Далее, используя операторные свойства 2-преобразования, переводят к КРУ вида (3).
Полюсы НПФ, полученные на основе (4)-(6), являются ее характеристическими точками, и от точности их нахождения зависит достоверность цифровой модели объекта. Для нахождения прообразов значений соответствующих полюсов НПФ используется формула обратного Z-преобразования:
1п| г
5 = л . (7)
Дг
В данной работе будет показано, что применение подстановочных методов для получения цифровой модели СНД приводит к нарушению структурных свойств модели, а также к существенному искажению ее параметров. Аналогичные выводы были сделаны для цифровых моделей горнотехнических объектов в работе [17].
Получить цифровую модель можно также на основе дифференциального уравнения СНД, используя при этом численное интегрирование, которое является неотъемлемой частью решения этого уравнения [18]. Предлагается заменить непрерывные интеграторы 54 на соответствующую выбранному методу численного интегрирования цифровую модель. И если метод прямоугольников ведет к простой подобной замене, то метод трапеций и метод г-форм предлагают выражения, существенно увеличивающие сложность ДПФ смесителя.
Известный в теории автоматического управления аппарат пространства состояний [11] также может быть применен к построению цифровой модели СНД. Для этого непрерывное время в уравнениях состояния заменяют цифровыми отсчетами. При определенных условиях возможен также переход к уравнениям состояния от ДПФ. Однако решение матричных уравнений большой размерности для нахождения переходной матрицы системы делает эти методы трудоемкими.
В работах [12, 13] предлагается метод структурно-параметрического моделирования, основанный на использовании формулы свертки для построения цифровой модели объекта путем «взвешивания» прошлых значений вход-выходных сигналов. Авторы используют метод М-характеристик или его модификацию, которые обеспечивают процесс рекуррентного цифрового моделирования. Достоинством метода является его быстродействие по сравнению с традиционными методами моделирования технических систем. Однако сложность параметрического задания М-характеристик и процедура
подбора звеньев для получения переходного процесса требуют эвристических решений, что существенно уменьшает достоинства метода.
3. Метод цифрового моделирования на основе непрерывных дробей
На основе значений вход-выходных сигналов Х(кД?) и У(кД1), взятых с шагом дискретизации А?, построим матрицу-идентификатор. Цифровые замеры х(кД1) и у(кД1) помещаются в (-1)-ю и 0-ю строки матрицы:
0-й столбец 1-й столбец 2-й столбец 3-й столбец 4-й столбец
(—1)-я строка Х0 Х1 Х2 Х3 Х4
0-я строка У0 У1 У2 У3 У4
1-я строка аю ап а12 а13 а14 ... (8)
2-я строка а20 а21 а22 а23 а24
т-я строка ат0 ат1 ат2 ат3 ат4
0 0 0 0 0 Остальные элементы матрицы-идентификатора (8) рассчитываются по формуле
а
а
k-2.И+1
а
kn
k-1.n+1
а
k-2.0
а
(9)
k-1.0
Расчет элементов матрицы продолжается до появления строки с нулевыми элементами, номер этой строки определяет порядок ДПФ объекта [15]. После этого, используя элементы 0-го столбца (8), строится непрерывная дробь [15]
G( z) = -
Уо/ xo
-1
(10)
1 + -
1 + -
1 + а
m0 z
После сворачивания 0(2) в дробно-рациональное выражение получается ДПФ, из которой, используя свойство обратного сдвига Z-преобразования, строится КРУ вида (3).
4. Сравнительный анализ результатов цифрового моделирования СНД
Для сравнительного анализа были выбраны метод прямых и обратных разностей Эйлера, билинейное преобразование и метод цифрового моделирования на основе непрерывных дробей.
Параметры НПФ (1) имеют вид К = 1, Т = 6,6, Т2 = 3,26, т = 11,1. Тогда значения полюсов НПФ (1) равны = —0,0151515, S2 = —0,306748. На вход СНД подается сигнал х(1), который является суммой выходных сигналов двух спиральных дозаторов. Первый дозатор подает муку, которая является основным компонентом смеси. Второй дозатор подает калий, являющийся ключевым компонентом смеси. Параметры такого мультисинусоидального сигнала вида (2) равны: Л\ = 0,7, Л2 = 0,15, = 2, ©2 = 2,2, ц = 18. График входного сигнала СНД приведен на рис. 1. График выходного сигнала СНД без учета запаздывания приведен на рис. 2.
x(t)
19 18 17 16
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 t
Рис. 1. График входного сигнала, поступающего с двух спиральных дозаторов Fig. 1. Graph of the input signal coming from two spiral dispensers
Рис. 2. График выходного сигнала СНД Fig. 2. Graph of the output signal of a continuous mixer
Воспользуемся подстановочными методами (4)-(6) для получения цифровой модели СНД. В таблице приведены значения ^-полюсов ДПФ смесителя и их прообразов 5-полюсов НПФ, полученных на основе (7), при различных шагах дискретизации. Очевидно, что прообразы 5-полюсов существенно отличаются в зависимости от шага дискретизации, а в некоторых случаях просто отсутствуют.
Полюсы передаточных функций при различных шагах дискретизации
At Прямое преобразование Обратное преобразование Билинейное преобразование
At zi = 1-- Ti Z = T i T + At 2Ti -At zi =—1- ' 2Ti + At
0,01 zi, 2 = 0,998485; 0,996933 5i, 2 = -0,151630; -0,307220 z1, 2 = 0,998487 51, 2 = -0,151400 0,996942 -0,306279 z1, 2 = 0,998486; 0,996937 51, 2 = -0,151515; -0,306749
0,05 zi, 2 = 0,992424; 0.984663 51, 2 = -0,152092; -0.309125 z1, 2 = 0,992481 51, 2 = -0,150944 0,984894 -0,304420 z1, 2 = 0,992453; 0,984779 51, 2 = -0,151516; -0,306773
1 z1, 2 =0,848485; 0,693252 51, 2 = -0,164303; -0,336362 z1, 2 = 0,868421 51, 2 = -0,141079 0,765258 -0,267542 z1, 2 = 0,859155; 0,734043 51, 2 = -0,151806; -0,309188
5 z1, 2 = 0,151515; -0,533742 51, 2 = -0,232890; не существует z1, 2 = 0,568966 51, 2 = -0,112787 0,394673 -0,185939 z 1, 2 = 0,450549; 0,131944 51, 2 = -0,159457; -0,405075
Получим ДПФ смесителя с помощью прямых разностей Эйлера (4) при А^ = 0,05:
0,002500
V (г) =-2-.
21,516000г2 -42,539000г + 21,025500
Тогда КРУ примет вид:
у(к) = 0,000116х(к - 2) +1,977087у(к -1) - 0,977203у(к - 2). (11)
В результате моделирования можно отметить, что в (11) наблюдается равенство нулю значения сигнала в ненулевой момент времени, а при увеличении шага дискретизации очевидны структурные нарушения в виде колебательности, чего не может быть у апериодического звена с действительными полюсами.
Аналогичным образом произведем расчеты, используя обратные разности Эйлера (5), в результате чего получим следующую ДПФ:
0,002500г2
V (г) =-^-.
22,011500г2 - 43,525000г + 21,516000
Цифровая модель в виде КРУ примет вид:
у (к) = 0,000116х (к ) +1,977087у(к -1) - 0,977203у(к - 2). (12)
В модели (12) наблюдается неравенство нулю значения сигнала в нулевой момент времени, а при увеличении шага дискретизации также возникает колебательность.
Далее применим к построению ДПФ билинейное преобразование (6):
0,002500г2 + 0,005000г + 0,002500 £( г) =-^-.
87,050500г2 -172,123000г + 85,080500
Полученное по данной ДПФ КРУ имеет вид:
y(k) = 0,000029x(k) + 0,000058x(к -1) + 0,000029x(к - 2) + +1,977232y (к -1) - 0,977347y(k - 2)).
(13)
Согласно модели (13), также наблюдается неравенство нулю начального значения выходного сигнала СНД, что противоречит его структуре, причем отличие растет при увеличении шага дискретизации.
Таким образом, для всех использованных подстановочных методов (4)-(6) увеличение шага дискретизации неизбежно приводит к существенному снижению точности вычислений. Более того, определенные значения шага дискретизации вовсе не позволяют найти прообразы полюсов ДПФ в 5-плоскости.
Далее построим дискретную модель СНД при Д? = 0,05 с помощью метода цифрового моделирования на основе непрерывных дробей. Поместим значения х(Д?) и у(Д?) в матрицу-идентификатор и рассчитаем ее элементы вплоть до появления строки с элементами, близкими к 0:
0-й столбец 1-й столбец 2-й столбец 3-й столбец 4-й столбец (—1)-я строка 18,086350 18,171803 18,255471 18,336484 18,414001
0-я строка 0,001039 0,004133 0,009243 0,016333 0,025368
1-я строка -2,971243 -7,882910 -14,699740 -23,386829 -33,909357
2-я строка 1,322900 3,944924 7,842512 12,992431 19,371465
3-я строка -0,328959 -0,980934 -1,950112 -3,230663 -4,816850
4-я строка 0 0 0 0 0
По элементам нулевого столбца сворачиваем непрерывную дробь, которая является основой
искомой цифровой модели. В итоге получим ДПФ смесителя:
1+о 993942г-1
г) =- 1 + 0,993942г -. (14)
17006,97986г-2 -34404,90009г"1 +17399,92317
Согласно развитой теории моделирования, основанной на аппарате непрерывных дробей, существует возможность проверки адекватности цифровой модели ее непрерывному аналогу [15, 19]. Для этого необходимо найти нули и полюсы ДПФ (14). ДПФ (14) имеет отрицательный нуль, поэтому, согласно разработанной теории взаимно-однозначного соответствия 5"- и Z-плоскостей [15, 19], он будет отсутствовать в 5-плоскости переменной преобразования Лапласа. Полюсы ДПФ (14) равны
= 0,992351, г2 = 0,984951. (15)
Используя обратное 2-преобразование (7), осуществим перевод полюсов ДПФ (15) в полюсы НПФ:
5! =-0,153571, 52 =-0,303268 .
Сравнив модельные значения полюсов с их истинными значениями в (1), получим, что погрешность цифрового моделирования составила не более 10-3.
По ДПФ (14) построим искомую цифровую модель выходного сигнала СНД: у (к) = 0,000057х (к) + 0,000057х (к -1) + 0,993942х (к -1) +1,977302у(к -1) - 0,977417у (к - 2). (16)
Для учета в модели запаздывания первые тД? = 1,1-0,05 = 22 значения необходимо положить равными у(к) = 0, а дальнейшее моделирование у(к) осуществлять на основе (16).
Для уточнения возможности использования других значений шагов дискретизации при построении цифровой модели СНД на основе непрерывных дробей следует воспользоваться условием SP-идентифицируемости [15, 19], которое определяет рабочий диапазон значений Д? для цифрового моделирования.
Заключение
В работе были построены цифровые модели выходного массопотока СНД при входном воздействии с двух спиральных дозаторов, подающих муку и калий. Для моделирования использованы различные подходы, включающие подстановочные методы (прямые и обратные разности Эйлера и би-
линейное преобразование), а также метод цифрового моделирования на основе непрерывных дробей. Проведен сравнительный анализ полученных цифровых моделей, в результате которого установлено, что моделирование непрерывными дробями приводит к наилучшим результатам как по совпадению выходных характеристик массопотоков, так и по обеспечению взаимно-однозначного соответствия между цифровой и непрерывной моделями СНД. Полученная цифровая модель (16) может быть использована при построении интеллектуальной автоматизированной системы, реализующей технологический процесс пищевого производства.
Список источников
1. Бородулин Д.М. Разработка и математическое моделирование непрерывно-действующих смесительных агрегатов цен-
тробежного типа для переработки сыпучих материалов. Обобщенная теория и анализ (кибернетический подход). Кемерово : Кемер. технолог. ин-т пищевой промышленности (университет), 2013. 201 с.
2. Бородулин Д.М., Резниченко И.Ю., Пикулина Н.С., Комаров С.С. Получение безглютеновой мучной смеси на барабан-
ном смесителе непрерывного действия // Современные тенденции развития науки : сб. тез. нац. конф., Кемерово, 25 декабря 2018 года. Кемерово : Кемер. гос. ун-т, 2018. С. 107-109.
3. Вэй П.А. Имитационное моделирование параметров процесса смешивания сухих строительных смесей в горизонтальном бара-
банном смесителе непрерывного действия // Автоматизация и управление в технических системах. 2014. № 1-1 (8). С. 122-128.
4. Мизонов В.Е., Баранцева Е.А., Хохлова Ю.В. и др. Математическая модель кинетики лопастного перемешивания в смесителе
непрерывного действия // Вестник Ивановского государственного энергетического университета. 2008. № 3. С. 51-52.
5. Шуина Е.А. Решение задачи об оптимальном управлении потоком сегрегирующего компонента в смесителе периодического
действия // Состояние и перспективы развития электро- и теплотехнологии (XIX Бенардосовские чтения) : материалы Междунар. науч.-техн. конф., посвящ. 175-летию со дня рождения Н.Н. Бенардоса. Иваново : Иванов. гос. энергетический ун-т, 2017. С. 288-291.
6. Layer E., Tomczyk K. Measurements, modelling and simulation of dynamic systems. Berlin ; Heidelberg : Springer, 2010. 156 p.
7. Ljung L., Glad T. Modeling of dynamic systems. New Jersey : Prentice Hall, 2002. 376 p.
8. De Silva C.W. Modeling of dynamic systems with engineering applications. Boca Raton : CRC Press, 2017. 691 p.
9. Wen J., Gabrys B., Musial K. Toward digital twin-oriented modeling of complex networked systems and their dynamics: a com-
prehensive survey // Electrical Engineering and Systems Science. Systems and Control. 2022. V. 10. P. 1-36.
10. Smith J.M. Mathematical modeling and digital simulation for engineers and scientist. New York : Wiley, 1987. 271 p.
11. Михалевич С.С. и др. Алгоритм моделирования систем автоматического управления методом пространства состояний // Известия Томского политехнического университета. Инжиниринг георесурсов. 2012. Т. 321, № 5. С. 233-237.
12. Малахов Н.А., Жигулёвцев Ю.Н. Структурно-параметрическое моделирование динамических объектов и систем управления в реальном времени // Современные наукоемкие технологии. 2018. № 12-1. С. 108-114.
13. Бондарев А.Е., Галактионов В.А., Михайлова Т.Н., Нестеренко Е.А., Рыжова И.Г. Построение и анализ многомерных параметрических решений для нестационарных задач // Новые информационные технологии в автоматизированных системах. 2015. № 18. С. 183-193.
14. Ненашев А.В., Охотников В.А. Разработка метода анализа и моделирования нелинейных радиотехнических устройств // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2009. № 5. С. 73-79.
15. Карташов В.Я., Гутова С.Г. Непрерывные дроби и их приложения к задачам технической кибернетики. Кемерово : Куз-бассвузиздат, 2013. 138 с.
16. Пат. № 2703933 C1 Российская Федерация, МПК G01R 23/16. Способ идентификации мультисинусоидальных цифровых сигналов / М.А. Новосельцева (RU), С.Г. Гутова (RU), И.А. Казакевич (RU). № 2018139591; заявл. 08.11.2018; опубл. 22.10.2019.
17. Щекочихина С.Г. Разработка метода дискретного моделирования в задачах диагностики сложных объектов горной техники : дис. ... канд. техн. наук. Кемерово, 1999. 279 с.
18. Лапшин Э.В., Трусов В.А. Использование методов численного интегрирования в моделях летательных аппаратов // Труды Международного симпозиума «Надежность и качество». 2016. Т. 2. С. 336-338.
19. Карташов В.Я., Новосельцева М.А. Динамическая оценка риска в сложных системах. Кемерово : КемГУ, 2011. 212 с.
References
1. Borodulin, D.M. (2013) Razrabotka i matematicheskoe modelirovanie nepreryvno-deystvuyushchikh smesitel'nykh agregatov tsen-
trobezhnogo tipa dlya pererabotki sypuchikh materialov. Obobshchennaya teoriya i analiz (kiberneticheskiy podkhod) [Development and mathematical modeling of continuous-acting centrifugal-type mixing units for processing bulk materials. Generalized theory and analysis (a cybernetic approach)]. Kemerovo: Kemerovo Technological Institute of Food Industry (University).
2. Borodulin, D.M., Reznichenko, I.Yu., Pikulina, N.S. & Komarov, S.S. (2018) Poluchenie bezglyutenovoy muchnoy smesi na
barabannom smesitele nepreryvnogo deystviya [Obtaining a gluten-free flour mixture on a continuous drum mixer]. Sovremennye tendentsii razvitiya nauki [Modern Trends in the Development of Science]. Proc. of the conference. Kemerovo, December 25, 2018. Kemerovo: Kemerovo State University. pp. 107-109.
3. Wei, P.A. (2014) Imitatsionnoe modelirovanie parametrov protsessa smeshivaniya sukhikh stroitel'nykh smesey v gorizontal'nom
barabannom smesitele nepreryvnogo deystviya [Simulation modeling of the parameters of the process of mixing dry building mixtures in a continuous horizontal drum mixer]. Avtomatizat5iya i upravlenie v tekhniche5kikh 5i5temakh. 1-1(8). pp. 122-128.
4. Mizonov, V.E., Barantseva, E.A., Khokhlova, Yu.V. et al. (2008) Mathematical model of the kinetics of paddle mixing in a con-
tinuous mixer. Ve5tnikIvanov5kogo go5udar5tvennogo energetiche5kogo univer5iteta. 3. pp. 51-52.
5. Shuina, E.A. (2017) Reshenie zadachi ob optimal'nom upravlenii potokom segregiruyushchego komponenta v smesitele periodi-
cheskogo deystviya [Solution of the problem of optimal control of the flow of a segregating component in a batch mixer]. So5toyanie i per5pektivy razvitiya elektro- i teplotekhnologii (XIX Benardo5ov5kie chteniya) [Status and prospects for the development of electrical and thermal technology (19th Benardos Readings)]. Proc. of the International Conference. Ivanovo: Ivanovo State Power Engineering University. pp. 288-291.
6. Layer, E. & Tomczyk, K. (2010) Mea5urement5, Modelling and Simulation ofDynamic Sy5tem5. Berlin: Springer, Heidelberg.
7. Ljung, L. & Glad, T. (2002)Modeling ofDynamic Sy5tem5. New Jersey: P T R Prentice Hall.
8. De Silva, C.W. (2017) Modeling ofDynamic Sy5tem5 with Engineering Applications. Boca Raton: CRC Press.
9. Wen, J., Gabrys, B. & Musial, K. (2022) Toward digital twin-oriented modeling of complex networked systems and their dynamics:
A comprehensive survey. Electrical Engineering and Sy5tem5 Science. Sy5tem5 and Control. 10. pp. 1-36.
10. Smith, J.M. (1987) Mathematical Modeling and Digital Simulation for Engineer5 and Scienti5t. New York: Wiley.
11. Mikhalevich, S.S. et al. (2012) Algorithm for modeling automatic control systems using the state space method. Izve5tiya Tom5kogo politekhniche5kogo univer5iteta. Inzhiniring geore5ur5ov - Bulletin of the Tom5k Polytechnic Univer5ity. Geo A55et5 Engineering. 321(5). pp. 233-237.
12. Malakhov, N.A. & Zhigulevtsev, Yu.N. (2018) Structural and parametric modeling of dynamic objects and control systems in real time. Sovremennye naukoemkie tekhnologii - Modern High Technologie5. 12(1). pp. 108-114.
13. Bondarev, A.E., Galaktionov, V.A., Mikhailova, T.N., Nesterenko, E.A. & Ryzhova, I.G. (2015) Construction and analysis of multidimensional parametric solutions for non-stationary problems. Novye informat5ionnye tekhnologii v avtomatizirovannykh 5i5temakh. 18. pp. 183-193.
14. Nenashev, A.V. & Okhotnikov, V.A. (2009) Razrabotka metoda analiza i modelirovaniya nelineynykh radiotekhnicheskikh ustroystv [Development of a method for analyzing and modeling nonlinear radio engineering devices]. Nauchno-tekhniche5kie vedomo5ti SPbGPU. 5. pp. 73-79.
15. Kartashov, V.Ya. & Gutova, S.G. (2013) Nepreryvnye drobi i ikh prilozheniya k zadacham tekhniche5koy kibernetiki [Continued fractions and their applications to problems of technical cybernetics]. Kemerovo: Kuzbassvuzizdat.
16. Novoseltseva, M.A., Gutova, S.G. & Kazakevich, I.A. (2019) Ro55iy5kaya Federat5iya, MPK G01R 23/16. Spo5ob identifikat5ii mul'ti5inu5oidal'nykh t5ifrovykh 5ignalov [Method for identifying multisinusoidal digital signals]. Patent No. 2703933 C1 Russian Federation, IPC G01R 23/16.: No. 2018139591.
17. Shchekochikhina, S.G. (1999) Razrabotka metoda di5kretnogo modelirovaniya v zadachakh diagno5tiki 5lozhnykh ob"ektov gornoy tekhniki [Development of a discrete modeling method in the problems of diagnosing complex objects of mining equipment]. Engineering Cand. Diss. Kemerovo.
18. Lapshin, E.V. & Trusov, V.A. (2016) Ispol'zovanie metodov chislennogo integrirovaniya v modelyakh letatel'nykh apparatov [the use of numerical integration methods in aircraft models]. Trudy Mezhdunarodnogo simpoziuma "Nadezhnost' i kachestvo". 2. pp. 336-338.
19. Kartashov, V.Ya. & Novoseltseva, M.A. (2011) Dinamiche5kaya ot5enka ri5ka v 5lozhnykh 5i5temakh [Dynamic risk assessment in complex systems]. Kemerovo: KemSU.
Информация об авторах:
Гутова Светлана Геннадьевна - доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики Кемеровского государственного университета (Кемерово, Россия). E-mail: gsg1967@mail.ru
Новосельцева Марина Александровна - доцент, кандидат технических наук, доцент кафедры прикладной математики Кемеровского государственного университета (Кемерово, Россия). E-mail: man300674@gmail.com
Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Information about the authors:
Gutova Svetlana G. (Associate Professor, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Applied Mathematics, Kemerovo State University, Kemerovo, Russian Federation). E-mail: gsg1967@mail.ru
Novoseltseva Marina A. (Associate Professor, Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Applied Mathematics, Kemerovo State University, Kemerovo, Russian Federation). E-mail: man300674@gmail.com
Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию 16.08.2022; принята к публикации 09.06.2023 Received 16.08.2022; accepted for publication 09.06.2023
