CC BY
144
Цифровая фильтрация в медицинских приборах при ограниченной размерности отклика фильтра
Ключевые слова: цифровая фильтрация, спектр, частотная характеристика, отклик, свертка.
Рассматриваются процедуры цифровой фильтрации при ограничении размерности отклика фильтр применительно к задачам построения медицинских приборов типа ЭКГ, ЭМГ , ЭЭГ и других. Основное внимание уделяется наглядности преобразований "спектр, частотная характеристика, отклик, свертка" лежащих в основе цифровой фильтрации. Затрагивается вопрос выбора частоты квантования. Исследуется переходной процесс фильтрации. Вводится понятие "дополнительный фильтр", позволяющее легко находить параметры ФВЧ. Все это необходимо для облегчения инженерного построения фильтров с приименением современных пакетов вычислительных программ.
Лебедев В.В.,
к.т.н., с.н.с., доцент каф .901, МАИ, wwle@mail.ru
Фильтрация широко используется в приборах медицинской техники [4-8]. Она обеспечивает выделение сигналов в шумах, разделение и их распознавание, подавляет нежелательные сигналы и т.д. Это достигается умножением спектра входных сигналов на частотную характеристику (ЧХ) фильтра и обратным преобразованием результата во временную область [1-4, 11]. Типовыми фильтрами являются ФНЧ, ФВЧ, полосовые, режекторные. Мы остановимся на свойствах ФНЧ и, частично, ФВЧ. Некоторые ЧХ представлены на рис. 1. Каждый фильтр характеризуется полосой частот пропускания (при заданной неравномерности в ней), шириной области перехода к полосе задержания, значением величины подавления в области задержания. Инженеру перед выбором фильтра надо удовлетворить требованиям ко всем перечисленным параметрам.
В дискретной области все приведенные на рис. 1 ЧХ изменяются. Более того, вместо перемножения спектра на частотную характеристику производится операция "свертки" сигнала и отклика фильтра. Отклик фильтра связан с ЧХ преобразованием Фурье. Для фильтра Котельникова (функция 0-1-0 с граничными частотами
0 - юс) отклик описывается выражением [см. 5]:
0(t)=j/tV21)(l-exp(jwct)),. где 0(t) - отклик. Для устранения комплексного вида необходимо перейти к модулю, однако к обсуждению этого вопроса вернемся в разделе 3, а сейчас используем COS преобразование Фурье (см. [4]). Оно сразу позволяет найти 0(t):
ГЧ~ sin(—*/) •*‘).или0(1)= И ~
Фильтр
Котельникова
Фильтр С. Батервордп
2 sin(® с *
I V п I
где юс = 2^[Гс (частота среза фильтра Котельникова), Т — длительность главного лепестка отклика (Т=2Ц/сос = = 1/Тс). Заметим, что первый ноль отклика достигается при I = Т/2. Мы будем заниматься только сравнением характеристик, поэтому постоянный коэффициент Го-
_ опускаем. л
При переходе в дискретный мир отклик квантуется с частотой Го (шаг дискретизации т = 1/й>), т.е. перемножается на "решетку" 8(1-п*т) импульсов, "п" безгранично. Отклик получает вид 8-импульсов с изменяющейся амплитудой (Процедура осуществляется АЦП).
Фильтр Баггерворта
Фнлътр Чсбышсва I рода
Фильтр Чгбышгва П рода
Эллштптагсккн фильтр
05
0.2 0.4 0.6 08 1
Рис. 1. Примеры наиболее распространенных используемых частотных характеристик:
Фильтр Батерворда имеет наиболее гладкую характеристику и хорошо выполняется структурой ЯС. Спад 20п дБ/октаву, п-порядок фильтра.
Фильтр Гаусса не имеет перерегулирования и обеспечивает минимально возможную групповую задержку. Используется для обработки двумерных сигналов.
Фильтр Бесселя Максимально гладкая групповая задержка до о = 3 (со = 1 - частота среза. Групповая задержка - производная фазы по круговой частоте).
Фильтр Лежандра - среднее между Батервордом и Чебышевым.
Фильтр Габора имеет отклик втх’ехр-х'. Используется для ВайфЛет, для распознавания радужек глаза и отпечатков пальцев.
Фильтр Хемминга (1956г), Кайзера. (1974) и др..
Фильтр Котельникова [Котельников 1933, Уитакер 1895, Найквист 1928, Шеннон 1949]. Имеет идеально прямоугольный вид 0-1-0 с частотами среза 0 и сос (шс = 24)Гс).
Спектр последовательности 6 отсчетов так же имеет вид 8-решетки с шагом fo =1/т частотной области. Информация при квантовании не теряется, если на период Т, определяющий синусоиду в отклике, приходиться не менее 2 дискретов т (шаг фазы <180°). Для сохранения привычного вида синусоиды примем, что на период Т приходится минимум 4-8 дискретов т (шаг фазы 90° или 45°).
Обратный переход от набора 8-импульсов к непрерывному виду получается при пропускании 8 последовательности через интерполирующий фильтр. Лучшим (но не реализуемым) интерполирующим фильтром является фильтр Котельникова. В реальной жизни используются филыры с прямоугольным откликом длительностью т или треугольные (2т). Характеристики интерполирующего фильтра сильно влияют на выбор частоты квантования.
1. Особенности выбора частоты квантования
Преобразование Котельникова не обладает фильтрующими свойствами. В результате все помехи и тепловые шумы из области частот выше fo/2 перемещаются в область полезных сигналов (ниже fo/2). Поэтому перед квантователем - АЦП необходим входной фильтр. Обычно используют RC фильтры. Они не имеют крутого спада ЧХ и ВЧ шумы частично попадают на вход АЦП. Это приводит к необходимости увеличивать частоту квантования. Она уже сопрягается не с частотой сигнала fc, а с характеристикой входного фильтра. Примем, что общая дисперсия тепловых шумов D после квантования должна увеличиваться не более, чем на 21% (СКО на 10%). Требуемое увеличение fo/fc показано на рис. 2.
fo/fc 4 3
4.46
Э.Э9
3.0
1*5
Г 2.78 2.74
--.. —Г:
Т Г 1
N
' 113 4 3 6
N- порядок фильтра
Рис 2. Необходимое превышение чистоты квантовании fo/fc с учетом ЧХ входного фильтра. Увеличение дисперсии шума 21%.
Для фильтра первого порядка частота квантования должна выбираться не в два, а в 4,46 раза выше Яз. Для фильтра третьего порядка это значение снижается до трех. Естественно после АЦП может устанавливаться повторный фильтр, убирающий часть шумов.
Друг им источником искажений, влияющим на выбор частоты квантования, является интерполяция. Она определяет переход от дискретного к непрерывному времени. Каждая точка массива заменяется откликом интерполирующего фильтра. Теоретически требуется фильтр с прямоугольной частотной характеристикой. На практике используют реальные фильтры, например, с прямоугольным откликом, треугольным, усеченным вида вшХ/Х. Важно, что бы отклик имел нули на всей последовательности от-счетных точек, кроме текущей. В ней амплитуда должна передавать уровень сигнала. Треугольный импульс дает эффект простого соединения соседних точек наклонными прямыми. Оценивать погрешности интерполяции можно
нахождением максимального отклонения исходного от восстановленного графика. Погрешность зависит формы сигнала, поэтому в качестве эталонного возьмем синусоидальный с частотой Результат показан на рис. 3.
fc Го
1/24 1/8 1/4 3/8
Рис 3 Погрешность преобразования за счет пнтерполяцпн.
Из графиков следует, что повсеместно используемый прямоугольный отклик имеет очень плохое качество. Для допустимой максимальной погрешности в 5% частота квантования должна примерно в 12 раз превышать значение высшей частоты информационного сигнала. Треугольный отклик позволяет использовать частоту квантования с превышением всего в 3 раза
2. Изменение вида спектра отклика
при квантовании
В дискретном виде t заменяется на пт и отклик фильтра Котельникова описывается выражением:
sin(.^*/7)
0(n)= N__________,
п
где N - ширина (размерность) главного лепестка отклика. Связь дискретного мира с непрерывным устанавливается с учетом условий: t = пт , Т = Nt, т = 1/fo, Т = 1/fc, N = fo/fc. С учетом боковых лепестков размерность может быть больше N. Обозначим ее М, при отсечении боковых лепестков М = N.
Основные преобразования иллюстрируются рис. 4.
Отклик ЧХ Котельникова
0.7
V *=1
о У_х=
f=lT
fo=l -г
Спектр отклика
N - римгриость первого лепегт по 0 Т длительность лепестка T=Nr = Tfo/f Т - шаг к в актов а мня
2г\ -0 45 0 45 /»
гз* гпи
Квантов.ник отклика
N=4
0 t>=2*f Спектр отклика после квантования размножается с шагом 2" fo. Появляются отрицательные частоты
N=2
»l*2yn<N) 2*»/N 1.5
гъ*
Имеем набор О фуххцхн “ t=Il*T
2*N-1
I
г
1»
і о
Спектр отклика при N=4
О?
т
23*
—Ц»—I—, - ..IwaJ
Рис. 4. Преобразование спектра отклика при квантовании
СИГНАЛ 12 3
ггп________
шаг i
Формирование выходного погнала процедуры "(вертка"
Отклики с длительнстью N
а)
СУММА откликов -ВЫХОД СВЕРТКИ
1 2 3 4 5 61111 1 11
ОТК111К 12 3
ггп__________
•Х'ОрМПрОВЛШ!** выходного сигнала процедуры "свертка"
Выход свертки длительность сигнала
i-----------------------*1
зг
7
отклик N=3
б)
Рис. 7. Формирование выходного сигнала процедурой "свертка": а - сигнал короче отклика; б - сигнал длиннее отклика
Прямоугольное окно оптимальным образом производит усреднение шумового сигнала. При изучении спектра отклика необходимо помнить, что квантование превращает его в набор 5-импульсов со всеми особенностями формирования зон спектра и их перекрытия. Только после процедуры интерполяции получаем непрерывный сигнал.
4. Согласованные отклики. Согласованный фильтр открыл Норс в 1943 г. В цифровой фильтрации возник согласованный отклик. Создана теория кодирования, где основные работы принадлежат Хеммингу (1915-1995), Шеннону (1916-2001), Котельникову (1908-2005). Они создали теорию помехоустойчивости. Согласованный отклик обеспечивает максимально возможную амплитуду выхода свертки и максимальное улучшение отношения сигнал/шум. ("Согласованный" отклик равен сигналу, прочитанному в обратном направлении. Например, сигнал 1,3 и отклик 3,1).
5. Передача информации. Одна из главных задач фильтрации — выделять сигналы. Достигается использованием согласованных фильтров (откликов). Они обеспечивают лучшее обнаружение сигнала в шумах. Уже сам факт обнаружения несет информацию. В общем случае отклик согласуется не с полным сигналом, а с его фрагментом. Информация передается изменением амплитуды этого фрагмента, изменением времени его появления, его кодированием. Использование спектральной ортогональности сигналов объединяется с введением кодирования, что расширяет и объединяет общую теорию сигналов.
6. Сглаживающая функция Хемминга
Для улучшения вида частотной характеристики используются сглаживание формы отклика в его окне без изменения его размерности. Таких сглаживающих функций придумано много. Например, косинусоидальная функция Хемминга, Гауссова функция, Кайзера и т.д. Все они представлены в Интернете. COS - сглаживание Хемминга имеет вид:
Н„ (п) = 0,54 + 0,46cos(2pi*n/N), где п изменяется на базе N в пределах -(N-l)/2<n<(N-l)/2.
100
200
300
Рис. 8. Окно Хемминга N = 5
Отклик имеет вид набора 6-функций, однако на рис. 8 представлен результат их прохождения через интерполирующий фильтр. По сравнению с прямоугольным откликом той же размерности АЧХ окна Хемминга расширена в
1,51 раза, гарантируется лучшее подавление помех в полосе задержания, но расширяется область перехода к зоне задержания и хуже обеспечивается усреднение шумов.
Все функциональные выражения сглаживающих окон красивы, однако при дискретизации превращаются в ступенчатые фигуры типа рис. 8. Аналитические тонкости проявляются только в распределении амплитуд дискретов. Сегодня можно не искать удачную сглаживающую функцию, а решать задачу оптимального подбора распределения этих амплитуд.
7. Переходной процесс при фильтрации.
Сформируем испытательную синусоиду 5т(2р1*п/>У, где N,*1 — период Т5. т — длительность такта квантования, п- номер шага в окне сигнала. (При т —* 0 и N5 —*• оо, мы переходим к непрерывному времени О. Достаточно хорошая форма синусоиды формируется при N = 8, (шаг фазы 45" ). В этом случае частоту испытательного сигнала Гб = Аэ/Ы* можно изменять от Го/8 до произвольно низких значений (й> - частота квантования).
Пусть й> = 20 кГц, т = 0.05 те. У = 5ш(2*р1*п/К). Частоты принимают дискретные значения £ = 20/(8+К) кГц, где К = 0,1,2,3... Возможный диапазон частот испытательного сигнала ниже 2,5 кГц.
Пропустим синусоиду с частотой 500 Гц через фильтр с окном Хемминга с полосой пропускания 130 Гц. Размерность окна N = 101. Т = 5 мс. Результат представлен на рис. 9.
Переходной пыорос
(она подавления
.Liinf.ii.miri>. сигнала
Рис. 9. Прохождение испытательного сигнала 500 Гц IВ через фильтр с окном Хемминга N = 101, Т=5мс. ^7= 130 Гц. Частота квантования 20 кГц, Подавление -57 дБ Выброс переходного процесса 7В, он превышает подавленный сигнал в 100 раз. Длительность переходного процесса 10 мс.
Выбросы переходного процесса появляются при всех сглаживающих функциях. Если речь идет о подавлении очень длинного гармонического сигнала, то наличие выброса не играет роли, но если подавляемая помеха мала по длительности или имеет колебания амплитуды с периодом, близким к ширине окна, то о качестве подавления можно забыть.
8. Дополнительные фильтры
Рис 10 Частотные характеристики сопряженных фильтров ФВЧ=1 -ФНЧ
В приборах медицинской техники часто используются фильтры высоких частот (ФВЧ). В аналоговом мире таким фильтром служит простейшая СЯ-цепочка или фильтр Батерворда. Между ЧХ ФВЧ и ФНЧ существует связь, их можно рассматривать, как "дополнительные" фильтры: ЧХ ФВЧ=1-ЧХ ФНЧ.
Пример показан на рис. 10. (ФНЧ имеет прямоугольный отклик). Дополнительный ФВЧ сформирован как разность 1 и ЧХ ФНЧ. Операция не противоречива, если под 1 понимать ехр^оЯ) (модуль равен 1), Этим учитывается задержка и изменение фазовых характеристик. В области частот до 0.5/Т ЧХ имеем параболическую ветвь, что хорошо для взятия второй производной. В дискретном виде записанное выше соотношение предстанет:
Вых = Кс*сопу(вх, 1)- сопу(вх, откл), где откл - отклик фильтра, Вх -сигнал на входе, Вых -сигнал на выходе, Кс - коэффициент передачи сопу(вх, откл). Введение Кс требуется для выравнивания амплитуд двух операций сот.
Рис. 11. Пример прохождения прямоугольного сигнала через ФВЧ, построенного как дополнительный фильтр. Отклики (прямоугольный и Хемминга) меньше длительности сигнала
Привлечение понятия "дополнительный фильтр" облегчает выбор формы отклика ФВЧ, Например, легко позволяет найти сглаживающую функцию, обеспечивающую малое значение выброса ФВЧ после импульса Я на интервале 8Т в электрокардиографии (рис. 11).
9. Заключение
В целом материал предназначен для инженеров и студентов, создающих программы цифровой фильтрации. Представлено пояснение сложного взаимоотношения параметров ЦФ и их преобразования. Показано, что частота квантования й> должна выбираться не в 2 раза выше, что следует из теоремы Котельникова, а в 4-10 раз. Частотные характеристики исходных аналоговых фильтров при квантовании изменяются и их предварительный выбор мало определяет окончательный вид ЧХ цифрового фильтра. Введение сглаживающих функций для улучшения подавления в полосе задержания увеличивает ширину переходной зоны от полосы пропускания к полосе задержания. Процесс фильтрации сопровождается переходным выбросом, что необходимо учитывать. Введено понятие "Дополнительного" фильтра, согласующего ЧХ ФВЧ и ФНЧ. Это позволяет упростить понимание процесса формирования откликов ФВЧ.
Благодарности. Выражаю благодарность профессору МИСИ Смирнову Н.И. за поддержку этой работы и важные замечания по ее содержанию.
Также выражаю благодарность студентке Панкратовой Ю.В. которая инициировала разработку программ по созданию рисунков статьи.
Литература
1. Оппенгеймер А.В., Шаффер Р.В. Цифровая обработка сигналов // Пер. с анг. / Под ред. Шварца СЯ. - М.: Связь, 1979.
2. П. Рабинер. Б. Гоулд. Теория и применение цифровой обработки сигналов. - М. Мир, 1978. - 848 с.
3. Ричард Лайсен. Цифровая обработка сигналов. - Бином Пресс, 2006. - 656 с.
4. Ю. Раманюк. Основы цифровой обработки сигналов. -М.: МФТИ, 2005. - 332с.
5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. (С.427 раздел 4.4.2.2). - М.: Наука. Ред. ФМЛ, 1986. - 544 с.
6. Электрокардиографы. ГОСТ Р МЭК 60601-2-51. 2008. 65 с.
7. Электрокардиограф ЭК1ТЦ02. Программист Саша Аракчеев ВНИИМП 1995.
8. Лебедев В.В. Лебедев С.В. Методы наблюдения биопотенциалов. - М.: МАИ, 2005. - 71 с.
9. Лебедев В.В. Лебедев С.В. Приборы наблюдения биопотенциалов. - М.: МАИ, 2005. - 74 с.
10. Лебедев В.В. Построение электрокардиографов. - М.: МИРЕА, 2004. - 80 с.
11. Лебедев В.В. О дискретном представлении сигналов, ограниченных во времени. - М.: Радиотехника, 1961. - Т. 16. №1. -С.75-80.
Digital filtering in meditsinnsk'h devices with limited dimensions of the filter response
Lebedev V.V.
Abstraxt
Procedures for the digital filter response with limited dimension filter considered for application to problems in the construction of medical devices such as "ECG", "EMG", "EEG", etc. The emphasis is on clarity, change "spectrum, frequency response, the response of the convolution" of the underlying digital filtering. The question of the choice of sample rate unaffected. We investigate the transition process of filtration. The concept of "additional filter" is introduced that makes it easy to find the parameters of "HPF". All that is necessary to facilitate the engineering construction of filters w'th priimeneniem modern computing packages of programs.
