ЦЕПОЧКИ ПОЛЕЙ ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМА Текст научной статьи по специальности «Физика»

Электронный журнал «Труды МАИ». Выпуск № 36

www.mai.ru/science/trudv/

УДК: 537.86

Цепочки полей электромагнетизма

Р. И. Храпко

Аннотация

Последовательное использование внешних дифференциальных форм в электромагнетизме показывает, что поля электромагнетизма представляются геометрическими величинами двух различных типов: дифференциальными формами и контравариантными (антисимметричными) тензорными плотностями. Соответственно, электромагнитные поля изображаются силовыми трубками или семейством биповерхностей. Эти величины связаны между собой специфической операцией, названной сопряжением, которая является частью операции Ходжа. Сопряжение делает возможным многократное дифференцирование полей и таким образом приводит к цепочкам полей. Оператор Лапласа выражен в терминах сопряжения и изучено его воздействие на отдельные цепочки. Подробно и наглядно рассмотрены цепочки полей, связанные с электрическим и магнитным диполями. Разложение Гельмгольца представляет собой разложение поля на замкнутую и замкнутую после сопряжения части. Широко используется понятие границы поля. Найдено некоторое достаточное условие гармоничности поля.

Ключевые слова:

дифференциальные формы; разложение Гельмгольца; операция Ходжа; оператор Лапласа

1. Введение. Разложение Гельмгольца

При преподавании курса электромагнетизма естественно используется идея о том, что источником безвихревого (продольного) электрического поля являются электрические заряды. Это иллюстрируется тем, что силовые линии (правильнее, силовые трубки) этого поля исходят из зарядов, как на рис. 1, взятом из [1], или на

Безвихревое векторное поле.

Силовые линии исходят из зарядов.

рис. 4. Мы обращаем внимание на то, что, таким образом, заряды оказываются границей силовых трубок этого поля [2]. Мы говорим, что плотность электрических зарядов р является границей безвихревого электрического поля и что это поле является наполнением этой границы. Переход от поля к его границе осуществляется дифференциальной операцией, в данном случае дивергенцией:

р/s0 = divE = E = 5E . (1.1)

Мы показываем, что такая же ситуация складывается в отношении всех других пар полей: - B = rot E, - E = grad <р, - р = div j, j = rot B, B = rot A. Именно, геометрическое многообразие, изображающее некоторое поле, имеет своей границей многообразие, изображающее источник этого поля. В то же время само это поле рассматривается как наполнение его границы. Соотношение — E = grad< изображено на рис.6. Соотношение B = rot A изображено на рис. 7а. При этом математически переход от поля к его границе всегда осуществляется подходящей дифференциальной операцией первого порядка.

Существуют, однако, поля, граница которых равна нулю. Наиболее простой пример это соленоидальное (поперечное) электрическое поле, для которого divE = 0 . Оно изображено на рис. 2, взятом из [3] вместе с текстом. Силовые линии (силовые трубки) этого поля не имеют концов. Мы называем это поле замкнутым и показываем, что такая же ситуация складывается для всех других полей, граница которых равна нулю, т. е. для полей, удовлетворяющих, например, rot E = 0 , div j = 0, rot B = 0 . Именно, геометрические многообразия, изображающие такие поля, замкнуты.

Известное разложение Гельмгольца [4,5] заключается как раз в том, что некоторое поле, например, электрическое векторное поле E , представляется суммой двух векторных полей, безвихревого поля, которое мы обозначаем E , и

х

соленоидального поля, которое мы обозначаем E :

E = E + E, rot E = Vx E = 0, divE = V- E = 0. (1.2)

x o x x o o

Безвихревое электрическое поле обычно обозначают E l [4] или Ey, однако главной чертой этого

поля является то, что его силовые линии выходят из зарядов как показано на рис 1. Чтобы подчеркнуть это

Fig. 32.22 Electric field lines (black) within solenoid and outside of solenoid.

С о л еноид ал ьно е электрическое поле, порожденное переменным магнитным полем.

Силовые линии образуют замкнутые петли, они не имеют концов.

свойство, мы используем крестик х для обозначения первого слагаемого в формуле (1.2).

Соленоидальное электрическое векторное поле обычно обозначают E, [4] или E ±, однако главной чертой этого поля является замкнутость его силовых линий (рис 2). Поэтому мы выбрали кружок o для обозначения второго слагаемого разложения Гельмгольца (1.2).

2. Дифференциальные формы, тензорные плотности, граница, etc

Важно осознавать, что электромагнитные поля на самом деле описываются геометрическими величинами двух различных типов [5-7].

V

Во-первых, это контравариантные (антисимметричные) тензорные плотности: Б'Лк, 7Л, Е'Л, рЛ. В число таких полей входит рассмотренное выше «векторное поле Е », которое в действительност является векторной плотностью.

Во-вторых, это ковариантные (антисимметричные) тензоры, в частности, скалярные функции и ковектора, именно, ф, Ei, , Б^, которые называются внешними

дифференциальными формами (кратко, формами).

Разница между формами и тензорными плотностями известна давно (см. рис. 3), взятый из [6] вместе с текстом. Классическая монография [6,7] выросла из лекций, которые профессор Схоутен читал на эту тему перед войной. В частности, поле векторной плотности должно изображаться не силовыми линиями, как на рис. 1, а силовыми трубками (рис. 4), а ковариантное векторное поле (ковекторное поле) должно изображаться семейством двойных поверхностей (биповерхностями). Сходная интерпретация ковектора представлена в [8] (рис. 5). Заметьте, что величина ковектора пропорциональна плотности листов, то есть обратно

пропорциональна толщине. Так же величина векторной плотности обратно пропорциональна площади поперечного сечения трубок.

К сожалению, разница между формами и тензорными плотностями игнорируется большинством физиков. Эта разница теряется при написании векторов полужирным шрифтом. Мы используем тензорные индексы, потому что они несут необходимую информацию. Кроме того, для написания тензорных плотностей мы не используем обычный для этого готический шрифт (как на рис3). Вместо этого мы отмечаем плотности знаком 'wedge' л . Его использовал И.А. Кунин [7] при замечательном переводе на русский язык монографии [6]. Однако, в отличие от [7], мы ставим знак л на уровне нижних или верхних индексов для плотностей веса +1 или -1 соответственно. Например, элемент объема, который является плотностью веса -1, обозначается dVл . Мы отмечаем псевдо тензоры звездочкой, а псевдо плотности знаком тильда, Ej, Б*, s~k (s~k - символ Леви-Чивита).

В электродинамике используется внешняя производная дифференциальных форм [911]. Внешняя производная скаляра является обычной частной производной, т.е. градиентом,

Ег = дгф о E = gradф = V • ф (2.1)

(мы не пишем минус в этой формуле, соответственно, р = V2 ф ). Однако в общем случае внешняя производная предполагает антисимметризацию по индексам. Внешняя производная ковектора является ротором, например,

Б. = 2д[гЛ.] о B = rot A = V х A или Б. = -2д[lE]] о B = -rot E = -V х E, (2.2)

где д[гЛ. ] = 1(дгЛ. - д.Лг) . Внешняя производная ковариантного тензора валентности 2

2

является дивергенцией,

3д[кБ.] = 0 о divB = V • B = 0,

(2.3)

где = i(a л +8,BJt+a Л -а -дЛ -a A) = i(a Л +a ^ +a jB„».

При дифференцировании контравариантных тензорных плотностей в электродинамике предполагается свертка с последним контравариантным индексом. Такая производная векторной плотности является дивергенцией:

рЛ=аг £;ор = div E, (2.4)

производная бивекторной плотности является ротором

j = дB о j = rot B или EЛ= д jЩ о Е = rot П . (2.5)

Производная скалярной плотности есть ноль,

дРл - 0 о gradр; - 0, (2.6)

потому что рл не имеет контравариантных индексов для свертки. Производная (2.6) аналогична внешней производной N -формы, где N есть размерность пространства.

Мы подчеркиваем, что все представленные здесь дифференциальные операции являются ковариантными операциями в том смысле, что их запись не зависит от того, евклидовы или криволинейные координаты использованы, и все частные производные являются ковариантными без использования символов Кристоффеля: дkB';k =VкВ'Лк, дAj] = V[i A}].

Обычно мы обозначаем производные обоих типов символом д без индексов и называем производное поле границей, а дифференцируемое поле называем наполнением этой границы. Это выглядит так: (граница)= д (наполнение). Например,

Рл=дЕЛ, E, =дф, Bj = dAj, E Л=дПЛ, j'; = дВ'Л, дВц = 0. (2.7)

Термин «граница» оправдан, потому что, например, зарядовая плотность рЛ ограничивает силовые трубки плотности электрического поля Е'Л в соответствии с рЛ = дЕ'Л (рис. 4). Двойные поверхности поля Ei ограничивают поле электрического потенциала ф в соответствии с Ei = дф (рис. 6). Трубки магнитного поля В ц ограничивают биповерхности ковекторного поля магнитного потенциала Aj в соответствии с В ц = 2д[г-Aj]. Причем внешняя ориентация биповерхностей Aj соответствует внешней ориентации трубок В j (рис. 7а). Трубки электрической векторной плотности E Л с внутренней ориентацией ограничивают биповерхности (би)векторного электрического потенциала ПЛ в соответствии

с ЕЛ = д,ПЛ (рис. 7б). Так же трубки векторной плотности тока с внутренней

ориентацией ограничивают биповерхности магнитного поля ВЛ в соответствии с ] Л= д ;ВЛ

С другой стороны, символ д означает «граница» в теории множеств. И это как раз то значение, которое имеет наш символ д .

Однако, для того, чтобы что-то ограничивать, граница должна быть замкнута. Так оно и есть. Двукратное дифференцирование дает ноль, дд = 0. Например, если Е г= дгф, то

д[к Е г]= д^ф = 0 . Так что граница границы равна нулю. Если граница некоторого поля равна

нулю, мы говорим, что поле замкнуто. Например, поле Ei в формуле (2.1) и поле Вц

замкнуты. Соответственно, биповерхности поля Ei на рис. 6 и трубки поля В ц на рис. 7а не

имеют концов. Трубки поля В ^ могли бы оканчиваться на магнитных монополях, но таких

нет в природе. Пример замкнутого электрического векторного поля Е'Л, д i Е Л= 0 ,

представлен на рис. 7б и рис. 2 (там должны быть изображены трубки, а не силовые линии).

Граница не имеет границы, но граница имеет наполнение в силу теоремы Пуанкаре (в пространстве без топологических осложнений). В случае Е i= дгф, Е1 является границей, а

ф есть ее наполнение. Наполнение этой границы функцией ф наглядно показано на рис. 6. Точно так же можно сказать, что биповерхности поля Ai на рис.7а наполняют пространство, вокруг замкнутых (бесконечно длинных) трубок поля В ц, которые являются их границей,

В у = ЭА}-, а биповерхности (би)векторного электрического потенциала ПЛ наполняют пространство вокруг трубок поля Е Л, ЕЛ= дП^ . Отношение между Е Л и ПЛ изображены

на рисунке 7б, который отличается от рис. 7а заменой внешней ориентации на внутреннюю.

Таким образом, символ д выражает отношение между границей и ее наполнением, т.е. д является оператором границы. Отметим, что граница некоторого поля однозначна, в то время как наполнение границы не однозначно, если к наполнению можно добавить замкнутое поле. Это происходит без изменения границы. Тем не менее, различные наполнения некоторой границы не все эквивалентны между собой. Имеются истинные наполнения (или класс истинных наполнений), которые выделяются с помощью операции сопряжения, рассматриваемой в следующем разделе.

Когда наш символ д применяется к форме, он означает внешнее дифференцирование, вместо стандартного обозначения ё [9-11]. Например, дВ у означает внешнее произведение

1 2

форм ёл В, то есть дВу = дкВу + дг- В к + ду Вы (2.3). Мы убеждены, что стандартное

использование символа ё для обозначения внешнего дифференцирования сугубо антипедагогично. Символ ё применяется в физике и математике для обозначения инфинитезимальной величины. Например, dq = р(х)ёУ обозначает инфинитезимальный заряд инфинитезимального объема ёУ . Другой пример: г + уё^ = г + ёг , где V есть скорость, а ёг = \ёх + \ёу + кёг есть инфинитезимальное приращение радиус-вектора г за время dt, и ёх, ёу, суть инфинитезимальные приращения координат его конца. Также пишут ё/ (х) = /\х)ёх, и можно записать ё (ё/) = ё2 / = / "(ёх)2 или даже ё2/ = /"(ёх)2 + /'ё2х .

Вопреки этому, в теории дифференциальных форм ё используется как оператор, который каждойр-форме ш ставит в соответствие (р +1) -форму ёш , и ё(ёш) = 0 всегда [911]. Соответственно, выражения ёх, ёу, суть безиндексные обозначения координатных 1-форм, т.е. координатных ковекторов, а не компонентов инфинитезимального вектора ёг , т.е. ёх, ёу, dz означают: ёх = д;х = 8), ёу = д;у = 82, dz = дi2 = 83, где 8/ есть символ Кронекера.

Такая путаница недопустима. Возможно, двусмысленность обозначения ё объясняется тем, что область применения теории дифференциальных форм не пересекалась с областью применения обычной физики и математики. Однако, сейчас мы рассматриваем

электромагнитные поля как дифференциальные формы. Поэтому двусмысленность символа ё должна быть устранена.

3. Сопряжение, etc.

Поднимание и опускание тензорных индексов обычно выполняется метрическим тензором g'k или gik . Однако в электромагнетизме этот процесс сопровождается переходом между дифференциальной формой и контравариантной плотностью, например, между ковектором Ei и векторной плотностью , как показано на рис. 8. Поэтому в этот процесс

включен корень из детерминанта метрического тензора

4s г

который является скалярной

плотностью веса +1. Так что, вместо g'k или gik, в электромагнетизме используется тензорная плотность gгк = gгk л или gЛk = gik / л . Если применяются декартовы

координаты, то абсолютное значение детерминанта равно единице, однако корень из детерминанта имеет вполне определенное геометрическое значение. Процесс поднятия или опускания тензорных индексов изменяет геометрический смысл поля. Этот процесс в электродинамике мы называем сопряжением [12,13] и обозначаем пяти-лучевой звездочкой

* (в отличие от оператора Ходжа * [11,14]). Например,

* Е, = ^ = Екл, * Екл = = Е,, * ВЛТ = gшgЛJB:n = Вц, * В = = Вт. (3.1)

Сопряжение, очевидно, инволютивно: * * = 1. Мы говорим, что поле и сопряженное ему поле образуют тандем. Например, Ei & Е'л или В^ & Вц суть тандемы. Они

изображены на рисунках 8 и 9.

Сопряжение * отличается от операции Ходжа *. Оператор Ходжа выполняет

сопряжение * , но затем перенумеровывает компоненты поля антисимметричной псевдо

~ ае/ ~ ■■ ~

плотностью в■. Например, * Ег = в ^ 1]ЛЕ, = в Е = Е"тп. Здесь оператор Ходжа

преобразует 1-форму Е г в псевдо 2-форму Е*тп. Однако перенумерация не имеет физического и геометрического значения, потому что Е"тп имеет тот же самый геометрический смысл, что и векторная плотность Е ] = *Ег. В то же время, гораздо приятнее иметь дело с векторной плотностью ЕЛ , чем с псевдо 2-формой Е*тп. Поэтому

добавление перенумерации к сопряжению не имеет смысла. К тому же, оператор Ходжа не применим к контравариантным плотностям. Мы не используем оператор Ходжа.

Для сокращения мы будем в дальнейшем иногда называть контравариантные антисимметричные плотности сопряженными формами или кратко коформами.

Замечательно, что сопряжение часто превращает замкнутое поле в не замкнутое. Например, замкнутое поле В] превращается в поле Вт , которое имеет границей плотность тока:

Щ = 0, но д*Вц = дп&тЕ];Вг]) = дпВГ = РоЯ . (3.2)

Поля, замкнутые до или после применения сопряжения, мы называем сопряженно-замкнутыми или кратко козамкнутыми полями. Например, Вг]] замкнуто, но Втп

козамкнуто, потому что д * Втп = дВг]- = 0 . Истинное наполнение некоторой границы, о

котором упоминалось в предыдущем разделе, должно быть козамкнуто. Поэтому добавление к наполнению замкнутого поля, вообще говоря, нарушает истинность. Так истинным наполнением зарядовой плотности рЛ является козамкнутая напряженность Е\ (рис. 1, 6).

X

Добавление замкнутой напряженности Е не меняет границы поля Е , однако поле ЕЛ = ЕЛ+ ЕЛ не является истинным наполнением плотности р , поскольку Е'Л не

X о о

козамкнуто: д * Е = —д (В (рис. 2).

Отметим, что если метрика сопряжения положительно определена, то ограниченное поле, которое замкнуто и одновременно козамкнуто, может быть только постоянным.

Оператор Ходжа используется для определения так называемого кодифференциала от формы [14, р. 315]

Р р

5ш = (-1)пр+п+1* д * и, (3.3)

где д есть символ внешнего дифференцирования, п есть размерность пространства, и р есть

р

степень формы ш . Оказывается, конструкция * д * отличается от * д * только знаком:

*д*ш = (-1)пр+п+Р+1 *д*ш . (3.4)

Это дает простое выражение кодифференциала через сопряжение. Оно не зависит от размерности пространства:

8© = (-1)p * д * с© . (3.5)

Теперь возвратимся к разложению Гельмгольца (1.1). Оно должно быть переписано в индексной форме в терминах векторной плотности,

e; = . (3.6)

X О

Безвихревое кулоновское поле E = E Л , которое удовлетворяет rot E = Vx E = 0, козамкнуто,

XX XX

потому что дифференциальная операция rot , применяемая к векторной плотности, подразумевает предварительное сопряжение:

Vx E = 2д№ (gjv E;) = д * E = 0. (3.7)

X X X

Таким образом, метка x , которая использовалась в разделе 1, отмечает козамкнутые поля.

В результате мы видим, что разложение Гельмгольца (1.1) является разложением поля на козамкнутую и замкнутую части.

4. Цепочки полей

Свойство сопряжения превращать замкнутые поля в козамкнутые обеспечивает существование бесконечных или конечных цепочек полей. Мы представляем здесь в качестве примера бесконечную цепочку электростатики.

(д) р (*) р Л(д) E ;(*) E г(д) ф(*) ф л(д) z ;(*) z i(d) V(*) (д) ••• (4.1)

X О X О X О

Здесь звенья цепочки, т.е. поля р (x), E ;(x), ф, (x) Z i(x), etc., разделены символами (д) и

X o

(*) . Это значит, например, что рЛ = 3i E ;, E ;= *E i, E i= дi ф, ф л= дi Z Л , где Z' есть

X X 0 0 X О X

так называемый электрический вектор Герца (см., например, [15] с. 128). у есть гипотетическое поле типа потенциала.

Если рЛ = 8Л (x) является дельта функцией Дирака, то мы имеем дело с полем

точечного заряда. В этом случае цепочка в явном виде выглядит так:

i 11 i i r r — 1 — 1 — r — r — r — r — rr — rr

k8(*)8;(д)п(*)П(д)П(*)~т-(д)-П(*)П(д) —(*)-п(д)—(*)—^... (4.2) 4nr 4nr 4п 4n 8nr 8nr 8п 8п 32п 32п

Действительно, замкнутая плотность точечного заряда рЛ (x) = 8Л (x) является границей козамкнутой плотности векторного электрического поля Е'л = r1 / 4nr3, а сопряженное ему

X

замкнутое ковекторное поле E i = ri / 4nr3 является границей потенциала ф = — 1/ 4п и т.д.

Ограничившись этим примером, представим теперь в общем виде четыре возможные цепочки полей в 4-мерном пространстве (пространстве-времени)

к(д)£Д*)£Лв(д)Т^5(*)Т^(д)П,Д*)П^(д)и^5(*)и^(д)Я^(*)ЯТ • (4.3)

квлв(д)£в(*)£^(д)ВВГ(д)плв(*)п^(д)гд*)1Т(д)я«*(*)я^... (4.4)

X

•(*)б Дд)3 V«3 а(д)ВГ(*)В Дд)АД*)А^(д) 1аАв(*) 1 Дд)М*Ж(д). (4.5)

о х О Х 0 Х 0 Х 0 X О

к(д)Р(*)РЛ(д)3а(*)3V (д)Ь(*)Ьл(д)А»АДд)я(*)ял(дЖ(*)^Дд)... (4.6)

Х 0 X О х 0 Х 0 X О X О

Греческие индексы пробегают значения 0, 1, 2, 3.

В цепочках (4.4), (4.5) мы обозначили электромагнитный тензор через В = -Р^ вместо

Р , чтобы 4-ток был границей электромагнитного поля, = дрВ^13 вместо обычного

равенства = -др РЛав.

В цепочках (4.5), (4.6) наш магнитный векторный 4-потенциал Ау удовлетворяет

равенству В^ = 2д ^ Ау], и потому противоположен по знаку к обычному векторному 4-

потенциалу Лу: А=- Лу, Аа =- Ла .

4 4 4

Цепочки (4.1) и (4.2) используют евклидову метрику для сопряжения, gij = &а§{+1,+1,+1} . Однако цепочки электромагнетизма (4.3) - (4.6) используют

^ = ^{+1,-1,-1,-1}. Поэтому, А0 = А0 = Л0 = Л0 = ф = -ф, но

В0 = -В'0 = Е, = дiА0 - д0Ai = -д'ф+ д0 Л i или В31 = В2 = дзА1 - д1 Аз. При использовании полужирного шрифта обычно пишут Ла = (ф, А). Это означает Л' = Л1 = -Аг, где Л'

44

обозначает котравариантные компоненты пространственного вектора А . Однако в

отношении пространственного вектора А действует евклидова метрика. Поэтому для ковариантных компонент вектора А будет Л' = - Л' = А'. Для нашего 4-потенциала А

справедливо Аа = (-ф,-А), Ау= (-ф, А).

Из цепочки (4.4) в литературе представлены уравнения Максвелла £ ЛмУ = 3д[Л В ^ = 0,

справедливые вследствие отсутствия токов магнитных монополей £ ЯмУ, и формула с

электрическим 3-векторным потенциалом П аАг , В аА = д П . При электро-магнитной

X О 'X

симметрии магнитные токи монополей £ ЯмУ существуют. Тогда они подчиняются

х

уравнению непрерывности д£ ^ = 4д[7 £ ^ = 0 , т.е. д0 £ - дг £# + д; ^ - дк£0г] = Это

уравнение принимает знакомую 3-мерную форму, именно, д 0£~ + д г£~ = 0, если провести дуализацию, т.е. ввести псевдо плотность магнитных зарядов £~ = £]кв~к /3! и псевдоплотность магнитных токов £~ = £]к£~к , где мы обозначили = £;0к .

Из цепочки (4.5) в литературе представлены уравнения Максвелла ] а=дв В ав,

о X

формула с магнитным векторным 4-потенциалом, В МУ= 2дА^, и формулы с вектором Герца [14, (42.4)] А *= др .

о н X

Заметьте, что четыре цепочки (4.3) - (4.6) попарно комплементарны: (4.3) и (4.4) комплементарны между собой относительно магнитного тока £, потенциала П, гипотетического поля Я ; (4.4) и (4.5) комплементарны относительно электро магнитного поля В, поля Герца 2 ; (4.5) и (4.6) комплементарны относительно электрического тока ], потенциала А, гипотетического поля С .

Если значения индексов ограничить числами 1, 2, 3, цепочка (4.3) выпадает, а вместо цепочек (4.4) - (4.6) мы получим формулы магнитостатики:

(д)£] (*) £ тк1 (д) В и (*) ВЛ (д) П Г (*) П ш (д) 2Х и (*) ] (д) Я ] (*) Я ш - (4.7)

о X О Х 0 Х 0 Х 0 Х 0

к (*) ак1 ( д)] (*)]Г ( д) В Г (*) В ы (д) АI (*) А Г О) Г (*) и О)^ (*Ж (д)- (4.8)

о X О Х 0 Х 0 Х 0 X О

- (д) Р(*) (д)]Г (*)] (д) Ь (*) Ь г(д) А Г (*) АI (д) д (*) <7Л (д)^Г (*) (д)- (4.9)

Х 0 X 0 Х 0 Х 0 X 0 X 0

(здесь использованы компоненты пространственного вектора А и евклидова метрика)

В цепочке (4.7) соотношение £ тк1 = 3д[т В к1 ] , т.е. £ ~ = 3дт В т, означает £ = В, т.е.

магнитный заряд (псевдо скалярная плотность монополей) является границей (псевдо векторной плотности) магнитного поля. После сопряжения это поле делается замкнутым, и оказывается границей потенциала магнитного поля. В Л = дг П ], т.е. В * = дк П *, означает

0 X 0 X

В = §гаё П .

В цепочке (4.8) соотношение ]Л = д; В Л означает ] = го1 В . После сопряжения поле В Л

0 ] X X

делается замкнутым и оказывается границей магнитного потенциала: В к1 = 2д[к А1 ]. 2 в цепочках (4.7), (4.8) является магнитным вектором Герца.

Если одному из индексов в (4.3) - (4.5) придать значение 0, но при этом полагать, что производная по времени равна нулю, д 0 = 0, получатся формулы электростатики:

...( д) $ м„ (*) ( д) Т* (*) Т 1тп (д) П м„ (*) П * (д)^ (*)и 1тп (д,) Я тп ... (4.10)

X о Х 0 Х 0 х о Х

...е* (д) (*) $ к1 (д) Е, (*) Е * (д) П * (*) П к1 (д) 2, (*) 2 * (д) Я* (*)... (4.11)

X 0 X 0 X 0 X

о X 0

■■■(*) йы ( д) Р(*) РЛ ( д) Е'л (*) Ек (д) ф(*) фл (д) 2 * (*) 2к (д) у(*)„. (4.12)

X О X o

Мы здесь обозначили: р = j0 = j0, EJ = BJ, Ek = Bk0, скалярный электрический потенциал ф = A0 = A0, векторный электрический потенциал Пmn = Пm0n, ПЛ = П01, ток магнитных монополей = £ , £ lk = £ kl 0 и т.д. Эти цепочки содержат, в частности, знакомые звенья.

В цепочке (4.12), которая повторяет цепочку (4.1), имеются звенья р = div E и E = -grad^. Эта цепочка и цепочка (4.10) содержат только дивергенции и градиенты.

В цепочке (4.11) звено £lk = 25[kEl], т.е. £ =- rot E, означает, что границей соленоидального электрического поля после сопряжения является (псевдо) плотность тока

магнитных монополей £ , за неимением переменного магнитного поля в рассматриваемом статическом случае (стрелка использована, поскольку нет жирных греческих букв).

В той же цепочке (4.11) звено E ) = д . П J означает Е = rotП, т.е., что соленоидольное

О J X

поле является границей электрического векторного потенциала (рис. 7б). Цепочка (4.11) содержит только роторы.

5. Наполнения сингулярных границ. Три примера 5.1. Поле электрического диполя

Интересно, что из цепочки, связанной с точечным зарядом (4.2), легко получить цепочку полей, связанную с точечным электрическим диполем. Для этого обозначим точку, являющуюся носителем дельта функции, через x', 5Л (x, x'), и применим ко всей цепочке

(4.2) оператор pk дk-, где pk, вектор электрического момента в точке x', а дk- оператор

дифференцирования в точке x':

...(*)pk'dk,SA(x,x ')(д)pk'д„ ^xl(*)pk'dk, ^^^(d)pk'dk. П(*)k . (5.1)

4nr 4nr 4nr

Здесь замкнутая сингулярная дипольная плотность заряда имеет вид р Л= pk дk-дЛ (x, x'). Ее

несингулярная модель представлена на рис 10.

X

Наполнением этой плотности является козамкнутая напряженность векторного поля электрического диполя Е Л,

X

гЛ(х х>)

' = „к д гЛ (x, х') = - рЛ + 3<рЧ л= р эк• . в/ "г: = -р дк~—3-~ = —

ЕЛ= Рк 'д к'

4пг (х, х )

поскольку

4пг3 (х, х') 4пг3 4пг5 Рл=э гЕЛ(x, x'),

(5.2)

в силу известного выражения 5 -функции

¿л (^ х') = дг

гЛ(х х')

4пг 3( х, х')

(5.3)

(5.4)

Несингулярная модель поля Е Л представлена на рис 11.

Замкнутая напряженность ковекторного поля диполя, сопряженная к полю Е Л (рис. 12),

Г (х х) Л г к 4пг 3(х, х')

Е г= * Е Л=- рк д

(5.5)

является границей потенциала ф (рис 13):

Е г= дг ф, ф = Ркдк

- Р гк

4пг (х, х') 4пг3

(5.6)

5.2. Поле элемента тока

Цепочку полей электрического диполя (5.1) интересно сравнить с цепочкой полей (5.12), связанных с элементом тока ]Л = Г5Л (х, х') . Сначала применяем закон Био-Савара:

-кV "\^П/Л" О Т[1 т,кЪ

В

(х,х •) = 2[I[1 5л.(х-,хО= .

} Л 4пг 3( х, х') 4пг 3( х, х')

(5.7)

1

X X

Граница этого магнитного поля, являющаяся замкнутым векторным полем плотности электрического тока, не равна элементу тока / 5А (х, х' ), а равна его замкнутой части

3 *=дкВ *(х, х ') = Гд

гк (x, х ') ТкЛ К,(x, х ')

к 4пг 3(х, х')

■-/к д

к 4пг 3(х, х')

г = /' 5* (х, х') - /к д

^ К,(x, х')

к 4пг 3(х, х')

77. (5.8)

Это замкнутое поле очень похоже на козамкнутую векторную напряженность электрического поля диполя Е * (5.2), изображенную на рис 11. Рисунки этих полей

X

совпадают в случае действительно сингулярного элемента тока. Однако ток 3 * (5.8) замкнут, а электрическая напряженность Е * (5.2) козамкнута. Это отличие происходит из-за

X

5 -функции, присутствующей в (5.8): последний член в (5.8), совпадающий с Е *,

X

сокращается с козамкнутой частью этой 5 -функции. Этот феномен проиллюстирован на рис. 14, взятом из [16].

Ток, сопряженный с 3 * (58),

3г = /5( х, х ') - /к д ы Г (х х ')

(5.9)

X к 4пг 3(х, х')'

козамкнут. Оператор границы д, примененный к этому току, обращает в ноль его замкнутую часть, совпадающую с Е (последний член в (5.9)),

, г ] (х, х') -д {1/к д ы—^^ = О,

4пг 3( х, х' )

(5.10)

и остается замкнутое сингулярное колечко с внешней ориентацией, которое можно назвать пра-током,

Он = 2д [,5( х, х')/,. (5.11)

Цепочка магнитного поля, созданного сингулярным элементом тока Г 5Л (х, х'), не входящим в эту цепочку, выглядит как (4.8):

•••ОЛ(*)Ой(5)].(*)]Л(5)В*(*)в1к.... (5.12)

X о х о х о

Возникновение замкнутого поля ]Л (5.8) за счет прибавления сингулярного элемента Г 5Л (х, х') к козамкнутому полю, совпадающему с Е Л (рис. 11), проиллюстрировано на

х

несингулярной модели в книге [16] на примере однородно намагниченного круглого цилиндра: В = 4п1 + Н (см. рис. 14). На рис.14 изображены, как это принято, силовые линии,

ох

а не трубки, как должно быть.

5.3. Поле кольцевого тока

Сингулярное колечко с внешней ориентацией (5.11) названо пра-током, потому что плотность тока имеет внутреннюю ориентацию, как (5.8). Сингулярный кольцевой ток с внутренней ориентацией, ] Л, являющийся аналогом электрического диполя, является

границей козамкнутого магнитного поля, В Л , аналогичного электрическому полю Е Л (5.2).

хх

Естественно, это магнитное поле получается заменой электрического дипольного момента рк на магнитный момент Мк в формуле (5.2):

В Л = 2Мк[г5к, 'Л (х х ) = -2Мк[г5к Гл ](х Х ')

,[,. 5 ' Г»(X, Х ') =

к 4пг 3(х, х')

к

4пг 3( х, х' )

(5.13)

Несингулярная модель этого поля изображена на рис. 15. Там же видна граница поля в виде кольцевого тока ] Л , который получается дифференцированием поля (5.13),

]Л=д В = -Мкд,дк Г ^ Х'\ + Мк]д,дк Г ^ Х' \ = -Мкдк5Л (х, х'). (5.14) ] хЛ ] к 4пг3 (х, х') ] к 4пг3 (х, х') к

(второе слагаемое равно нулю из-за антисимметрии Мк). На рисунке 16 изображена несингулярная модель замкнутого поля В .., сопряженного полю В Л (5.13),

о ^ X

, г1 (х, х') В м =-2М№ дк ] Л3 , , о у к[г 4пг 3(х, х ')

служащего границей векторному потенциалу А ,, который не представлен на рисунке.

При действительно сингулярном токе ]\=-Мы д к8Л (х, х') (5.14) вид поля В Л (рис. 15)

о Х

совпадает с видом поля Е { (рис. 12) так же, как совпадает между собой вид сопряженных к ним полей В .. (рис. 16) и Е Л (рис. 11). Однако существует разница, которая хорошо видна

о ] X

на несингулярных моделях: биповерхности на рисунке 12 замкнуты и имеют внешнюю ориентацию, а биповерхности рисунка 15 опираются на токовое колечко и имеют согласованную с ним внутреннюю ориентацию; трубки на рисунке 11 исходят из зарядов диполя и имеют внутреннюю ориентацию, а трубки на рисунке 16 замкнуты и имеют внешнюю ориентацию. Такую же внешнюю ориентацию будут иметь биповерхности поля А .. Математически разница между полями (5.13) рис. 15 и (5.5) рис. 12, между полями

X ]

(5.15) рис. 16 и (5.2) рис.11 обусловлена присутствием 8 -функций в выражениях (5.13) и (5.15). Действительно, представим, например поле (5.13) в дуальном виде:

1 г] г] г] г]

В ;=1В л в ] = -в ]мк д к = -в ] в ; "м; д к —^ = 25]"1 м; д к —^ = 2М~; д, ] =

х 2 х 4пг3 4пг3 4пг 4пг

г1 г1 г г

-^Т -м~д 1 = М;8л -М]д 1 = М;ьгк -М]д; -¡-3

4пг3 ] 1 4пг3 1 Л 1 4пг3 1 Л ] 4пг3

г

здесь использовано д „ —= 0. (5.16) рис. 15 отличается от (5.5) наличием дельта функции

[ 4пг

и псевдовектора, который ответственен за внутреннюю ориентацию.

6. Оператор Лапласа

Граница суммы замкнутого и козамкнутого полей равна границе козамкнутого слагаемого, потому что оператор границы элиминирует замкнутое поле,

дг (Е Л+ Е Л) = дг Е Л . (6.1)

Однако лапласиан, оператор второго порядка, V2ЕЛ = ^ViV;ЕЛ , который использует

метрику, во-первых, обрабатывает оба слагаемых такой суммы, во-вторых, должен обязательно содержать ковариантные производные. Как известно, [14, р.316],

V2 = -55 - 55, (6.2)

где 5 есть кодифференциал (3.3), (3.5) (сигнатура метрического тензора ?ь здесь + + + ). Наша цель записать члены формулы (6.2) в терминах сопряжения, а не оператора Ходжа, который содержится в 5 . Вследствие (3.5), имеем

р Р+1 Р+1 р р р

5дш = 5 а = (-1)Р+1 * д * а=-(-1)р * д * дш, д5ш = (-1)р д * д * ш . (6.3)

р

Следовательно, для р -формы ш, уже не зависимо от сигнатуры метрического тензора, будет

2 р р р

V2 ш = (-1)р (*д * д - д * д*) ш , (6.4)

см. также [12]. Слагаемые в формуле (6.4) имеют разные знаки, в отличие от (6.2).

р

Аналогично можно показать, что для контравариантной плотности валентности р, вЛ,

рр

V2 рЛ = (-1)р+1 (*д * д - д * д*)рЛ . (6.5)

Заметим здесь, что формулы (6.4), (6.5) являются выражением оператора Лапласа над формами и коформами через частные производные. Например, для скалярной функции, т.е. нуль-формы, ш( х), формула (6.4) дает, поскольку, согласно (2.6), д * ш = 0,

* д * дш-д * д * ш= * д * дш =

= (1/^л)д,(?у'л/?лд,ш) = [д^ + gi(И^Л)д]д;ш + giдгд;ш . Заменяя в первом слагаемом индекс ] ^ к и пользуясь формулой (86,6) [17]

Г * =-дг gгk - gгk (1/^ л )дг V? л ,

получаем

* д * дш-д * д * ш = (-Гк д к ш + дгдш) = Vi (Vш) = V2 ш .

Отметим, что представление лапласиана в виде (6.4), (6.5) для произвольных геометрических

величин не действительно.

Согласно (6.4), (6.5), лапласиан осуществляет переход вдоль цепочки полей от

некоторого звена на четыре звена влево, иногда умножая на -1. Например, для цепочки

электростатики (4.1) или (4.2), для поля фЛ, которое замкнуто, согласно (6.5) (р = 0),будет

2 2 -1 -1

V 2фл = д * д *фЛ=рЛ , или V2-= д * д *-= 5Л (х). (6.6)

4пг 4пг

Здесь знак при сдвиге по цепочке не меняется. Напротив, в цепочке магнитостатики (4.8), для замкнутого поля А Л , согласно (6.5) (р = 1), знак изменяется относительно сдвига по

цепочке (см. также [1, (5.31)]).

V2 А Л=-д * д * А Л=-. (6.7)

Однако для козамкнутого поля Л'л из цепочки (4.9) знак не меняется. Поэтому, если

X

векторный магнитный потенциал магнитостатики не удовлетворяет кулоновской калибровке, дАЛ ^ 0, т.е. содержит звенья обеих комплементарных цепочек (4.8), (4.9), АЛ = АЛ+ АЛ ,

X o

то, согласно (6.5), в соответствии с [4, (5.30)],

V2 АЛ=У 2(АЛ+ А Л ) = *д * д АЛ-д * д * А Л= j Л- j Л= graddiv A - j. (6.8)

X 0 X 0 X o

Для пространства-времени формула (6.8) выглядит

V2 АЛ = *д * д АЛ - д * д * АЛ = j Л- j Л (6.9)

X 0

(мы считаем, что в пространстве-времени V2 = д0 + дкк = д00 - дкк ). Для а = 0, согласно (6.9),

д оо А0-д кк А0 =д 0(д 0 А0 +д к Ак ) - j0, т.е. дккф = д, дкАк +р. (6.10) Это совпадает с [1, (6.10)], если учесть обозначение ф (2.1). Для а = i, будет

д00 Ai - дкк Ai = дi (д0 А0 + дк Ак ) - ji, т.е. д00 А - дккА = дi (дф - дкАк ) + ji. (6.11) Это совпадает с [1, (6.11)] или с (6.8) при д 0 = 0.

При лоренцевой калибровке, именно, да АЛ = д0 АЛ + дi АЛ = 0 , АЛ= 0 , получается

X

просто V2 АЛ = - j Л, т.е.

д00ф-дккФ = -Р, д00 А -дккА = ji. (6.12)

При кулоновской (не лоренцевой) калибровке, д кАк = 0, имеем вместо (6.10) и (6.11)

дккФ = Р, и д00А -дккА =дiд0Ф + /, (6.13)

что совпадает с [1, (6.22)], [1, (6.24)]

Применение формулы (6.4) к левому концу цепочки (4.5) дает интересный результат, не встречающийся в литературе:

V2 B v= -д * д * B v=- Q v= -2д lMjv]. (614)

В трехмерном векторном виде этот результат выглядит

(д00 -дкк )B = rot j , (д00 -дкк )E = -д0j - grad Р . (615)

7. Тандемно замкнутые поля

При знакопеременном метрическом тензоре существуют тандемно замкнутые поля, т.е. поля, которые замкнуты и козамкнуты одновременно. Мы отмечаем такие поля парой значков х о . Например, обычная электромагнитная плоская волна

в л!= Е1 = , в Л = в2 = ег-и, в 01=-ег-и, в 31=-в 13 = еш-и, (7.1)

хо хо хо хо хо

составляет тандемно замкнутое поле В Лв, в ^ , поскольку электрические и магнитные 4-

токи равны нулю:

др в Л = д0 в Л + д3 в Л = 0, д[Я в ш] = д3 в 10 + д0 в 31

хо хо хо хо хо хо

В этом случае оба поля тандема замкнуты. Мы называем такой тандем концевым тандемом

дв в Лр=д0 в Л0 + д3 в Л3 = 0, д[Я в ^ = д3 в ю + д0 в 3!= 0. (7.2)

потому что цепочка кончается слева таким тандемом. Очевидно, концевой тандем служит концом двух (комплементарных) цепочек. Например, (7.2) означает (ср. (4.4), (4.5)),

0(5)в (*)ввав(д)па^*)пяДЭ) гД*)Iар(д)Я?{*)Я^(д)... (7.3)

хо^ хо х о ^ х ^ о х о ^

0(д) вв ав(*) в Дд) /\v(*) А а(д) !а/(*) г а(д). (7.4)

В цепочке (7.4) электромагнитное поле в является границей магнитного векторного

хо ^

потенциала А: в = 2дА], А 1= - АЛ= , однако сопряженное с ним

х хо ^ ^ х х о

электромагнитное поле в Лв в цепочке (7.3) является границей электрического три-

векторного потенциала П ЛРу: в ЛР= ду П ЛРу, П Л03 = П103 = ie'z и . Несколько следующих

х хо х х о

звеньев цепочек выглядят так:

110 = -1 Л0 = е1г~и, 113 = Л3= 1г£(4±£) е1г~и, Я Л03 = Я Ю3= -е1г~и, (7.5)

х о 4 х о 4 х о 4

I Л0=- , I > I „= 1±£±£>е", С ,= -С --^е", (7.6)

х о 4 х о 4 х о 4

Поскольку лапласиан осуществляет сдвиг вдоль цепочки на четыре звена влево, мы имеем, согласно (7.3) и (6.5),

вЛв=д *д* г 2 г . (7.7)

ХО 0 0

Но то же поле в Лв, согласно (7.4) и (6.5), равно

хо

в а = *д * д г лв=-У2 г а. (7.8)

Хо XX

Тут мы получаем интересный общий вывод:

Сумма однородных членов комплементарных цепочек является гармоническим полем, если сдвиг на четыре звена влево приводит к концевому тандему (7.9)

Действительно,

V2= V 2(7 ав+ 2 ав) = В ав- В ав= 0. (7.10)

о X Хо Хо

Между прочим, мы можем рассматривать гармоническое поле из (7.5), (7.6), как некую плоско поляризованную электромагнитную волну, поскольку она удовлетворяет однородному волновому уравнению (7.10). По аналогии с (7.1) мы можем считать

V 01 70К 7 01 771 1 12-и гуЪ1 гу 31 гу 31 Г, 1 к-и Я 1

2Л = 2 л+ 2 л = Е = 2в и 2л = 2 л+ 2 л = В2 =- 2в (711)

электрическим и магнитным полем этой волны, используя формулы (7.5), (7.6). Но это очень странная волна. Вектор Пойнтинга, 8 = (Е х В)/2, имеет г -компоненту, направленную противоположно направлению движения волны: 8 2 = -1/8, и волна сопровождается электрическим ] а и магнитным ^ токами, роль которых играют обычные магнитный и электрический векторные потенциалы:

а = Зв 7ав= А а , V = за . 2^= П . (7.12)

Совсем простой пример концевого тандема, приведен в [2]. При этом там использован знакопостоянный метрический тензор. Зато там поля растут на бесконечности.

Заключение

Описание электромагнитных полей, представленное в данной статье, возможно, более соответствует природе электромагнетизма, чем стандартное описание. Использование понятий сопряжения и границ полей выявляет естественные связи и различия между полями. Источники полей оказываются границами многообразий, изображающих эти поля. Это придает полям необычную наглядность. Идея применения дифференциальных форм при изложении электромагнитизма, по-видимому, впервые оказалась реализованной, и это привело к упрощению изложения.

Материал настоящей статьи был направлен в следующие журналы: УФН (13.06.95, 28.03.01, 16.05.08, 27.07.09), Письма в ЖЭТФ (14.05.98), Л1Р (12.04.05), Известия вузов. Физика (25.04.05).

Библиографический список

1. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Том 3, часть 1. (М.: Наука, 1996)

2. Храпко Р.И. Разложение Гельмгольца, etc. -

http://www.mai.ru/science/trudy/articles/num19/article9/auther.htm (05.07.05)

3. Ohanian H. C. Physics. - N.Y.: W.W.Norton, 1985.- 881p.

4. Jackson J. D. Classical Electrodynamics. - Wiley, 1999.- 808p.

5. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике.- М.: Наука, 1984.- 832c.

6. Schouten J. A. Tensor Analysis for Physicists. - Clarendon, Oxford, 1951.- 275p.

7. Схоутен Я. А. Тензорный анализ для физиков. - М.: Наука, 1965.- 455c.

8. Napolitano J. and Lichtenstein R. Answer to Question #55 Are the pictorial examples that

distinguish covariant and contravariant vectors? // American J. Physics - 1997, 65. - p.1037

9. Cartan H. Calcul Differentiel. Formes Differentielles. - Herman, Paris, 1967.- 302c..

10. Картан А. Дифференциальное исчисление, Дифференциальные формы. - М.: Мир, 1971.-

392c.

11. Flanders H. Differential Forms (Academic, New York, 1963)

12. Khrapko R. I. Violation of the gauge equivalence - http://arXiv.org/abs/physics/0105031

(11.12.01).

13. Храпко Р. И. Силовые трубки и биповерхности в электромагнетизме. -

http://www.mai.ru/science/trudy/articles/num4/article7/auther.htm (18.05.01)

14. Von Westenholz C. Differential Forms in Mathematical Physics (North Holland, 1978)

15. Терлецкий Я. П., Рыбаков Ю. П. Электродинамика (М.: Высшая школа, 1990) 352c.

16. Abraham M., Becker R. The Classical Theory of Electricity and Magnetism (Hafner, N. Y.)

289p.

17. Ландау Л.Д., Лифшиц Е М. Теория поля (М.: Наука, 1973) 504c.

Сведения об авторе

Храпко Радий Игоревич, доцент кафедры физики Московского авиационного института (Государственного технического университета), к. ф.-м. н. Контакты: 4991446312, khrapko ri@hotmail.com, персональный сайт http://khrapkori.wm site.ru

125993 Москва, Волоколамское шоссе 4, Российская Федерация

Chains of electromagnetic's fields

R. I. Khrapko

Annotation.

A consistent use of the exterior differential forms in the electromagnetism shows that fields of electromagnetism are geometrical quantities of two different types: differential forms and contravariant (antisymmetric) tensor densities. These types are connected with each other by a specific operation, named the conjugation, which is a part of the Hodge operation. Field tubes and families of bisurfaces depict electromagnetic fields. The conjugation allows a many-fold differentiation of the fields and leads to field chains. The Helmholtz's decomposition of a field is a decomposition into a closed part and a closed after conjugation part of the field. Chains of fields of electric and magnetic dipoles are considered in detail. Concept of boundary of a field is used widely. Laplacian is represented in terms of the conjugation, and its action on isolated chains is considered. A sufficient condition of harmonicity of a field is found.

Key words

Differential forms, Helmholtz decomposition, Hodge operation, Laplacian.

Author

Khrapko Radi Igorevch, Moscow aviation institute (state technical university). Contacts: +7 4991446312, khrapko_ri@hotmail.com, personal website http://khrapkori.wmsite.ru