CC BY
52
ФИЗИКА
Вестн. Ом. ун-та. 2016. № 3. С. 39-49 УДК 517.95
Д.В. Кудашкин, С.В. Николаев, К.Н. Югай
ЦЕНТРЫ ПРОСКАЛЬЗЫВАНИЯ ФАЗЫ В КВАЗИОДНОМЕРНЫХ СВЕРХПРОВОДЯЩИХ СИСТЕМАХ: ВОЗНИКНОВЕНИЕ И СВОЙСТВА
В данной работе исследуются свойства квазиодномерной нанопроволоки. Для этого используется одномерное нестационарное уравнение Гинзбурга-Ландау, в котором введён параметр u отвечающий за «чистоту» проволоки. Уравнения решались численно. Было обнаружено появление обратного тока при образовании центра проскальзывания фазы (ЦПФ), оценён размер единичного центра проскальзывания, отслежена зависимость сверхпроводящего тока от фазы параметра порядка.
Ключевые слова: центр проскальзывания фазы, уравнения Гинзбурга-Ландау, сверхпроводящий ток, джозефсоновский переход.
Введение
Сверхпроводимость в объёмных структурах давно и успешно описывается теорией Бардина-Купера-Шриффера (БКШ). При низкой температуре электроны в металле за счёт притяжения, вызванного фононами, образуют куперовские пары, которые, в отличие от электронов, являются бозонами и «скатываются» в одно квантово-механическое состояние и описываются волновой функцией бозе-конденсата. При понижении размерности сверхпроводника появляются эффекты, которые не наблюдаются у объёмных сверхпроводников. По теории БКШ сверхпроводимости в низкоразмерных структурах, линейные размеры которых меньше размера куперовской пары, быть не может. Однако есть экспериментальные работы, в которых говорится о наличии сверхпроводимости в квазиодномерных структурах.
Одним из эффектов, наблюдаемых в низкоразмерных структурах, является появление электрического сопротивления. В работах [1; 2] это впервые наблюдалось в отсутствии внешнего магнитного поля. Появление сопротивления объясняется явлением проскальзывания фазы сверхпроводящего параметра порядка. Флуктуации фазы могут быть вызваны тепловыми флуктуациями, при температурах близких к температуре сверхпроводящего перехода или туннелированием параметра порядка через барьер свободной энергии Гинзбурга-Ландау при температурах много меньше температуры сверхпроводящего перехода - квантовое проскальзывание фазы [3-8]. В работах [9-11] было показано, что квантовое проскальзывание фазы определяет температурную зависимость сопротивления тонких сверхпроводящих проволок при низких температурах.
Если по нанопроволоке протекает ток, близкий к критическому, то в системе начинают развиваться процессы, зависящие от времени. Динамический механизм подавления сверхпроводящего параметра порядка обусловлен внутренними нелинейными свойствами рассматриваемой системы, которые не проявляются при токах, существенно меньше критических. Наличие в системе тока вызывает изменение фазы параметра порядка. Если фаза меняется со временем, то в силу соотношения Джо-зефсона возникает электрическое напряжение. То есть если будет происходить проскальзывание фазы (изменение фазы на 2п), то в точке, где произошло проскальзывание фазы, будет появляться напряжение.
В данной работе мы рассматриваем образование и свойства центров проскальзывания фазы. Изучение основано на численном решении нестационарного одномерного уравнения Гинзбурга-Ландау, полученного в ра-
© Кудашкин Д.В., Николаев С.В., Югай К.Н., 2016
боте [12]. Из работ [13; 14] известно, что при определённых значениях параметра и, характеризующего «чистоту» материала (и>1) существуют два значения критической плотности тока ]о1 и _/с2. При 7 < ]о1 полный ток является сверхпроводящим, при _/ > ]о2 полный ток является нормальным. В промежутке М < 7 < № полный ток состоит из сверхпроводящей и нормальной компонент. При _/ = ^ электрический потенциал равен нулю, далее при росте 7 он возрастает до значения Уо2 при 7 = >2. Это значения потенциала тоже можно назвать критическим.
Нестационарные уравнения Гинзбурга-Ландау и центры проскальзывания фазы
Для сверхпроводников роль параметра порядка играет волновая функция. В месте на проволоке, где существует ЦПФ параметр порядка принимает значения близкие к нулю. Эволюцию параметра порядка в сверхпроводящей нанопроволоке можно описать одномерным нестационарным уравнением Гинзбурга-Ландау, предложенным в работе [12]:
где использованы следующие нормировки: х А t пй
х ^ —, тр ^ Т->Ь = — Ло=\
(1)
V
А
0
0
8к(Тс - Т)'
Мо )о
е№
(2)
10 2т§'
где § - длина когерентности, А0 - равновесное значение энергетической щели,
Ь0 - время релаксации параметра порядка, ^ - электрохимический потенциал, 8к(Тс-Т)/
у.0 = у с - нормировочное значение
электрохимического потенциала, ] - плотность полного тока, т - масса электрона, N -плотность электронов проводимости.
Граничные условия для системы (1) можно записать в виде:
ф(0) = 1,ф(Ь) = ехр^), (3)
где (р0 - фаза волновой функции сверхпроводящих электронов на границе нанопрово-локи.
Полагаем, что в начальный момент времени проволока находится в сверхпроводящем состоянии, и в ней течёт сверхпроводящий ток, равный полному току. Поэтому начальные условия запишутся в виде:
\гР(х)\ = 1,(р(х)=]х,ц(х) = 0. (4)
Для численного интегрирования удобно записать волновую функцию в виде суммы действительной и мнимой части ф = И + И, тогда уравнения (1) и граничные и начальные условия переписываются в виде:
дИ д2Я
дх д!
дх
И- =
дх2 д21
"дх2
X
+ (1-И2 - 12)И + уМ, + (1-И2 - 12)1 -
(5)
И(0,Ь) = 1, 1(0,Ь) = 0, И (Ь, Ь) + и (Ь, Ь) = ехр(1(р0) (6)
Я(х, о) + Ы(х, 0) = ехр(ух).
Такое представление для ф отличается от представления в полярных координатах тем, что для уравнений (5) точка И = I = \ф\ = 0 не является особой и процесс её пересечения фазовой траекторией можно просчитать регулярно.
Для численного решения этой системы использовался неявный метод с весовыми коэффициентами. Интегрирование производилось по формуле Эйлера-Маклорена.
Возникновение центра проскальзывания фазы
Рассмотрим, как изменяется ток и модуль параметра порядка в проволоке от её длины в фиксированный момент времени. На рис. 1 представлена ситуация, когда ток равен первому критическому току. На рис. 2 показано, как определяется размер одного ЦПФ. По теории фазовых переходов Ландау переход сверхпроводник - проводник происходит при резком приближении параметра порядка к нулю.
В данном случае параметром порядка является модуль волновой функции сверхпроводящих электронов По рис. 2 можно оценочно сказать, что размер одного ЦПФ составляет ~5 где( - длина когерентности.
На рис. 3 представлен случай мигающих во времени ЦПФ. По рис. 3в можно заметить, что размер ЦПФ такой же, как и при первом критическом токе.
На рис. 4 рассматривается случай нескольких ЦПФ, модуль параметра порядка при этом не успевает восстанавливаться от одного ЦПФ к другому, вследствие чего имеем вид зависимости тока от длины, изображённый на этом рисунке.
На рис. 5 рассмотрен случай, когда ток близок ко второму критическому. В этом случае ЦПФ сливаются, образуя нормальную область. Из рис. 5б видно, что есть область, в которой плотность тока равна нулю.
0
б в
Рис. 1. Пространственно-временное распределение модуля параметра порядка (а), зависимость сверхпроводящего тока от длины (б), зависимость модуля параметра порядка от длины (в)
1,0-
0,8 ■
0,6 ■
0,4 ■
0,2 ■
0,0 ■
У
\ \ \ \ / / / /
- \ / /
1 1 \ \ \ / V / V 1 1
5
Длина Рис. 2. Размер одного ЦПФ
ю
а
в
0,6-,
0,4 ■
О
^ 0,2
0.0 -
1,0
0,8-
0,6-
0,4-
0,2-
0,0
Длина
-Г"
10
10
Длина
а
б
в
1_=10, и=5,]=3
О 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500
Время а
Длина
б в
Рис. 5. Пространственно-временное распределение модуля параметра порядка (а), зависимость сверхпроводящего тока от длины (б), зависимость модуля параметра порядка от длины (в)
Обратный ток и изменение фазы
На рис. 6б изображена зависимость плотности тока от длины. Как видно, в момент образования ЦПФ возникает отрицательный или обратный ток. Это связано с тем, что в точке, где образуется ЦПФ, возникает барьер, препятствующий прохождению носителей заряда, что ведёт к накоплению заряда в области ЦПФ. При накоплении достаточного заряда, возникает кулоновское отталкивание и образование отрицательного тока. После чего возникает пробой и плотность тока восстанавливается до своего
начального значения. Эффект обратного тока в 8-М-8 переходе наблюдался в работе [15]. При большей плотности тока обратный ток не возникает (рис. 7).
Как видно из рис. 8, в области ЦПФ происходит резкое изменение фазы. На рис. 9 приведена зависимость плотности тока от фазы.
Рассмотрим изменение фазы параметра порядка в зависимости от длины проволоки при плотности тока _/ = 0,398 в момент образования ЦПФ.
1=10, и =5^=0.398
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Время
а
5
Длина
б
Рис. 6. Пространственно-временное распределение модуля параметра порядка (а), зависимость сверхпроводящего тока от длины (б): 1, 2 - плотности тока до образования ЦПФ, 3 - момент образования ЦПФ, 4, 5 - плотность тока после образования ЦПФ
0,6
0,0
\ - \ 1 1 1
\ \ \
\ \
\
\
V /
\ \ /
V --4------ . 1
5
Длина
Рис. 7. Зависимость сверхпроводящего тока от длины
4 6
Длина
Рис. 8. Зависимость фазы параметра порядка от длины проволоки
_|_._I_._I_._I_._1_
■0,5 0,0 0,5 1,0 1.5
Фаза
Рис. 9. Зависимость плотности тока от фазы параметра порядка
Плотность тока восстанавливается до своего первоначального значения.
Рассмотрим поведение фазы в момент, предшествующий образованию ЦПФ.
Из рис. 10 видно, что в отсутствии ЦПФ, фаза проскальзывает резко и дважды. А по рис. 11 видно, что ток меняется синусоидально. На рис. 12 представлена эта зависимость без проскальзывания фазы.
Рис. 10. Зависимость фазы параметра порядка от длины проволоки
Рис. 11. Зависимость плотности тока от фазы параметра порядка
Рис. 12. Зависимость плотности тока от фазы параметра порядка
ЦПФ и джозефсоновский переход
Из рис. 11, 12 видно, что плотность тока зависит от фазы по гармоническому закону. Это даёт повод рассматривать ЦПФ как джозефсоновский переход. Можно провести аналогию между SNS (сверхпроводник-проводник-сверхпроводник) системой и ЦПФ.
Как известно, для стационарного эффекта Джозефсона имеет место соотношение:
]=]с sin О), (7)
где ¡с - ток перед изолятором, <р - разность фаз волновой функции сверхпроводящих электронов по разные стороны перехода.
Так же для эффекта Джозефсона характерен критический ток 1С - максимальный ток, при котором нет затухания в барьере (диэлектрике).
На рис. 13, 14 показан эффект Джозефсона для случая с одним ЦПФ. Для случая с несколькими ЦПФ зависимость тока отклоняется от синусоидальной зависимости. Это
объясняется тем, что при увеличении длины перехода L между сверхпроводниками возникает отклонение от синусоидального закона [6]:
1. L/^=1 I~smф
2. L/^=2 Отклонение от I~sinф
3. L/^=4 Явно не I~sinф
4. L/^=8 )«0.4.
Зависимость тока от ф неоднозначна, но
периодичность сохраняется.
Образование ЦПФ влечёт за собой появление напряжения, следовательно, и сопротивления. При наличии сопротивления ток может описываться с помощью резистивной модели джозефсоновского перехода. По этой модели:
(«р'), (8) где <р = <р — 1к, 1к — параметр отклонения от джозефсоновского закона.
©
-1
1 1 1 1 7. 1 1 1
/ / ■ / / 1 7 ''ф=ХгХ2
V * 2
1 . 1 1.1.
А В
О 2 4 6 8 10
Длина
Рис. 13. Зависимость фазы параметра порядка от длины проволоки
Заключение
Суммируя полученные результаты, можно сделать следующие выводы:
1. Число центров проскальзывания фазы зависит от плотности тока, «чистоты» материала проволоки и её длины.
2. Для единичного ЦПФ в проволоке выполняется закон Джозефсона.
3. Для нескольких ЦПФ происходит отклонение от закона Джозефсона, вызванное появлением сопротивления, а при слиянии ЦПФ в нормальную область увеличением длины нормального перехода между сверхпроводящими областями.
4. При больших токах ЦПФ сливаются, образуя область нормальной проводимости.
5. Появление ЦПФ сопровождается возникновением обратного тока, обусловленного замедлением и накоплением заряда в месте возникновения ЦПФ.
6. Плотность сверхпроводящего тока для проволоки ограничена конкретным значением, независящим от заданного тока.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Lukens J. E., Warburton R. J., Webb W. W. Onset of Quantized Thermal Fluctuations in "One-Dimensional" Superconductors // Phys. Rev. Lett. 1970. Vol. 25. P. 1180.
[2] Newbower R. S., Beasley M. R., Tinkham M. Fluctuation Effects on the Superconducting Transition of Tin Whisker Crystals // Phys. Rev. B. 1972. Vol. 5. P. 864.
[3] Giordano N. Dissipation in a one-dimensional superconductor: Evidence for macroscopic quantum tunneling // Phys. Rev. B. 1990. Vol. 41. P. 6350.
[4] Bezryadin A., Lau C. N., Tinkham M. Quantum suppression of superconductivity in ultrathin nan-owires // Nature. 2000. Vol. 404. P. 971.
[5] Lau C. N., Marovic N., Bokrath N., Bezryadin A., Tinkham M. Quantum phase slips in superconducting nanowires /// Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 87. P. 217003.
[6] Marovic N., Lau C. N., Tinkham M. The limits of superconductivity in MoGe nanowires // Physica C. 2003. Vol. 387. P. 44.
[7] Tinkham M., Free J. U., Lau C. N., Markovic N. Hysteretic I-V curves of superconducting nanowires // Phys. Rev. B. 2003. Vol. 68. P. 134515.
[8] Mihotte S., Matefi-Tempfi S., Piraux L. 1D-tran-sport properties of single superconducting lead nanowires // Physica C. 2003. Vol. 391. P. 369
[9] Abrahams E., Tsuneto T. Time Variation of the Ginzburg-Landau Order Parameter // Phys. Rev. 1966. Vol. 52. P. 416.
[10] Chang Y. Macroscopic quantum tunneling in one-dimensional superconducting wires // // Phys. Rev. B. 1996. Vol. 54. P. 9436.
[11] Zaikin A. D., Golubev D. S., Otterlo A. van, Zima-nyi G.T. Quantum Phase Slips and Transport in Ultrathin Superconducting Wires // Phys. Rev. Lett. 1997. Vol. 78. P. 1552.
[12] Golubev D. S., Zaikin A. D. Quantum tunneling of the order parameter in superconducting nanowires // Phys. Rev. B. 2001. Vol. 64. P. 014504.
[13] Николаев С. В., Югай К. Н. Динамические свойства сверхпроводящей нанопроволоки // ЖЭТФ. 2006. Т. 129. С. 371.
[14] Nikolaev S. V., Yugay К. N., Kim J. U., Huh Y. Dynamical Phase Slipping in Superconducting Nanowires // Journal of Superconductivity: Incorporating Novel Magnetism. 2005. Vol. 18. P. 261.
[15] Baselmans J. J. A., Morpurgo A. F., Wees B. J. van, Klapwijk T. M. Reversing the direction of the super-current in a controllable Josephson junction // Nature. Vol. 397. P. 43.
