ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЦЕНТРАЛЬНАЯ ПРЕДЕЛЬНАЯ ТЕОРЕМА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯ

Тураев С.1, Останов К.2

1Тураев Сухроб - магистрант, математический факультет, 2Останов Курбон - кандидат педагогических наук, доцент, кафедра теории вероятностей и прикладной математики, Самаркандский государственный университет имени Шарофа Рашидова, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: рассматриваются центральная предельная теорема, общее название ряда предельных теорем теории вероятностей, в которых устанавливается, что, при большом числе слагаемых, распределения сумм независимых случайных величин близки к нормальному распределению. Один из важнейших вопросов, связанных с применениями центральной предельной теоремы, - вопрос о точности аппроксимации, которую она гарантирует. Самым известным результатом в этом круге вопросов является теорема Берри - Эссеена, изучаются также асимптотические разложения в центральной предельной теореме, в которых к нормальному закону добавляются слагаемые, стремящиеся к нулю при п^ю.

Ключевые слова: центральная предельная теорема, независимые случайные величины, дисперсия, математическое ожидание, нормальная функция распределения, локальные формы.

УДК 512.1

Центральная предельная теорема, общее название ряда предельных теорем теории вероятностей, в которых устанавливается, что, при большом числе слагаемых, распределения сумм независимых случайных величин близки к нормальному распределению [1]. Эти теоремы являются обобщениями теоремы Муавра - Лапласа. Пусть Xi, X2, ... - независимые случайные величины со средними значениями MXj =aj и дисперсиями

DXj =Оу2>0. Пусть Sn= Xi+...+Xn, An=MSn=a;+...+a„- среднее значение Sn и В-2 =DSn =af + —+ -её дисперсия. Один из простейших вариантов центральной предельной теоремы утверждает, что при определённых условиях функции распределения нормированных сумм S-=Sn Ann, т.е.

Вп

Fn(x)=P(S-<х) при росте n стремятся к функции распределения стандартного нормального закона

Ф(х)=-^Г e~u2/2du: Fn(x)—»Ф(х), n—<»,(*)

причём эта сходимость равномерна по -да<х<да. Следствием этого является соотношение

Р(Х1+...+Хп<х)-Фп(х)—0, n—да,

где Фп(х) - нормальная функция распределения со средним An и дисперсией В£, т.е. при больших n функции распределения сумм

^n=X1+...+Xn мало отличаются от нормальных функций распределения с теми же средними и дисперсиями, что у Sn. Это позволяет в практических расчётах заменять функции распределения сумм независимых случайных величин, которые обычно неизвестны (их вычисление связано с очень большими трудностями), нормальными функциями распределения, работа с которыми трудностей не представляет [2].

Для справедливости (*) достаточно, чтобы для некоторого д>0

P2+S(Xi) + -^2+S(Xn))—o^ n—да, Вп

где P2+s{Xj) = MlXj — a.jl (теорема Ляпунова, 1900). Для того чтобы выполнялось (*) и

одновременно Bn-2max1¿j¿naj2 ^ 0,п ^ <х необходимо и достаточно выполнения условия

2

В-2/ I (х —a)2dGj(x) ^ 0, п^™

j=^Jlx-ajl>EBn

где Gj - функции распределения Xj (теорема Линдеберга - Феллера) [3].

Если случайные величины X1, X2, ... одинаково распределены, то для справедливости (*) достаточно существования их дисперсии. Наряду с утверждением (*), которое иногда называют интегральной формой центральной предельной теоремы, рассматриваются её локальные формы. Одна из локальных форм центральной предельной теоремы для плотностей утверждает, что в случае одинаково распределённых величинX1, X2, ... плотности вероятностейpn(x) нормированных сумм S- сходятся к плотности стандартного нормального закона:

1 _ 2

Рп(х) ^ ф(х) Х /2,п ^ < X < <Х.

Для справедливости этого утверждения достаточно дополнительно предположить существование ограниченных плотностей у случайных величин Х1, Х2,.....[4],[5]

Один из важнейших вопросов, связанных с применениями центральной предельной теоремы, -вопрос о точности аппроксимации, которую она гарантирует. Самым известным результатом в этом круге вопросов является теорема Берри - Эссеена, которая, в частности, утверждает, что для одинаково распределённых величин Х1, Х2, ... со средним а и дисперсией а2

Р(Рп,Ф) = зир-т<х<т\Рп(х) — Ф(х)| < с-^,

где Р3 = М\Х± — а\3, с - постоянная; известно, что с~0,4.

Изучаются также асимптотические разложения в центральной предельной теореме, в которых к нормальному закону добавляются слагаемые, стремящиеся к нулю при п^-да. Эти слагаемые позволяют получить более высокую точность аппроксимаций для распределений сумм Х1+...+Хи по сравнению с точностью аппроксимации в центральной предельной теореме [6].

Центральная предельная теорема является одним из фундаментальных результатов в области теории вероятностей. Она описывает поведение суммы большого числа независимых и одинаково распределенных случайных величин и играет ключевую роль в статистическом анализе данных.

Суть теоремы заключается в том, что распределение суммы большого числа слабо зависимых случайных величин, нормированное подходящим образом, стремится к нормальному распределению, независимо от формы исходного распределения каждой из этих величин. В простых словах, при увеличении числа величин их совокупное распределение будет все ближе к нормальному.

Нормальное распределение играет центральную роль в статистике и теории вероятностей. Многие статистические методы основаны на предположении о нормальности данных, и теорема объясняет, почему это предположение часто работает на практике. Таким образом, данная теорема обеспечивает теоретическую основу для применения нормального распределения в реальных исследованиях.

Еще одно важное применение теоремы — в области статистического вывода. Многие статистические тесты, такие как Ьтест или F-тест, основаны на предположении о нормальности данных. Понимание этой теоремы помогает исследователям оценивать, насколько обоснованно использование этих методов в конкретных условиях. Также она имеет важное значение в практических приложениях. В финансах, инженерии, социологии и многих других областях результаты теоремы используются для моделирования и анализа данных, прогнозирования и принятия решений.

В общем, центральная предельная теорема является мостом между теорией и практикой, объясняя, почему нормальное распределение так часто встречается в реальном мире и предоставляя основу для многих методов анализа данных.

Эта теорема дает понимание о том, как различные факторы могут влиять на распределение данных. Например, размер выборки играет ключевую роль: чем больше объем выборки, тем точнее аппроксимация нормального распределения. Это объясняет, почему в статистических исследованиях часто требуются большие выборки для достоверных результатов.

Несмотря на то, что теорема универсальна, существуют условия, при которых она может не работать. Если случайные величины имеют бесконечное математическое ожидание или дисперсию, то центральная предельная теорема не применима. Поэтому перед применением статистических методов, основанных на теореме, важно убедиться, что данные соответствуют условиям теоремы.

Теорема также имеет вариации и уточнения, разработанные для разных типов распределений и условий. Одной из таких вариаций является Линдебергова версия этой теоремы, которая ослабляет условия независимости и одинакового распределения случайных величин.

Имеются многочисленные обобщения центральной предельной теоремы на слабозависимые случайные величины, на случайные величины из многомерных и бесконечномерных пространств и на случайные процессы.

Таким образом, центральная предельная теорема остается одним из величайших достижений в области теории вероятностей. Она объединяет понятия нормального распределения, статистики и вероятности, предоставляя исследователям мощный инструмент для анализа данных и прогнозирования. Осмысление и понимание этой теоремы позволяет профессионалам в различных областях применять статистические методы с уверенностью в их корректности и достоверности.

Список литературы

1. Бродский Я. С. Статистика. Вероятность. Комбинаторика / Я.С. Бродский - М.: Мир и образование, 2008 (электронный ресурс «Университетская библиотека»);

2. Боровков А.А. Теория вероятностей. 4-е изд. М.: УРСС, 2003

3. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. 10-е изд. М.: УРСС, 2011.

4. Калинина В.Н. Теория вероятностей и математическая статистика / В.Н. Калинина - М.: Дрофа, 2008 (электронный ресурс «Университетская библиотека»)

5. В.В. Петров "Предельные теоремы классического типа для сумм независимых случайных величин", Теория вероятностей - 6. Предельные теоремы теории вероятностей, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 81, ВИНИТИ, М., 1991, 10-38

6. Ширяев А.Н. Вероятность. 4-е изд. М.: МЦНМО, 2007.