Цена внезапного раскрытия инсайдерской информации на фондовом рынке Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.83

Вестник СПбГУ. Сер. 10. 2014. Вып. 1

М. С. Сандомирская

ЦЕНА ВНЕЗАПНОГО РАСКРЫТИЯ ИНСАЙДЕРСКОЙ ИНФОРМАЦИИ НА ФОНДОВОМ РЫНКЕ*)

Санкт-Петербургский экономико-математический институт РАН, 191187, Санкт-Петербург, Российская Федерация

В работе исследуется теоретико-игровая модель многошаговых биржевых торгов с асимметричной информационной структурой, а именно, когда на фондовом рынке имеется игрок, обладающий инсайдерской информацией о ликвидной цене рискового актива. Инсайдеры не заинтересованы в быстром раскрытии своей приватной информации, поскольку она составляет их единственное преимущество, позволяющее получить положительный итоговый выигрыш. Это приводит к тому, что инсайдеры рандомизируют свои действия, вследствие чего в эволюции цен появляется осциллирующая компонента. Игра с неограниченным числом повторений была решена В. Доманским в 2007 г. Комбинаторные трудности, характерные для анализа дискретных моделей, затрудняют поиск значения конечношаговых игр и оптимальных стратегий игроков. В работе вычислен гарантированный выигрыш инсайдера в игре торгов любой конечной продолжительности при использовании им стратегии, оптимальной в бесконечношаговой игре. Показано, что такая стратегия инсайдера является его е-оптимальной стратегией в га-шаговой игре, где е убывает экспоненциально с ростом числа шагов га. Полученный результат позволяет определять убыток инсайдера в случае внезапного раскрытия его приватной информации. Библиогр. 6 назв.

Ключевые слова: инсайдерские торги, раскрытие инсайдерской информации, повторяющиеся игры с неполной информацией, простое случайное блуждание с поглощением.

Sandomirskaia M. S. The price of sudden disclosure of inside information on stock market // Vestnik of St. Petersburg University. Ser. 10. Applied mathematics, computer science, control processes. 2014. Issue 1. P. 120—127.

We consider a discrete model of insider trading in terms of repeated games with incomplete information. The solution of the bidding game of beforehand unlimited duration was obtained by V. Domansky (2007). Insider's optimal strategy am in the infinite stage game generates the simple random walk of posterior probabilities over the lattice l/m, l = 0,...,m, with absorption at the extreme points 0 and 1 and provides the expected gain 1/2 per step to an insider. In this paper we calculate the insider's profit in the game of any finite duration when he applies the strategy am. It is shown that this strategy is his е-optimal strategy in га-stage game, where е decreases exponentially as га ^ те. This means that the sequence of га-stage game values converges to the value of infinite game at least exponentially. The result obtained is interpreted as the loss of the insider in the case of sudden disclosure of his private information. For the special case we compare obtained insider's profit with the exact game value (result of V. Kreps, 2009) and demonstrate that the error term in the case of optimal insider's behaviour also decreases exponentially. Bibliogr. 6.

Keywords: insider trading, disclosure of inside information, repeated games with incomplete information, the simple random walk with absorption.

1. Краткий обзор моделей биржевых торгов с неполной информацией и теоретико-игровая постановка задачи. Впервые повторяющиеся игры с асимметричной информацией для моделирования финансовых рынков были введены в 2002 г. Де Мейером и Салей [1]. Результаты работы демонстрируют, что броуновская компонента в асимптотике цен сделок на фондовых рынках может иметь эндогенное, стратегическое происхождение, а именно, быть связанной с асимметричностью

*) Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 13-01-00462-а).

© М. С. Сандомирская, 2014

информации, которой обладают агенты, о событиях, определяющих цены рисковых активов на фондовых рынках. Инсайдеры не заинтересованы в немедленном раскрытии своей приватной информации. Это приводит к тому, что они рандомизируют свои действия, вследствие чего в эволюции цен появляется осциллирующая компонента.

Де Мейер и Салей демонстрируют такую идею с помощью модели многошаговых биржевых торгов между двумя агентами за рисковые активы (акции). Ликвидная цена акции зависит от состояния природы: перед началом торгов случайный ход (шоковое экзогенное событие) определяет состояние природы и, следовательно, ликвидную цену акции на весь период торгов. После случайного хода Игрок 1 получает сообщение

0 выборе случайного хода, а Игрок 2 нет. Оба Игрока знают вероятность случайного хода. Наличие у Игрока 1 приватной информации является общим знанием.

На каждом шаге торгов £ = 1, 2, ...,п Игроки одновременно называют свою цену за одну акцию. Назвавший большую цену покупает по ней одну акцию у оппонента. Если ставки совпадают, то транзакции не происходит. Целью каждого Игрока является максимизация своего итогового капитала (полученные деньги плюс денежный эквивалент приобретенных акций).

При повторяющемся взаимодействии в условиях асимметричной информации Игрок 2 должен использовать историю ходов инсайдера для обновления своих представлений о состоянии природы. Таким образом, Игроку 1 следует соблюдать баланс между извлечением выгоды из своей приватной информации и ее сокрытием от Игрока 2. Специфика моделей такого типа состоит в том, что инсайдер не может получить выгоду из приватной информации, не раскрыв ее хотя бы частично.

Де Мейер и Салей рассматривают модель торгов, в которых ликвидная цена может принимать два значения, а Игроки могут назначать произвольные вещественные ставки. Авторы сводят модель к антагонистической повторяющейся игре с асимметричной информацией и непрерывными множествами действий Игроков. Показано, что эта п-шаговая игра имеет значение, оно найдено, и также построены оптимальные стратегии Игроков. Когда п стремится к бесконечности, значение игры растет со скоростью порядка а/п. Показано, что в асимптотике цен транзакций, порождаемых оптимальными стратегиями, наблюдается броуновское движение.

Более естественно предполагать, что Игроки могут назначать только дискретные цены, пропорциональные минимальной денежной единице. Де Мейер и Марино [2], Доманский [3] вводят модели биржевых торгов с таким же торговым механизмом, как в модели [1], но в которых Игроки назначают цены, лежащие на дискретной решетке. Рассматривается п-шаговая игра От (р) с двумя возможными значениями ликвидной цены, положительным целым т, выбираемым с вероятностью р, и 0 с вероятностью

1 — р, с произвольными целыми ставками.

Из работ [2, 3] следует, что, в отличие от модели Де Мейера и Салей, последовательность значений VП(р) игр От(р) ограничена сверху и сходится при п ^ то. Ее предел Нт(р) является непрерывной, выпуклой, кусочно-линейной функцией с т областями линейности [к/т, (к + 1)/т], к = 0,...,т — 1, и значениями в точках излома Нт(к/т) = к(т — к)/2.

Поскольку последовательность Vnг (р) ограничена сверху, то естественно исследовать игры с заранее неограниченным числом повторений. Игра От (р) представляет собой бесконечно повторяющуюся игру с недисконтированными и неусредненными выигрышами, которая отличается от классической модели Ауманна и Машлера [4]. Эта игра решена в статье Доманского [3]. Ее значение Vm(p) равно величине предела Н т(р).

Множество оптимальных стратегий Игрока 1 в игре От (р) состоит из наискорейшей (в смысле скорости сходимости выигрыша инсайдера за п шагов к значению бесконечношаговой игры) стратегии ат и ее более медленных модификаций. Опишем стратегию ат для начальных вероятностей р = к/т. Первый ход стратегии ат состоит в использовании двух ставок к — 1 и к с условными вероятностями при высокой цене акции:

к — 1 к+1

и при низкой цене акции:

а1(/г"1|Ь)= 2(то — к) ' = 2(то — к) ■

В случае реализации ставки к —1 апостериорная вероятность высокой цены акции равна р(Н\к — 1) = (к — 1)/т, а в случае ставки к она составляет р(Н\к) = (к + 1)/т. Согласно рекурсивному построению для повторяющихся игр с неполной информацией, разработанному в [4], на следующем шаге в качестве вероятности рассматривается апостериорная вероятность, вычисленная по итогам предыдущего хода, и уже для нее повторяется описанное выше построение стратегии. Построенная стратегия порождает простое случайное блуждание апостериорных вероятностей по решетке 1/т, I = 0,...,т, с поглощением в крайних точках 0 или 1. Поглощение означает обнаружение Игроком 2 истинной цены акции. Стратегия ат обеспечивает Игроку 1 максимально возможный (из возможных выигрышей, гарантируемых оптимальными стратегиями) ожидаемый выигрыш за шаг, равный 1/2, на каждом шаге блуждания до поглощения.

Обозначим через ©т случайный момент, в который происходит поглощение блуждания в одной из крайних точек. Для исходной вероятности к/т ожидаемая продолжительность этого блуждания до поглощения составляет

вт (к) = Ек[вт] = к(т — к),

где Ек - математическое ожидание для случайного блуждания, начинающегося в точке к/т. Вышесказанное эвристически объясняет результат

У£(к/т) = к(т — к)/2 = вт (к)/2.

Торги прекращаются почти наверно за конечное время, ожидаемое число шагов также конечно. Игра заканчивается, когда апостериорное математическое ожидание ликвидной цены совпадает с ее реальным значением.

Получение точных решений для дискретных игр с конечным числом шагов представляет собой весьма трудную задачу из-за комбинаторных трудностей, как это можно наблюдать уже в простейшем случае решения одношаговой игры (см. [5]).

В настоящей работе найден выигрыш инсайдера в игре От (к/т) при использовании стратегии ат, оптимальной для игры От (к/т). Показано, что данная стратегия инсайдера является е-оптимальной для конечношаговой игры, причем е убывает экспоненциально с ростом числа шагов п.

Применение инсайдером именно стратегии ат мотивировано возможной интерпретацией п-шаговой игры как внезапной (неожиданной для инсайдера) остановки беско-нечношаговой игры на шаге п. Это может произойти, например, вследствие утечки приватной информации инсайдера, при которой эта информация становится общим

знанием. Естественно, в этом случае инсайдер теряет свое стратегическое преимущество и игра становится симметричной и имеющей нулевое значение. При этом инсайдер также теряет ту часть выигрыша, которую он «не успел» выиграть в игре бесконечной продолжительности. Такую потерю выигрыша инсайдера и будем называть ценой внезапного раскрытия инсайдерской информации.

2. Нижняя оценка значения конечношаговой игры: выигрыш инсайдера

о о о г~п 1

в п-шаговой игре, гарантированный стратегией а". В теореме 1 дается точная формула для цены внезапного раскрытия инсайдерской информации на шаге п. Теорема 2 устанавливает выигрыш инсайдера в п-шаговой игре, если он применяет стратегию а", оптимальную в бесконечношаговой игре.

Пусть К"(р, а,т) - функция выигрыша инсайдера в игре О"" (р).

Обозначим через

в"(к) = Ек тт{©", п}

ожидаемое число шагов, которое сделает простое случайное блуждание, стартующее из точки к/т, по решетке 1/т, I = 0,...,т, к моменту времени п.

Ожидаемый выигрыш инсайдера за первые п шагов при использовании стратегии ат, генерирующей данное случайное блуждание апостериорных вероятностей, составляет

т 2

Введем обозначение для цены внезапного раскрытия инсайдерской информации на шаге п в бесконечной игре О"(к/т):

"к) = У"(к/т) - 1пf К"(к/т, а", т).

т

Теорема 1. Цена внезапного раскрытия инсайдерской информации экспоненциально убывает с течением времени п и вычисляется согласно формуле

"к) =

1

2т

[т/2]

Е

1=1

ссз

(21 - 1) . пк(21 - 1) п(21 - 1)

■ эт

2т

1 + ^

,2тг(2/-1)

2т

(1)

где [а] - целая часть числа а.

При доказательстве теоремы 1 будет использована следующая лемма. Лемма. Имеют место следующие формулы:

1

п1к т

\ 2 1Пк т

г) > эт -= —

т2

к=1 "1

И) к ¡31

п1к

эт ■

к=1 т— 1

Ш) 53 к2

п1к

эт ■

к=1

т(—1)1 п1 —--с^к-,

2 6 2т'

(-1)1 п1 1 - (-1)1

2т

п1

4

п1

[1 + ctg 2т 2т

Доказательство теоремы 1. Начинаем с анализа функции ¡в" (к). Для в" (к) выполняется рекурсивное соотношение

= + + к = I, . .., т — I,

(2) 123

п

т

т

2

т

т

с граничными условиями вт(0) = вПг (т) =0 и начальным условием во1 (к) = 0.

Значения (3™(к) удовлетворяют уравнениям (3™(к) = + 1) + — 1) + 1

с граничными условиями вт(0) = вт(т) = 0.

Таким образом, разности е™(к) = \ (/3™(к) — (3™(к)) удовлетворяют однородным разностным уравнениям

£п+1(*) = ^П(А + 1) + ^П(А-1), к = 1,..., т — 1, (3)

Запишем (3) в виде

-'n+lV / 2 П V 1 J 1 2 п

с граничными условиями £™(0) = е™(т) = 0 и начальным условием £™(k) =

£п+1\К) - еп (/t) —---. (4J

Заметим аналогию между уравнением (4) и уравнением теплопроводности ut = a?uxx. Она позволяет решить уравнение (4), применяя методы, разработанные для решения уравнения теплопроводности.

Обозначим оператор в правой части (4) через A. Тогда

C+i(k) - em(k) = Aem(k), (5)

где

Аф{к) = Ф(к+1)+ф(к-1)-2ф(к) ^

Требуется найти собственные вектора оператора A: Аф = Хф.

Учитывая граничные условия ф(0) = ф(т) = 0, нетрудно получить формулы для семейства собственных векторов фг(к) и собственных чисел Xi оператора А:

ф[(к) = sin Аг = cos^ -1.

1 m

Теперь переходим к решению уравнения типа (5), при этом начальными условиями служат собственные векторы оператора A:

u» +i — un = Au» , (6)

uo = ф\.

Ищем uN в виде uN = f (N)ф1. Тогда

f (N +1)— f (N ) = Xi f (N), f (0) = 1.

Решая, получаем f(N) = (cos^)N. Отсюда решением системы (6) является функция

( nl\N nlk и дг = cos — sin-.

тт

Для решения уравнения (5) с более сложным начальным условием e1¡m(k) = = — к)к нужно разложить функцию £™(к) по собственным векторам оператора A. Тогда решение запишется в виде

i=i =i

Числитель и знаменатель, согласно лемме, равны

" 1 "„м • пк'1 1 - (-1)1 п1 2 п1

81П — = —— 1 +

у £д у I -*- I

т 8 2т V 2т

к' = 1 у

к'' = 1

Числитель обращается в 0 при четных I, поэтому суммирование ведется только по нечетным I, что, с учетом обозначения [а] - целая часть числа а, дает формулу (1). Теорема 1 доказана.

Теорема 2. Значение УП"(к/т) конечношаговой игры О"(к/т) ограничено снизу функцией Ь""(к/т) - выигрышем, гарантированным стратегией Игрока 1 а":

Щ(к/т)={т пк)к -е?(к), к = 1, .. . т — 1.

Следствие. Стратегия а" является е"-оптимальной стратегией Игрока 1 в п-шаговой повторяющейся игре С"1(к/т), где е™ = 0(соэ™^). При этом «поправочный член» е"(к) уменьшается экспоненциально с ростом п.

Другими словами, последовательность значений п-шаговых игр сходится к значению бесконечношаговой игры по меньшей мере с экспоненциальной скоростью.

3. Сравнение полученного выигрыша инсайдера за п шагов со значением п-шаговой игры для случая т = 3. Естественно задаться вопросом, насколько полученный при помощи стратегии а" выигрыш инсайдера отличается от его выигрыша в случае оптимального поведения в п-шаговой игре. Поскольку решение п-шаговых игр получено только для т = 3, то рассмотрим именно этот случай.

Решение игр О^(р) (значение игры У3(р) и оптимальные стратегии Игроков) найдено для любого п и описано в статье В. Л. Крепс [6] в терминах возвратных последовательностей.

В работе [6] последовательность вещественных чисел 5п, п = 0,1, 2,..., определяется рекуррентными соотношениями

6п+1 = 2(5п + 5п—1), ¿о = 0, ¿1 = 2.

Также определяется последовательность

Рп = (¿п—1 + ¿п)/(¿п—1 + 25 п), п =1, 2,....

Теорема 3 [6]. Кусочно-линейная непрерывная функция значений У3(р) игры О3п(р) на отрезке [0,1] имеет три точки излома: 1/3, рп, 2/3. Функция У3(р) определена своими значениями на концах отрезка У3 (0) = У3 (1) = 0 ив точках излома:

(1 - 2/(35п) при р =1/3,

У3(р) = [1 - 1/(25п + 5п—1) при Р = Рп, (7)

[1 - 1/(35п—1) при р =2/3.

Из (2) следует, что

4(1) = 4(2) =

Тогда и для промежуточной точки рп

£1(Рп ■ 3) = ф.

Заметим, что значение бесконечношаговой игры

У3 (1/3) = УЗ (2/3) = 1.

Скорость роста значения конечношаговой игры к значению бесконечношаговой игры точно выражается величиной

4(к) = У3(к/3) - Уп3(к/3). Оценим его при больших п.

Чтобы с помощью формулы (7) оценить скорость стремления У^ к 1, получаем оценки элементов последовательности 5Г1, аналитическое выражение которых

(1 + ^3)"-(1-^3)"

л/3

При больших п второе слагаемое суммы стремится к 0, поэтому в качестве приближения для 5п можно взять .

Тогда приближенные значения е п(к) в точках излома р = 1/3 и р = 2/3 равны

4(1) 2

л/3(1 + V3)r 1

е"(2) ^ V3(1 + V3)"-1'

Также вычисляем в точке p = pn

4 (pn • з)«

(2 + v/3)(l + v/3)™-1'

В этой точке наблюдается наименьший поправочный член.

Как можно наблюдать, для случая m = 3 порядок скорости сходимости выигрыша в n-шаговой игре при оптимальном поведении также экспоненциальный (т. е. не наблюдается гиперэкспоненциальная скорость). Отсюда заключаем, что оптимальные стратегии инсайдера в n-шаговой и бесконечношаговой играх при n ^ ж действительно достаточно близки, т. е. оптимальная стратегия в бесконечношаговой игре является хорошим приближением оптимальной стратегии в конечной игре.

Литература

1. De Meyer B., Moussa Saley H. On the Strategic Origin of Brownian Motion in Finance // Intern. Journal of Game Theory. 2002. Vol. 31. P. 285-319.

2. De Meyer B., Marino A. Continuous versus discrete market game: Cowles Foundation Discussion Paper. New Haven, Connecticut, 2005. N 1535. 20 р.

1

3. Domansky V. Repeated games with asymmetric information and random price fluctuations at finance markets // Intern. Journal of Game Theory. 2007. Vol. 36(2). P. 241-257.

4. Aumann R. J., Maschler M. Repeated Games with Incomplete Information. Cambridge, Massachusetts - London, England: The MIT Press, 1995. 360 р.

5. Сандомирская М. С., Доманский В. К. Решение одношаговой игры биржевых торгов с неполной информацией // Математическая теория игр и ее приложения. 2012. Т. 4, вып. 1. С. 32-54.

6. Крепс В. Л. Повторяющиеся игры, моделирующие биржевые торги, и возвратные последовательности // Изв. РАН. Теория и системы управления. 2009. Т. 48, вып. 4. C. 109-120.

Статья рекомендована к печати проф. Л. А. Петросяном. Статья поступила в редакцию 31 октября 2013 г.

Контактная информация

Сандомирская Марина Сергеевна - младший научный сотрудник; e-mail: sandomirskaya_ms@ mail.ru

Sandomirskaia Marina Sergeevna - junior researcher, St. Petersburg Insitute for Economics and Mathematics RAS, 191187, St. Petersburg, Russian Federation; e-mail: sandomirskaya_ms@mail.ru