Научная статья на тему 'Целочисленная оптимизация в задачах управления безопасностью объектов РКТ'

Целочисленная оптимизация в задачах управления безопасностью объектов РКТ Текст научной статьи по специальности «Организация и управление»

339
46
Поделиться
Ключевые слова
УПРАВЛЕНИЕ БЕЗОПАСНОСТЬЮ / ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ

Аннотация научной статьи по организации и управлению, автор научной работы — Андриенко А. Я., Тропова Е. И.

Применительно к проблеме управления безопасностью объектов ракетно-космической техники (РКТ) в их жизненном цикле излагается метод целочисленной оптимизации управления обобщённым риском.

Похожие темы научных работ по организации и управлению , автор научной работы — Андриенко А. Я., Тропова Е. И.,

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Текст научной работы на тему «Целочисленная оптимизация в задачах управления безопасностью объектов РКТ»

ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТЬЮ ОБЪЕКТОВ РКТ

Андриенко А. Я., Тропова Е. И.

(Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва) vladguc@ipu.rssi.ru

Применительно к проблеме управления безопасностью объектов ракетно-космической техники (РКТ) в их жизненном цикле излагается метод целочисленной оптимизации управления обобщённым риском.

Ключевые слова: управление безопасностью, целочисленная оптимизация.

Введение

Проблема управления безопасностью в жизненном цикле объектов РКТ [1] порождает ряд задач теории управления, явно отличающихся от известных своих аналогов в общей теории оптимальных систем. Эти отличия вытекают, во-первых, из высокой сложности объекта оптимизации, составляемого из многих (десятков, сотен и даже тысяч) разнородных управляемых компонентов, и, во-вторых, из специфики используемого здесь обобщенного критерия, учитывающего важнейшие характеристики объекта РКТ с приоритетом требований по безопасности.

В данной статье рассматривается одна из таких задач - операционная задача [2] целочисленного управления по критерию, в котором непосредственно учитываются только требования по безопасности и экономичности исполнения этапа жизненного цикла объекта РКТ. Пояснения физического смысла отдельных формализмов проводятся на примере принятия проектнопроизводственных решений при разработке космической ракеты-носителя (КРН).

1. Постановка задачи

Рассматривается технический объект РКТ (например, КРН), состоящий из / компонент (двигатели, баки, командные приборы и прочее), и подлежащий совершенствованию в результате выполнения планируемой операции А по повышению общей надёжности действия и экологичности системы (её безопасности Ебез) с возможно меньшими затратами ¥зат.

Имеется банк данных о возможных мероприятиях по повышению безопасности Ебез - набор из S типов управляющих факторов щ (резервирование, испытания на аналого-цифровых комплексах (АЦК), огневые испытания и др.) у-го компонента объекта РКТ, 5 = 1, 2,..., S, принимающих целочисленные значения щ = 0, 1, ..., к, ... (без резервирования, одно-, ... , к-кратное резервирование; без испытаний, одно, ., к испытаний и т.д.). Считаются известными нормирующе-весовые коэффициенты Су (су > 0), у = 1, 2, ...,/, с помощью которых показатели безопасности Е}, ] = 1, 2,.,/, отдельных компонент объекта РКТ свёртывается в общий показатель

р„..=Ъ]Р].

]=1

а также зависимости безопасности Еу компонент от управляющих факторов иу

№ Е = и„у = 1,2,...,/ ,

где т,у, 5 = 1, 2,., £ - положительные коэффициенты матрицы М = | т,у |, характеризующие относительную эффективность проведения мероприятия 5-го типа применительно к у-му компоненту объекта РКТ по сравнению с реализацией некоторого эталонного мероприятия; /,, 5 = 1, 2,., £ - элементы матрицы применимости Ь = 1|, принимающие два значения:

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

4/ = 0, если управление и,у либо не может быть физически реализовано (например, испытание реального двигателя на АЦК), либо при реализации наносит существенный ущерб характеристикам объекта РКТ (например, резервирование основных

двигателей приводит к недопустимому снижению грузоподъёмности КРН);

Iщ = 1 в противном случае.

Из физического содержания показателей безопасности Щ(х) - = 1, 2, ..., 7, следует, что они должны быть возрастающими функциями аргументов X- = ^ т- I- и- и, следователь-

щ=1

но, неубывающими функциями от и- , щ = 1, 2,., 5, - = 1, 2,., 7

(например, Ж- (X-) = 1 - Цу , 0 < ц- < 1, х- > 0).

Полагаются известными стоимости р> 0, - = 1, 2, ..., 5, - = 1, 2, ., 7, реализации единицы каждого управления и-, на основе которых определяются затраты на реализацию операции А:

7 5

(2) Г =ЛУЛУ р I и .

' ' зат г щ щ щ

-=1 щ=1

Общую эффективность операции А будем оценивать скалярным критерием Я в виде отношения Гбез / ¥зат показателей «позитивной» (безопасность) и «негативной» (затраты) составляющих жизненного риска объекта РКТ при линейных ограничениях

(3) ^и- = ищ, щ = 1,2,..., 5 ,

-=1

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

определяемыми теми ресурсами и щ > 0, щ = 1, 2, ..., 5 (производственными мощностями и т.д.), которые выделяются на проведение операции.

Замечание 1. В отличие от обычных задач целочисленной оптимизации, когда условие типа (3) представляется неравенством, здесь в обеспечение приоритета требования по безопасности ограничение (3) задаётся строгим равенством, предусматривающим обязательную мобилизацию всех ресурсов для предельно возможного увеличения Гбез - неубывающей, как уже отмечалось, функции от управления и-.

Задача состоит в том, чтобы определить матрицу управления и = | ищ-1 с целочисленными неотрицательными элементами и- , максимизирующую критерий

j

( S

L m„l:

V s=1

u

sj "sj^sj

J S

ЬЬ Р-1^-

- = 1 щ=1

при выполнении ограничений (3) и при заданных матрицах м = НтИ р = Н,рщ-Н, с положительными элементами т-, р- и матрице применимости Ь = ||4/||, 4- = 0 или I- = 1, не содержащей нулевых строк и столбцов.

Замечание 2. Очевидно, что не следует учитывать нулевых строк и столбцов матрицы Ь, так как такие строки и столбцы не оказывают влияния на риск Я. Поэтому в постановку задачи и вводится соответствующее условие, предусматривающее отказ от рассмотрения «неуправляемых» компонент объекта РКТ и тех видов управления, которые неприменимы ни к одному компоненту.

2. Решение задачи

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Наиболее сильный результат при решении задачи (3), (4) излагается в данной статье применительно к важному для практических применений случаю ps, = p,, ms, = m,, s = 1, 2, ..., S.

Решение задачи (3), (4) проводилось в два этапа. На первом этапе решается вспомогательная задача целочисленной оптимизации по критерию Few , представляющему собой сумму выпуклых нелинейных неотрицательных функций rj(xj) = Cj Wj(xj),

S

xj =L msjlsjusj - см. (1).

s=1

В частном случае s = 1, когда матрица управления U вырождается в строку (u1, u2, ..., uJ ), известно решение вспомогательной задачи в виде критерия оптимальности Гросса [2]: необходимое и достаточное условие того, что вектор с неотрицательными компонентами u = (u1,u2,.,uJ) максимизи-j

рует выражение L г, (u ,), где г, - выпуклые функции, при ог-

j=1

7

раничении Ь и- = и , где и1 > 0 - целое число, состоит в том,

-=1

что

шах [г] (и- +1) - гу (и у)] < тт [гу (иу) - гу (и- -1)],

jEУ * -Е7 (и )

Д А ( . ч

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

7* ={1, 2,..., 7}, 7(и) = {- е Г/и- > 0}.

Это условие можно переформулировать следующим образом:

Г (и- + 1) - г- (и- ) < Г (иг ) - Г (иг - 1)

У- е 7*, У/ е 7(и).

Найдём условия оптимальности для более общего случая щ > 1 и заданной матрицы применимости Ь, составленной из нулей и единиц.

Для этого определим следующие множества.

7* ={1,2,...,У} - множество всех индексов столбцов матриц применимости и управления;

7(-) = {7 / 3 щ : = 1] - множество индексов столбцов

матрицы применимости, связанных со столбцом - через ненулевые элементы строк этой матрицы, т.е. если г е У(j), то существует строка щ, на пересечениях которой со столбцами г и - соответствующие элементы I- и 1щг матрицы Ь равны единице;

7*(-) = {/ е 7(-) / 3 щ : ищг > 0, = 1щг = 1} - сужение множе-

ства У(j) на множество индексов столбцов 7 *(-) е 70, связанных со столбцом - через ненулевые элементы строк матрицы применимости и имеющие ненулевой элемент матрицы управления, т.е. если г е 7 (у), то существует строка щ такая, что 1щг и равны единице, и, кроме того, ищг > 0, в силу чего возможно перераспределение одной единицы со столбца г на столбец - (новые значения ищг, и- будут равны соответственно ищг - 1, ищ- + 1) без изменения суммы Ь иу элементов строки щ;

-=1

ДО - множество таких индексов столбцов, что возможно перераспределение одной единицы с этих столбцов на столбец у, т.е.

для любого г е Щ) существует такое множество N индексов

д д

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

{/1, /2, ..., ІN ), что /„-1 е 7*(/„); п = 2, 3, ..., N; г1 = у; iN = г; перераспределение единиц производится по «цепочке»: N - 1 раз передаётся одна единица с г„ на гп-1 (п = N, N - 1, ., 2), в силу того, что г„-1 е 7 *(г„ );

1 *со = {г е 7 7 / - е 1 (г)} - множество таких индексов столбцов, что возможно перераспределение одной единицы с --го столбца на эти столбцы; данное множество является «обратным» множеству 1().

Лемма. Необходимое и достаточное условие того, что матрица управлений и = | ищ-1| размера 5 х 7 с неотрицательными

элементами максимизирует выражение Ь г- (х-), где Г- - вы-

-=1

пуклые функции, X- = ЬI- и- - сумма элементов матрицы и в

щ=1

у-ом столбце с весами (4- = 0 или 4- = 1 - элементы матрицы применимости Ь = 14-1, не содержащей нулевых строк и столбцов), при ограничениях на элементы ищ- в строках Ь ", = ищ .

-=1

где ищ > 0 - целые числа, состоит в выполнении неравенства

(5) Гу(х- +1) - Гу(х-) < Г(X) - Г(X -1)

У- е 7 ^ У е 1 (-), где множества 7 и 1(-) определены выше.

Доказательство. Достаточность. Пусть и = || ищ-1| - допустимое решение, т.е. решение, для которого выполняются заданные в условиях леммы ограничения и, кроме того, и удовлетворяет неравенству (5). Пусть и = ||ищ-|| - любое другое допустимое решение.

Покажем, что

ХГ/(хз ) >ЕГГ/(х/)’ = Х/Л- ■

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

/=1 / =1 *=

Положим

А = г; (Х;. +1) - г} (Х}.), Д^ах = шахЦ. )■

(1)

Из выпуклости Г/ следует, что [Г/ (п+1) - Г/ (п)] - невозрастающая функция на множестве целых чисел. Поэтому если п > х/, то, по определению А

(6) г, (п +1) - г, (п) <А,

а если 0 < п < х, , т.е. Зы, > 0, множество /*(/) непусто, определе-

^шах //'\

но А/ , и из условия (6) следует

(7) г, (п -1) - Г/ (п) < АШаХ ■

Просуммируем неравенства (6) по всем п от х, до Х/ -1 при Х/ > Х/ и неравенства (7) по всем п от Х, +1 до х/ при х, > Х/ ■ Получаем

г/(~)-г/(Х) < А(~/ -Х) при > Х,

Г/ (~) - Г/(Х ) < Ашах(~/ - х) при < Х/ ■

Суммируя по всем /, получим на рассматриваемом множе-

г*

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

стве индексов и

(8) XГ, (~) - XГ,(Х,) < X А (~-х)+X АШах (~-х),

1 =1 1 =1 /е/ /е/*

где / = { е { * / > Х/ }, / * = {/ е и * / X/ < Х/ } - множество

индексов, для которых Х соответственно больше или меньше, чем Х/ ■ Ясно, что те индексы, для которых Х/ = Х/ , вообще можно не рассматривать ■

Так как и - допустимое решение, то его можно получить посредством перераспределения единиц в строках матрицы || Ы/1, при этом соответствующим образом изменится сумма

5

элементов столбцов Х/ = X1/Ы/ , / = 1, 2, ..., и, и произойдёт

*=1

передача единицы со столбцов множества I на столбцы множества I .

Перераспределение единиц, осуществляемое при заданных матрицах L = || lsj || и U = || usj || размера S х J, возможно только в направлении от j-го столбца из множества I(i) к i-му столбцу из множества I (j), что следует из определения этих множеств. Поэтому любому j-му столбцу из множества I можно поставить в соответствие некоторый i-ый столбец из I, причём ieI (j), jeI(i), и наоборот, можно установить соответствие I ^ I *.

Рассмотрим две последние суммы в неравенстве (8). Для

каждой единицы из ^ (х;. —Xj) единиц первой суммы устано-

jei

вим, с учётом вышеизложенного, взаимно-однозначное соответствие с некоторой единицей из — ^ (х;. —Xj). Так как

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

• 7*

;е/

Z —x)=—S — X)

jeI jeI*

в силу заданных ограничений, преобразуем рассматриваемые суммы к следующему виду:

!№■—^)+Z5“(~ —Xj) = Z ц—A”“)-

leI jeI i,jeI (i)

По определению, A™ax = max {Ц}, поэтому все элементы

jeI *(i) j

суммы положительны. Следовательно

Zr; (~j) — Zr;(X) ^ 0 ■

j=1 j=1

что и требовалось доказать.

Необходимость. Пусть U - оптимальное решение задачи, U - другое допустимое решение, такое, что для фиксированных а, в имеем Xa = ха-1, Xp = Xp + 1, a e I(P), а Xj = Xj для остальных j. Пусть, кроме того, для а, вне выполняется равенство (5):

(9) rp(Xp + 1) — rp(Xp) > ra(Xa) — ra(Xa — 1) .

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

Так как rj — выпуклые функции, то а Ф в-Кроме того,

2 г (~)- 2 г(х)=а(х«-1) - а(х«)+V(хв+!)- гв(хв) •

1 =1 1 =1

Это выражение больше нуля на основании неравенства (9), что противоречит оптимальности решения и. Итак, лемму можно считать доказанной.

Переходя на втором этапе решения от рассмотрения вспомогательной с критерием Гбез = 2 г(х}-) к исходной задаче с

7=1

критерием Я = Ебез /¥зат и условием Шщ = (у = 1,2,.. .,5), отме-

тим следующее обстоятельство.

Если формально заменить в критерии Я целочисленный аргумент щ на его непрерывный аналог , то на основе соотношения

дR 1

дv . F

sj зam

ї CF CF ^

без - R

дvs1 cVsi

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

V ss sJ J

может быть построена итерационная процедура определения оптимальной по критерию Я матрицы V = ||у^||:

V(к) = arg тах Я(к )(V) =

llV/i

(10)

= arg max

F6e3 (V) - F^ (V)

F (V(k-1))

зam v /

______________ , _ , F6’3(V(k-1))

1 f (V(k-і)) 1 без^г * 13‘im^r * f

(k = 1, 2, ...)•

„ CR (k )(V) CR(V )

Поскольку -

dV. dV.

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

sj sj

(k-1) (s 1, 2, •••, S;

V = V ■

sj sj

j = 1, 2, ..., J), то последовательность критериев R(1), R(2),... эквивалентна исходному критерию R в том смысле, что если существует V * = lim V(к при к ^ да, то

arg max R(V) = V*.

N кг

Опуская в (10) постоянный множитель 1/'F3cm (Vk 1)) (не

влияющий на результаты оптимизации), заменяя F6e3 (V(k1)) на F6e3 (V) и возвращаясь к целочисленному аргументу U, получим 24

итерационную последовательность решения исходной целочисленной задачи

Г 7

и(к) = а^шах Я(к \и) = а^шах<! 2

1Ы1 Ы1 [ j=1

a(k-1) ,

cWt (m,x,)

Не можете найти то что вам нужно? Попробуйте наш сервис подбора литературы.

k = 1, 2, ..., K,

U (k-1) • U (0)

"sjUsj • Usj

где х- =21щ}ии, } = 1, 2 ., 7), а (к-1)=2 Р} 2

щ=1 }=1 щ=1

(щ = 1, 2, ., 5;} = 1, 2, ., 7) определяется из решения вспомогательной задачи, а К - из условия и(к - 1) « и (к) .

Критерий Я (к)(и) представляет собой сумму произведений линейно убывающих функций аргумента X} (} = 1, 2, ., 7) на выпуклые функции того же аргумента. Поэтому на каждом шаге к итерации может быть использован унифицированный (по обоим этапам) алгоритм решения задачи (3), (4), построенный на основе представленной здесь леммы.

Заключение

Отдельные фрагменты представленного в статье итерационного алгоритма целочисленной оптимизации вполне успешно использовались в прикладных работах ИПУ по автоматизированному целераспределению поражающих средств. Но поскольку концепция управления безопасностью объектов РКТ в их жизненном цикле носит преимущественно прогностический характер, то эффективность этой оптимизации в РКТ ещё предстоит оценивать - по мере практической реализации данной концепции.

Литература

1. АНДРИЕНКО А.Я., ИВАНОВ В П., ПОРТНОВ-СОКОЛОВ Ю.П. Концепция управления безопасностью объектов РКТ в их жизненном цикле. / Труды Института проблем управления РАН. 1999, т. III. С. 14 - 38.

2. GROSS D. Fundamentals of Queueing Theory. Wiley, New

Уогк, 1974. - 253р.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии В.Г. Заскановым