CC BY
78
ЦЕЛОЧИСЛЕННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ В ЗАДАЧАХ УПРАВЛЕНИЯ БЕЗОПАСНОСТЬЮ ОБЪЕКТОВ РКТ
Андриенко А. Я., Тропова Е. И.
(Учреждение Российской академии наук Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН, Москва) vladguc@ipu.rssi.ru
Применительно к проблеме управления безопасностью объектов ракетно-космической техники (РКТ) в их жизненном цикле излагается метод целочисленной оптимизации управления обобщённым риском.
Ключевые слова: управление безопасностью, целочисленная оптимизация.
Введение
Проблема управления безопасностью в жизненном цикле объектов РКТ [1] порождает ряд задач теории управления, явно отличающихся от известных своих аналогов в общей теории оптимальных систем. Эти отличия вытекают, во-первых, из высокой сложности объекта оптимизации, составляемого из многих (десятков, сотен и даже тысяч) разнородных управляемых компонентов, и, во-вторых, из специфики используемого здесь обобщенного критерия, учитывающего важнейшие характеристики объекта РКТ с приоритетом требований по безопасности.
В данной статье рассматривается одна из таких задач - операционная задача [2] целочисленного управления по критерию, в котором непосредственно учитываются только требования по безопасности и экономичности исполнения этапа жизненного цикла объекта РКТ. Пояснения физического смысла отдельных формализмов проводятся на примере принятия проектнопроизводственных решений при разработке космической ракеты-носителя (КРН).
1. Постановка задачи
Рассматривается технический объект РКТ (например, КРН), состоящий из / компонент (двигатели, баки, командные приборы и прочее), и подлежащий совершенствованию в результате выполнения планируемой операции А по повышению общей надёжности действия и экологичности системы (её безопасности Ебез) с возможно меньшими затратами ¥зат.
Имеется банк данных о возможных мероприятиях по повышению безопасности Ебез - набор из S типов управляющих факторов щ (резервирование, испытания на аналого-цифровых комплексах (АЦК), огневые испытания и др.) у-го компонента объекта РКТ, 5 = 1, 2,..., S, принимающих целочисленные значения щ = 0, 1, ..., к, ... (без резервирования, одно-, ... , к-кратное резервирование; без испытаний, одно, ., к испытаний и т.д.). Считаются известными нормирующе-весовые коэффициенты Су (су > 0), у = 1, 2, ...,/, с помощью которых показатели безопасности Е}, ] = 1, 2,.,/, отдельных компонент объекта РКТ свёртывается в общий показатель
р„..=Ъ]Р].
]=1
а также зависимости безопасности Еу компонент от управляющих факторов иу
№ Е = и„у = 1,2,...,/ ,
где т,у, 5 = 1, 2,., £ - положительные коэффициенты матрицы М = | т,у |, характеризующие относительную эффективность проведения мероприятия 5-го типа применительно к у-му компоненту объекта РКТ по сравнению с реализацией некоторого эталонного мероприятия; /,, 5 = 1, 2,., £ - элементы матрицы применимости Ь = 1|, принимающие два значения:
4/ = 0, если управление и,у либо не может быть физически реализовано (например, испытание реального двигателя на АЦК), либо при реализации наносит существенный ущерб характеристикам объекта РКТ (например, резервирование основных
двигателей приводит к недопустимому снижению грузоподъёмности КРН);
Iщ = 1 в противном случае.
Из физического содержания показателей безопасности Щ(х) - = 1, 2, ..., 7, следует, что они должны быть возрастающими функциями аргументов X- = ^ т- I- и- и, следователь-
щ=1
но, неубывающими функциями от и- , щ = 1, 2,., 5, - = 1, 2,., 7
(например, Ж- (X-) = 1 - Цу , 0 < ц- < 1, х- > 0).
Полагаются известными стоимости р> 0, - = 1, 2, ..., 5, - = 1, 2, ., 7, реализации единицы каждого управления и-, на основе которых определяются затраты на реализацию операции А:
7 5
(2) Г =ЛУЛУ р I и .
' ' зат г щ щ щ
-=1 щ=1
Общую эффективность операции А будем оценивать скалярным критерием Я в виде отношения Гбез / ¥зат показателей «позитивной» (безопасность) и «негативной» (затраты) составляющих жизненного риска объекта РКТ при линейных ограничениях
(3) ^и- = ищ, щ = 1,2,..., 5 ,
-=1
определяемыми теми ресурсами и щ > 0, щ = 1, 2, ..., 5 (производственными мощностями и т.д.), которые выделяются на проведение операции.
Замечание 1. В отличие от обычных задач целочисленной оптимизации, когда условие типа (3) представляется неравенством, здесь в обеспечение приоритета требования по безопасности ограничение (3) задаётся строгим равенством, предусматривающим обязательную мобилизацию всех ресурсов для предельно возможного увеличения Гбез - неубывающей, как уже отмечалось, функции от управления и-.
Задача состоит в том, чтобы определить матрицу управления и = | ищ-1 с целочисленными неотрицательными элементами и- , максимизирующую критерий
j
( S
L m„l:
V s=1
u
sj "sj^sj
J S
ЬЬ Р-1^-
- = 1 щ=1
при выполнении ограничений (3) и при заданных матрицах м = НтИ р = Н,рщ-Н, с положительными элементами т-, р- и матрице применимости Ь = ||4/||, 4- = 0 или I- = 1, не содержащей нулевых строк и столбцов.
Замечание 2. Очевидно, что не следует учитывать нулевых строк и столбцов матрицы Ь, так как такие строки и столбцы не оказывают влияния на риск Я. Поэтому в постановку задачи и вводится соответствующее условие, предусматривающее отказ от рассмотрения «неуправляемых» компонент объекта РКТ и тех видов управления, которые неприменимы ни к одному компоненту.
2. Решение задачи
Наиболее сильный результат при решении задачи (3), (4) излагается в данной статье применительно к важному для практических применений случаю ps, = p,, ms, = m,, s = 1, 2, ..., S.
Решение задачи (3), (4) проводилось в два этапа. На первом этапе решается вспомогательная задача целочисленной оптимизации по критерию Few , представляющему собой сумму выпуклых нелинейных неотрицательных функций rj(xj) = Cj Wj(xj),
S
xj =L msjlsjusj - см. (1).
s=1
В частном случае s = 1, когда матрица управления U вырождается в строку (u1, u2, ..., uJ ), известно решение вспомогательной задачи в виде критерия оптимальности Гросса [2]: необходимое и достаточное условие того, что вектор с неотрицательными компонентами u = (u1,u2,.,uJ) максимизи-j
рует выражение L г, (u ,), где г, - выпуклые функции, при ог-
j=1
7
раничении Ь и- = и , где и1 > 0 - целое число, состоит в том,
-=1
что
шах [г] (и- +1) - гу (и у)] < тт [гу (иу) - гу (и- -1)],
jEУ * -Е7 (и )
Д А ( . ч
7* ={1, 2,..., 7}, 7(и) = {- е Г/и- > 0}.
Это условие можно переформулировать следующим образом:
Г (и- + 1) - г- (и- ) < Г (иг ) - Г (иг - 1)
У- е 7*, У/ е 7(и).
Найдём условия оптимальности для более общего случая щ > 1 и заданной матрицы применимости Ь, составленной из нулей и единиц.
Для этого определим следующие множества.
7* ={1,2,...,У} - множество всех индексов столбцов матриц применимости и управления;
7(-) = {7 / 3 щ : = 1] - множество индексов столбцов
матрицы применимости, связанных со столбцом - через ненулевые элементы строк этой матрицы, т.е. если г е У(j), то существует строка щ, на пересечениях которой со столбцами г и - соответствующие элементы I- и 1щг матрицы Ь равны единице;
7*(-) = {/ е 7(-) / 3 щ : ищг > 0, = 1щг = 1} - сужение множе-
ства У(j) на множество индексов столбцов 7 *(-) е 70, связанных со столбцом - через ненулевые элементы строк матрицы применимости и имеющие ненулевой элемент матрицы управления, т.е. если г е 7 (у), то существует строка щ такая, что 1щг и равны единице, и, кроме того, ищг > 0, в силу чего возможно перераспределение одной единицы со столбца г на столбец - (новые значения ищг, и- будут равны соответственно ищг - 1, ищ- + 1) без изменения суммы Ь иу элементов строки щ;
-=1
ДО - множество таких индексов столбцов, что возможно перераспределение одной единицы с этих столбцов на столбец у, т.е.
для любого г е Щ) существует такое множество N индексов
д д
{/1, /2, ..., ІN ), что /„-1 е 7*(/„); п = 2, 3, ..., N; г1 = у; iN = г; перераспределение единиц производится по «цепочке»: N - 1 раз передаётся одна единица с г„ на гп-1 (п = N, N - 1, ., 2), в силу того, что г„-1 е 7 *(г„ );
1 *со = {г е 7 7 / - е 1 (г)} - множество таких индексов столбцов, что возможно перераспределение одной единицы с --го столбца на эти столбцы; данное множество является «обратным» множеству 1().
Лемма. Необходимое и достаточное условие того, что матрица управлений и = | ищ-1| размера 5 х 7 с неотрицательными
элементами максимизирует выражение Ь г- (х-), где Г- - вы-
-=1
пуклые функции, X- = ЬI- и- - сумма элементов матрицы и в
щ=1
у-ом столбце с весами (4- = 0 или 4- = 1 - элементы матрицы применимости Ь = 14-1, не содержащей нулевых строк и столбцов), при ограничениях на элементы ищ- в строках Ь ", = ищ .
-=1
где ищ > 0 - целые числа, состоит в выполнении неравенства
(5) Гу(х- +1) - Гу(х-) < Г(X) - Г(X -1)
У- е 7 ^ У е 1 (-), где множества 7 и 1(-) определены выше.
Доказательство. Достаточность. Пусть и = || ищ-1| - допустимое решение, т.е. решение, для которого выполняются заданные в условиях леммы ограничения и, кроме того, и удовлетворяет неравенству (5). Пусть и = ||ищ-|| - любое другое допустимое решение.
Покажем, что
ХГ/(хз ) >ЕГГ/(х/)’ = Х/Л- ■
/=1 / =1 *=
Положим
А = г; (Х;. +1) - г} (Х}.), Д^ах = шахЦ. )■
(1)
Из выпуклости Г/ следует, что [Г/ (п+1) - Г/ (п)] - невозрастающая функция на множестве целых чисел. Поэтому если п > х/, то, по определению А
(6) г, (п +1) - г, (п) <А,
а если 0 < п < х, , т.е. Зы, > 0, множество /*(/) непусто, определе-
^шах //'\
но А/ , и из условия (6) следует
(7) г, (п -1) - Г/ (п) < АШаХ ■
Просуммируем неравенства (6) по всем п от х, до Х/ -1 при Х/ > Х/ и неравенства (7) по всем п от Х, +1 до х/ при х, > Х/ ■ Получаем
г/(~)-г/(Х) < А(~/ -Х) при > Х,
Г/ (~) - Г/(Х ) < Ашах(~/ - х) при < Х/ ■
Суммируя по всем /, получим на рассматриваемом множе-
г*
стве индексов и
(8) XГ, (~) - XГ,(Х,) < X А (~-х)+X АШах (~-х),
1 =1 1 =1 /е/ /е/*
где / = { е { * / > Х/ }, / * = {/ е и * / X/ < Х/ } - множество
индексов, для которых Х соответственно больше или меньше, чем Х/ ■ Ясно, что те индексы, для которых Х/ = Х/ , вообще можно не рассматривать ■
Так как и - допустимое решение, то его можно получить посредством перераспределения единиц в строках матрицы || Ы/1, при этом соответствующим образом изменится сумма
5
элементов столбцов Х/ = X1/Ы/ , / = 1, 2, ..., и, и произойдёт
*=1
передача единицы со столбцов множества I на столбцы множества I .
Перераспределение единиц, осуществляемое при заданных матрицах L = || lsj || и U = || usj || размера S х J, возможно только в направлении от j-го столбца из множества I(i) к i-му столбцу из множества I (j), что следует из определения этих множеств. Поэтому любому j-му столбцу из множества I можно поставить в соответствие некоторый i-ый столбец из I, причём ieI (j), jeI(i), и наоборот, можно установить соответствие I ^ I *.
Рассмотрим две последние суммы в неравенстве (8). Для
каждой единицы из ^ (х;. —Xj) единиц первой суммы устано-
jei
вим, с учётом вышеизложенного, взаимно-однозначное соответствие с некоторой единицей из — ^ (х;. —Xj). Так как
• 7*
;е/
Z —x)=—S — X)
jeI jeI*
в силу заданных ограничений, преобразуем рассматриваемые суммы к следующему виду:
!№■—^)+Z5“(~ —Xj) = Z ц—A”“)-
leI jeI i,jeI (i)
По определению, A™ax = max {Ц}, поэтому все элементы
jeI *(i) j
суммы положительны. Следовательно
Zr; (~j) — Zr;(X) ^ 0 ■
j=1 j=1
что и требовалось доказать.
Необходимость. Пусть U - оптимальное решение задачи, U - другое допустимое решение, такое, что для фиксированных а, в имеем Xa = ха-1, Xp = Xp + 1, a e I(P), а Xj = Xj для остальных j. Пусть, кроме того, для а, вне выполняется равенство (5):
(9) rp(Xp + 1) — rp(Xp) > ra(Xa) — ra(Xa — 1) .
Так как rj — выпуклые функции, то а Ф в-Кроме того,
2 г (~)- 2 г(х)=а(х«-1) - а(х«)+V(хв+!)- гв(хв) •
1 =1 1 =1
Это выражение больше нуля на основании неравенства (9), что противоречит оптимальности решения и. Итак, лемму можно считать доказанной.
Переходя на втором этапе решения от рассмотрения вспомогательной с критерием Гбез = 2 г(х}-) к исходной задаче с
7=1
критерием Я = Ебез /¥зат и условием Шщ = (у = 1,2,.. .,5), отме-
тим следующее обстоятельство.
Если формально заменить в критерии Я целочисленный аргумент щ на его непрерывный аналог , то на основе соотношения
дR 1
дv . F
sj зam
ї CF CF ^
без - R
дvs1 cVsi
V ss sJ J
может быть построена итерационная процедура определения оптимальной по критерию Я матрицы V = ||у^||:
V(к) = arg тах Я(к )(V) =
llV/i
(10)
= arg max
F6e3 (V) - F^ (V)
F (V(k-1))
зam v /
______________ , _ , F6’3(V(k-1))
1 f (V(k-і)) 1 без^г * 13‘im^r * f
(k = 1, 2, ...)•
„ CR (k )(V) CR(V )
Поскольку -
dV. dV.
sj sj
(k-1) (s 1, 2, •••, S;
V = V ■
sj sj
j = 1, 2, ..., J), то последовательность критериев R(1), R(2),... эквивалентна исходному критерию R в том смысле, что если существует V * = lim V(к при к ^ да, то
arg max R(V) = V*.
N кг
Опуская в (10) постоянный множитель 1/'F3cm (Vk 1)) (не
влияющий на результаты оптимизации), заменяя F6e3 (V(k1)) на F6e3 (V) и возвращаясь к целочисленному аргументу U, получим 24
итерационную последовательность решения исходной целочисленной задачи
Г 7
и(к) = а^шах Я(к \и) = а^шах<! 2
1Ы1 Ы1 [ j=1
a(k-1) ,
cWt (m,x,)
k = 1, 2, ..., K,
U (k-1) • U (0)
"sjUsj • Usj
где х- =21щ}ии, } = 1, 2 ., 7), а (к-1)=2 Р} 2
щ=1 }=1 щ=1
(щ = 1, 2, ., 5;} = 1, 2, ., 7) определяется из решения вспомогательной задачи, а К - из условия и(к - 1) « и (к) .
Критерий Я (к)(и) представляет собой сумму произведений линейно убывающих функций аргумента X} (} = 1, 2, ., 7) на выпуклые функции того же аргумента. Поэтому на каждом шаге к итерации может быть использован унифицированный (по обоим этапам) алгоритм решения задачи (3), (4), построенный на основе представленной здесь леммы.
Заключение
Отдельные фрагменты представленного в статье итерационного алгоритма целочисленной оптимизации вполне успешно использовались в прикладных работах ИПУ по автоматизированному целераспределению поражающих средств. Но поскольку концепция управления безопасностью объектов РКТ в их жизненном цикле носит преимущественно прогностический характер, то эффективность этой оптимизации в РКТ ещё предстоит оценивать - по мере практической реализации данной концепции.
Литература
1. АНДРИЕНКО А.Я., ИВАНОВ В П., ПОРТНОВ-СОКОЛОВ Ю.П. Концепция управления безопасностью объектов РКТ в их жизненном цикле. / Труды Института проблем управления РАН. 1999, т. III. С. 14 - 38.
2. GROSS D. Fundamentals of Queueing Theory. Wiley, New
Уогк, 1974. - 253р.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии В.Г. Заскановым
