Целевое управление и краевые задачи для макроэкономических моделей с последствием Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Пермского университета 1995 Экономика Выпуск 2

у,■ . ■ .тяж*

Целевое управление и краевые задами те:!.^1.-? Лу; < для макроэкономических моделей

с последействием

Д. Л. Андрианов, В. П. Максимов *

Рассматриваются задачи целевого управления многоотраслевыми макроэкономическими комплексами. Приводятся алгоритмы расчета ресурсов (материальных, инвестиционных, трудовых и др.) для достижения заданных целей. Дается описание широких классов краевых задач, возникающих в экономической динамике, и представление о методах исследования таких задач с применением современных вычислительных средств.

Введете

Значительный рост масштабов и интенсивности хозяйственной деятельности в современных условиях вызывает необходимость дальнейшего улучшения методов принятия ревений в управлении и прогнозировании социально-экономических процессов. Особое место, в частности на региональном уровне, принадлежит целевому подходу, применение которого дает возможность найти пути и методы достяже-"ния стратегических и текущих целей, сбалансировать на уровне макроэкономических показателей цели и средства их достижения, определить достижимые значения целей. При реализации целевых программ на федеральном и региональном уровне целевой подход позволяет рассчитывать необходимые ресурсы, выявлять "узкие" места в развитии объектов управления, определять средства для устранения диспропорций. .-УО ; П « <СД«..>Л-г .........-

Практическое применение целевого подхода к управлению конкретными социально-экономическими системами (регионом, крупным предприятием, коммерческой структурой, отраслью и т.п.) предполагает наличие специального математического и компьютерного инструментария. Обоснованию принципов и конкретной реализации такого инструментария посвящены работы Ю.П.Иванилова, В. А. Ирикова, Е. А. Курилова, А.В.Лотова, Е. 3. Майминаса, И. С. Матлина, Н. Н. Мои-

с««яа. А А.Петрова, Г.С.Поспелова. В.П.Садкова. В.В Токарева. А. П. Уздемира. Е Ю Фаермана и других исследователей

В реализации целевого подхода к управлению макроэкономическими системами центральное место занимает проблема расчета управляющих воздействий (инвестиционных, трудовых. материально-финансовых и других ресурсов), обеспечивающих заданную динамику выходных показателей объекта. Такая задача может быть сформулирована как задача приведения системы в заданную окрестность целевой траектории (траектории выпуска продукции, обеспечения стандарта экологии. индикаторов уровня жизни и т.п.).

Значительный опыт решения задач целевого управления (задачи устойчивого осуществления и стабилизации заданной программой траектории) накоплен при управлении техническими системами Решение задач этого класса в различных постановках в аналитической механике и автоматическом управлении дано в работах В.И.Зубова, А. А. Красовского. Н.Н.Красовского. А.М.Летова, Е Я Смирнова и других авторов.

Эффективным методом решения таких задач является метод обратных задач динамики (задач расчета управляющих ~ил. приложенных к динамической системе, при которых движение системы с заданными свойствами является одним из возможных движений данной системы). Особенностью этих задач, в общем случае, является неоднозначность их решения. которая позволяет решать обратные задачи динамики в сочетании с дополнительными требованиями относительно динамических характеристик движения (устойчивости, оптимальности движения). Методы решения обратных зыдач динамики в различных вариантах приведены в работах Л. М. Бойчука. А.С Вострнкова, а С Га-лиуллина, П.Д.Крутько, И. А.Мухаметзянора, Р. Г Мухарлямова и других авторов.

Для описания функционирования многоотраслевых социально-экономических систем широко используются модели динамического межотраслевого баланса. При некоторых предположениях их можно интерпретировать как модели управляемых динамических систем со смешанными ограничениями на управление и фазовые координаты. Задачи качественного анализа и управления для различных модификаций таких ноделей решены в работах В.И.Гурмана. А.И Дюкалова. Ю.П.Иванило-ва. Ю.И.Иванова, А.Е.Илютовича, В.Ф Кротова. А. А Петрова, В В. Токарева. А. М. Тер-Крикорова. А. П. Уздемира, Ю. Н. Черемных. Ю П. Яценко" м других авторов.

т,*я 1 103

Задачи ¡^прамвян яяя межотраслевых макроэкономических моделей обладают рядом особенностей, затрудняющих применение традиционных для технических систем методов их решения. Эти особенности заключаются в высокой размерности и нелинейности ограничений, наличии смешанных ограничений на управления и фазовые координаты, запаздываний различного типа, во влаяния возмущений различного характера, в требованиях неотрицательности или монотонности изменения (в некоторых случаях) переменных. Другим существенным требованием является формирование управляющих воздействий с учетом оперативкой информации о текущем состоянии системы С в форме синтеза) . Учет указанных особенностей моделирования макроэкономических систем приводит к необходимости решать задачи целевого управления для нелинейных функционально-дифференциальных (или разностных) моделей со сложными ограничениями и возмущениями различного типа.

Особую группу задач целевого управления составляют задачи, в которых целевые ограничения связывают начальные и терминальные значения переменных (краевые условия) системы (например, задача о заданном увеличении выпуска продукции к концу периода, обеспечение заданных межотраслевых пропорций и сбалансированности к т.п.). Все эти задачи сводятся к исследованию разрешимости специальных краевых задач для нелинейных функционально-дифференциальных или разностных уравнений.

Методы исследования разрешимости краевых задач данного типа предложены и развиты в работах Н.В.Азбелева, И. Т. Кигурадзе, Е. Л. Тонкова и других ученых. Однако возникающие в практике макроэкономического моделирования особенности - переопределенность системы, наличие краевых условий в форме неравенств, разностные уравнения динамики и др. - потребовали развития и модификации традиционных схем исследования краевых задач.

В данной статье мы даем обзор результатов исследования задач целевого управления и краевых задач для межотраслевых макрсмоде-лей с учетом последействия, полученных в последнее время в Пермском государственном университете. Разрабатываемые здесь методы исследования ориентированы на создание компьютерной системы моделирования и исследования реальных задач анализа ■ прогнозирования социально-экономического развития' региона. Рассматриваемые динамические модели используют балансовые соотношения в виде равенств или неравенств; соотношения,

описывающие процесс производства (процесс превращения основных производственных фондов и трудовых ресурсов в продукцию) н уравнения, описывающие динамику основных производственных фондов. Наличие этих основных соотношений или их аналогов характерно не только для моделей производственной сферы, но и для моделей развития социальной инфраструктуры, а также для финансовых, демографических и эколого-экономических моделей. Класс рассматриваемых моделей позволяет учитывать ж моделировать реально существующие эффекты последействия (запаздывания), а также эффекты, вызванные импульсным характером внешних воздействий и проявляющиеся в скачкообразном изменении состояния системы.

В операторной форме упомянутые соотношения имеют следующий

ВИД: '."м ■ .•*»*«>«<.

£ х = V v + £ (1)

(уравнения динамики фондов х в зависимости от капиталовложений V и возмущений £ ),

2 = Р х

(процесс воплощения фондов х в продукцию г),

г > и {г, v)

(балансовые соотношения).

Здесь ¥, V, - операторы, определенные на пространстве БП[0,Т] абсолютно непрерывных на промежутке [0,Т] п-мерных вектор-функций и принимающие значения в пространстве Ьп[0,Т] суммируемых на [О,Т] п-мерных вектор-функций, оператор и действует из ЬП[0,Т]*0П[0,Т] в ЬП[0,Т]. Операторы ¥, V, не

являются локально определенными операторами, но обладают свойством вольтерровости (в каждый текущий момент времени Ъ состояние образа зависит только от предыстории прообраза). В случае, когда исследуемая система подвержена импульсным воздействиям, операторы Р, V, распространяются на специально конструируемое пространство 08п(т) кусочно абсолютно непрерывных на [О,Т] п-мерных вектор-функций с возможными разрывами первого рода в и» точках промежутка [0,Т].

Задача целевого управления для системы (1)-(3) - это задача

*

о возможности построения управления V = V (х,р) по принципу обратной связи с целью привести траекторию переменной г = Е х в заданную окрестность "нормативной" траектории р.

В краевой задаче для системы (1)- С 3) цель развития задается

' ' (2)

- Г Л -

(3)

с помощью вектор-функционала 7) : 0П[0,Т] —(V : ОБП(т) —»К*) :

7} х г. (4)

Здесь требуется исследовать разрешимость системы (1)-(4) н в случае разрешимости построить соответствующую траекторию.

Основные результаты исследований можно сформулировать следующим образом:

- предложены новые классы математических моделей для описания динамики экономических, социально-экономических и эколого-экономических процессов с учетом эффектов последействия ж импульсных возмущений, приводящих к скачкообразному изменению фазового состояния системы;

получен цикл теорем о структуре стабилизирующего управления, решающего задачу целевого управления для нелинейных систем с запаздыванием и без запаздывания;

разработаны алгоритмы построения множества допустимых стабилизируемых траекторий нелинейных межотраслевых моделей;

- на основе теорем о структуре стабилизирующего управления разработана методика решения задач целевого управления, реализованная в виде комплекса программ;

- на основе общей теории функционально-дифференциальных уравнений разработан подход к эффективному исследованию краевых задач экономической динамики для систем с непрерывным временем и импульсными возмущениями;

- для систем разностных уравнений с последействием (с полной памятью) установлены основные утверждения теории краевых задач, открывающие возможности эффективного компьютерного исследования реальных задач экономической динамики;

- установлена принципиальная возможность управления замкнуюй экономической системой путем перераспределения ресурсов между фондообразующими отраслями (структурная перестройка, перепрофилирование) ;

- разработана методика решения ряда задач импульсного управления макроэкономическими системами (обеспечение структурной перестройки, перепрофилирование, конверсия, ликвидация последствий природных и техногенных катастроф и т.д.);

детально разработаны и реализованы концепция и структура компьютерной системы "Моделирование, анализ и прогнозированка развития региона", выполнены конкретше прогнозны® расчеты.

1.

Задачи целевого управления

Для формулировки основных утверждений дадим здесь краткое описание моделей, приводимых к виду (1)-(3).

Динамика производственных фондов описывается уравнением

(Их)(t) s x(t) + (Мх)(t) = (Wv)(t), t € [О,Г], (1.1)

где

x(t) = col-^(t)...,xn(t)| - вектор производственных фондов,

v(t) = col-jvj (t) .. .,v^ (t) | - вектор капиталовложений, W - оператор освоения капиталовложений,

(Wv) (t) = col|(W1vi)(t)f...,(WnvB)(t)|,

ri Vi (t_Ti } ' fc € [Ti ,T] '

(W vt)(t) =

(i=l,...,n)

® (t-T ) , t < X.

(р! - исходные капиталовложения (начальные функции); Г( - временная задержка, М - оператор выбытия (амортизации) основных фондов,

t

(Мх) (С) = | <у?(С,з)х(з) .

Процесс производства описывается уравнением

и (Ь) = (Гх) (Ь) , t € [О ,Т], (1.2)

где г(1;) = со!^^ (<:) . . . - вектор выпуска продукции,

^ - производственный оператор,

(Гх) (С) = Ф(*:,х(Ш,

(оператор без памяти), или

t

(Гх) (С) = | Я(^5,х(5) )сг5 Д (£)

(оператор с памятью). Динамика трудовых ресурсов считается заданной и входит в определение оператора Р.

Балансовые соотношения описываются неравенством

ж-^ А(Ь) г (Ь) + B(t)v(t) + c(t) , t « [ О, Г] , С I. 3)

где А(Ь)г{Ь) - вектор производственных затрат, B{t)v{t) - вектор

производственных накоплений, с(4:}»= (¿) , . . . , с^ (£:> | - вектор

потребления.

Обозначим ,., ,

(vy) (£)

фЛЛ (№><;■:. -С • ЦОГГ^КЧ. .-и'

.'I 4

■■ !•' tk -а',; ■■' г ¡?Л i'i> r„ ' "

)» t « [r ,T]; x

•>. (t)

0 t < x ;

«JMMftt' '¿«k Г«'

0 , t « [Ts , T] ; ^t-т ), t < r ;

(Vz)(t) » {(V^

iivVi'it;

£(t) = colj^1 (t), ...,|»Jn(t)J.

U(t,s,v) - ¿(t)z + B(fc)v + c(t).

Тогда основные соотношения (1.1)-(i.3) можно записать в следующей вид® (см. {1)-{3)):

£х = Vv + Jf, г = Fx, г ^ U(z, v) , (1.4)

где : Dn—> Ln линейные ограниченные операторы; F : Dn —>Dn и

U : Dn » Dn —» Dn, вообще говоря, нелинейные операторы, £ « Ln.

Здесь Ln » Ln [О,Г] - лебегово пространство суммируемых функций

Г . ' " "■

у : [О,Г] —» Rn с нормой |у| = Г |y(s)|ds (|•| норма в Rn }.

6

Dn = Dn[0,T] - банахово пространство абсолютно непрерывных функций х s [О,Г] R" с нормой - |х(0)| + 1*1^. VTJWrti0)

Будем считать переменную v в системе (1.4) управляющим воздействием. Назовем функцию р « Dn целевой траекторией для переменной z и рассмотрим задачу об управлении, гарантирующем близость z(t) ж p(t) на [О,Г]. Будем искать управление v в форме обратной связи:

? * ■ V = v(t,p(•)«*(■))•

Определим меру близости г и р множествами

■•• ■ г° = iz е R" , Z Z 0 : |р(0)-г| i,

,♦•*<>. if* К 1 рц \ J

Грс = {Z € ' 2 ^ ° : lp(S)"Z' ^ E(S)' s € [0,1

s Здесь число v^o и функция с фиксированы.

* Определение 1. Целевую траекторию p(t) будем называть

Ш,€,Т) - устойчивой по отношению к множеств®« Г^., если су-

шествует такой оператор К: Г>" ■ D —» L . что для любого zr « Г^

переменная z(t). определяемая системой /х = Vv' + f, z = Fx,

где (£) =» K(p.x) (t) , t « (0,Г), Удовлетворяет условию

z(t) « t « [О,Г].

Определение 2. Управление v (t) - K(p,x)(t), обеспечивающее (м,с,Т)-устойчивость целевой траектории p(t), назовем стабилизирующим управлением.

Обозначим Л

>■ & : о

£ - |(x,v) t Dn - D": f* - Vv + f, г - Fx z >. u(z,v)j.

Определение 3. Управление v (t)-K(p, X)(t). стабилизирующее целевую траекторию pit). назовем Допустимым стабилизирующим управлением. если управление v н соответствующая траектория х* системы tx - Vv + t удовлетворяют условию (x°,v*) « Обозначим 4 '•'

Z » {р « 0П: (х (р), V (р)) с

р

Введем меру откл< я«ния z(t) от p(t):

3e(t,p,x)=z(t) - p(t)-(F*)(t) -p(t), J' к««инк.ч.; t « [0,T].

Потребуем, чтобы функция зе удовлетворяла дифференциальному уравнению

a»(t) + Aae(t) - о, t « [o,r],

Л- const > О, и начальному условию ЭЕ(О) - эео . Теорема 11. Пусть

I > ••# (fx) (t) * X(t) +Л (t) * (t) ; m 7

f.v> Л(t) - diag(t) J, A,(t) o, i-i,----л.

Пусть, далее,

(Fx)(t) - col|«i(t,x(t)).....(t,x(t))|,

a

* (t,x) - g (t)* '

1 1 - Л■ "

0<a <1, g{(t)>0. i •

• 'i ,:f.' j Й ft JK+

Тогда (ц, с.Т) - устойчивость целевой траектории р{t) обеспечивается управлением

*

Vi(t,p,x) = -qfi(t)x{(t) + q2.(t)x, (t)v{(t), 1=1,2,...,n;(1.5)

где v{(t) = ¿((t) + Ap{(t). При этом

■x*(t,p{) = hJ((t>,x{(0) +

t a

+ "i £ h2i(S)V{(s)ds} ' В случае ^

(Wv) (t) - J W (t, s) V(t-s) ds

0

стабилизирующее управление имеет структуру

ll

Vt(t,p.x) = Pt J1ht(t-s)r{(s,x{(s))ds +

* rt(t,x(t)), U[0,TJ, {1.6)

1~ai * где rt(tfx(t)) = uJt(t)x((t) + M2{(t)xt l(t)v{(t); vi(t)=^i(t),

t £ [0,T].

В случае, если балансовое ограничение (1.3) выполнено в форме неравенства и если это неравенство соблюдается на начальных функциях, то стабилизирующее управление определяется следующим утверждением.

Теорема 1.2. Пусть выполнено условие

ij(<p1(t),...,<pro(t), <р.(t),t) =

о 1

а . _'

= ^j(t) - А^ , . . . ,<Pm(t) ,t) > 0, t e [ 0 , т^ ] , j=m+l, n.

Тогда сбалансированное развитие нефондообразующих отраслей (отраслей с номерами (m+l,...,n) обеспечивается управлением

(tj), если tj€[-T . ,0],

AjJ(X1(tj),../Xra(tj),tj)R1(X1(tj),..,Xm(tj) (1.7)

"VV.....W'V + VV'

если tj€[0,T].

V*(t) =

ф о,

)ИСк х.(1.) =»>i(tj), если t [ -т ^ , 0 ) , X.ttj) = *i(tj)' есл" •.

€}«С-тгО]; j=m+l,n. . -Чч .

При этом имеет м^сто оценка v ■" -

|âë(t) I а exp(-Л* t) + s (t) ;

f.(X,(t),t) - Z n Л (X (t),t) + l.(t).

>•.';-'.* J J a=l J J

; :• t,' . » 2. Задачи стабилизации траекторий

Получение условий разрешимости залачи стабилизация целевой траектории макромодели (1.1)-(1 3) сводится к исследованию разрешимости начальном задачи ' тедудхйого ви£^:

¿(t) - *(Z(t) ,Zh(t) ,ig(t) ,t) t«[0,T], , (Z I)

z(t) = f(t), z(t) - ï(t), если t<0, гс* = йо) Здесь R;-R2m.Rn.[0,T] - R+,

*(z(t) ,zh(t) .¿g(t) ,t) = 0^^)2(1:) + "Лч ■ **

+D2(t^)B(z(t))[G(z(t),t)](2(t),z^(t),zg(t),t),

Теорема 2.1. Пусть капитальные вложения в развитие фондобра-зующих отраслей удовлетворяют условию

Vi(t) vt(t) > О, i-l,m; t«[0,T]. ' (2.2)

Тогда на каждом из промежутков (f-1J сг, vz^], i>=l,r; гт =т

для всех решений х*"* (t)-colonix*1* (t) , . . . (t) } задачи

(2.1) справедлива априорная оценка

x(l,) (t) < ), . (2 3)

v iff -, «ив;,. •

где А^ • R™ - r", m^z {v) ( xj ,

( t

Ç (t,M + J »jfS'^^)*1" " решение линейной мажорантной

*T. lysso* •• a ;,f »• й. ;

задачи Коши

(t) - N(t)Ç(l,) (t) + l(t), t«A

111

Теорема 2.2. Пусть выполнено условие (2.2).Пусть также на каждой из промежутков Л - [ (у-1) т^ (у=1,г) справедливо неравен-

т] (*:) ^ иу' (т) (Ь) , (2.4)

' г*

. Чи)г - ^Кь

* И6 «П .»К-ЗУ ; ^ '

4 Я.;: • К+ ^ К ' окоеме» ■ ,,

Л V г. я ?! ,

П^0 (и,И) = со1оп{0{У (и^),...,!^ (и,Ъ)>. Тогда для всех решений х^ « Е^ задачи (2.1) имеет место априорная оценка ИЧ** Г; 3'И « X?•>* * <•?)•*

Из этих теорем следует наличие априорных оценок

Ч4'"^^) х(1,) (Ь) < , (2.5)

• т - • • • ь а V ш 1,г. я:*1».

Теорема 2.3. Пусть выполнены условия теорем 2. 1 и 2.2. Пусть, кроме того, [ О, Т), г £ <т?»С>» det Ф 0. Тогда

задача (2.1) однозначно разрешима на конусном отрезке <т),£>.

В этой же главе исходная задача редуцируется к системе нелинейных функционально-дифференциальных неравенств, исследование которой позволяет предложить способ построения множества допустимых стабилизируемых траекторий. Задача построения множества решений на основе нескольких известных решений имеет важное значение для управления макромоделями. Эта задача решается с использованием Ь ( Ь ) - условий Н.В.Азбелева. Рассмотрим неравенство

X ^ ЮГ, ? (2.6)

где х € Е, Е: Е Е, Ё - конус непрерывных неотрицательных на [0,Т] функций.

Говорят, что для оператора Е: Е—> Е выполнено Ь , (Ц)" условие на • •

конусном отрезке [х(,х2] с Е, если для любой упорядоченной пары

• •

х < х . х ,х С [х,,х„! имеет место соотношение 12 1' г 1 1

Г(х;) - Г(х2) ^ - х2), (П х^) - Т(х2) ^ Ь2(х;-х2)),

где Ь1(Ь2): Е — Е - линейный оператор.

Теорема 2.4. Пусть выполнены следующие условия:

1) хх € е - решение неравенства (2.6); и>)* 1 "Я "о; 1

2) существует элемент х2«Е такой, что и на конУсном от~

• •

резке [х1,х2] выполнено 1^-условие;

3) множество О с Е решений неравенства 1^(1*) ^ Ь непусто. Тогда каждый элемент множества

Б = {х«Е: х = х1 + г, х ^ х2>

также является решением неравенства (2.6).

Теорема 2.5. Пусть выполнены следующие условия: „ *

1) ~ решение неравенства (2.6);

2) существует элемент х « Е, такой что х^, и на конусном

• »

отрезке [х^,х2] выполнено 1>2 - условие;

3) «ножество 0 решений неравенства ^ Ь (Ь) непусто.

^ • я

Тогда каждый элемент множества

а

И = {х«Е: х = х2 - г, х ^ х1 }

также является решением неравенства (2.6).

3. Краевые задачи ••> * >

» , т?

Рассмотрим случай, когда балансовые уравнения

г = и(г,у) (3. 1)

разрешимы относительно V (вообще говоря, неединственным образом) . В этом случае существует такой оператор Я : —» Бп, что

V = Нг удовлетворяет уравнению (3.1) для каждого г « Вп и уравнение динамики приобретает вид

£х = 9х + £, (3. 2)

где оператор У: Оп —> Ьп определен равенством 9х = УЯ^х. Уравнение (3.2) в общем случе является функционально-дмфференциальньм уравнением.

Краевая задача экономической динамики — задача о существовании и построении траектории экономической системы, удовлетворяющей уравнениям динамики и краевым условиям в форме функциональных равенств и/или неравенств.

Система '*М. з «г

л«*- «•• — 1х = 9х + 1х = <рх (1х ^ рх) , " ®(3.3)

где 2:0°—> И* линейны! ограниченный вектор-функционал, <р: Эп—> и"

нелинейный непрерывный вектор-функционал, называется общей краевой задачей (с неравенствами) .

Для задач макроэкономического моделирования типичными краевыми условиями являются следующие.

1. Условия пропорционального увеличения выпуска продукции для группы отраслей к концу промежутка управления:

Т) - ы{х4(0), сопвЪ £ 1, ¿-1,2.....д (д^п).

Варианты таких условий для межотраслевых моделей: *

а) увеличение выпуска продукции по фондообразующим отраслям:

(1-1,2.....ш; тел): Х,(Т) - Ы.Х.(О), 1-1,2,. . . , Ш.

I II

б) увеличение выпуска продукции нефондообразующими отраслями (отраслями с номерами т+1,ю+2,... ,п): """ «.а»^«*.^

ч

п п

2х ^ Е х (Т)у -и е х (0)£ =0 *лт«**»-*

. в в . в и

в=т+1 в=т+1

(для межотраслевых моделей с линейной производственной функцией); V ■ ^(Хт+>(Т,"-"Хп(Т))-иЛ(Х™+1(0).....Хп(0)) ■

, ... ,п;

1^J<U1.....ип-т> - <^и!+а2и2*---+ап-«ил-«) Ч' >"+1,"|"л м

(для степенной производственной функции). " *

2. Условия обеспечения пропорционального увеличения потребления в конце промежутка управления для межотраслевых моделей с фиксированным запаздыванием ввода мощностей:

а) потребление продукции фондообразующих отраслей (отраслей с номерами 1,2,...,т):

CjiT) - WjC^O), Ixspx(0) + Z Qax(T-ho)

a - f

¿«if

>-•$, * - const ^ 1, i-m+1, ra+2,...,m.

6) пропорциональное увеличение потребления для отраслей, производящих товары народного потребления (с номерами i-m+1,...,п):

t f !. О-

1Ц

Cj(T) = UjCj(O), Uj = const ^ 1, j=m+l,m+2,...,n,

m

2x в I p v ,(x(T-h ))+<p = 0, 1=1 1 1 1 (для линейных производственных функций)

VX) = Со1 Í7)Í6(xis(T"hie^ а

TJ. ( u) = Q . u . 6 + R. , ib le ie ie

(для степенных производственных функций).

3. Условия обеспечения пропорционального развития отраслей в конце промежутка управления:

то п

а) 1х н Е X (Т)-и £ X (Т) = 0;

1=1 J=m+1 J

б)обеспечение заданной пропорции потребления и накопления в конце периода управления: то

Е С (Т) 1-1

-—- = ы , (и <1) •

то в' в

Z Ь (Т)К (Т)

J=1 eJ 3

4. Краевые условия в форме неравенств, в частности:

а) многоточечные ограничения на желаемый выпуск продукции в фиксированные моменты промежутка управления

xt(tf) < p1t.....f5p{< xt(tp) < fipt,

* *t(xt(T)) ¿tp.

i=l,2,...,n; p=l,2,...,1;

б) интегральные ограничения на выпуск продукции

*J + 1

% < { et <VtJ't)dt < Э{р-

*J

t. . 3 + 1

{ < ^и+р' >2'2.....

%3

Опишем кратко подходы к исследованию основных типов краевых

задач.

3. 1. Линейная краевая задача. Регулярный случай

, а ' - ■ ■ '

Рассмотрим краевую задачу

г г* . iifi' £х = f, lx = /3, /3 <e Rn , (3.4)

где £ : Dn—> Ln, и 2 : Dn—» Rn линейные непрерывные операторы. Задача (3.3) может быть записана в форме (3.4), если Dn —* Ln и Dn —► Rn линейные непрерывные операторы и т = л. Всюду ниже предполагается, что оператор ( '

( . >

? £? : Ln—» Ln , (Qz)(t) - J z(s)ds ))(t)

0

непрерывно обратим. Это предположение верно, в частности, для линейных дифференциальных операторов с запаздыванием, а также для широкого класса функционально-дифференциальных операторов.

В этом случае существует фундаментальная n-n-матрица X (ма-трициант) уравнения Их- О, и задача (3.4) однозначно разрешима, тогда и только тогда, когда

det IX jt 0. (3.5)

Это условие не кожет быть проверено непосредственно, так как элементы IX не могут быть вычислены точно. В наших исследованиях используется способ проверки условия (3.5), основанный на теореме об обратном операторе. В силу этой теоремы обратимость IX может быть установлена, бели мы найдем обратимую матрицу Г такую, что

12Х-Г| < 1/|Г_11. (3. 6)

Для обратимой матрицы IX матрица Г может быть найдена среди матриц Г = Тх, где Т: Dn—> Rn вектор-функционал, близкий к 2 и

X - матрициант уравнения £Х=0 с оператором £ : D —> L , близким к £.

Способы построения такой матрицы Г становятся эффективными при использовании специальных компьютерных систем (в частности, систем символьных и алгебраических вычислений д-МАТН, FORMAC, REDUCE). ' ' 4*

3. 2. Линейная краевая задача. Нерегулярный случай. ■ Обобщенное решение. Задача импульсного управления vn

",*.:- <ииг ,1 n<ttp* Р '.

Рассмотрим задачу

йот i-c ■■■■ ••'■«> v. ■

íx = lx = p, <3 € R*, (3.7)

где N > п. Если компоненты 2{ вектор-функционала 2:Dn—> RN, lx = col(J *,...(1н*), лкнейно независимы. то задача (3.7) не может быть однозначно разрешимой для любых f « ьп и /3 е . Следуя идеям монографии (2], построим расширение задача (3.7). Для этого введем новое банахово пространство. Пусть {t ,...,t } (О<t <...<t <Т) - фнксирэе&нная упорядоченная система точек нн-

1 в

тервала (О,Т) . Пусть J( = {u¡ , . . . }, 1 ^ и' <• . ^ п,

¡ i

i=l,...,m.

Обозначим через DSn{m} = DSn {J , . . . пространство функций

у: [О,Г] —♦ Rn, y(t) = col{y) (t),...,yn (t) } , с суммируемой на [О,Т] производной, првдставимых в виде

t а

y(t) = íy(s)ds + у(О) + 1 X (t) £ е Ау (t ),

J i ' MU

О 1 = 1 k = 1 k k

где Ayj (t( ) = y^ (t( ) - yj (t-0), ®; - j~й столбец единичной

матрицы E, x ~ характеристическая функция отрезка [t ,Т].

i

Определим норму g•| в DSn{m\ равенством

DSn

\У\ = ЭУ1 +|col{y(0),Ay (t ).....Ду (t )}|.

DSn L 1 uv > *

в

Пусть t: DSn {и} —> Ln ni": DSn (л) —► Rw - фиксированные расширения /и 2 соответственно. Рассмотрим расширенную задачу

/у = f; 1 у = 0. (3.3)

Решение у задачи (3.8) будем называть обобщенным решением задачи (3.7). Дополнительные переменные Ду (t(), i=l,...,m играют роль переменных, управляющих разрешимостью задачи (3,8). Задачу (3 8) естественно называть задачей импульсного управления. Важно, что множества J_ , i=i,...,m можно выбирать таким образом, что матрнцмант У(t) уравнения /у =0 будет NvN-матрицей и критерий однозначной разрешимости задачи может быть записан в форме (3.5): det2У ¿ 0. Конструкция матрацы Г для задачи (3.8) аналогична конструкции Г для случая задачи (3 4).

3 3. Линейные краевые задачи с неравенствами Рассмотрим задачу

£у = f, 1у 0, /3 € rn (3.9)

в классе разрывных траекторий ( в пространстве DSn{J^ ,...,J } ). Задача (3.9) разрешима, если линейная система неравенств

1У-а (3 - 1д ( 3. 10)

m

имеет решение я е ru, и = v( . Здесь Y - матрициант уравнения

I = 1

t

£у = 0, g € Dn , g (t) = J(£f 1 f) (s)ds.

о

Исследовать разрешимость системы (3.10) можно построив матрицы M и M так, что

M ^ 1Y ^ М.

и векторы d и d так, что

d lg ^ d.

Практическое построение M,M,d,d оказывается возможным на основе использования современных компьютерных систем.

Эти системы дают возможность проверки условий следующего утверждения.

Если существует такое с € rv, с ^ 0, что линейная система неравенств М? < /3 + Мс - d имеет решение ц е Rv, у ^ 0, то задача (3.9) разрешима.

3.4. Один класс нелинейных краевых задач

Способы исследования линейных задач (3.4), (3.7), (3.10) основаны на конечномерной параметризации множества решений линейного уравнения £х = f (£у = f). Рассмотрим класс задач вида (3.3), для которых тоже может быть использована идея конечномерной параметризации. Предположим, что задача Коши

£х = Fx+f, х(0)=о£ имеет единственное решение для любого а е Rn и решение ха(£) этой задачи непрерывно зависит от ос. Подставляя хв краевые условия, получаем уравнение

<1 е г

Н(а) = 1х - <рх - 0, (311)

* ' а а

где Н: —> ^-непрерывный оператор. Разрешимость этого уравнения обеспечивает разрешимость задачи

Хх = Гх + 2 х = рх. (3. 12)

Запишем оператор Н в виде

Н(а) = Ла - т + Я(а) ,

где у « Ип , Л лхл-матрица, и |Я(а)| г для всякого а такого

что |ао~а| ^ Р0• Если матрица Л обратима и

| Л~1 г -а | + | Л"1 | г ^ ро , (3 .13)

то уравнение (3. 11) имеет решение а « и |а-ао| 4 рц .

Аппроксимация функционально-дифференциальных уравнений как средство эффективной реализации вычислительных процедур, а также моделирование процессов с дискретным временем приводит к необходимости рассмотрения разностных аналогов краевых задач

3 5 Краевые задачи для разностных моделей

В линейном случае разностным аналогом уравнения (3 2)

является уравнение Ь

х(1+1)-£ А(<:М,1)х(1)+/(^1), 1-0.1... . N-1. (3.14) 1-0

х(1)«ЯП для любого 1-0.1... . N.

Обозначим через х-{х(0),..., х(К)> n-(N+1)-матрицу со столбцами х(0) , х(1).....х (N) .

Множество таких матриц обозначим символом м[).

N + 1

Уравнение (3 14) может быть записано в виде

£х-/, (3. 15)

гдо х«м" ,, /.М" С - линейный оператор из м" , в м" (£x)(t) -

N + A nJ N ▼ 1 г*

t-i

- х(t) -Е А(t, i) * х( i) . i-0

Линейной краевой задачей для разностного уравнения (3 14) будем называть задачу

£х-/, 1х-а, (3.16)

где /«мЦ. a«Rn. 1: Mjj+1-Rn - линейный вектор-функционал

Для линейных краевых задач (3 16) получены критерии я

признаки разрешимости. допускающие эффективную проверку с

использованием вычислительных средств. На основе представления решения задачи (3.16) с помощью разностной матрицы Грина получены признаки разрешимости квазилинейных краевых задач для уравнения

Су - Fx, (3.17)

где F: KjJ - вообще говоря, нелинейный оператор

Квазилинейной краевой задачей называется система

Су - Fx, 1х = фу (3. 18)

с нелинейным, вообще говоря, вектор-функционалом ф: ^ -» Rn.

Теорема 3.1. Пусть

а) оператор F: ^ -» mJJ непрерывен, вектор-функционал -» Rn непрерывен;

б) для всех решений семейства задач

Су = AFx, 1х = \фу, Л е [о, 1] (3. 19)

имеет место общая априорная оценка

KIMn ^ d < оо.

Тогда исходная краевая задача (3.18) имеет по крайней мере одно решение х«

Теорема 3.2. Пусть выполнено условие а) теоремы 3.1. Пусть,

далее. det[lX] jt О, где X - фундаментальная матрица уравнения

£х= о, а нелинейные операторы F и ф удовлетворяют условиям

iFx^

lim--— = О,

|х| -+00 |х| п

(3.20)

|0х|

lim - = О.

|х| --к» |xj п мЦ., "N+1

МН+1

Тогда задача (3.18) имеет по крайней мере одно решение х*

В нелинейных краевых задачах динамика переменных описывается уравнением

х(Ъ+1) = (Гх)(t), t=0,1,...,т-1 (3.21)

и краевыми условиями

Т)Х - О. (3. 22)

Здесь Г: М™+1 -♦ М^ и 7}: —> - нелинейные непрерывные

операторы. Для исследования таких краевых задач разработаны схемы с построением и использованием априорных неравенств вида

|х(1)| ^ М{Ь, |х(0) |). (3.23)

Обозначим через а) решение задачи Коши

х(1+1) - (ЕХ) (*.) , Ь=0,1, . ... ,ГО—1; х( О) - а. Тогда разрешимость краевой задачи (3.21), (3.22) эквивалентна разрешимости уравнения

т)( <р( •, а)) - О

относительно а « и". Разрешимость этого уравнения можно установить, используя неравенство (3.23).

Творена 3.3. Пусть

|х(О) - Т)х| ^ д( |х( - + 1)5, |х(О) |) Ух « + 1,

| < ¡«1) У1=0,1,...,га, а е л",

причем функция ц: Н^х [О,оо) —> и1 не убывает по каждому аргументу, а функция М: {0,1,... ,н»}* [0,оо) —> не убывает по второму аргументу. ,

Тогда задача (3.21), (3.22) имеет решение, если ограничено множество

{« ^ 0: « < ц(М(-+1,3),5)}.

4. Компьютерная реализация методов

Разработанные методы исследования реализованы в виде компьютерной системы "Анализ, моделирование ж прогнозирование социально-экономического развития региона". Используемая в ней система моделей отражает функционирование основных сфер хозяйственного комплекса территория уровня города, района, административной области, края, республики. Система включает блок производственных моделей динамики межотраслевых комплексов (машиностроительного, металлургического, химико-лесного и т.д.); модели отдельных отраслей и подотраслей; блок непроизводственной сферы (модели образования, здравоохранения и других отраслей социальной инфраструктуры) , а также интегральные модели уровня жизни населения; блок демографических моделей включает описание процессов динамики половозрастной структуры населения в зависимости от сценариев рождаемости, смертности, миграции, а также описание процессов динамики трудовых ресурсов территории; блок природно-экологических процессов объединяет модели рассеивания загрязняющих веществ в

различных природных средах Свода, воздух, почвы) ш модели прогноза запасов природных возобновляемых и невозобновляемых ресурсов; модели финансово-бюджетной сферы охватывают бюджет территории (статьи доходов я расходов в подробно! номенклатуре) и Модели баланса доходов населения.

Разработанный программны! комплекс предназначен для проведе::*я многовариантных прогнозов целевого ш имитационного (по задании./: сценариям) типа. В состав комплекса входят следующие программные компоненты: база данных (реализована с использованием сетевой СУБД db-VISTA); блок отображения информации на векторной электронной карт© территории; блок аналитического моделирования и идентификации параметров социально-экономических процессов региона; блок прогноз иоования (позволяет выполнять расчеты имитационного и целевого типа, в том числе с использованием импульсных воздействий); блок экспертного анализа (выполнен с использованием одной из модификаций языка LISP). Комплекс позволяет работать как с готовыми моделями, объединенными в ¿адачу, так и самостоятельно строить новые модели и задачи, инструментарий комплекса ориентирован на оценку влияния различных процессов (демографических, социально-экономических или природно- ->колсги- . ческих) на выходные показатели изучаемой системы.

Инструментальная часть системы универсальна ш после соответствующего наполнения базы данных может быть использована в условиях любого региона (республики, области, города)

Система используется для расчета среднесрочных прогнозов администрацией Пермской области, принята для эксплуатации в Центре экономической кокы&туры при Минэкономики Российской Федерации, Центре информационных и социальных технологий при Правительстве Российской Федерации, в Управлении информационных ресурсов Аппарата Президента Российской Федерации.

I i*

Библиографически! список

■¡шт v ч , •

JL Андрианов Д.Л. Анализ устойчивости траекторий нел

н'нёйной

межотраслевой модели на основе метода априорных оценок // Методы решения задач теории управления на основе принципа расширения/ Под ред. В. И. Гурмана, Г. Н. Константинова. Новосибирск.- Hayfca.

1990. С. 167-179.

Ж. Азбелев Н.В.. Яаксямов В Я . »ахка:улл*на Д.♦ . Введение з теорию функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука,

1991. 28f0 с.

3. Андрианов Д. JI. , Максимов В. П. , Румянцев А. Н. Некоторые краевые задачи экономической динамики // Функционально-дифференциальные уравнения. /Перм. политехи, ин-т. Пермь, 1991. С. 10-27.

4. Андрианов Д. Л. Краевые задачи и задачи управления для линейных разностных систем с последействием // Изв. вузов. "Математика" . 1993, N5. С. 3-16.

5. Андрианов Д.Л., Полушкина Г.К. Краевые задачи для макроэкономических моделей с запаздыванием // Функционально-дифференциальные уравнения. Пермь: Перм. политехи, ин-т; НВП "Прогноз",

1992. С. 15-34, ¿^-¿Шк^мг. .

GOAL CONTROL AND BOUNDARY VALUE PROBLEMS :*CQ FOR MACROECONOMIC MODELS WITH AFTEREFFECT D.L.Andrianov, V.P.Maksimov

Goal control problems for multibranch macroeconomic systems are considered. Schemes for calculation of resources (material, financial, working and others) to attain given goals are presented. Braod classes of boundary value problems arising in economic dynamics as well as computer-assisted techniques of the study of these problems are described.

"«.V

i.< ■

mm-

jsjti яотамвдадгда; 123 W