CC BY
72
УДК 621.9.07
В. В. Микитянский, Р. Хевер Астраханский государственный технический университет
ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТЬ ПРИМЕНЕНИЯ МЕТОДА ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ АНАЛОГИЙ ПРИ ИССЛЕДОВАНИЯХ ДИНАМИКИ МЕХАНИЗМОВ
Введение
Высокий уровень надежности технологического оборудования определяется комплексом взаимоувязанных мероприятий, охватывающих стадии научных исследований, проектирования, изготовления, эксплуатации и ремонта. Особое место среди перечисленного занимает процесс проектирования и конструирования, т. е. тот период создания изделий, когда в них закладываются все требуемые качества и возможности. Наибольшая эффективность в эксплуатации техники достигается тогда, когда максимальная отработка ее надежности осуществляется в период опытноконструкторских работ. При этом необходимо, чтобы не менее 90 % деталей и узлов машин имели необходимые и взаимосвязанные в систему характеристики надежности уже на стадии проектирования [1-3]. Подобное требование выполнимо лишь при наличии достаточно развитой методической базы оценки надежности.
Частотные методы АЧХ, ФЧХ
К достоинствам частотных методов анализа и синтеза систем управления можно отнести то, что они позволяют получить характеристику системы в целом по характеристикам отдельных элементов системы независимо от их числа, в то время как анализ во временной области (т. е. с использованием временных характеристик) практически нецелесообразен для случая четырёх и более элементов [4].
Частотные характеристики позволяют определить тип регулятора, приемлемого в конкретной системе управления, и сравнительно просто решить задачу об устойчивости САУ. Они дают информацию о критической частоте и предельно допустимом усилении регулятора, о запасах устойчивости и полосе пропускания системы управления. По частотным характеристикам можно также судить о временных характеристиках, что особенно важно при синтезе систем управления.
Рассмотрим частотные характеристики динамического звена.
Если на вход устойчивого линейного стационарного динамического звена подать гармонический сигнал с частотой ю и амплитудой Ах
х(т) = Ах 8ш(ют) -1(т), (1)
то после завершения переходного процесса в установившемся режиме выходная величина динамического звена будет совершать вынужденные
гармонические колебания с той же частотой ю, но с иной амплитудой Ау и сдвинутые по фазе относительно входных колебаний на угол ф (рис. 1):
Ууст(т) = Ау 8ш(ют + ф). (2)
Рис. 1. Гармонические сигналы на входе х(т) и выходе ууст(т) устойчивого линейного стационарного динамического звена в установившемся режиме
Положительное значение ф в выражении (2) означает опережение по фазе, а отрицательное - отставание.
Для данного динамического звена отношение амплитуды колебаний выходной величины к амплитуде колебаний входного сигнала Ау/Ах и фазовый сдвиг между колебаниями выходной величины и входного сигнала ф зависят только от частоты колебаний ю. Определяя в установившемся режиме отношение амплитуд Ау/Ах и фазовый сдвиг ф при разных частотах колебания входного сигнала (0 < ю < да), можно экспериментально получить частотные характеристики динамического звена.
Зависимость отношения амплитуды выходных колебаний к амплитуде входных колебаний Ау/Ах от частоты колебаний ю называется амплитудной частотной (или амплитудно-частотной) характеристикой (АЧХ) и обозначается А(ю).
Зависимость фазового сдвига ф между выходными и входными колебаниями от частоты ю называется фазовой частотной (или фазовочастотной) характеристикой (ФЧХ) и обозначается ф(ю).
Отсутствие ясного представления о частотных характеристиках может привести к неправильным компьютерным расчётам некоторых систем управления. Поскольку частотные характеристики дают возможность судить о временных характеристиках системы, их знание крайне необходимо при синтезе систем управления с заданными свойствами.
Метод электромеханических аналогий
В соответствии с электромеханическими аналогиями все механические величины имеют свои определенные аналоги в области электрических явлений, и наоборот, что даже используется иногда на практике при решении сложных инженерных задач. В [5] отмечается, что благодаря единству уравнений электрических и механических систем исследование явлений в механической системе может быть заменено исследованием процессов в электрической цепи, что обычно сопряжено с меньшими трудностями.
Процессы в электромеханических системах, представляющих собой совокупность электрических и механических устройств, также могут с успехом исследоваться с помощью электромеханических аналогий [5]. Эффективность использования названных аналогий существенно повышается к тому же благодаря идентичности дифференциальных зависимостей между напряжениями и токами для так называемых дуальных элементов самих электрических цепей, которыми, согласно тому же пособию, являются, соответственно, сопротивление и проводимость; индуктивность и емкость [5] и т. д. Указанное полезное обстоятельство позволяет рассматривать в качестве электрического аналога механической массы, например, равным образом и электрическую индуктивность, и электрическую емкость, что расширяет возможности проводимого анализа.
Метод электромеханических аналогий дает ценное понимание того, как система работает, идентифицирует эквивалентные способы, которыми специфическая функция могла бы быть достигнута, и, соответственно, облегчает детализирование количественного анализа. Метод может быть особенно полезен при изучении динамических параметров, которые часто являются результатом взаимодействий между различными элементами какой-либо системы.
В выбранном варианте электромеханических аналогий конкретным аналогом массы материальной точки т будет, как легко показать, электрическая емкость так называемого уединенного проводника С, а ее механической скорости У, соответственно, его электрический потенциал и. Обе последние характеристики при этом равным образом определяются, как известно, с точностью до произвольной постоянной, зависящей от выбора инерциальной системы отсчета в первом случае и точки нулевого потенциала во втором. То же самое можно сказать, разумеется, и о связанной с данными потенциалами энергии, которая в области механики принимает в данном случае форму кинетической энергии материальной точки:
Ж = тУ2 / 2, (3)
а в области электрических явлений - электрической энергии уединенного проводника:
Е = Си2 / 2. (4)
Здесь обычно предполагается, что масса т не зависит от скорости движения, а электрическая емкость проводника С - от электрического потенциала, но оба приведенных выражения для энергии остаются полно-
стью справедливыми и в общем случае, если т и С считать средними значениями соответствующих величин. Формулы для указанных видов энергии могут быть также представлены, как известно, и в несколько ином виде, использующем понятия механического импульса (количества движения)
р = тУ (5)
в одном случае и электрического заряда (количества электричества)
Я = Си (6)
в другом (в данном контексте речь идет, понятно, о модулях этих величин). В итоге рассматриваемые сейчас виды энергии могут быть вообще выражены одним из следующих равноценных способов:
Ж = рУ / 2 = тУ / 2 = р2 / 2т, (7)
Е = яи / 2 = Си2 / 2 = я2 / 2С. (8)
Очевидно, что формулы для кинетической (7) и электрической энергии (8) по своей внешней форме полностью аналогичны друг другу. Это и не удивительно - в конечном счете само понятие потенциала характеризует, как известно, так называемую удельную энергию, приходящуюся на единицу соответствующего заряда, и потому полная энергия, по определению, должна быть связана с произведением того или иного потенциала на соответствующий ему заряд. Именно таким «кинетическим зарядом» можно считать теперь, в частности, тот же механический импульс, а собственно механическая скорость представляет собой, соответственно, сам «кинетический потенциал». С другой стороны, любая физическая емкость, по определению, характеризует способность тела содержать определенный вид заряда, и потому средняя электрическая емкость уединенного проводника, например, по определению, равна отношению содержащегося на нем электрического заряда к его электрическому потенциалу. Аналогично и средняя «кинетическая емкость», каковой и является собственно масса, тоже равна отношению соответствующего заряда (импульса) к соответствующему потенциалу (скорости), что и находит свое естественное отражение в приведенных выше формулах.
Но на этом аналогия электрических явлений с механическими отнюдь не заканчивается, т. к. при любых внутренних взаимодействиях в замкнутой электрической системе алгебраическая сумма присутствующих в ней электрических зарядов, как известно, точно так же всегда остается неизменной, как и алгебраическая (в общем случае - векторная) сумма импульсов взаимодействующих друг с другом частей замкнутой механической системы. Иначе говоря, электрический заряд замкнутой электрической системы точно так же сохраняется при протекании в ней любых внутренних процессов, как и импульс замкнутой механической системы. Отсюда и абсолютно полная аналогия основанных на этом сохранении соответствующих уравнений, описывающих однотипные процессы в механике и электростатике. Так, скажем, при абсолютно неупругом столкно-
вении двух тел в механике их скорости точно так же выравниваются (оба тела «слипаются» и движутся далее совместно с единой скоростью), как и электрические потенциалы приведенных в контакт друг с другом (а значит, опять же «слипшихся», т. е. ставших в электрическом отношении «единым телом») заряженных проводников. И происходит это в конечном счете потому, что именно такие итоговые состояния данных систем являются по-настоящему устойчивыми, ибо характеризуются минимальным значением соответствующего вида энергии - кинетической в первом случае и электрической - во втором. Таким образом, макроскопическая энергия при неупругом столкновении тел или обмене зарядами между проводниками, как и должно быть при любом самопроизвольно протекающем процессе вообще, обязательно уменьшается, но полный механический импульс и полный электрический заряд при этом все же принципиально сохраняются.
При рассмотрении электромеханических аналогий можно выделить два типа аналогий - первый (напряжение - сила) и второй (ток - сила). Рассмотрим оба типа аналогий.
Первая электромеханическая аналогия (напряжение - сила). При прохождении тока _ через электрическую цепь, состоящую из последовательно соединенных пассивных элементов: индуктивность Ь, сопротивление Я, емкость С (рис. 2, а), на зажимах цепи создается напряжение, равное (по второму закону Кирхгофа) сумме падений напряжений в отдельных элементах иЬ + ис + иЯ = и(1). Заменяя иЯ = Я_я; иЬ = ЬЛИ(сИ); _с = СЛиС1(Л) или иС = \IC\icdt, получим
(9)
б
Рис. 2. Электрическая цепь с соединением элементов последовательно и параллельно
Для установившегося режима можно написать, что изменение тока происходит по закону _ = 1п 8т(о^ + X). После преобразования это приводит к зависимости между комплексным током и напряжением
I = и I ^Я2 + (оЬ - ^с)2 = и IX , где X - ПКС (полное комплексное сопро-
а
тивление) или импеданс цепи. Известно, что скорость изменения электрического заряда я в емкости С равна силе тока _ = Ля I (Л); отсюда Л I (Л) = = с?я I (Л2); я = \idt- В таком случае уравнение (9) будет иметь вид
Ы2я I (Л2) + ЯЛя I (Л) + 1 I Ся = и(1). (10)
Сравнивая это уравнение с уравнением для механической системы (например, поступательной)
+гС-+кУ = Q(t), (11)
сг л
можно найти аналогию между коэффициентами Ь и т, Я и г, а также НС и к.
Вторая электромеханическая аналогия (ток - сила). При прохождении через электрическую цепь, состоящую из параллельно соединенных пассивных элементов Ь, Я, С (рис. 2, б), ток _ равен (по первому закону Кирхгофа) сумме токов в отдельных элементах _ь + _я + _с = _(1), что дает после подстановки
Ь | иС1 + Я и + ССси = _(1). (12)
Для установившегося режима и = ип8т(о! + X), что после преобразования приводит к зависимости между комплексными напряжением и током:
и=1 ^ Я-+(ОЬ-оС Г =I/Y• (13)
где У - ПКП (полная комплексная подвижность) или адмитанц цепи.
Если сравнить уравнение (12) с уравнением для механической системы
тС; + ГУ + к | уЛ = 2(1), (14)
можно найти аналогию между коэффициентами С и т, НЯ и г, а также ИЬ и к.
Таким образом, целесообразность применения метода электромеханических аналогий при исследованиях динамики механизмов обусловлена следующим:
- составляя дифференциальные уравнения для механической системы и электрической цепи, при помощи аналогии можно обнаружить некоторое сходство между коэффициентами механической системы и электрической цепи;
- идея комбинирования электрических и механических элементов электромеханической системы в единую электрическую цепь, или представление механической системы в виде электрической цепи с дальнейшим просчетом и анализом известными способами электротехники, имеет определенные перспективы;
- приведя рассматриваемую систему к виду электрической цепи, мы получим уже известный набор формул для расчетов тех или иных параметров;
- метод электромеханических аналогий может дать ценное понимание того, как система работает, идентифицирует эквивалентные способы, которыми специфическая функция могла бы быть достигнута, и соответственно облегчает детализирование количественного анализа;
- электромеханические аналогии базируются на формальном сходстве дифференциальных уравнений механических систем и эквивалентных этим системам электрических цепей;
- существующие на сегодняшний день методы определения параметров динамической системы не являются по своей сути методами, простыми в плане вычислений и дающими полное представление о протекающих в системе процессах;
- методом структурного моделирования возможно решать задачи динамики приспособления, а именно: анализировать вынужденные колебания при периодических и случайных воздействиях, рассчитывать переходные режимы при пуске, торможении, врезании инструмента, находить границы устойчивости замкнутой динамической системы приспособление-деталь, синтезировать оптимальные конструкции по динамическим и точностным критериям;
- основной задачей при применении метода электромеханических аналогий является правильная интерпретация рассматриваемой системы в виде эквивалентной электрической цепи.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Романов И. М. Надежность - главный показатель качества техники II Стандарты и качество. - 1988. - № 4. - С. 3-6.
2. Сутченко А. А., Тихонов А. И. Предсказание надежности постепенным отказам ИЭТ методом группового учета аргументов II Методы и средства интегральной диагностики. - Киев: Техника, 1984.
3. Кугель Р. В. Испытания на прочность машин и их элементов. - М.: Машиностроение, 1982. - 181 с.
4. Беспалов А. В., Харитонов Н. И., Золотухин С. Е. и др. Динамические звенья. Временные характеристики I РХТУ им. Д. И. Менделеева. - М., 2002. - 80 с.
5. Атабеков Г. И. Основы теории цепей: Учеб. для вузов. - М.: Энергия, 1969. -
С. 101-103.
Получено 29.12.05
THE EXPEDIENCY OF THE METHOD APPLICATION OF ELECTROMECHANICAL ANALOGIES
V. V. Mikityanskiy, R. Khever
The use of the analogy method for calculation of dynamic parameters of mechanical systems is considered in the work. The review of existing methods for calculation of dynamic parameters and their analysis is offered as the foundation of the acceptability of this method.
