Трёхмерное моделирование сигналов электромагнитного зонда с тороидальными катушками Текст научной статьи по специальности «Физика»

ТРЕХМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ СИГНАЛОВ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ЗОНДА С ТОРОИДАЛЬНЫМИ КАТУШКАМИ

И, В, Суродина

Институт вычислительной математики и математической геофизики СО РАН, 630090, Новосибирск Институт нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН,630090, Новосибирск

В работе рассматривается математическое моделирование электромагнитных откликов нового каротажного прибора в несимметричных изотропных средах, выполненное с помощью конечно-разностного метода. Описывается постановка задачи, методы решения. Приводятся численные эксперименты, показывающие необходимость центратора прибора для его использования на практике. Обсуждаются результаты моделирования. Ключевые слова: электромагнитный каротаж, математическое моделирование, зонд с тороидальными катушками, конечные разности, система линейных алгебраических уравнений, итерационные методы, прямые методы

В последнее десятилетие произошли большие инженерные достижения в каротажном приборостроении. Появилась возможность создавать приборы, основанные на нетрадиционных для каротажа источниках возбуждения электромагнитного поля. В ИНГиГ и НПО «Луч» создан каротажный зонд нового поколения — устройство для регистрации характеристик электромагнитного поля с использованием тороидальных катушек [1]- [7]. В процессе создания прибора применялось математическое моделирование. В работе [8] проведено математическое обоснование нового зонда, описано решение прямой задачи электромагнитного каротажа для тороидального источника в цилиндрически-слоистой геоэлектрической модели. В работе [9] на основе двумерной программы для симметричных изотропных сред оценено влияние конечного металлического корпуса прибора на регистрируемые сигналы. Результаты моделирования были учтены при выборе оптимальной конфигурации зонда. Цель настоящего исследования состоит в том, чтобы правильно сформулировать задачу для несимметричных моделей, найти метод решения и оценить влияние эксцентриситета прибора на измеряемые характеристики.

Рассмотрим случай изотропной проводящей немагнитной среды. Для амплитуд электрического и магнитного поля справедливы уравнения Максвелла

где а = 1/р — электропроводность, р = 4ж * 10 7 Гн/м — магнитная проницаемость, ш — циклическая частота, ] — источник стороннего тока (плотность тока), Е — электрическое поле, Н — магнитное поле. Зависимость тока от времени гармоническая.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 19-05-00595).

УДК 519.632.4+550.832.7

DOI: 10.24411/9999-016А-2019-10075

Введение

1 Постановка задачи

(1)

ISBN 978-5-901548-42-4

Введём цилиндрическую систему координат {г, ф, г}.

Источник поля в виде тороидальной катушки вдали от нее формально можно описать круговым магнитным током [10]. Поэтому считаем, что источник может быть задан в виде

] = {0,]ф, 0), где ]ф = —гш/Мф5(х — г0)6(г — г0), Мф — магнитный момент, 5 — дельта функция Дирака, г0 — радиус кольца с током. Преобразуем уравнение (1) к виду

гаЪр \rotH) — ш/Й = —]ф

(2)

Принимая во внимание уравнение Максвелла (ИьН = 0 и выделяя явно оператор Лапласа, приходим к эквивалентной зписи

рАН + дгаАр х гоШ — ш/Н = —]ф Запишем уравнение (3) в матрично-векторном виде, объединяя первые два оператора:

(3)

Элементы матрицы определяются следующим образом: д ( д\ 1 д ( д\ д [1д(г)"

ац =

а12 =

дг \Р дг ) г2 дф дф 1 дрд(г) 2р д

Т ТГТ 5

р

д

д

а1з =

а21

2 д ф д д р д

д д

1 др д(г) г2 дф дг д д а22 = — ~дг \дг 1 др д

д д ф д д

д д 1 др д

д ф д д2

д ф

2р д

2 д ф р д2

д ф

2

д_ д

( рМ. у д

а2з =

аз1 = тгтт-

аз2

азз = —р

дг 2

1 д

"2 дф

ш

1 д(г) ( д

дг V рдг

_

= ф

(4)

В соответствии с условием излучения на бесконечности магнитное поле затухает с удалением от источника |Н | ^ ^и К, |г | ^ то Это позволяет приближенно поставить пулевые граничные условия для компонент Нг,НфНг, на большом расстоянии от источника. Таким образом, имеем задачу Дирихле для уравнения (4). Для построения конечно-разностной схемы для уравнения (4) источник расположим по кольцу

(го = 0, го). Введем прямоугольную неравномерную координатную сетку по переменным г, г и равномерную

ф

шн = {(П, фк, ), г = 0, ...Мг, к = 0, ..., Мф, г = —Мг, }, гМг = К, = г

(5)

Г2Н

Нас интересует ограниченное решение при г = 0, которое удовлетворяет условию Ит —— = 0. Это

г^ о аг

полшага [11].

Но

границе и скалярным произведением

(и,У)

Иг-1 N4,-1 N2-1

Е Е

¿=0 к=0 ] = 1-Ыг

(6)

Ь(г) + Ь(г)

где Н(г) — средний шаг на неравномерной сетке по переменной г: Н(г) = —-^—г-+-. Средний шаг по переменной г определяется аналогично. V ш V — сеточные функции. С помощью однородной консервативной конечно-разностной схемы [11], [12] в пространстве Н0 аппроксимируем уравнение (4), принимая во внимание условие периодичности по переменной ф и условие ограниченности решения. После дискретизации получим разностное уравнение вида АХ = Р. Матрица А является комплексной, не эрмитовой, не симметричной в пространстве Н

2 Тестирование и численные эксперименты.

Для решения полученной системы применялся итерационный метод бисопряжённых градиентов и прямой метод. Реализация прямого метода осуществлена с помощью программы PARDISO из библиотеки INTEL MKL. Первые эксперименты были проведены для цилиндрически-слоистых сред с беконечным корпусом прибора,а затем с учётом конкретной конфигурации прибора (рис. 1) для рабочих частот 50, 100, 250 кГц. Радиус медного корпуса прибора полагался равным 0.038м, радиус генераторных и приёмных катушек такой же. Расчёты проведены для одной генераторной катушки, расположенной условно в плоскости z = 0. Приёмные катушки располагались в плоскостях z = 0.25, 0.5, 0.75 м.

Генераторно-приёмная Изолирующая Модуль

Рис. 1: Модель прибора

Протестированы и выбраны сетки для частот 50, 100, 250 кГц, дающие наименьшую погрешность на достаточно большом диапазоне моделей (от 0.1 Ом м до 100 Ом м). При расчётах контролировались по точности вычислений 2 измеряемые величины Нф и Ez (Jz). Результаты расчётов сравнивались с аналогичными расчётами по двумерной программе [9] для реального зонда и с результатами расчётов по программе для цилиндрически-слоистых сред [8] для бесконечно-длинного зонда.

Компонента Ez рассчитывалась при помощи первого уравнения (1). Особенности вычисления данной компоненты состоят в том, что необходима очень мелкая сетка по переменной г (для достижения необходимой точности) из-за большого градиента в значениях в приповерхностной части прибора. Скин-слой для медного проводника для частоты 100 кГц составляет всего 0.21мм. На рисунках 2, 3 представлены графики функций действительной и мнимой частей Ez, вычисленные для цилиндрически-слоистой среды [8] для источника с частотой 250 кГц на малом отрезке длиной в 1 мм. Как видно из рисунка 3, на отрезке от 0.038 м до 0.03799 м вещественная часть компоненты меняется -2132 до -3065. Если вычислить Re(Ez) в точке 0.03799, то будем иметь погрешность в 40%. Очевидно, что шаг сетки здесь должен быть менее чем 0.00001м. Следует отметить, что компонента Нф (в двумерной и трёхмерной программах) вычисляется достаточно хорошо и на грубой сетке, но с обязательным присутствием точки в сетке, где производятся измерения.

Как показали расчёты, для хорошего вычисления компоненты Ez необходим шаг l.d-б и меньше по переменной г вблизи поверхности корпуса прибора. На рисунке 4 приведены графики действительных частей компоненты Ez, рассчитанной для зонда с частотой 250 кГц (рис. 1), располагающегося в пласте с сопротивлением 100 Ом м. По оси ординат отложена длина корпуса прибора (условно от -1 м до 1 м), по оси абсцисс рассчитанные значения компоненты по двумерной и трёхмерной программам. Источник расположен в точке 0.5 м по оси X. Из рисунка 4 видно, что компонента рассчитывается достаточно точно в измеряемом прибором диапазоне. Рассмотрим следующую модель. Пусть вышеописанный зонд располагается в скважине радиусом 0.108 метра, имеющей электрическое сопротивление 1 Ом м. Сопротивление пласта, вмещающего скважину 100 Ом м. На рисунках 5, 6 приведены графики рассчитанных (веществен-

Рис. 3: Мнимая часть Ег, рассчитанная по программе для цилиндрически-слоистой среды

1гт._НГ |ГГ!_Н| 1гГ|_Нг

_3с1_сеп1г -(М=0)

I ГТ|_Н Г|_р1/3

|гп_Н(|_р^ 1т_НМ_2р^З 1т_Нм_5р1,'6 I пп_И1:1_рл

Рис. 5: Мнимая часть Нф, рассчитанная для зонда, находящегося в центре скважины и сдвинутого на её стенку

□.□138 0.01В

0.010-■□.□1Э0-

В е_Н М_3с]_сеп|[ 1-Ч.1'!

Не_НМ_р1/Э

Ив-Шив^

Не_НМ_Зр^2 Н е_Н М_р1

Рис. 6: Вещественная часть Нф, рассчитанная для зонда, находящегося в центре скважины и сдвинутого на её стенку

ной и мнимой частей) Нф для зонда, находящегося в центре скважины и для зонда, сдвинутого на её стенку. Значения Нф приведены для различных углов ф = 0, п/6, я/3, 2^/3, 5я/6, я.

Во всём измеряемом диапазоне значения компонент у сдвинутого зонда очень сильно отличаются от рассчитанных компонент для зонда, находящегося в центре скважины. Вещественная часть Нф даже имеет другой знак. Заметным при сдвиге становится и влияние изолирующей проставки (не в измеряемом диапазоне), что выражается на графиках явным скачком в точке 1 м, особенно это чётко видно для вещественной части Нф (6). Аналогичная картина наблюдается и для компоненты электрического поля Ег. Проведённые расчёты показывают, что необходимо в конструкции прибора предусмотреть центратор, который будет удерживать зонд в центре скважины, иначе интерпретация сигналов будет весьма затруднительной.

Оба метода (и итерационный, и прямой) при расчёте модели с центральным положением зонда относительно центра скважины привели к практически одинаковым результатам. При этом итерационный метод существенно выигрывал по времени. Но как только перешли к трёхмерным моделям (сдвиг зонда относительно центра скважины) итерационный метод перестал сходиться для большинства моделей. Прямой метод, хотя и требует больших ресурсов по памяти, позволяет получить решение с хорошей точностью.

Расчёты проведены на кластере НКС-1П ЦКП ССКЦ СО РАН.

Заключение

Создана программа прямого трёхмерного моделирования для зонда с тороидальными катушками. Проведены тестовые расчёты на правильность работы программы. Показана зависимость показаний зонда от эксцентриситета прибора.

Благодарности

Автор выражает признательность коллегам по лаборатории скважшшой геофизики Института нефтегазовой геологии и геофизики им. А.А. Трофимука СО РАН за содержательное обсуждение постановки задачи и благодарит В.Н. Глинских за постоянные консультации, М.Н. Никитеико за предоставленную программу расчёта тороидального зонда в слоистой среде, М.И. Эпова за полезные советы и замечания.

Список литературы

[1] Эпов М.И., Глинских В.Н., Никитенко М.Н. Способ измерения удельной электропроводности и электрической макроанизотропии горных пород. // Патент на изобретение № 2525149. Опубл. 10.08.2014. Бюл. № 22.

[2] Эпов М.И., Еремин В.П., Манштейн А.К., Петров А.П., Глинских В.П. Устройство для измерения удельной электропроводности и электрической макроанизотропии горных пород. // Патент на изобретение № 2528276. Опубл. 10.09.2014. Бюл. № 25

[3] Эпов М.И., Еремин В.П., Петров А.П., Глинских В.П., Суродина И.В., Киселев В.В.,Никитенко М.Н. Устройство для регистрации характеристик электромагнитного поля с использованием тороидальных катушек // Патент на изобретение № 2578774. Заявл. 14.01.2015; опубл.27.03.2016. Бюл. № 9.

[4] Эпов М.И., Еремин В.П., Петров А.П., Глинских В.Н., Суродина И.В., Киселев В.В. Устройство для генерации электромагнитного поля тороидальной катушкой в геологической среде / / Патент на изобретение № 2579177. Заявл. 14.01.2015 г. Опубл. 10.04.2016. Бюл. № 10

[5] Эпов М.И., Еремин В.П., Петров А.П., Глинских В.Н. Электромагнитный зонд для каротажа в нефтегазовых скважинах. // Патент на изобретение № 2583867. Опубл. 10.05.2016. Бюл. № 13

[6] Эпов М.И., Глинских В.Н., Еремин В.Н., Никитенко М.Н., Петров А.Н., Суродина И.В., Михайлов И.В. Математическое и физическое моделирование сигналов электромагнитного зонда для изучения макроанизотропии осадочных отложений [Электронный ресурс] // Геомодель 2017: 19-я конференция по вопросам геологоразведки и разработки месторождений нефти и газа - Геленджик, 11-14 сентября 2017 г. Тезисы докладов. (43809)

[7] Epov M.I., Glinskikh V.N., Eremin V.N., Nikitenko M.N., Petrov A.N., Mikhaylov I.V. Electromagnetic tool for high-resolution logging: theoretical and experimental studies [Электронный ресурс] // SPE Russian Petroleum Technology Conference. Moscow, October 16-18, 2017. Paper SPE-187904-MS

[8] Эпов М.И., Никитенко M. H., Глинских В. П. Математическое обоснование нового электромагнитного зонда с тороидальными катушками для высокоразрешающего каротажа нефтегазовых скважин // Вестн. НГУ. Серия: Информационные технологии. 2018. Т. 16, № 1. С. 113-129.

[9] Суродина И.В. Математическое моделирование сигналов электромагнитного зонда с тороидальными катушками в двумерных изотропных моделях геологических сред. Интерэкспо Геосибирь-2018. Т. 2. № 4. С. 162-170

[10] Светов Б. С. Электродинамические основы квазистационарной геоэлектрики. М.: Изд-во ИЗМИРАН, 1984. 183 с.

[11] Самарский А.А., Андреев В.Б. Разностные методы для эллиптических уравнений - М.: Наука, 1976. — 352 с.

[12] Самарский А.А, Николаев Е.С. Методы решения сеточных уравнений, М.: Наука,1978, 592с.

Суродина Ирина Владимировна — к.ф.-м.н., ст. науч. сотр. Института вычислительной математики и математической геофизики СО РАН;

e-mail: surQommfaol.sscc.ru.

Дата поступления — 5 июня 2019 г.