CC BY
0
Абдураимов Д. Э.
Гулистон давлат университети, «Амалий мтематика ва ахборот
технологиялари» кафедраси катта уцитувчиси
Рахмонов С.К.
Гулистон давлат университеты «Математика» йуналиши 1-босцич талабаси
Ибрагимов Ж.А.
Гулистон давлат университети «Математика» йуналиши 2-боскичталабаси
ТРИГАНОМЕТРИК ТЕНГСИЗЛИКЛАРНИ ВЕКТОРЛАР ЁРДАМИДА ИСБОТЛАШ УСУЛЛАРИ
Аннотация. Математиканинг мууим таркибий цисмларидан бири булган триганометрия соуасида турли хил тенгсизликларни исботлаш мууим ауамият касб этади. Бунда вектор уисоблашлардан фойдаланиш алоуида урин тутади. Мазкур мавзуда талабаларнинг вектор уисоблашлари соуасидаги билимларини мустаукамлаш ва уларни триганометрик тенгсизликларни исботлашда цуллаш куникмаларини ривожлантириш мацсад цилинган. Дастлаб, векторлар орасидаги бурчак ва скаляр купайтма тушунчалари ёритилади. Кейинчалик, вектор уисоблашлар ёрдамида турли хил триганометрик тенгсизликларни цандай исботлаш мумкинлиги урганилади. Мавзу доирасида куплаб аниц мисоллар ечиш орцали вектор методидан фойдаланиш куникмалари шакллантирилади. Ушбу мавзуни чуцур узлаштириш талабаларнинг математик тафаккурини ривожлантириб, уларнинг математика фанини тулицурганишига хизмат цилади. Олинган билим ва куникмалар кейинчалик бошца математик соуаларда цулланилиши мумкин.
Калит сузлар: Вектор, косинус, учбурчак, тенгсизлик, градус, триганометрия, триганометрик тенгсизликлар, вектор уисоблашлар, вектор орасидаги бурчак, скаляр купайтма, математик тафаккур.
Abduraimov Dostonbek senior lecturer
Department of Applied Mathematics and Information Technologies
Gulistan State University Rahmonov S.
1st year student majoring in Mathematics Gulistan State University Ibragimov J.
2nd year student majoring in Mathematics Gulistan State University
METHODS FOR PROVING TRIGANOMETRIC INEQUALITIES
USING VECTORS
Abstract. In the field of trigonometry, which is one of the important components of mathematics, it is important to prove various inequalities. A special place is occupied by the use of vector calculations. This topic is aimed at consolidating students' knowledge in the field of vector calculations and developing skills in using them when proving trigonometric inequalities. First, the concepts of angle between vectors and scalar multiplication are explained. Next, we'll look at how to prove various trigonometric inequalities using vector calculus. Skills in using the vector method are developed by solving many specific examples on the topic. Deep mastery of this topic will contribute to the development of students' mathematical thinking and will contribute to their full study of mathematics. The acquired knowledge and skills can subsequently be applied in other mathematical fields.
Key words: Vector, cosine, triangle, inequality, degrees, trigonometry, trigonometric inequalities, vector calculations, angle between vectors, scalar multiplication, mathematical thinking.
Математиканинг мухим булимларидан бири булган триганометрия сохасида турли хил тенгсизликларни исботлаш жуда мухим хисобланади. Векторлар хисоблашлари ёрдамида триганометрик тенгсизликларни исботлаш алохида ахамият касб этади. Мазкур мавзуда талабаларнинг вектор хисоблашлари сохасидаги билимларини мустахкамлаш ва уларни триганометрик тенгсизликларни исботлашда куллай олиш куникмаларини шакллантириш кузда тутилган.Дастлаб, векторлар орасидаги бурчак ва скаляр купайтма тушунчалари эслатиб утилади. Кейинчалик, вектор хисоблашлар ёрдамида турли хил триганометрик тенгсизликларни исботлаш жараёни урганилади. Бунда талабалар вектор методидан фойдаланиш оркали тенгсизликларни исботлашга доир куникмаларни ривожлантиришади. Мавзу доирасида куплаб аник мисоллар ёрдамида вектор методидан фойдаланган холда тенгсизликларни исботлаш масалалари ечилади.
Ушбу мавзуни пухта узлаштириш талабаларнинг математик тафаккурини ривожлантиришга ва уларнинг математика фанини чукур урганишига хизмат килади. Мавзу давомида олинган билим ва куникмалар кейинчалик математиканинг бошка сохаларида хам самарали кулланилиши мумкин. Шу сабабли, ушбу мавзу математика таълимида алохида урин эгаллайди.
Ихтиёрий АБС учбурчак учун куйидаги тенгсизликни исботланг:
3
cos AA + cos AB + cos AC < —
2
Исбот: AABC учун АЛ + AB + AC = п
Векторлaр оркдли исботлaймиз: Векторлaрни yчбyрчaккa жойлаштириб олайлик.( 1 -раем)
1-расм. Векторлaрни yчбyрчaккa жойлaштириш. I a1 \=\ a2 \=\ a3 \= 1 (яъни бирлик векторлар), Kyйидaги шaрт доимо уринли:
(a + a + a )2 — о
Соддалаштирсак:
I a I +1 a I +1 a I +2(aa+aa + aa ) — о
3 + 2(aa + aa + aa ) — о
Энди шакл оркдлиa1a2, a1a3, a2a3 a-ca3, сс2сс3 ни топамиз.
Векторларни параллел кучирсак:(2-расм)
2-расм.Векторлaрни пaрaллел кучириш.
aa = I a I ' I a I cos(^ - AA) = - cos(AA)
aa = I a I ' I a I cos(^ - AB) = - cos(AB)
aa = I a I ' I a I cos(^ - AC) = - cos(AC) Бyндан кyйидaгини хосил кдтамиз: 3 + 2(- cos( AA) - cos( AB) - cos( AC)) — о 2(cos(AA)+cos( AB)+cos( AC)) < 3
3
cos( AA) + cos( AB) + cos( AC ) < — келтирилгaн мaсaлa исботлaнди.
Хyлосa yрнидa шуни aйтиш жоизки, векторлaр орaсидaги мyносaбaтлaр вa yлaрнинг yзaро хaрaкaти мaтемaтик фaндaги мухим тyшyнчaлaр хисоблaнaди. Бу тyшyнчaлaрни чукур Ургaниб, yлaрдaн
фойдаланиш куникмаларини эгаллаш талабаларнинг математик тафаккурини ривожлантиришга хизмат килади. Мазкур мавзуда триганометрик тенгсизликларни вектор хисоблашлари ёрдамида исботлаш ургатилади. Бу укув материалларини самарали узлаштириш оркали талабалар триганометрия сохасидаги билимларини мустахкамлаб, уларни турли мисоллар ечишда куллай олиш куникмаларига эга буладилар. Олинган билим ва малакалар кейинчалик бошка математик сохаларда кулланилиши мумкин. Бундан ташкари, бу мавзу талабаларнинг математика фанини чукур узлаштиришига хам ёрдам беради.Векторлардан фойдаланган холда триганометрик тенгсизликларни исботлаш мавзуси талабаларнинг математик салохиятини ошириш учун мухим урин тутади.
Фойдаланилган адабиётлар:
1. А.Й.Нарманов. Аналитик геометрия, дарслик, Тошкент 2008-й.
2. С.В.Бахвалов, П.С.Моденов, А.С.Пархоменко. Аналитик геометриядан масалалар туплами,Тошкент-2005.
3. Э.У.Соатов-Олий математика, 3-жилд дарслик, Тошкент, "Узбекистон" 1996-й.
4. Ибрагимов, Ж. (2024). Тригонометрик формулаларнинг лабачевски геометриясидаги урни: Тригонометрик формулаларнинг лабачевски геометриясидаги урни. MODERN PROBLEMS AND PROSPECTS OF APPLIED MATHEMATICS, 1(01). Retrieved from http s://ojs.qarshidu.uz/index .php/mp/article/view/617
5. Рахмонов, С. (2024). Физик масала ва унинг геометрик холатдаги ечими: Физик масала ва унинг геометрик холатдаги ечими. MODERN PROBLEMS AND PROSPECTS OF APPLIED MATHEMATICS, 1(01). Retrieved from http s://ojs.qarshidu.uz/index .php/mp/article/view/616
6. АБДУРАИМОВ, Д. (2023). ТЕРМОЭЛАСТИК ДИНАМИК БОГЛЩ МАСАЛАНИНГ СТЕРЖЕНЬ УЧУН МАТЕМАТИК МОДЕЛИ ВА СОНЛИ ЕЧИМИ. Journal of Experimental Studies, 1(1), 3-7.
7. Нафасов ГА, Абдураимов ДЭ, and Н. М. Усмонов. "ТРАНСВЕРСАЛ ИЗОТРОП ЖИСМ УЧУН ИККИ УЛЧОВЛИ ТЕРМОЭЛАСТИК БОГЛЩ МАСАЛАНИ СОНЛИ МОДЕЛЛАШТИРИШ ВА УНИНГ ДАСТУРИЙ ТАЪМИНОТИ." КарДУ ХАБ: 13.
8. Абдураимов, Д. Э. (2023). ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАДАЧИ ТЕРМОУПРУГОГО СОЕДИНЕНИЯ ИЗОТРОПНОГО ПАРАЛИПИПЕДА И ЕЕ ПРОГРАММНОЕ ОБЕСПЕЧЕНИЕ. Экономика и социум, (6-1 (109)), 567-573.
9. Seytov, A., Abdurakhmanov, O., Kakhkhorov, A., Karimov, D., & Abduraimov, D. (2024). Modeling of two-dimensional unsteady water of movement in open channels. In E3S Web of Conferences (Vol. 486, p. 01023). EDP Sciences.
10. Mamatov, A., Bakhramov, S., Abdurakhmonov, O., & Abduraimov, D. (2023, October). Mathematical model for calculating the temperature of cotton in
a direct-flow drying drum. In AIP Conference Proceedings (Vol. 2746, No. 1). AIP Publishing.
