CC BY
125
Триангуляция — проблемы расчета
Получены алгоритмы оценки координат объектов, заданных линиями положения, приводятся оценки вычислительной сложности алгоритмов и формула для вычисления вероятности правильной классификации пеленгов. Основные проблемы использования метода триангуляции в практических задачах возникают в тех случаях, когда приходится оценивать координаты большого количества объектов, наблюдаемых одновременно с разных приемных пунктов. Ограничение количества пунктов наблюдения до двух или до трех нежелательно, поскольку может привести к потере исходной информации, а, кроме того, не всегда позволяет добиться поставленной цели —упрощения задачи определения истинных координат контрастных объектов, например, при наличии ошибок измерения. Если каждый объект задан несколькими линиями положения, то идентификация осуществляется путем выбора наиболее "близкого" (в терминах заданного критерия качества) из них, отвечающего рассматриваемому набору линий положения. Типовая ситуация — когда одному объекту на каждом пункте приема соответствует единственный признак — одна линия положения, а возможность сопоставления других признаков отсутствует. Такая задача возникает при наблюдении удаленных радиоконтрастных объектов, находящихся под малыми углами возвышения, например, в сетях связи. Существо задачи не изменится, если полагать, что на каждом пункте наблюдения Ключные аюва-. тртуляция измеряется направление на контрастные объекты, которые находятся на плоскости, и линии положения
кпассификация ^е^ов, прямые. Если количество лоцируемых объектов больше одного, то для однозначного решения задачи
метод "косо° проектирования". необходимо иметь не менее трех пеленгов на каждый объект.
Егоров В.В.,
к.т.н., старший научный сотрудник ГосНИИ АС, г. Москва, v-sphinks@yandex.ru
При наличии «к» объектов, «м» пунктов наблюдения и неточно измеряемых направлениях на них общее число точек попарного пересечения пеленгов (линий положения) не больше [(1/2)ш(от-1))]Ал Среди указанного числа точек пересечения естественно искать центры группирования, отвечающие вероятному местонахождению пеленгуемых объектов, т.е. использовать указанный признак в качестве критерия идентификации: на плоскости среди [(1/2)от(ш-1 ))]^Г") точек выбрать К центров группирования (1/2)ти(»?-1)) точек. Поиск указанных центров группирования, эквивалентный решению задачи классификации, является наиболее трудоемким.
Задача определения координат объектов, заданных линиями положения, является актуальной и в локации [1]
— [3], и в связи [4], в оптике [5] и акустике [6].
Для оценки числа операций, необходимых при решении задачи, можно воспользоваться следующими соображениями. Если в /-м пункте приема наблюдаются К пеленгов, причем заранее неизвестно, какому объекту принадлежит наблюдаемый пеленг, то для анализа доступна матрица тхК элемент которой, находящийся на пересечении /-й строки и у'-го столбца, равен значению 7-го пеленга /-го пункта наблюдения.. Функционал вида * - * р] = пнп£(г5 -гя) (П
г'’г- (=[
где: Рх — оценка положения \-го объекта; гх, — проекции г,
на линию я, - пеленга, наблюдаемого с /-го пункта приема в направлении л-го объекта, является основой для одновременной идентификации и оценки координат. Проблема состоит в том, что эта задача (поиск минимума
функционала 1) имеет экспоненциальную сложность [7]. Подсчет числа операций, необходимых для поиска первых К наименьших р оценивается значением
(]^|ЛГ _АГ)АГ + Р[ЛГ. > где П “ значок произведения,
1-1 <1
к. - число пеленгов, наблюдаемых с /-го пункта. %
1=1
- число операций, необходимых для реализации полного перебора пеленгов; остальные операции связаны с упорядочением получаемого набора значений критерия отбора. На практике число вычислительных процедур может оказаться недопустимо большим, поэтому, наряду с критерием идентификации, полезно рассмотреть альтернативные критерии, позволяющие уменьшить число операций, или трудоемкость вычисления критерия, или то и другое вместе. Нели задачу классификации попытаться решить на основании критерия группирования точек пересечения линий положения, то алгоритм формирования указанных областей состоит в следующем: вычисляются координаты точек пересечения и формируется четырехмерный массив чисел Г(у)(1.о, где / и / — номера пунктов наблюдения; у и / — номера пеленгов на каждом пункте; / = 1,2,3, т; j = 1,2,3, К,; гаца,,) - координаты точки пересечения. После этого точки упорядочиваются по координатам хну (создаётся еще два массива). Затем алгоритм формирования областей фуппирования можно представить по-разному, в зависимости от выбора конфигурации области. Это могут быть: окружность наименьшего радиуса, охватывающая отобранные точки, наименьший выпуклый многоугольник, включающий те же точки, наименьший прямоугольник со сторонами, параллельными выбранным осям координат. Для каждой из групп точек выделяются названные области, которые затем упорядочиваются по мере возрастания наибольшей диагонали выпуклой фигуры (для окружности - это диаметр). Анализ алгоритма формирования областей груп-
пирования по первым двум правилам показывает, что хотя задача поиска экстремума в указашплх условиях является задачей, имеющей полиномиальную сложность, использовать это преимущество для поиска истинных пеленгов сложно. Действительно, в первом случае необходимо:
- упорядочить точки пересечения (массив из Т=т(ш-1 )(К2-1) чисел);
- вычислить матрицу взаимных расстояний р5 (между 5-й и /:й точками пересечения, полагая в
дальнейшем, что индекс 5 пробегает строки, а/— столбцы матрицы р (создается массив из Я — (1/4)Д 7'-2) чисел);
- упорядочить по возрастанию р каждый столбец матрицы (массив из Я чисел);
- выбрать первую подходящую область группирования по минимальному значению расстояния до /гт(т-1) точки, отстоящей от искомой;
- определить точки, попавшие в сформированную область по нумерации исходного массива;
- удалить из матрицы взаимных расстояний все столбцы и строки, отвечающие выбранным точкам;
- удалить те же элементы из матрицы с упорядоченными значениями расстояний;
- выбрать вторую подходящую область группирования и так далее, до выбора К областей.
Уже для десяти линий положений на каждом пункте приема и четырех приемных пунктах число операций, необходимое для выбора первой подходящей области труппирования, оценивается значениями: 106 трудоемких операций (вычисление взаимных расстояний); 108 операций сравнения. При этом необходимо предусмотреть возможность хранения 106 значений элементов матрицы взаимных расстояний и матрицы перехода от матрицы взаимных расстояний к матрице с упорядоченными значениями элементов столбцов — 106 значений.
Таким же числом трудоемких операций оценивается и алгоритм, реализующий критерий (1), по в отличие от рассмотренного он требует только 108 операций типа упорядочения.
Как следует из приведенного примера, критерий группирования, основанный на сравнении взаимных расстояний, оказывается неэффективным (трудоемким), чтобы использоваться в практических задачах.
При выборе наименьшего выпуклого многоугольника, возникают трудности, связанные с определением того, какие точки являются крайними, и определением максимальной диагонали.
Выбор наименьшего прямоугольника, включающего \12т{т-\) точек, требует реализации операции упорядочения точек пересечения пеленгов. Ее удобно производить по каждой координате х и у отдельно. При этом возникают два массива точек. Чтобы избежать выполнения трудоемких операций типа возведения в квадрат и вычисления квадратного корня, полезно по-новому определить, расстояние между точками л- и/, полагая, что
К/ — |х» — х/| + \Уя - У/1, где |г| — модуль числа г.
В соответствие с изложенными критериями с каждой точкой пересечения пеленгов связывается прямоугольник, включающий указаш1ую точку в свою нижнюю по .г границу, затем определяются ближайшие х/тт(т-1) точек
(по критерию V) и вокруг них восстанавливаются три стороны прямоугольника (крайние точки имеют минимальные (максимальные) координаты по х и у).
После этого запоминаются значения координат "минимальной" и "максимальной" точек прямоугольника, которые мажорируются (мажорируют) всеми точками, включенными в прямоугольник, и V между мажорантой и минорантой. Указанная процедура применяется для каждой точки в следующем порядке: после точек, дня которых уже были выбраны длина диагонали и мажоранта с минорантой, следующей будет точка, мажорирующая предыдущие по координате^. Если имеется более одной точки с одинаковой координатой у, то сначала выбирается точка с минимальной координатой х Таким образом, перебираются все точки за число шагов, не большее, чем А^(1/2)т(т-1 )(/Г“-1) причем на каждом шаге выполняется не более М операций типа сложения, и фиксируется массив из чисел: 5М: мажоранта — 2М, миноранта — 2М. расстояние V между ними (диагональ) — М значений. Затем выбирается и запоминается минимальное значение V (на это тратится М-1 операций). Далее определяется минимальное значение V для прямоугольников, у которых координаты х или у миноранты (мажоранты) больше (меньше) соответствующих координат мажоранты (миноранты) выбрашюго прямоугольника, а прямоугольники, пересекающиеся с выбранным, исключаются из рассмотрения - не более М-2 операций. Поскольку оставшиеся прямоугольники не пересекаются с первым, то при выборе третьей подходящей области группирования проверяются условия: минимум V и отсутствие пересечения со вторым выбранным прямоугольником, отвечающим второй подходящей области группирования, Процедура применяется до выбора К областей, образованных пересечениями пеленгов, соответствующих "истинным" положениям объектив. Таким образом, число операций (типа сложения и сравнения), необходимое для решения задачи классификации точек, определяется значением
О < М(М +1) + -М(М-2) + -(2М -К-\)К
Здесь М- трудоемкие операции (вычисление координат точек пересечения); количество необходимых ячеек памяти где для заданных т пунктов наблюдения и К
объектов число М<—т(т-\)К2- Можно отметить, что
предварительное упорядочение точек пересечения пеленгов по координатам х и у позволяет, во-первых, задать правило обхода точек, выделить миноранты и мажоранты, не рассматривать пересекающиеся прямоугольные области, во-вторых, для сокращения числа операций выбора ближайших точек отобрать только те точки, расстояние до которых заведомо меньше заданного (определяемого, например, допустимой ошибкой фиксации пеленга).
Как правило, в практических задачах представляют интерес только те ситуации, в которых направления на объекты измеряются точнее, чем минимальное (угловое) расстояние между ними. По крайней мере, только в этом случае измерения считаются достоверными и можно обоснованно ставить задачу классификации. Но тогда в качестве первого приближения следует видоизменить критерий V, полагая, что в области наибольшей концентрации точек, отвечающей пеленгуемому объекту, наибольшая плотность пересечения линий положения.
Алгоритм классификации в этом случае предполагает такую последовательность операций: выделяется пункт приема с наибольшим числом пеленгов и среди них выбирается один (наугад); затем вычисляются координаты пересечешш этого выбрашюго пеленга с пелеигами других постов наблюдения. Точки пересечешш упорядочиваются, например, по величине расстояния от выделенного пункта наблюдения, а затем определяется (на прямой) область, включающая т-1 точку пересечешш и имеющая наименьшую длину. Точек на выделенной
т
прямой всего м = ^ к где К, — число пеленгов на г'-м
пункте приема. Поэтому общее число операций, необходимое для определения местоположения указанной области, не превышает М трудоемких операций, М—т
операций типа сложения и -~М(М + \) операций
сравнения. Классификация и поиск остальных целей производятся по той же схеме, при соответствующем назначении пеленга выбранного пункта наблюдения. Общее количество операций оценивается сверху
величиной А/(А/ +1) — К +1 ^ из них только
2
-[М — (К-\)\К трудоемких, связанных с вычислением
координат точек на прямой Для сопоставления критерия (1) и критерия типа V можно воспользоваться следующими правдоподобными рассуждениями. Пусть имеется искомый конгломерат точек, выделенный критерием (1), тогда внутри наименьшего выпуклого множества, содержащего указанные точки, не содержится точек того же вида, не относящихся к выделенному, конгломерату. Если это не так хотя бы для одной точки, то, используя условие: число точек в конгломерате фиксировано, можно заменить крайнюю точку на рассматриваемую. После этого наименьшее выпуклое множество, содержащее новый конгломерат, присутствует в исходном. Значит, при таком убывании критерия V значение критерия (1) возрасти не может и для однородных наборов точек следует ожидать, что мганшальный набор по критерию V будет минимальным и по критерию (1). Для прямоугольных областей приведенное рассуждение также справедливо. При использовании критерия, минимизирующего области концентрации точек пересечения пеленгов с выбранным пеленгом, имеется возможность ранжирования объектов по направлениям. При этом возникают потери, обусловленные тем, что при косом проектировании происходит непропорциональное смешение изображений точек пересечения. Как следует из приведенных оценок, количество операций имеет тот же порядок, что и при использовании критерия V.
Таким образом, при большом числе целей и пунктов наблюдения в задачах триангуляции классификацию объектов (сопоставление пеленгов объектам) целесообразно производить по критерию труштирования точек пересечения линий положения.
При решении задачи классификации полезно иметь критерий качества решаемой задачи, позволяющий оценить, например, вероятности ошибок первого и второго рода. Наиболее простую запись для названных вероятностей можно получить в задачах классификации областей
группирования точек на выделенном пеленте. Далее приводится выражение для вычисления вероятности попадания заданного числа точек в выделяшую область па прямой (линии положения). Для простоты анализа закон распределения ошибок измерешш пелешов аппроксимируется нормальным. Кроме того, измерения пеленгов полагаются независимыми. Ошибки измерений считаются малыми, помимо того, полагается, что справедлива аппроксимация распределения, описывающего положение точек пересечения на выделенном пеленге, нормальным законом. Кроме искомых т — 1 точек на прямой (выделенном пеленге) находятся еще (М(К-1) - (М-1) точек (где М— общее число пелетнов) — проекций на выделенный пеленг линий положения, направленных на К-1 объект из остальных пунктов наблюдения. Вероятность попадания в интервал [1,,12) т - 1 точки оказывается равной
N
/?,/!,[»-Ч = П ^'ь'2) Xго "
/—1 Т<5, < Л'; <Л\ <_, <N
где N = М-(ЛГ-1) точки пересечения на выделенной линии положения; /|(л,/2) — вероятность непопадания в отрезок [>/,ь] точки с индексом /; /> определяется
аналогично
Иногда выражение для вероя тности полезно записать в форме, позволяющей учесть пеленги, которые пересекаются (не пересекаются) с отрезком [0,0]- В этом случае оно преобразуется к виду
//1-1 ____ V ___ V
X П X (ПГК‘>
м 1=1 Л+/3+У1+...+У, -»и .V-! К/,<к 194 уЧ
где индекс V фиксирует количество пунктов наблюдения, пеленги которых пересекают отрезок |7/, /г]; I < /] < г2 ^ г‘з ^ /4... 21у определяет эти пункты среди всех; / количество пеленгов ; пункта наблюдения, попадающих в рассматриваемую область;
1 </| </2 </3 </4 </5...</} <к выделяет эти пеленги с
/ -го пункта.
При анализе выражений для вероятностей полезно выделить информацию о распределении вероятности правильной классификации. Пусть отрезок [//,/?] равен [-Л, +Л\, где начало координат полагается совпадающим с положением (проекцией) истинной цели. Кроме того, все 5|,52—£т-1 принадлежат разным пунктам наблюдения и относятся к пеленгам, отвечающим данной цели, или в терминах, используемых для записи формулы (2) выше, в сумме выделяются слагаемые с V — т—1 и /,
индицирующие правильный пеленг. В этом случае, на основании формулы (2)
Р.^М-Х] = П Л
1=1
где Р. (/1, ) - вероятность пересечения правильного
пеленга, отвечающего рассматриваемой цели /-го пункта наблюдения с отрезком [7/,Г>1
Вероятность правильной классификации объекга можно оценить выражением
/>.4.+д[т-1]=П|1-2Ф(-^-)|
/=1 ~(7<
Ж
т
Здесь Ф - функция ошибок, <7,- — дисперсия ошибки определения пересечения пеленга с /-го пункта наблюдения. С отрезком |/,,Ь|.
Эта формула полезна при оценке вероятности правильной классификации. В данном случае интервал, на котором группируются т-1 точек, сравнивается с интервалом [— А ,+ А ]. А А определяется из соотношения:
р- д .+ д [т - 11 = 1 - Р
где Р заданная вероятность пропуска (неправильной классификации) цели. Конечно, /? меньше вероятности правильной классификации, и объект считается обнаруженным, если длина интервала, занимаемого выделенными т-1 точками, меньше 2 Д .
Анализ задачи классификации целей, заданных пересечением линий положения, показал, что при большом числе лоцируемых объектов и пунктов наблюдения целесообразно решать ее на основе критерия группирования точек пересечения линий положения. При этом для уменьшения числа операций целесообразно сузить область взаимной концентрации точек, образованных пересечениями пеленгов, значением интервала, определяемого допустимой ошибкой ложной тревоги.
Заключение
При определении координат объектов, заданных линиями положения, идентификация которых реализуется путем выбора наиболее «близкого» (в терминах заданного критерия качества) объекта, отвечающего рассматриваемому набору линий положения, задача одновременной идентификации и измерения координат объектов является экспоненциально сложной.
Сложность задачи можно понизить до линейной, если вместо ортогональной проекции использовать косое проектирование. Точность определения координат снижается не больше, чем в полтора раза (конкретно зависит от геометрии задачи), а быстродействие и необходимые вычислительные ресурсы могут быть снижены в десятки и сотни раз (зависит от числа объектов и числа пунктов наблюдения).
Предложенный метод «косого проектирования» может применяться на этапе предварительной идентификации объектов и предварительного измерения параметров последних. Дополняя его точным определением координат выделенных методом «косого проектирования» объектов, можно решить рассматриваемую задачу, используя алгоритмы, имеющие линейную сложность.
Аналогичные проблемы возникают в других типах многопозиционных систем [8 11], только линии положения уже не являются прямыми. Тем не менее, существо задачи идентификации и методы ее решения остаются схожими.
Литература
1. Lloyd P.G. Location system. Заявка 2329777 Великобритания. МПК ft G 01 S 5/14. Rokc Manor Research Ltd. N 98006000; Заявл. 14.01.1998; Опубл. 31.03.1999.
2. Безяев B.C. Способ триангуляции целей. Пат. 2423720 Россия, МПК G01S 5/00 (2006.01). Рубин. N 2010107511/09; Заявл. 01.03.2010; Опубл. 10.07.201 I.
3. Бабушкин А.К., Захаров Н.П., Турчанинов, А.В.. Королев А.Ф. Локализация источников радиоизлучения в средах с многолучевым распространением радиоволн на основе корреляционных измерений // Сборник докладов III Всероссийской конференции «Радиолокация и радиосвязь». - М.: Издательство ИРЭ им. В.Л. Котельникова, 2009. — С. 616-619.
4. Miezitis Gundars, Taranovs Romans. Слежение за объектами в беспроводных сенсорных сетях: обзор. Objekta izsckosana Bezvadu Sensoru Tiklos: Parskats. RTU Zinatniskie Raksti. Ser. 5.
2010, N42, pp. 45-52.
5. McKeon Robert Т., Flynn Patrick J. Формирование трехмерных изображений лица, используя статический световой экран (SLS), при динамическом субъекте. Three-dimensional facial imaging using a static light screen (SLS) and a dynamic subject. IEEE Trans. Instrum, and Meas, 2010. 59, No4, pp. 774-783.
6. Асадов Х.Г., Абдуллаев НА., Абдулов Р.Н., Гараев В.М. Частотно-триангуляционный метод локации источников звука. Контроль. Диагност.. 2011, N 5, с. 48-51.
7. Грэй М, Джонсон Д. Вычислительные машины и трудно-рсшасмыс задачи. - М.: Мир, 1982.
8. Кондратьев B.C., Котов А.Ф., Маркова Л.Н. Многопозиционные радиотехнические системы / Под ред. В.В. Цветнова. -М.: Наука, 1973.
9. Анциперов В.Е. Новый метод оценки корреляционных функций в задачах обнаружения и обработки радиолокационных и связных сигналов // Сборник докладов III Всероссийской конференции «Радиолокация и радиосвязь». — М.: Издательство ИРЭ им. В.А. Котельникова, 2009. - С. 887-891.
10. Канаков В.А., Горда В.В. Модификация корреляционного метода позиционирования источников сигналов с большой базой системой пассивных датчиков // Датчики и системы. 2009. -№ 11. С. 28.
11. Канаков В.А., Горда В.В. Многомерная корреляционная обработка широкополосных шумовых сигналов // Радиофизика. Всстник Нижегородского университета им. НИ. Лобачевского,
2011.-№3(1).-С. 78-83.
Triangulation — problems of calculating
Egorov V.V., phD of technical since, GosNIIAS, Moscow, v-sphinks@yandex.ru
Abstract. Here is obtained an algorithm to estimate coordinates of objects which are determined by lines of direction, necessary computational resources for the algorithm performance are being estimated and a formula is proposed to calculate of a probability of correct classification of a target direction. The main problems of the triangulation method implementation arise in case of the multiple objects coordinates evaluation from different receivers Restriction of number of the receivers leads to primary information losses, so it is undesirable. Moreover, in some cases the main task - to reduce the complexity of the contrast objects real coordinates determination — would not be solved (e.g. measurement errors). If every object is determined by several lines of direction the closest to the adopted criterion is to be identified. The case of one line of direction associated to one object and no other feature can be used to compare the objects is typical. This case corresponds to the distant radio contrast objects at low angle of sight, e.g. telecommunication networks. It would not change the matter of the task to assume that the lines of direction are straight and the objects lie in the same plain. Several objects locating requires not less than 3 lines of direction to each object.
References
1. Lloyd RG. Location system. 2329777, GB, G 01 S 5/14. Roke Manor Research Ltd. N 98006000; Claim. 14.01.1998; Publ. 31.03.1999.
2. Bezyaev V.S. Target triangulation. Pat. 2423720 Russia.
3. Babushkin A.K., Zakharov N.P, TurchaninovAV, KorolevA.F. Radio sources location in multipath media on the correlation basis / Radiolokazia I Radiosvyaz1 III Conference materials, Moscow, IRE RAN, 2009. Pp. 616-619.
4. Miezitis Gundars, Taranovs Romans. Objekta izsekosana Bezvadu Sensoru Tiklos: Parskats. RTU Zinatniskie Raksti. Ser. 5. 2010, No42, pp. 45-52.
5. McKeon Robert T, Flynn Patrick J. Three-dimensional facial imaging using a static light screen (SLS) and a dynamic subject. IEEE Trans. Instrum. and Meas.. 2010. 59, No4, pp. 774-783.
6. Asadov Kh., Abdullaev NA, Abdulov R.N., GaraevV.M. Frequency — triangulation acoustic sources location method / Kontrol1. Diagnostika. 2011, No5, pp. 48-51.
7. Grey M, Johnson D. Computers and complex problems. Moscow. 1982. 416 p.
8. KondrafevVS., Kotov AF, Markov L.N. Multiposition radiotechnic systems /red VV Tsvetnov. Moscow. Radio&Svyiaz1, 1986. 264 p.
9. Achiferov V.E. A new method of correlation functions estimation in detector & processing problems of radio and connection signals / Radiolokazia I Radiosvyaz' III Conference materials, Moscow, IRE RAN 2009. pp. 887-891.
10. KanakovVA, Gorda VV The modification of a correlation method of source location with large base by a system of passive sensors / Sensors&Systems (Datchiky I Sistemy).2009. p.28.
11. KanakovVA., Gorda VV. Multidimensional correlation processing of wideband noise signals. Radiofizika Vestnik Nijegorodskogo Universiteta im. N.I. Lobatchevskogo. 2011, No3 (1), pp. 78-83.
