CC BY
18
ДИНАМИКА ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ КОМПЛЕКСОВ
И СИСТЕМ
УДК 621.3.013:519.6
ТРЕХМЕРНЫЙ ЭЛЕМЕНТ "ГИПЕР-КУБ" И АЛГОРИТМ ФОРМИРОВАНИЯ КОЭФФИЦИЕНТОВ ГЛОБАЛЬНОЙ СЛАУ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ПРИ РАСЧЕТАХ МАГНИТНЫХ ПОЛЕЙ
ЭЛЕКТРОТЕХНИЧЕСКИХ УСТРОЙСТВ
THREE-DIMENSIONAL ELEMENT "HYPER-CUB" AND ALGORITHM FOR FORMING THE COEFFICIENTS OF THE GLOBAL SLAE OF THE FINITE ELEMENT METHOD AT CALCULATIONS OF MAGNETIC FIELDS OF ELECTRICAL ENGINEERING DEVICES
Е. Г. Андреева1 , Д. В. Колмогоров2 , С. В. Гулин3
'Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия
2ООО «УЛЬТРА-ОМСК», г. Омск, Россия 3Югорский государственный университет, г. Ханты-Мансийск, Россия
E. G. Andreeva1, D. V. Kolmogorov2, S. V. Gulin3
'Omsk State Technical University, "Electrical Equipment" Department, Omsk, Russian Federation 2OOO "ULTRA-OMSK", Omsk, Russian Federation 3Yugra State University, Khanty-Mansiysk, Russian Federation
Аннотация. Работа посвящена расчету трехмерных магнитостатических полей электротехнических устройств неподвижных или с линейной траекторией движения различного функционального назначения методом конечных элементов с помощью регулярной сети конечных элементов. Цель работы: создание алгоритма формирования коэффициентов глобальной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) метода конечных элементов на основе трехмерного конечного элемента «гипер-куб» при решении магнитостатических задач для получения инженерных методик. Предмет исследования: магнито-статические трехмерные векторные модели электромагнитных процессов электротехнических устройств, электротехнических и электромеханических систем и методика их расчета. Задачи: построение трехмерных элементов типа «куб» и «гипер-куб», получение рекуррентных соотношений для коэффициентов глобальной СЛАУ. Методы исследования: численные расчеты на основе проекционно-сеточного метода Галеркина в сочетании с методом конечных элементов. Результаты: предложен трехмерный элемент типа «куб и» и «гипер-куб» для трехмерной регулярной триангуляционной сети метода конечных элементов, а также выведены рекуррентные соотношения для коэффициентов глобальной СЛАУ при разработке инженерных методик расчета магнитостатических полей и их силовых характеристик в электротехнических устройствах с минимальными затратами динамической памяти компьютера.
Ключевые слова: векторный магнитный потенциал или вектор-потенциал магнитного поля, электротехническое устройство, численный проекционно-сеточный метод, трехмерный конечный элемент, метод конечных элементов (МКЭ), базисная функция.
DOI: 10.25206/2310-9793-2018-6-3-3-8
I. Введение
Численное моделирование магнитного поля и его силовых характеристик электротехнических устройств неподвижных или с линейной траекторией движения различного функционального назначения проводится с помощью двухмерных (плоских или декартовых), осесимметричных, трехмерных численных полевых моделей на основе уравнений Максвелла [1]. Расчеты статических, квазистационарных и квазипеременных векторных моделей электромагнитных процессов электротехнических устройств (ЭУ) [2] проводятся с использованием про-екционно-сеточных методов [3], а именно, метода конечных элементов (МКЭ) [4]. МКЭ использован в таких программных продуктах, как ANSYS [5] и ELCUT [6] (профессиональные версии), COMSOL Multiphysics [7]. Появление корпоративных универсальных программных средств, разрабатываемых не всегда специалистами в данной производственной сфере и в определенных разделах математической физики, усложняет их инженерное усвоение и внедрение в производство. Этап численного имитационного моделирования ЭУ на основе метода конечных элементов при их исследовании и проектировании предлагается сократить и удешевить изменением процесса построения глобальной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) из систем элементных
уравнений. Данная работа рассматривается как продолжение реализации идеи, рассмотренной в работах [8], относительно плоских 2D-моделей и 3D-моделей [9] расчета магнитных задач электротехнических устройств.
II. Постановка задачи. Трехмерная задача магнитостатики для электротехнических устройств
Задачи магнитостатики исследовании электромагнитных процессов ЭУ описываются эллиптическим уравнением Лапласа-Пуассона. В декартовой системе координат уравнение имеет вид:
V2Л(х,у,2) = й(х,у,2) , (1)
где Л(х,у,2) - вектор-потенциал магнитного поля (магнитный векторный потенциал), (х,у,2) (V - область моделирования), й(х,у,г) - правая часть, определяемая распределенной токовой нагрузкой. Кроме того, при решении задач магнитостатики на границе Г модели электротехнического устройства задаются однородные граничные либо первого рода А(х,у^) = 0, либо второго рода дА(х,у,г)/ дп = 0, п - нормаль к границе Г. Выражение (1) в декартовой системе координат (ДСК) для электромагнитных процессов будет иметь вид [1, 2]:
1 (д2А 52л д2Л Л - .„.
* ((+Г' (2)
где цг - относительная магнитная проницаемость материала модели, А - вектор-потенциал магнитного поля, ц0 - магнитная постоянная, ' - вектор плотности тока. Векторное уравнение (2) представляется тремя скалярными уравнениями относительно проекций вектор-потенциала Л(х,у,2) на оси ДСК (х, у, 2):
1 (д2Л„ д2А д2 А Л
= -МоЛ; (3)
2 2 2
1
йт2 ' dy2 ' dy2 j
d2A d2A d2A )
y + / + y
dx2 dy2 dy2 J
(d2A d2A -- +-- -+d 2 A
= -ЦоЛ; (4)
1 dx dy ду
Решение уравнений (3)-(5), как правило, проводится численными методами, учитывая сложную геометрию и разнообразие магнитных свойств материалов исследуемого электротехнического устройства.
III. Решение трехмерной задачи магнитостатики для электротехнических устройств методом конечных
элементов с помощью конечного элемента «Гипер-куб»
Для решения уравнений (3), (4) и (5) используется проекционно-сеточный метод [3] или метод невязок (метод Галёркина) в сочетании с методом конечных элементов (МКЭ). Суть метода состоит в нахождении аппроксимация функций Ax(x,y,z) , Ay(x,y,z) и Az(x,y,z) значениями базисной функции (БФ) внутри ограниченного объёма - трехмерного конечного элемента (КЭ), на которые разбивается весь объём моделирования (рис. 1а, б). Объемная область моделирования магнитостатического поля разбивается трехмерной регулярной сетью на основе трехмерного конечного конечного элемента типа «параллелепипед», у которого все стороны равны по длине, ширине и высоте - это элемент типа «куб» (рис. 1а).
Разбиение области моделирования на КЭ по своему виду может быть регулярным и нерегулярным. При регулярном разбиении структура связей каждого КЭ с соседними КЭ является постоянной. Использование регулярного разбиения позволяет получить несколько преимуществ: упростить процесс разбиения трёхмерной области моделирования на КЭ, сделать этот процесс полностью автоматическим, упростить структуру данных для хранения параметров КЭ в памяти компьютера, за счёт этого существенно повысить скорость формирования системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) для решения уравнения (3), (4) и (5) по МКЭ, уменьшить ресурсоёмкость алгоритма [8, 9]. Использование элемента «гипер-куб», состоящего из восьми элементов типа «куб» и 27 узлов, позволяет получить рекуррентные выражения для коэффициентов глобальной СЛАУ метода конечных элементов, минуя этап составления восьми элементных уравнений для элементов «куб», а переходя сразу к уравнению глобальной СЛАУ для центрального узла элемента «гипер-куб» - y 111 (рис. 1б).
у002-
По (0,0,№)
Пр (Нх,0,Н2
П1
(Нх,0,0)
Пк
(Нх,Ну,0)
а)
б)
у022
у021
у020
Рис. 1. Трёхмерная регулярная сеть и трёхмерные элементы типа «параллелепипед» или «куб»: а) трехмерный элемент типа «куб»; б) элемент «гипер-куб» из 27 узлов
В методе Галёркина решение задачи находится, исходя из условия ортогональности невязки ЦА) - / к базисной функции Nа(х,у,2) по области моделирования:
¡(ЦА)-/)М^¥ = 0. (6)
г
где А - приближенное решение дифференциального уравнения ЦА) = /. Л „ - базисная функция. Согласно (6) относительно Ах (для. I, и. I_ и преобразования аналогичны) можно записать:
г 1 ( д2Аг д2Аг д2Ах
Л
NdV = 0 .
у ц I дх ду1 ду1
В итоге преобразования Галёркина уравнения Пуассона (7) приводят к системе интегральных уравнений:
( д-
г=1 I у Ц
2 Л
& А] ^
+ =0 - Л = Г.
(7)
(8)
дх ду д2
где г - номер КЭ, Р - общее количество КЭ, на которые разбивается область моделирования; Уг - объём элемента г, [Мт ] - базисная функция конечного элемента г, А - проекция вектор-потенциала магнитного поля на ось г/ = (х, у, 2), у = ]ц(х,у,г) - проекция вектора плотности тока на ось. Приближенное решение на элементе г по МКЭ [4]:
где [Ми ] г - матрица-строка базисных функций, {А | - матрица-столбец значений вектор-потенциала в узлах расчетной сети.
Базисная функция для узла КЭ находятся из условия: Ит = 1 в узле т, в других узлах Мт = 0. После преобразований (8) получим:
1I1
=1 I ММ
Гд[ Мт ]Г д[ Мт ]г | д[ Мт £ д[ ^ ] ^ д[ ^ £ д[ ^ ] ^
дх дх ду ду д2 д2
{А } dV-Мо\Уг [ Мт %<1Г = О1
Для элемента г типа «куб», содержащего 8 узлов: I, ], к, I, т, п, о, р (рис. 1, а) можно записать [9]:
у
i i 11
3N, 3N! 3N!
дх ду 3Z
3N! 3N,
дх ду 3Z
3N 3N,
дх ду 3Z
д^ д^ д^
дх ду 3Z
3N„ дN„
дх ду 3Z
3Np 3Np 3Np
дх ду 3Z
3N.
дх ду 3z
3N,
дх ду 3z
" 3N1 dNj dNt dNk dN0 dNp dNm дЫп
дх дх дх дх дх дх дх дх
dN dNj д^ 3Nk 3No др 8Nm 3N„
ду ду ду ду ду ду ду ду
8N 3Nj д^ 3Nk 8No др 8Nm 3N„
3z 3Z 3Z 3Z 3Z 3Z 3Z 3Z
dxdydz ■
A A " n N
A N
A A "x "у К ^ jjiJr N N dxdydz
ap A A np N N
(9)
или
К ку К
j j j—[B]r dxdydz ■ 0 0 0 H>
A " Ni
A N
A N
A A К hy К • = ^0 jjjZr 000 N Np
A p N p
A N
A . N..
dxdydz ,
(10)
где элементная матрица [В^ имеет размер 8х8 (64 элемента). Матрица коэффициентов элементной СЛАУ вы глядит следующим образом:
ккк л
[К 1=Ш — [ В]Г<Щ*Ь .
(11)
В результате объединения матриц [К ] для отдельных КЭ, получаем ленточную матрицу глобальной СЛАУ. Результирующая матрица имеет разреженный характер, имеет нулевые элементы (табл. 1).
0 0 0 г r
IV. Алгоритм формирования коэффициентов глобальной СЛАУ метода конечных элементов
При подстановке в (9) конкретных базисных функций, вывод коэффициентов [K]r представляет собой сложную и рутинную задачу. Базисные функции для КЭ типа параллелепипед (рис. 2) будут иметь вид [10]:
N = "х - х "у ~ у К ~ Z . N - "х - х Z "z ~ z ■ N = К ~ у х "Z ~ Z . n - х у "Z - Z . ' "х К hz ' 1 "х "у К ' l "у "х hz ' k "х "у hz '
Na = Кх-х Z ; Np = ^^ Z ; Nm = Ш ; Nn = И . " " " " " " " " " " " "
"х "у "z "х "у "z "х "у "z "х 'у "z
Поэтому для ускорения получения решения и исключения ошибок в преобразованиях для вывода коэффициентов элементной СЛАУ использовался математический пакет Maple [11] . Была разработана программа на встроенном языке описания формул. Программа для вывода коэффициентов СЛАУ типа параллелепипед («куб»), содержащего 8 узлов (рис. 2), в Maple выглядит следующим образом:
1. > with(LinearAlgebra):
2. Ni:=(hx-x)/hx*(hy-y)/hy*(hz-z)/hz;
3. Nj :=(hx-x)/hx*(y)/hy*(hz-z)/hz;
4. Nl:=(x)/hx*(hy-y)/hy*(hz-z)/hz;
5. ...
6. K[1,1] = hx hz/ 9 hy + hy hz/ 9 hx + hx hy/ 9 hz
7. K[1,2] = hy hz/ 18 hx - hx hz/ 9 hy + hx hy/ 18 hz
8. ...
9. K[8,8] = hx hz/ 9 hy + hy hz/ 9 hx+ hx hy/ 9 hz
В строке 1 подключается библиотека линейной алгебры (LinearAlgebra). В строках 2-4 задаются базисные функции для узлов КЭ. В строках 6-9 показаны результаты работы пакета Maple - значения коэффициентов элементов матрицы K (8x8) в выражении (11) - их всего 64.
V. Результаты численных экспериментов по формированию коэффициентов элементной
и глобальной СЛАУ метода конечный элементов с конечными элементами типа «куб» и «гипер-куб»
для расчетов магнитны1х полей ЭУ
После проведенных расчетов можно получить элементные уравнения (матрицы) для конечного элемента типа «куб» (рис. 2) с повторяющими коэффициентами. Далее приведена таблица (табл. 1) коэффициентов элементной СЛАУ к11, к12,..., к87, к88 для трехмерного элемента типа «куб», у которого hx = hy = hz = h.
ш к12 к13 к14 к15 к16 к17 к18" A1 F1
к 21 к22 к 23 к 24 к 25 к 26 к27 к 28 A2 F 2
к 71 к72 к73 к74 к75 к76 к77 к 78 A7 F 7
к81 к82 к83 к84 к85 к86 к87 к88 A8 _ F
Рис. 2. Конечный элемент типа «куб»
ТАБЛИЦА 1
КОЭФФИЦИЕНТЫ ДЛЯ ЭЛЕМЕНТНОЙ СЛАУ ТРЕХМЕРНОГО ЭЛЕМЕНТА ТИПА «КУБ»
1 2 3 4 5 6 7 8
1 h/3 0 0 -h/12 0 h/3 -h/12 -h/12
2 0 h/3 -h/12 0 -h/12 0 -h/12 0
3 0 -h/12 h/3 0 -h/12 0 -h/12 -h/12
4 -h/12 0 0 h/3 -h/12 -h/12 0 -h/12
5 0 -h/12 -h/12 -h/12 h/3 0 -h/12 0
6 h/3 0 0 -h/12 0 h/3 -h/12 -h/12
7 -h/12 -h/12 -h/12 0 -h/12 -h/12 h/3 0
8 -h/12 0 -h/12 -h/12 0 -h/12 0 h/3
Свободные составляющие в выражении (12) вычисляются следующим образом:
F1 = F4 = F6 = F8 = - ^- ; F2 = F3 = F5 = F7 = ^- .
8 8
Далее формируется трехмерный элемент типа «гипер-куб» из восьми кубов с 27-ю узлами, и для него составляется уравнение из глобальной СЛАУ. Оно пишется относительно центрального узла y111 (рис. 1б), и будет содержать 27 слагаемых. Для следующего трехмерного элемента типа «гипер-куб» вычисления повторяются, причем по прежним правилам и рекуррентным соотношениям. Например, коэффициент глобальной СЛАУ элемента «гипер-куб» (рис.1б) y202=k26 =0; y102 = k25 + k46 = -h/12-h/12 = -h/6; y002 = k45 = -h/12; y201 = k23 + k86 = -h/12-h/12 = -h/6; y010 = k21 + k43 + k85+k76 = 0 +0+0-h/12 =-h/12; y111 = k22+k11+k33+k44+k55+k66 + k77 + k88 = 8 h/3 и т.д. Этот алгоритм можно также запрограммировать в математическом пакете Maple.
VI. Обсуждение результатов
Пакет Maple позволяет инкапсулировать полученные выражения для коэффициентов глобальной СЛАУ метода конечных элементов в текстовом виде прямо в редактор программы Borland C++ Builder, на котором пишется программный код 3D расчёта трёхмерных магнитостатических полей электротехнических устройств.
VII. Выводы и заключение
Использование регулярной сети из трехмерных конечных элементов типа «гипер-куб» при расчете магнито-статического поля электротехнического устройства методом Галёркина - МКЭ позволяет миновать этап формирования элементных уравнений и перейти непосредственно к формированию матрицы коэффициентов глобальной СЛАУ на основе рекуррентных соотношений. Таким образом, упрощается проблема хранения и преобразования (в первую очередь, для прямых методов решения СЛАУ) глобальной матрицы в памяти компьютера, что увеличивает его производительность, особенно это важно для персонального компьютера. Разработанный алгоритм формирования глобальной СЛАУ метода конечных элементов дает возможность создавать программные коды в Borland C++ Builder при разработке программного обеспечения систем инженерного проектирования электротехнических устройств.
Благодарности
Автор благодарит и посвящает данную работу своим ученикам.
Список литературы
1. Тамм И. Е. Основы теории электричества. М.: Наука, 1989. 504 с.
2. Андреева Е. Г. Ковалев В. З. Математическое моделирование электротехнических комплексов: моногр. Под общ. ред. Ю. З. Ковалёва. Омск: Изд-во ОмГТУ, 1999. 172 с.
3. Марчук Г. И., Агошков В. И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981. 416 с.
4. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов : пер. с англ. М. : Мир, 1979. 392 с.
5. Полезные материалы по ANSOFT Maxwell. URL: http://ansoft-maxwell.narod.ru/documentation.html (дата обращения: 10.06.2018).
6. ELCUT. Моделирование двумерных полей методом конечных элементов. Версия 5.8. Руководство пользователя. СПб: Производственный кооператив ТОР. 2010. URL: http://www.exponenta.ru/-SOFT/OTHERS/elcut/Manual.pdf (дата обращения: 06.05.2018).
7. Введение в COMSOL Multiphysics. URL: https://cdn.comsol.com/documentation/5.3.0.316/IntroductionToCO-MSOLMultiphysics.pdf (дата обращения: 06.05.2018).
8. Андреева Е. Г. «Регулярный элемент» глобальной СЛАУ метода конечных элементов при моделировании электромагнитных процессов электротехнических устройств // Проблемы машиноведения: материалы II Меж-
дунар. научно-технич. конф. 27-28 февраля 2018. Омск: ОмГТУ, 2018. С. 294-299.
9. Ковалев Ю. З., Андреева Е. Г., Колмогоров Д. В. Алгоритм расчета трехмерных электромагнитных полей электротехнических устройств методом конечных элементов // Омский научный вестник. 2006. № 8 (44). С. 113-116.
10. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация : пер. с англ. М. : Мир, 1986. 318 с.
11. Говорухин В. Н., Цибулин В. Г. Введение в Maple. Математический пакет для всех. 213 с. URL: http://elibrary.bsu.az/kitablar/1027.pdf.
