Трехмерное sph-моделирование процесса изготовления платиновых СТМ-зондов с использованием искусственных вязкости и напряжения Текст научной статьи по специальности «Прочие технологии»

УДК 621.385.833

ТРЕХМЕРНОЕ 8РИ-МОДЕЛИРОВАНИЕ ПРОЦЕССА ИЗГОТОВЛЕНИЯ ПЛАТИНОВЫХ СТМ-ЗОНДОВ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ИСКУССТВЕННЫХ ВЯЗКОСТИ И НАПРЯЖЕНИЯ

ЖУЙКОВ Б. Л., ШЕЛКОВНИКОВ Е. Ю., ТЮРИКОВ А. В., ГУЛЯЕВ П. В.

Удмуртский федеральный исследовательский центр УрО РАН, 426067, Ижевск, ул. Т. Барамзиной, 34

АННОТАЦИЯ. В статье рассмотрены вопросы моделирования процесса изготовления платиновых зондирующих острий сканирующего туннельного микроскопа методом разрезания. Разработан трехмерный подход к гидродинамике сглаженных частиц с учетом проблемы неустойчивости при растяжении, приведены основные выражения, выполнен тестовый расчет. Показано, что разработанный метод позволяет получать реалистичные результаты и пригоден к теоретическим исследованиям процессов изготовления платиновых зондов.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: сканирующий туннельный микроскоп, платиновая игла, зондирующее острие, метод гидродинамики сглаженных частиц.

ВВЕДЕНИЕ

Создание атомарно острых платиновых зондирующих острий (ЗО) сканирующего туннельного микроскопа (СТМ) представляет собой достаточно сложный технологический процесс. Обычно зонды приемлемого качества получают путем ручного разрезания платиновой проволоки с приложением продольного усилия. Очевидно, что применение подобного метода не дает полной гарантии наличия атомарно острых выступов на кончике формируемого острия. Поэтому разработка методики автоматизированного изготовления зондов, позволяющей надежно и точно воспроизводить качественные острия, является актуальной задачей. Для этого необходимо разработать корректную математическую модель формирования ЗО методом механического разрезания заготовки, сопряженного с ее одновременным вытягиванием [1]. Гидродинамика сглаженных частиц (SPH) представляет собой один из методов вычислительной гидродинамики с использованием частиц, имитирующих жидкие элементы [1 - 6]. Для метода SPH нет необходимости использования сетки при проведении расчетов, как это требуется в традиционной эйлеровой гидродинамике. Таким образом, он предпочтителен для моделирования процессов с большими деформациями, при этом легко отслеживается любая информация, относящаяся к частицам (такая, например, как история разрушения). Поэтому метод SPH прекрасно подходит для моделирования столкновений и разрывов твердых тел. Однако применение стандартного метода SPH для моделирования упругих твердых тел сталкивается с серьезной проблемой, которая приводит к некорректной кластеризации частиц, особенно, в областях со значительными напряжениями. Эта проблема называется «неустойчивостью при растяжении» [7]. Она анализируется в [8] для задач гидродинамики и в [9] для исследований в магнитной гидродинамике. Неустойчивость при растяжении возникает также в области положительного давления, представляющей собой сжатый материал или обычную жидкость. Согласно [10] ядра B-сплайнов создают неустойчивость даже в режиме положительного давления, если число соседних частиц достаточно велико. Двумерный тест расчета колеблющейся пластины [4] показал, что стандартный метод SPH приводит к разрушению, вызванному неустойчивостью при растяжении, таким образом возникает задача уменьшения неустойчивости при использовании метода SPH в упругой динамике твердых тел.

Сигиура и Инутсука [2] уменьшили неустойчивость, используя SPH-метод Годунова, в котором применяется Римановский решатель и достигается точность 2-го порядка в пространстве. Однако ими проведен анализ линейной стабильности только для уравнений гидродинамики, и не очевидно, что такой подход применим для упругой динамики, в которой используется тензор-девиатор напряжений.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ

Плотность вещества в точке г в БРИ описывается зависимостью:

Р( Г ) = I (г - , И), (1)

]

где Ж (г, И) - функция ядра; И - так называемый параметр сглаживающей длины.

Уравнения движения в целом определяются как:

Су 1 Э ап ап ^ , ч

-=--ь® , где о - тензор напряжений. (2)

Ж р Эхр

Под воздействием больших сил, напряжений и скоростей, в задачах БРИ возникают численные нестабильности при решении уравнений движения частиц, и для того, чтобы стабилизировать их, необходимо применение искусственного напряжения, которое будет снижать влияние высоких напряжений при сильных коротковолновых возмущениях. Поэтому классические уравнения движения после БРИ преобразования с использованием искусственной вязкости запишутся в виде [1,3]:

йУа Ы (0аР 0аЬ Л ЭЖ

= I

у Ш:

сИ ^ 1

]

2-+Р - Щ баь + я?/—

V р Р2 J

Эхь'

(3)

где ш - масса частицы; р - плотность; уа - а -я компонента; х" - а -я компонента радиус-вектора г ; П— - искусственная вязкость; ЯЦ—^ = + Я°:ь - суммарное искусственное напряжение между частицами / иу; - тензор искусственного напряжения [1]; верхний греческий индекс относится к компонентам вектора или тензора, нижний латинский индекс - к номеру частицы, а также принято правило суммирования по повторным греческим индексам.

Общая форма искусственной вязкости П у предложена в работах [5,6]:

^-ап сФ„+РпФ1 < п -=-—, < 0 ;

Пу =

Р

У

у у - " ' (4)

0 V—Г— > 0

- Р+Р1 а ИУуГ> П „2

где р3 =--; V, = - V, ,фи = ; с - скорость звука в среде. Параметр „ предот-

1 2 1 у +„

вращает появление сингулярности и должен быть достаточно мал, чтобы не влиять на член искусственной вязкости (в данной работе он принят равным 0,01). Коэффициенты вязкости аП и /3П приняты как 1 и 2, соответственно [5]. Величина/— рассчитывается по формуле:

Ж (г,)

/ =——, (5)

^ Ж (Ар) V ;

где Ар - среднее расстояние между частицами в стабильном состоянии (в данной работе Ар принято равным 0,6И; показатель /— в (3) равен 4 [4]). Выбор и расчет тензора искусственного напряжения ЯаЬ для двумерного случая дан в [4]. Для его получения необходимо диагонализировать тензор напряжений оаЬ при помощи поворота Т:

0а/ = т-ОаЬт. (6)

При этом в тензоре искусственного напряжения учитываются только положительные

—аа

—аа /Ю\ —аа

компоненты: Я, =--—; о > 0, (7)

Рр

—аа

в ином случае Я = 0 . Константа / подбирается экспериментальным путем и принята равной 0,4. Выбор значения / и показателя в /п обусловлены тем, что данные значения почти не вносят изменений в расчет длинноволновых возмущений, при этом численные нестабильности, вносимые коротковолновыми возмущениями, успешно гасятся.

Искусственное напряжение в первоначальных координатах рассчитывается с помощью обратного поворота:

Rf = TRfr-1. (8)

В простейшем двумерном случае SPH тензор напряжений можно диагонализировать поворотом на угол 0 [4], при этом оператор поворота определяется как:

cos0 - sin0 sin 0 cos 0 ^

Применяя этот поворот к тензору напряжения sf, получим:

T ■

(9)

= T

-i

~sxx sxy 1

1 ; t =

sy _

sV + s,xysc + s,xysc + s^s2

s,yysc - ox's2 + sxyc2 - sxxsc

sysc -ox's2 +sxyc

sxxsc syyc2■

■sxysc -sxysc -sxxs2

(10)

где s = sin 0 и с = cos 0. Для диагонализации тензора необходимо выполнение равенства:

afsc -ofs2 + afc2 -o**sc = 0, (11)

что приводит к соотношениям: tg 20 =

2s

xy

ryy

0=

í

arctg

2s

xy

Y

v S

yy

'i y

/2,

(12)

При вычислении угла поворота согласно (12) необходимо обратить внимание на знаме-

ж

натель при вычислении арктангенса, и в случае — = — , принять в = — . Также экспериментально выявлено, что удовлетворительные результаты получаются при вычислении угла, если скорректировать знаменатель: —Г - — + А— (где А— имеет значение ~ 10-6р0с2 и такой же знак, как —X - —; Ро - плотность моделируемого материала; с0 - скорость звука).

Авторами исследовано применение трехмерного метода БРИ с искусственными вязкостью и напряжением. Для трехмерного случая необходимо модифицировать нахождение необходимого поворота для диагонализации тензора напряжений. Используется итеративный процесс, при этом на каждой итерации диагонализируется не весь тензор целиком, а только отдельные его части:

-с-Р р-1—аР р . —хР ( -(к) = Р(к ) —-1) Р(к); -(0) =- , (13)

где Р(к+1) - матрица поворота на к-й итерации. Итоговая матрица трансформации Т может быть вычислена как произведение всех матриц поворота: Т = ^ рк) . Для нахождения Р(к)

рассматриваются компоненты тензора xy, xz, yz по отдельности. Для диагонализации определяются:

компонента xy:

компонента xz:

и компонента yz:

arctg ■

2 SI 1)

( k-1) a

0(k) = xy

o

(k-1)

- o

( k -1) a

arctg

2

2s

( k-1) a

0<k) =.

s(k-1)a - s(k-1)a 2

P (k) = xy

P (k) =

cos 0 sin 0 0

(k)

xy

(k)

cos0%) 0

sin 0(¿)

arctg

2s k 1)

( k -1 ) a

0( k) = yz

s

yy

( k -1) a

-s

(k-1)a

2

P (k) = yz

1

- sin 0(k)

(k)

cos 0(

xy

0

0 - sin 0%)

1 0

0 cos0ik)

0

0 cos 0(k) yz

0

sin 0yk)

0

- sin 0yk)

cos 0<vk)

yz

(14)

(15)

(16)

В (14) - (16) а - индекс частицы. Условие остановки итеративного алгоритма может быть сформулировано в виде: —(Ср <£, аФ Р. Экспериментально выявлено, что данный алгоритм

сходится через 10 - 20 итераций для е = 10 6рос02. Так как искусственное напряжение Ы

к

рассчитывается для каждой частицы на каждом временном шаге только один раз, это не влияет на общую производительность моделирования и является хорошим результатом.

Модель изготовления ЗО из платиновой проволоки включает процесс ее разрезания двумя ножами, один из которых неподвижен, а второй движется навстречу первому со

скоростью V. При этом одновременно происходит вытягивание заготовки в продольном

направлении с силой ¥. Схема установки представлена на рис. 1.

1 - заготовка; 2 -фиксирующий держатель; 3, 4 - неподвижный и подвижный ножи соответственно

Рис. 1. Схема установки для разрезания платиной заготовки

РЕЗУЛЬТАТЫ И ИХ ОБСУЖДЕНИЕ

При расчетах использовалась заготовка, состоящая из 135662 частиц. Начальный этап эксперимента представлен на рпс. 2, а форма получающегося острия приведена на рис. 3.

Рис. 2. Начальный этап разрезания заготовки из 135662 частиц

Рис. 3. Результат разрезания заготовки при действующей силе вытягивания 100 Н

Таким образом, результаты исследований показали, что применение предложенного трехмерного SPH-моделирования дает реалистичные результаты при расчетах процесса разрезания платиновой заготовки ЗО СТМ. При этом приоритетными на данный момент являются эксперименты по изменению таких параметров как сила вытягивания заготовки, скорость разрезания, угол плоскости разрезания относительно заготовки и другие. Очевидно, что вариация данных параметров оказывает существенное влияние на результирующую форму ЗО. Дальнейшие исследования этого влияния позволят разработать рекомендации к технологическому процессу изготовления качественных зондов сканирующего туннельного микроскопа.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Жуйков Б. Л., Шелковников Е. Ю., Тюриков А. В., Гуляев П. В. Применимость метода гидродинамики сглаженных частиц для исследования процесса изготовления платиновых СТМ-зондов механическим способом // Химическая физика и мезоскопия. 2018. Т. 20, № 1. С. 145-150.

2. Sugiura K., Inutsuka Sh. An extension of Godunov SPH II: Application to elastic dynamics // Journal of Computational Physics, 2017, vol. 333, pp. 78-103.

3. Monaghan J. J. SPH without a tensile instability // Journal of Computational Physics, 2000, vol. 159, pp. 290-311.

4. Gray J. P., Monaghan J. J., Swift R. P. SPH elastic dynamics // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2001, vol. 190, iss. 49-50, pp. 6641-6662.

5. Monaghan J. J. Smoothed particle hydrodynamics // Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 1992, vol. 30, no. 1, pp. 543-574.

6. Monaghan J. J. On the problem of penetration in particle methods // Journal of Computational Physics, 1989, vol. 82, iss. 1, pp. 1-15.

7. Swegle J. W., Hicks D. L., Attaway S. W. Smoothed particle hydrodynamics stability analysis // Journal of Computational Physics, 1995, vol. 116, pp. 123-134.

8. Morris J. P. A study of stability properties of smooth particle hydrodynamics // Publications of the Astronomical Society of Australia, 1996, vol. 13, no. 1, pp. 97-102.

9. Iwasaki K. Minimizing dispersive errors in smoothed particle magnetohydrodynamics for strongly magnetized medium // Journal of Computational Physics, 2015, vol. 302, pp. 359-373.

10. Dehnen W., Aly H. Improving convergence in smoothed particle hydrodynamics simulations without pairing instability // Monthly Notices of the RAS, 2012, vol. 425, pp. 1068-1082.

3D SPH-MODEL FOR OPERATION OF MANUFACTURE OF PLATINUM STM-PROBES WITH USE THE ARTIFICIAL VISCOSITY AND STRESS

Zhuykov B. L., Shelkovnikov E. Yu., Tyurikov A. V., Gulyaev P. V.

Udmurt Federal Research Center, Ural Brunch of the Russian Academy of Sciences, Izhevsk, Russia

SUMMARY. Questions of modeling the operation of process of manufacture by a cutting method of the platinum probes for scanning tunnel microscopy considered in the paper. For this purpose the installation is modelled meaning use of two T-type knives allowing achieving a preparation cut from four sides. At the same time there is a simultaneous extraction of the platinum blank in a lengthwise direction that allows to achieve the effect of a pulling taking place at manual manufacture of the probes. Model operation was carried out by method of smoothed particle hydrodynamics. This method allows to model the process of destruction of solid bodies with great validity. The artificial viscosity and stress are applied to elimination of the known problem of tensile instability. For achievement of this purpose for the first time the model operation with artificial stress is executed for a three-dimensional case. The three-dimensional approach to the smoothed particles hydrodynamics is developed taking into account the tensile instability problem based on the iterative procedure of a diagonalization of the stress tensor. Thus on the each iteration stress tensor is not entirely diagonalized but only its separate components. The main equations distinguishing the developed approach from reference are given. Test of modeling the cutting of a platinum blank was executed. It is shown that the developed method allows to receive the realistic results and that it is useful for theoretical researches of processes of manufacture of platinum probes for scanning tunnel microscopy. The conclusion is drawn on need of a research of influence on a form of the probe edge of such factors as: preparation extraction force, speed and angle of cutting, et cetera. The research of this influence will allow to develop recommendations to technical process of manufacture of high-quality probes of the scanning tunnel microscope.

KEYWORDS: scanning tunnel microscope, platinum tip, the probing edge, smoothed particles hydrodynamics method. REFERENCES

1. Zhuikov B. L., Shelkovnikov E. Yu., Tyurikov A. V, Gulyaev P. V. Primenimost metoda gidrodinamiki sglazhennykh chastits dlya issledovaniya processa izgotovleniya platinovih STM-zondov mekhanicheskim sposobom [Applicability of the smoothed particles hydrodynamics method for the research of process of mechanical manufacture of the platinum STM probes]. Khimicheskayafizika i mezoskopiya [Chemical Physics and Mesoscopy], 2018, vol. 20, no. 1, pp. 145-150.

2. Sugiura K., Inutsuka Sh. An extension of Godunov SPH II: Application to elastic dynamics. Journal of Computational Physics, 2017, vol. 333, pp. 78-103. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2016.12.026

3. Monaghan J. J. SPH without a tensile instability. Journal of Computational Physics, 2000, vol. 159, pp. 290-311. https://doi.org/10.1006/jcph.2000.6439

4. Gray J. P., Monaghan J. J., Swift R. P. SPH elastic dynamics. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 2001, vol. 190, iss. 49-50, pp. 6641-6662. https://doi.org/10.1016/S0045-7825(01)00254-7

5. Monaghan J. J. Smoothed particle hydrodynamics. Annual Review of Astronomy and Astrophysics, 1992, vol. 30, no. 1, pp. 543-574. https://doi.org/10.1146/annurev.aa.30.090192.002551

6. Monaghan J. J. On the problem of penetration in particle methods. Journal of Computational Physics, 1989, vol. 82, iss. 1, pp. 1-15. https://doi.org/10.1016/0021-9991 (89)90032-6

7. Swegle J. W., Hicks D. L., Attaway S. W. Smoothed particle hydrodynamics stability analysis. Journal of Computational Physics, 1995, vol. 116, pp. 123-134. https://doi.org/10.1006/j cph. 1995.1010

8. Morris J. P. A study of stability properties of smooth particle hydrodynamics. Publications of the Astronomical Society of Australia, 1996, vol. 13, no. 1, pp. 97-102. https://doi.org/10.1017/S1323358000020610

9. Iwasaki K. Minimizing dispersive errors in smoothed particle magnetohydrodynamics for strongly magnetized medium. Journal of Computational Physics, 2015, vol. 302, pp. 359-373. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2015.09.022

10. Dehnen W., Aly H. Improving convergence in smoothed particle hydrodynamics simulations without pairing instability. Monthly Notices of the RAS, 2012, vol. 425, pp. 1068-1082. https://doi.org/10.1111/j.1365-2966.2012.21439.x

Жуйков Богдан Леонидович, аспирант, Институт механики УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: fastblood@mail.ru

Шелковников Евгений Юрьевич, доктор технических наук, профессор, зав. лабораторией ИМ УдмФИЦ УрО РАН, профессор кафедры «Вычислительная техника» ИжГТУ имени М.Т. Калашникова, e-mail: evshelk@mail.ru

Тюриков Александр Валерьевич, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник, Институт механики УдмФИЦ УрО РАН, e-mail: alex. tyurikov@mail.ru

Гуляев Павел Валентинович, кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Институт механики УдмФИЦ УрО РАН, e-mail:lucac@e-izhevsk.ru