Трехмерное моделирование напряженного состояния движущегося слитка при изменении граничных условий по температуре Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 669.27:519

ТРЕХМЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ ДВИЖУЩЕГОСЯ СЛИТКА ПРИ ИЗМЕНЕНИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ ПО ТЕМПЕРАТУРЕ

Докт. физ.-мат. наук, проф. ЧИЧКО А. Н., асп. БОРОЗДИН А. С.

Белорусский национальный технический университет

Задача расчета напряжений в слитке, движущемся в многозонном температурном поле печи, является одной из важнейших научно-практических задач энергосбережения в черной металлургии. Теснейшим образом она связана с уровнем математического моделирования тепловых процессов, протекающих во всем объеме слитка. Многочисленные постановки задач в одно- и двумерном случаях, ориентированные на уравнение теплопроводности, не дают полной пространственной картины изменения температур и напряжений во времени. В то же время расчеты напряжений требуют использования уравнений равновесия совместно с уравнением теплопроводности. Причем необходимо использование динамических температурных условий. К сожалению, общепризнанных устоявшихся алгоритмов решения таких задач все еще нет.

Цель работы - разработка метода, алгоритмов и программного обеспечения для трехмерного моделирования термоупругих характеристик пространственного объекта произвольной конфигурации с динамическими граничными условиями и применение разработанных моделей и программного обеспечения для расчета температурных напряжений, возникающих в объекте типа «слиток» при ступенчатом нагреве.

Математическая модель пространственной задачи расчета температурных напряжений основана на совместном решении (использовании) трех систем уравнений из теории термоупругости [1]:

1) дифференциального уравнения равновесия в точке твердого тела:

хх + да ху + да хг

дх ду дг

да да да

хУ + УУ + уг

дх ду дг

да хг + да уг + да гг

дх ду дг

+ X = 0;

+ Y = 0;

+ 2 = 0,

(1)

где Сто;, сту,, стгг - нормальные напряжения по осям х, у и г соответственно; стху, стуг, стгх - касательные напряжения по осям х, у и г соответственно; X, Y, 2 - компоненты объемных сил в направлениях х, у, г соответственно;

2) второй формы обобщенного закона Гука, учитывающего влияние температурных деформаций на напряжения:

а** = Ае + " (ЗА. + 2|)аГ; Ъуу = Ае + 2|Вуу - (ЗА, + 2|)аТ; агг = Ае + 2|вгг - (ЗА + 2|)аТ;

стху = 21Уху; °уг = 21Ууг; а* = 21Уг;

(2)

где X =-

vE

(1 + v)(1 - 2vY Ц 2(1 + v) мальные деформации; yxy, jyz, yzx - касательные деформации; e = sxx +s№ +szz - объемная деформация; a - коэффициент линейного расширения материала; v - коэффициент Пуассона; E - модуль Юнга;

3) уравнения Коши, определяющего соотношения между деформациями и перемещениями:

ды

E

- коэффициенты Ламе; sxx, syy, szz - нор-

S xx = - ;

дх

s yy =

dv ду' dw

У x

ды

dv = — + -

dx dy' dw dv

У =--+

bz dy

(3)

У z

dz'

du + dw dz dx

где и, V, ^ - компоненты вектора перемещения по осям х, у и г соответственно.

Расчет температурного поля нагреваемого объекта проводился на основе трехмерного уравнения теплопроводности Фурье

dT

X(T)

dr c(T)p(T)

d T d T d T

—T + —T + —г dx2 dy2 dz2

, x, y, z, reQ ,

(4)

где с(Т) - функция теплоемкости, Дж/(кг • К); р (Т) - функция плотности, кг/м3; Х(Т) - функция теплопроводности, Вт/(м • К), О (0 < х < X; 0 < у < У; 0 < г < Z; 0 < т < ¿) - пространственно-временная область расчета.

Для задания краевых условий, учитывающих взаимодействие между нагревающей средой и поверхностью объекта, перемещающегося с постоянной скоростью V в печи с различными тепловыми зонами, использовалась следующая система уравнений [2]:

To, r = 0;

T (x, y, z, r) =

71,0 <r<

v

T A <r< Ll+Ь, ;

14 14

T — <r<—

(5)

zz

v

v

v

v

где Т0 - начальная температура заготовки; п - число тепловых зон в рабочем пространстве печи; Т7 (7 = 1, 2, ... п) - значение температуры в 7-й тепловой зоне, °С; Ь (7 = 1, 2, ... п) - протяженность 7-й тепловой зоны, м; V - скорость перемещения заготовки вдоль рабочего пространства печи, м/с.

В представленной математической модели введен ряд упрощающих допущений:

• температура в каждой зоне фиксирована, т. е. каждая точка тепловой зоны имеет температуру, соответствующую данной зоне;

• тело считается изотропным - температурное расширение одинаково во всех направлениях;

• деформации, возникающие в теле, не влияют на его температурное поле;

• деформации, возникающие вследствие температурных напряжений, малы и материал везде ведет себя как упругий.

Компьютерная модель задачи основана на совместном применении теории клеточных автоматов и конечно-разностных методов. Следует отметить, что конечно-разностная аппроксимация дифференциальных уравнений очень хорошо сочетается с парадигмой клеточного автомата. Далее более подробно рассмотрим использование метода конечных разностей для расчетов напряженно-деформированного состояния слитка при моделировании процессов ступенчатого нагрева на основе математической модели (1)...(5).

Для определения температурного поля воспользуемся разностной аппроксимацией (6) уравнения (1), имеющей погрешность аппроксимации

0(Лх2 +Лу2 + Лг2 + Ах2):

п~<п+1 , грп 1

---= -(Лх +лу +лг)(Тп+1 + Тп) , (6)

Ах 2

где разностные операторы имеют вид:

цТ = а(Т )(Тхп+1,у,г

пп _ 1 1(

' х,у+1, г х,у, г

ЛхТп = а(Т)(Тхп+1у г - 2Тхпуг + )/Лг2 ;

ЛуТп = а(Т)(Тхпу+и - 2Тхпуг + Тхпу-1г)/Лу2;

ЛТ = а(Т)(Тхпу г+1 - 2Тхпуг + Тхпу,г-1)/Аг2 .

Величина функции температуропроводности может быть вычислена по следующей формуле:

ЦТ)

а(Т) =

с(Т )р(Т)

Уравнение (6) является симметричной неявной разностной схемой, решение которой проводилось по экономичному локально-одномерному методу [3].

Для решения задачи термоупругости при известном температурном поле была выбрана постановка задачи в терминах перемещений. Ниже представлено дифференциальное уравнение равновесия для прямоугольной системы координат, записанное через перемещения (уравнение Ламе):

ôe ôT

(А + ц)— + M.V u - (3А + 2ц)а— + X = 0;

ôx ôx

ôe ôT

(А + ц)— + цV2v - (3А + 2ц)а— + Y = 0;

ôy ôv

ôe ôT

(А + ц)— + цV2w - (3А + 2ц)а— + Z = 0, ôz ôz

ды ду дм где е =--1---1---объемная деформация.

дг ду дг

Конечно-разностная аппроксимация системы (7) решалась при помощи попеременно треугольного метода [4]. Численное решение данного уравнения требует задания компонент вектора перемещения для граничной поверхности моделируемого объекта. В целях вычисления граничных условий расчета перемещений для объектов типа «слиток» с известным распределением температурного поля был разработан алгоритм, использующий парадигму клеточного автомата.

Далее на основе вычисленных значений компонент вектора перемещений проводилось определение деформаций. Имея компоненты вектора перемещения для всех точек тела и используя разностные аппроксимации (8) для уравнений системы (5), производим расчет нормальных и касательных деформаций:

s y =

2Дх

vy+1 - vy-1 .

2Ay

У XV

У VZ

У zx

2Az

vx+i - vx-i + uy+i - uy-i .

2Ax

- + -

2Ay

wy+i - wy-1 ^ Vz+1 - Vz-1 .

2Ay

+

2Az

uz+1 - uz-1 + wx+1 - wx-1

2Az

2Ax

(8)

Завершает итерацию метода расчет напряжений, который производится подстановкой рассчитанных значений деформации в систему (2).

На рис. 1 представлена блок-схема описанной выше итерации расчета. Для проведения расчетов на ЭВМ данная вычислительная схема была реализована в программе моделирования теплофизических процессов на клеточном автомате. Программное обеспечение написано на языке Object Pascal в среде визуального программирования Delphi 6.0 для 32 разрядных версий операционной системы Microsoft Windows.

При помощи разработанной программы был смоделирован процесс нагрева фрагмента слитка размерами 250x250x300 мм в шаговой печи,

ux+1 - ux-1

x

ww

z+1 z-1

z

имеющей шесть температурных зон. Материалом слитка была выбрана сталь

40Х с динамическими теплофизическими характеристиками, являющимися функциями от температуры. В табл. 1 приведены значения плотности, теплоемкости, теплопроводности, линейного коэффициента расширения и модуля упругости, использовавшихся в расчетах. Начальная температура слитка в моделируемом процессе равна Т0 = 20 °С.

Рис. 1. Упрощенная блок-схема расчета термонапряженного состояния тела в условиях нестационарного температурного поля

Таблица 1

Теплофизические характеристики стали 40Х

Температура 1, °С

0 100 200 300 400 500 600 700 800

р, кг/м3 7820 7800 7770 7740 7700 7670 7630 7590 7610

с, Дж/(кг-°С) 496 508 529 563 592 622 634 664 684

X, Вт/(м-°С) 41,0 40,0 38,0 36,0 34,0 33,0 31,0 30,0 27,0

а, 10-61/°С 11,8 12,2 13,2 13,7 14,1 14,6 14,8 12,0 12,0

Е, 109 Н/м2 214 211 206 203 185 176 164 143 132

Пространство печи принималось заполненным воздухом со следующими теплофизическими характеристиками: X = 0,034 Вт/(мК); с = 1009 Дж/(кг • К); р = 1,29 кг/м3 и температурой, зависящей от конкретной тепловой зоны. На рис. 2 представлены схематические изображения печи и слитка. Вычислительный эксперимент проводился для двух режимов, обеспечивающих плавный нагрев слитка. На рис. 3 представлены значения температур тепловых зон для данных режимов. Моделирование проводилось для первых 4400 с процесса нагрева. За данный временной промежуток при указанной скорости движения заготовки слиток проходит вдоль всего рабочего про-

странства печи. В начальный момент времени моделирования (рис. 2а) слиток располагался в начале первой зоны.

а

Слиток

ш шш Тх Т2 Тз Т4 Т5 Тб

¿1 С ¿2 „ < ¿3 Ъ С ¿4 С ¿6 ъ

300 мм

Рис. 2. Схема рабочего пространства печи и слитка

Т оС

800 -700 -600 -500 -400 -300 -200 -100 -0 -

:__\

■ Режим 1

■ Режим 2

- 280 j

■ 180 |

Зона 1 Зона 2 Зона 3 Зона 4 Зона 5 Зона 6

Рис. 3. Рассчитываемые тепловые режимы ступенчатого нагрева слитков в печи

Ниже представлены результаты проведенных вычислительных экспериментов для расчета сжимающих и растягивающих напряжений в движущемся слитке. На рис. 4 показаны динамические кривые температурных напряжений, рассчитанные при проведении вычислительного эксперимента. Зависимости строились по следующему алгоритму. В процессе моделирования на каждой итерации после выполнения расчета напряжений слиток «просматривался» в поисках максимального и минимального значений напряжения. Полученные значения заносились на диаграммы, где вертикальными линиями отмечены моменты времени, в которые слиток переходит с одной зоны в другую. Пунктирными линиями обозначены моменты времени, когда правая граница слитка входит в очередную тепловую зону, штриховыми линиями - моменты времени, когда левая граница слитка переходит в очередную тепловую зону. По представленным зависимостям напряжений видно, что при нагреве слитка по второму режиму (рис. 4б)

б

V

наблюдаются меньшие по абсолютной величине «скачки» температурных напряжений, которые в случае реального процесса могут спровоцировать появление трещин в нагреваемом слитке, что может стать причиной большого количества брака.

8,00Е+08 с.ч

I

6,00Е+08 - I I

4,00Е+08 - I

I

2,00Е+08 Л- '

V

Л.

I '

' \ I.'

< -Г

I \ !

0,00Е+08

У \

I \ I : I

-2,00Е+08 -

-4,00Е+08

-6,00Е+08

с'1, ■ 1^1: :

К Т У \ I

35:: I ¿соо

к У *

-: '¿ли 1 .

Лпн.;<! 11>5б

а

I, с

8,00Е+08 6,00Е+08 4,00Е+08 2,00Е+08 0,00Е+08 -2,00Е+08 -4,00Е+08 -6,00Е+08

I л I I I? \ I.' \ I

-■1\ I I_I

I;

¥ II Л

яЫ ■::: Ьс ;сс:1

1 Л л1 I / 1\ ./ ^

; Г, / Г I

'.и-г!! J А .1уна ^

П I I: I

: хсс I

УМ:

!/ А

л:: ¿1:::

б

I, с

Рис. 4. Изменения растягивающих (1) и сжимающих (2) напряжений от времени перемещения слитка в печи для различных режимов нагрева: а - нагрев слитка по режиму 1; б - по режиму 2

В Ы В О Д

Представлена математическая модель, основанная на совместном использовании уравнений теории упругости и нестационарной теплопроводности. Она может быть положена в основу программных средств компьютерного моделирования термонапряженного состояния слитков при изменении граничных условий по температуре. Результаты вычислительных экспериментов показывают возможности для анализа различных режимов нагрева слитков в шаговых печах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Б о л и Б., У э н е р Дж. Теория температурных напряжений. - М.: Мир, 1964.

2. Ч и ч к о А. Н., Б о р о з д и н А. С. Численное моделирование процесса нагрева движущегося слитка // Литье и металлургия. - 2003. - № 4. - С. 60-63.

3. Б е л я е в Н. М., Р я д н о А. А. Методы теории теплопроводности. - М., 1982.

4. С а м а р с к и й А. А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1983.