CC BY
41
УДК 517.968.23
ТРЕХЭЛЕМЕНТНАЯ ОДНОСТОРОННЯЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ОБРАТНЫМ СДВИГОМ КАРЛЕМАНА В ИСКЛЮЧИТЕЛЬНОМ СЛУЧАЕ
Н.Р. Перельман, К.М. Расулов
Статья посвящена исследованию трехэлементной односторонней краевой задачи для аналитических функций с обратным сдвигом Карлемана в так называемом исключительном случае. Разработан общий конструктивный алгоритм решения рассматриваемой задачи, который иллюстрируется на конкретном примере.
Ключевые слова: трехэлементная краевая задача, аналитические функции, обратный сдвиг Карлемана, исключительный случай.
1. Постановка задачи. Пусть T+ - конечная, односвязная область на плоскости комплексного переменного z = x + iy , ограниченная простым замкнутым контуром Ляпунова L , а
T- = C \(T L).
В дальнейшем класс аналитических в области T+ функций F (z), непрерывно (в смысле Гельдера) продолжающихся на контур L , будем обозначать символом A(T+ ) О H(L).
Рассмотрим следующую краевую задачу. Требуется найти все аналитические в области T+
функции F(z) = U(x,y) + iV(x,y) класса A(T+ ) О H(L), удовлетворяющие на L условию
F+ [a(t)] = A(t) F+ (t) + B(t) F+ (t) + h(t), (1)
где A(t), B(t), h(t) - заданные на L функции класса H (L) (Гельдера), a(t) - прямой или обратный сдвиг контура L, удовлетворяющий условию Карлемана
a[a(t)] = t, (2)
причем a'(t) ф 0 и a'(t) е H(L).
Следуя [1]-[3], сформулированную задачу назовем трехэлементной односторонней задачей Карлемана или, короче, задачей K3 , а соответствующую однородную задачу (h(t) = 0) - задачей
K 3.
В так называемом невырожденном случае, т.е. когда на контуре L выполняются тождества
A(t) • A[a(t)] + B(t) • B[a(t)] = 1, (3)
A[a(t)] • B(t) + A(t) • B[a(t)] = 0, (4)
A[a(t)] • h(t) + B[a(t)] • h(t) + h[a(t)] = 0, (5) и при прямом
сдвиге a(t) задача K3 подробно исследована в работах [1]-[3].
Основной целью настоящей заметки является разработка общего метода решения задачи K 3 в случае обратного сдвига a(t) в так называемом исключительном случае, т.е. когда выражение A[a(t)]A(t) — 1 обращается в нуль в отдельных точках контура L (как, например, в случае
1^
a(t) =1 A(t) = t2 — 2, B(t) = л/2 t —
t
t
h(t) = 0).
В дальнейшем для определенности будем предполагать, что L = {: |?| = 1} и
T+ = ^ < 1} , так как общий случай с помощью конформного отображения можно привести к
этому. Кроме того, обозначим через T дополнение T+ = ^ < 1} до полной комплексной
плоскости.
2. О решении невырожденной задачи К3 с обратным сдвигом сс(^) в случае, когда
и
A(t) ф 0 , но A[a(t)] A(t) — 1 обращается в нуль в отдельных точках L .
В силу условия (3) в тех точках Ік Є L, где Л[^(І^)] A(tk) — 1 = 0, будем иметь Б(І^ ) = 0 . Но поскольку A(t) Ф 0 , то в данном случае во всех точках окружности L будем иметь неравенство вида (см., например, [3]-[4]):
|Л(І )| > |Б(І )|. (6)
Всюду в дальнейшем предположим, что в краевом условии (1) функция Б(І) имеет вид:
Б(І) = Б,(1)-П(t — [ )р, І,[ єЬ, (7)
7=1
где Б1 (і) Є Н(Ь) и Б1 (і) Ф 0 на Ь ; [ (7 = 1, 2, ...,У) - некоторые точки на Ь , которые будем называть нулями функции Б(І) на Ь, а р■ (7 = 1, 2, ...,У) - фиксированные натуральные числа.
Далее построим конструктивный алгоритм решения краевой задачи К 3, предположив, что в краевом условии (1) коэффициенты Л(І), Б(І), Н(ґ) удовлетворяют условиям (3)-(5), причем Л(І) ф 0, а коэффициент Б(І) имеет вид (7). При этом будем предполагать, что
(Х(І), Л(І), Б1(І), И(І) Є Н(£)(Ь) (т.е. Сх(і), Л(І), Б1(І), Н(І) удовлетворяют на Ь условию
Гельдера вместе со своими производными до порядка £ включительно), где £ = тах{р.} .
7 7
Поскольку Л(І) Ф 0 , то краевое условие (1) задачи К3 можно переписать в виде
Г+(І) = 0,(1) Г+(І) + G2(t) Г+[а(І)] + И2(І), (8)
где
^(І) = — ; 02(І) = —; Ь2(І) = — ^. (9)
^ Л(І) 2Ч' Л(І) 2Ч' Л(І)
Введем в рассмотрение вспомогательную задачу GK3, состоящую в отыскании двух
неизвестных аналитических функций Г+ (2) и Ф+ (2) класса Л(Т+ ) О Н(Ь), удовлетворяющих краевому условию (см. также [1]-[4]):
г+(І) = 01(І) Г+(І) + 02(І )Ф+[а(І)] + И2(І), (10)
где 01(І), 02(І), И2(І) определяются по формулам (9).
Нетрудно заметить, что все решения краевой задачи К3 можно получить, если решить
краевую задачу GK 3, а затем потребовать, чтобы Г+ (2) = Ф ь (2), 2 Є Т+ ^ Ь .
Далее, вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую в области Т функцию -------------Ґ 1 Л
Г— ( 2) = Г4
2 Є Т , (11)
значения которой во всех точках окружности L удовлетворяют следующему условию «симметрии» (см., например, [5, с. 97])
F~(?) = F+ (?), t Е L, (12)
краевое условие (10) можно записать так:
F+(?) = 11 (? ~Р1 ) F - (?) + g1(t), (13)
1 -1
где
^^ gl(t) = G2(tШ) + №), (14)
(Р(?) = Ф+ [а(?)]. (15)
Предположим временно, что в (14) gl(t) - известная функция класса Н (V). Тогда равенство (13) представляет собой краевое условие скалярной задачи Римана относительно кусочно аналитической функции F(z) = {Е+ (z), Е (z)} в так называемом «исключительном случае» (см., например, [5, с. 133]).
Пусть х = ш&($) = х* -х„ где Х1 = IndA(t) и Х2 = 1пйБх(1). Если х — 0, то, как известно (см., например, [5, с. 136]), общее решение задачи (13) имеет вид:
(г) = ¥+(z) + Х+ (;)П (•- Р, У1 • РЛ*), г е Т+,
1=1 (16)
Е- (*) = ¥- (г) + ХГ (г)Рх* (*), * Е Т- ,
где X, (г) - канонические функции обычной однородной задачи Римана с коэффициентом G (?), Р *( г) - произвольный многочлен степени х с комплексными коэффициентами, а функции
%
¥ + ( г ) ¥ - ( г) определяются по формулам:
¥+ (г) = Х+ (г)[¥+ (г) - Qt>_l{г)], г е Т +, (17)
¥- (г) = ХГ (г) ^ (г) - Ql-l(г)] г еТ- (18)
П (г -Р1) * ’ ’
1=1
е,(т) dт
(19)
*(г) = -1,|:
2ж1 *ьХ1(т) т - г
многочлен степени
здесь Qр_1( г) = С р-1гр 1 + С - г1 2 +... + С1 г + С0 - определенный р - 1, для которого выполняются равенства:
бРКР) = У"<",(Р), (т = 0,1,...р -1; 1 = 1,2,...,[). (20)
* Г\ * 1
Пусть теперь X < 0 и выполняются следующие -X -1 условий разрешимости задачи Римана (13):
Ср_1 = Ср_2 = ... = Ср+х*+1 = 0, (21) где Ск - коэффициенты разложения
^ (г) - Qр_1(г) ^СР-^11 - Ср-2гР 2 - ... - С0 + С-1_ + С-2 ~~2 + ... ; здесь
г г
1 Г gl (т) • тк 1
приняты обозначения: С-к =----------I-------------dт (к = 1,2,...). При выполнении условий (21)
211^ Х+ (т)
лишь единственная пара функций Е+ (г) = ¥ + (г) и Е (г) = ¥ (г) удовлетворяет краевому условию (13), т.е. единственное решение задачи (13) также задается формулой (16), где нужно положить Р * (г) = 0 .
х
Далее находим предельные значения при г —— ? Е L функции ^ (г), задаваемой по формуле (19). Поскольку а(?) - обратный сдвиг контура V , причем а' (.) е Н(V) , то для любой функции Ф+ (г) Е А(Т + ) О Н(V) справедливы равенства (см., например, [5, с. 40]):
1^+/\ 1 гФ+ (т) 1 1 ^+г / м 1 Г Ф+[а(т)] ,,
2 Ф (0 = 2-тI---------- 2 Ф [а(0] = -— [—т-----------(-)а (т)dт
2 2т/' т-t 2 2т/' ат) -аи)
2т/ V а(т) - а(?)
С учетом формул Сохоцкого, обозначений (14) и равенств (22) будем иметь:
^+ (?) = | К (?, т)^(т)dт + Ж1+ (?),
где
К (? ,т) =
1
Аа) Х+ (?)
р^) + | К (? ,т)^(т)dт + Ж (?),
2т/
1
1
1
а'(т)
А(т)Х1 (т) т - t А^)Х1 (?) а(т) - а(?)
(23)
(24)
(25)
Ж± (?) = ±
1 И2(:) 1 г й2(т) dт
• +
I-
2 Х1+ (?) 2т/ V X* (т) т - ?
Известно (см., например, §7 монографии [6]), что если а(?), А^) Е Н(4)(V), то ядро
К(?т) е Н*(4)(V х V).
Теперь найдем предельные значения при г —— t Е V функций Е+ (г) и Е (г) , задаваемых по формулам (16). С учетом (23) и (24) из (16) получим
Е + ($) = Х+ (?)
X- (?)
IК (t, т)р(т¥т + Ж1+О) - 0,-1(?)
+х+ с )П (t-р )рр • р.ц)..
1=1
(26)
Е - (/) = -
П ('-Р )р
1=1
+X1- {г) Рх*(/),
1
Аа) Х+ (/)
р(0 +1К (^гУрт^т + Ж,- (О - 0р-1(/)
+
(27)
причем в формулах (26) и (27) в случаях х* < 0 нужно положить Р.( г) = 0.
Наконец, потребовав от функций Е+ (t) и Р - (t) , задаваемых формулами (26) и (27), чтобы они удовлетворяли условию «симметрии» (12), получим следующее интегральное уравнение типа Фредгольма относительно функции р(?) = Ф+ [а^)] :
X- (/)
П (* -Р )р
1
а(:) X; (г)
р(Г) + [ К (/, трт^т + Ж.- (/) - 0р-1 (/)
1=1
|К(/,т)р(тУт + Ж+ (0 - бцС)
+X; (/)П ((-Р, )р • Рх.(0
+)Рх.(/) =
или
1=1
где
(Dр)(t) = р(: ) + | йх (t, г)р(г)dг + [ ^ (:з г)р(г)dг = 0(: ), d1 (:, т) = - А(: ) X1+ (:) К (:, т),
(28)
d2(t ,т) = А(: Ж1+ (* )П (Г - Р1 (Г ,т) ’
1=1
Г [ ^
0(0 = -A(t)Xl+ (t) Ор^)-Ж1-(t)-Р (0Па-Р)р
1=1
■X;- (t )П (t - Р )рА(: )G*(t) (ж;+ (t) - 0Р_()) - ^ (t) 1-1
П ('-Р )р
1=1
• G (t)А(:^).
Замечание. Важно отметить, что в силу равенств (20) интегральное уравнение (28) будет
1
2
уравнением типа Фредгольма.
Воспользуемся известным утверждением (см., например, [3]) о том, что если пара
(Ф+ (г), Е+ (г) ) аналитических в круге Т + функций образует решение неоднородной задачи GK 3,
то и пара вида ( Е+(г), Ф+ (г) ) также образует решения этой задачи.
В силу указанного утверждения и обозначения (15) вывод уравнения (28) является одновременно доказательством следующей леммы.
Лемма 1. Если (Е+(г), Ф+ (г)) - решение вспомогательной задачи GK3 в исключительном
случае, то граничные значения Ф+ [а^)] и Е+ [а(t)] функций Ф+ (г) и Е + (г) соответственно представляют собой решения интегрального уравнения типа Фредгольма (28).
Предположим, что ( Е+(г), Ф + (г) ) - общее решение вспомогательной краевой задачи GK 3 в исключительном случае. Для того чтобы выделить среди решений (Е+(г), Ф + (г)) задачи GK3
функции Е+ (г), являющиеся решениями исходной задачи К3 в исключительном случае, нужно
потребовать, чтобы Е+ (г) = Ф+ (г), г Е Т +, или Е+ ($) = Ф+ ^) = р\_а(1)] , t Е V. Но
последнее равенство в силу (26), в свою очередь равносильно тому, что функции вида
Е+^) = р[а(t)], t е V , должны быть решениями интегрального уравнения типа Фредгольма
( щ(: )=р(: ) + |R(t,т)р(т)dт = 1^), t Е V, (29)
где ^ ,т) = - X1+[а(t )]К [а(t ),т],
1 (:) = Xl+[а(: )](<[а(t)] - 0р_1[аС)]) + Xl+[а(t )]П (а(t) - Р, )рРх* [а(:)].
1 =1
Таким образом, справедливо следующее утверждение.
Лемма 2. Если функция Е+ (г) - решение задачи К3 в исключительном случае, то ее
граничные значения Е+ (t) = р\_а(1)], t Е V, представляют собой решение интегрального уравнения типа Фредгольма (29).
Далее, также как и в случае прямого сдвига (см. [3]), можно установить следующее утверждение.
Теорема. Пусть а^) - обратный сдвиг контура Ь, удовлетворяющий условию (2), всюду на этом контуре выполняются условия (3)-(5), А(:) Ф 0 и ) имеет вид (7). Тогда решение задачи К3 сводится к решению системы интегральных уравнений типа Фредгольма, составленной из (28) и (29), то есть вида
(Dр)(t) = р(: ) + | й1 (^ т)р(т)йт + | й2 (t, т)р(т)йт = 0(: ),
L L (30)
<
() = Р(: ) +1 ^ = 1 ^).
При этом, если х = 1пЙО ($) — 0, то для разрешимости задачи К3 необходимо и достаточно, чтобы была разрешима система интегральных уравнений (30); если же х = ыо\: ) < 0, то для разрешимости задачи К3 необходимо и достаточно, чтобы была разрешима система интегральных уравнений (30) и для решений этой системы выполнялись *
- х - 1 условий вида (21).
Пример. Решить в классе А(Т + ) О Н(V) следующую краевую задачу
F+ [a(t)] = (t2 — 2) F+ (t) + 42 f t —1'] F+ (t) — — 4 + 9^/2 — 14t — V2t2 + 6t3, (31)
r t
где L = {t: |t| = 1}, a(t) = -. Решение. Перепишем (31) в виде
F+ (t) = -ЛгF [a(t)] — ^2 —1) F+ (t) +
+
t (t2 — 2)
1 ^+4—9V2+14t +V2»= — 6t3
t2 — 2 Л
t2 — 2
tt
t е L.
(33)
Вводя в рассмотрение вспомогательную аналитическую в T + функцию (11), краевое условие (32) можно переписать так:
F + (t) = (t2 — 1)Q(t)F- (t) + g(t), t е L,
где приняты обозначения:
G1(t) = ~У2 , g(t) = F+ [a(t)] + f^ + 4 — 9л/2 + 14t + V2t2 — 6t3
1 t(t2 — 2) t2 — 2 t2 — 2 ^ t2 t
Так как X = IndGy(t) = —1, то, считая временно F+[a(t)] известной функцией и решая задачу Римана (33) методом Ф.Д. Гахова (см., например, [5, с. 136]), получим
F+(Z) = X+ (Z) ¥+ (Z) — Q(z)
z е T+
F - ( ) X- ( ) ¥ (z) — Q1(z) T-
F (z) = X (z)------------------^— , z е T
z2 — 1
(34)
(35)
где X + ( z) =
z2 — 2
¥ (z) = —
z е T ; X (z) = z, z е T , 1 1 г _+, . s, dr
V2 2mi
r — z
1 1
-fl + 4 — 9^2 + 14r+ л/2г2 — 6r3
i J T2 T
dr
r — z
а Q1( z) = a1z + a0 - многочлен, удовлетворяющий следующим двум условиям
(—1) = Q1 (— 1); (1) = Q1 (1).
1
(36)
(37)
Так как Е (t) Е Н (V) , то в силу а^) = — имеют место следующие соотношения (см.,
например, [5, с. 40]):
2 F'(t) = 2- f dr, 2 F+[a(r)] = — 2- f F 4a(r)]tdr.
2 )m* т — t / )m* т — t т
2miiL r — t
2ni\ r — t r
(38)
С учетом (38), согласно формулам Сохоцкого (см, например, [5, с. 40]), из (36) при z —— t е L получим
¥+(t) = —-^— fF [a(r)]dr + 9 — 7>/2t — t2 + 3>/2t3, t е L, (39)
V2 2miJ r
r
(t) =
F+[a(t)] — — f
2mJ
1 fF+[a(r)]
\
dr
r
6 2л/2
+ T +-----------
t2 t
t е L.
(40)
Г 1 +г
+ Г~/1М , 77+Г
1
а0 =
2у[2
Е+[а(1)] + Е+[а(-1)] - — [Е [а(т)] йт
V т1ь т
Теперь с учетом (38)-(41) находим граничные значения функций Е+ (г) и Е (г), задаваемых по формулам (34)-(35):
(212 (Е+[а(1)] - Е+[а(-1)]): + ^ (Е+[а(1)] + Е*[а(-1)])1 -
Е+С) =
t2 - 2
t2 - 2
(3 - 9а/2: -12 + 3л/2:3), t е V
(42)
Е ■ (t) = -2—х ( (Е+ [а(1)] - Е+ [а(-1)]) t + ^ (Е+ [а(1)] + Е+[а(-1)])
+
+-^--и Е+ [а)] + t
6 2>/2 г— ^ t е Т
е -■ , 1 - + 6-2^ , .
Из (42), переходя к комплексно-сопряженным значениям, получим:
(43)
Е+ (0 =
-Т2: 2 Г 1
1 - 2t2 V 2л[2
(Е +[а(1)] - Е [а(-1)]) 1 + 222(Е +[а(1)] + Е +[а(-1)])^ -
л/2: 2 ( 9л/2 1 ^л/2
3 -
t t
-Т +
(44)
В силу равенств (42)-(44) нетрудно проверить, что система интегральных уравнений (30) в данном случае будет иметь вид:
Е+ а)] = 2 (Е +[а(1)] - Е +[а(-1)]) t + 2 (Е + И1)] + Е+ [а(-1)]) -
^ - 4+^+4t+272(^ - Еа‘)]) 1
2t(t2-1) 1 (Е |а(1)| + Е +[а(-1)])-^-1)Г
+
1 -2t2 2^/2' л/2: 2
I- 2t2
3 -
^2 1 3>/2
(45)
-- + ■
t Г Г
Е* [“С)] = ъ2й= Г ^ ( Е* [“(1)] - Е *[а(-1)]) * +
+
2^(Е+ [а(1)] + Е+ [а(-1)]) - 3 + ^ + 2, - 3^
t t2 :3
Из первого уравнения системы (45) нетрудно установить, что функция Е+ (^) может быть граничным значением аналитической в Т+ функции тогда и только тогда, когда
Е+[а(1)] = а + /Ь, Е+ [а(-1)] = 28 -14л/2 + (3 - 2^2)а + /Ь(3 + 2>/2), где а, Ь
произвольные действительные постоянные.
+
Подставляя найденные для Е +[а(1)] и
Е+
[а(— 1)] значения в систему (45), получаем
Е+[а(1)] = -6 + у/2, Е+[а(-1)] = 6 + 72.
Наконец, подставляя полученные константы в (42), получим Е+ () = -6t + >/2, а,
следовательно, F + (z) = —6 z + V 2, z е T +. Таким образом, краевая задача (31) имеет единственное решение вида F+ (z) = —6z + V2 .
The article is devoted to the investigation of three-element one-sided boundary value problem for analytic functions with a reverse shift of Carleman in so-called exceptional case. A constructive method for its solution was found and illustrated on a specific example.
The key words: boundary value problem, analytic functions, Carleman shift, exceptional case.
Список литературы
1. Расулов К.М. Трехэлементная односторонняя краевая задача со сдвигом Карлемана в классах аналитических функций в круге// Известия СмолГУ. 2008. №2. С. 94-104.
2. Расулов К.М. О решении трехэлементной краевой задачи со сдвигом Карлемана в классах аналитических функций в круге // Весшк Гродзенскага Дзяржаунага ушверспэта 1мя Яню Купалы. Серыя 2. Матэматыка. Ф1з1ка. 1нфарматыка. Гродно, 2010. № 3(102). С. 31-37.
3. Расулов К.М. Метод интегральных «ловушек» для решения трехэлементной краевой задачи со сдвигом Карлемана в классах аналитических функций// Системы компьютерной математики и их приложения: Материалы международной конференции. Смоленск: СмолГУ, 2012. Вып. 13. С. 191212.
4. Литвинчук Г.С. Краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения со сдвигом. М., Наука, 1977. 448 с.
5. Гахов Ф. Д. Краевые задачи. М.: Наука, 1977. 640 с.
6. Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегральные уравнения. М.: Наука, 1968. 511 с.
Об авторе
Перельман Н. Р. - Смоленский государственный университет, кафедра математического анализа, аспирант. е-mail: nataly@mannet.ru;
Расулов К. М. - доктор физико-математических наук, Смоленский государственный университет, заведующий кафедрой математического анализа, профессор.
THREE-ELEMENT ONE-SIDED BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR ANALYTIC FUNCTIONS WITH A REVERSE SHIFT OF CARLEMAN IN EXCEPTIONAL CASE
N.R. Perelman, K.M. Rasulov
