CC BY
10
V = 1 V = 2
7 а аЯар аЯарМой а аЯар аЯарМой
1.01 0.9475104 0.94772 0.9475113 0.9018677 0.90240 0.9018662
1.05 0.9071206 0.90741 0.9071216 0.8322469 0.83289 0.83225Ю
1.10 0.8852480 0.88552 0.8852470 0.7959697 0.79655 0.7959667
1.20 0.8611630 0.86137 0.8611613 0.7571418 0.75759 0.7571354
9/7 0.8480493 0.84821 0.8480485 0.7365975 0.73695 0.7365947
1.30 0.8462231 0.84638 0.8462225 0.7337767 0.734П 0.7337746
7/5 0.8353231 0.83543 0.835323з 0.7171745 0.71742 0.7171754
1.50 0.8267475 0.82683 0.8267478 0.7044280 0.704бо 0.7044293
1.60 0.8196996 0.81975 0.8196997 0.6941895 0.694зо 0.6941898
5/3 0.8156249 0.8156б 0.8156249 0.6883768 0.68845 0.6883767
1.70 0.8137404 0.81377 0.813740з 0.6857165 0.68577 0.685716з
1.80 0.8085999 0.80861 0.8085998 0.6785536 0.67857 0.6785535
1.90 0.8040990 0.804ю 0.8040990 — — —
Максимальная относительная погрешность вычисления значения а с использованием модифицированного метода Я.Г. Сапункова, когда параметр I определяется то формуле (5) (для V = 1) или (6) (для V = 2), по сравне-
а
составляет не более 0.215 • 10-3% (для V = 1) и 0.882 • 10-3% (для V = 2). Автор благодарит И.А. Чернова за внимание к работе.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Сапунков Я. Г. Приближенное аналитическое решение задачи о сходящейся ударной волне // Математика, Механика: Сб. науч. тр. Саратов: Изд-во Сарат, ун-та, 2007, Вып. 9, С. 145-147.
УДК 533.6.011
Е.О. Кузнецова
ТРАНСЗВУКОВЫЕ РАЗЛОЖЕНИЯ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗГ-РЕШЕНИЙ
В данной статье изучен вопрос построения первых двух поправок в трансзвуковых разложениях с использованием решений Заславского - Гриба (ЗГ) в качестве нулевого приближения.
В статье [1] рассмотрены трансзвуковые разложения, в которых решение уравнений газовой динамики представляется рядом по степеням малого параметра (характеризующего отклонение от однородного потока). В первом приближении решается система уравнений Кармана - Фальковича, для дальнейших приближений получают неоднородные линейные уравнения, правые части которых зависят от предшествующих слагаемых.
Основное уравнение для потенциала р (х,у) возмущения звукового потока в случае плоско-параллельного течения невязкого совершенного газа имеет вид
/ ^ /7 + 1 2 7 - 1 2 \
- (7 + 1) Рх Рхх + Руу = ( - + Ру ) Рхх +
+ 2 (Ру + РхРу) Рху +
7 + 1 2 7 — 1 ^ 2ч
—Ру + ^^(2Рх + РХ) Руу.
Решение ищется в виде ряда (черточки далее опущены): Р = Ро (Х,У) + £2Р1 (х,У) + Ру (Х,У) + ...,
где
_ х _ _ р х = -, У = Р = "з.
Р1 Ру
Р0 Р1
поправкой Хейза:
( ) 27 + 5 + —27 + 5
Р1 (х У) = 10 УРохРоу + —10— РоРох. (1)
Основная система трансзвуковых уравнений для нулевого приближения получается в форме
— (7 + 1) ио (х,у) иох + Уоу = 0, (2)
Щу — ^ох = 0. ()
Класс решений ЗГ имеет вид (здесь що, -ио - пулевые приближения скорости, у = й - параметр)
х = хо (й) + й£2, Що (М) = Щоо (й) + Що2 (й) £2, (3)
^о (5, £) = ^о1 (й) £ + ^оз (й) £3.
Сделаем замену переменных в системе (2) от х, у к й, используя выражение для х из (3), затем подставим що, що из (3), соберем коэффициенты при степенях £ и получим систему для коэффициентов в представлении ЗГ для нулевого приближения що, що:
, ч Щоо (7 +1) / ч ^л
Ы* = —-—-772, (щоо)5 =
7Що2 + Що2 — 4й2' 5 7Що2 + Що2 — 4й2'
, ч — 3^оз+4йЩо2 ( ч 2 ( —3'Уо1+7ЩооЩо2+ЩооЩо2) (ио2)5 =--■-, (^о1)8 =-■--, (4)
7Що2+Що2—4й2 7Що2+Що2—4й2
2 (—35^о3 + 7Щу2 + Щу2)
(^оз)8 = —-:-—-.
7иоу + иоу — 4й2
Поскольку
Рох = Що (х, У) , Роу = V) (х, у) ,
Ро
Ро (й, £) = Роо + 0Що1 + Щоо^ £2 + Щоо + 2йио2^ £4,
Роо = / "°+(7 + 1]4 у * + С. (5)
] 7Що 2 + Що 2 — 4й2
Теперь получим щ1? щ через коэффициенты в предетавлении щ0, щ0.
х
от р0 по х - щ0, Р0 по у - щ0, сделаем замену переменных по (3), подставим щ0, щ0 из (3), подставим (4) и (5), соберем коэффициенты при степенях £ в числителе и знаменателе, в итоге получаем следующее:
Щ1 = А • (К16£6 + Кн£4 + К12£2 + Кт) ,
К16 = 847йЩозЩо2 + 120А02 — 75^ — 487й2що2+
+ 190й^озЩо2 — 187^3 — 87 2що2 — 687щ°2 — 60щ°2,
С\
К14 = 240й ЩооЩо2 + 3б7йЩо2Що1 + 727йЩооЩоо—
О 0 0 о
— 1487ЩооЩо2 — 115^о1^оз — 87 Що2Щоо — 967й ЩооЩо2 + 150^02^01 —
— 140ЩооЩо2 + 60йЩооЩоз — 187^0^00,
О 0 0
К12 = —60^озРоо + 247 ЩооРоо + 247йЩооЩ01 + 87 ЩооЩо2—
— 327Й2ЩОо + 80й2 Щоо — 927ЩОо Що2 — 100ЩооЩо2 — 47^ +
+ 20йЩооЩо1 — 327йЩо2Роо — 30Щ° + 80йЩо2Роо,
ООО о
Кю = — 20щоо + 87 Щоо — 87^1 Роо — 20йо1Роо — 127Щ00; V = А • 2М17£7 + М15£5 + М1з£3 + Ми£) ,
ооо 00
М17 = 507йщо2 + 30ЙЩ02 — 937що2^оз + 75йщоз + 110й Щ00Щ02—
— 75^^03 + 2072йщо2 — 127й2що2Щоз — 187 2Що2Щоо + 18734},
О О
М15 = —60щ22^о1 + 140й Щоо^оз + 187^01^03—
О О
— 125що2ЩозЩоо + ШйЩнЩоо — 247й ЩооЩоо — 307 ЩооЩооЩо2— — 687-^02^01 + 447^Щ^Щоо — 87 2щ02Що1 — 47S2Щ02V01 —
0 0 о
— 1557Що2ЩозЩоо + 50sщооЩo2 + 90й Що2^о1 + 947йщ02щоо,
0 0 О о о
М10 = 87 Щ22Роо + 247SЩ00Щ00 + 447sЩoоЩоo — 87 й Щ00Щ01 —
О 0 0
— 247йЩозРоо — 1027Щ02Щ01Щ00 — 127 ЩооЩо1Що2 — 50щ°оЩоо + 30йЩо1 — — 20щ02Роо + 47sv0l + 100й2 Щ00Щ01 — 90що2Що1Щоо — 60£ЩооРоо—
— 627щ0о Щоо — 127Що2 Роо + 20йщ0о Що2 — 1272ЩооЩоо,
0 0 О
М11 = 20йЩо1Роо — 47 ЩооЩ01 — 87йЩ01Р00 — 30щооЩо1 —
О О
— 347Щ00Щ01 + 87 що2ЩооРоо — 127Що2ЩооРоо — 20що2ЩооРоо;
Д = 1/ [(80s2 - 207М02 - 2OU02) t2 - 2O7M00 - 20noo] .
Таким образом, решив систему (4) и подставив в (3) для получения нулевого приближения, можно найти первую поправку (ui5 vi), а также (u2, v2), которая имеет весьма громоздкий вид. Поправки описываются рациональными функциями параметра t, тогда как нулевое приближение - полиномиальное.
Автор благодарит И.А. Чернова за внимание к работе.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Брежнев А.Л., Чернов И.А. О трансзвуковых разложениях // IIMM. 1987. Т. 51. С. 708-710.
УДК 624.131+539.215
А.Г. Маркушин
ОБ ОСНОВНЫХ ДЕТАЛЯХ ПОСТРОЕНИЯ ТЕОРИИ ИСТЕЧЕНИЯ СЫПУЧЕГО ТЕЛА С ТВЕРДЫМ ЗЕРНОМ
При решении инженерных задач, связанных с конструированием бункерного оборудования для хранения и переработки сыпучих материалов, необходимо иметь математическую модель движения сыпучих сред, которая позволяла бы делать количественные оценки их поведения и функционирования конструктивных элементов этого оборудования в процессе его эксплуатации. Последнее невозможно без создания теории движения сыпучей среды, адекватно описывающей ее главные свойства, проявляющиеся при истечении из бункерных устройств. К числу таких свойств сыпучего тела относится, прежде всего, свойство образования запирающих динамических сводов, полностью прекращающих истечение или ответственных за явление пульсации при истечении [1].
Сыпучее тело, отдельные зерна которого не испытывают пластических деформаций ни при каких обстоятельствах его переработки, будем называть твердозёренным сыпучим материалом или сыпучим телом с твердым зерном. Понятно, что предел текучести отдельных зерен подобного сыпучего тела должен быть во много раз (в десятки раз) большим предела пропорциональности самого сыпучего материала. К таким материалам относятся все каменные и рудные породы мелкой фракции, пески, металлическая и стеклянная крошка и т.д.
Построение указанной теории начато в работах [2, 3]. Приведем здесь основные детали построения, опираясь на теорию пластического течения сплошной среды при переменных нагружениях [4-6], в силу того, что именно она положена в основу развиваемой в [2, 3, 7-13, 14] теории. Составными элементами этой теории являются соотношения и уравнения равновесия теории
