Транспортная модель с кусочно-заданными нелинейными издержками Текст научной статьи по специальности «Математика»

Медвежонков Д. С. УДК [51.001.57+519.853]:656

ТРАНСПОРТНАЯ МОДЕЛЬ С КУСОЧНО-ЗАДАННЫМИ НЕЛИНЕИНЫМИ ИЗДЕРЖКАМИ1

Рассматривается математическая модель транспортной системы, в которой однородный продукт передается по транспортным ветвям из пунктов производства в пункты потребления. Издержки на передачу линейно зависят от объема передачи по ветви, пока объем ниже некоторого критического для каждой ветви значения. Когда объем выше этого значения, издержки возрастают нелинейно.

Модель в виде задачи оптимизации, описывает оптимальное по суммарным издержкам на транспорт распределение потоков по ветвям при заданных предельно возможных объемах снабжения узлов-источников и заданных предельно необходимых объемах снабжения узлов -потребителей.

Предельно возможный объем снабжения узлов-источников не совпадает с предельно необходимым объемом снабжения узлов-потребителей, в связи с этим в целевую функцию входят слагаемые, отражающие штрафы за недопоставку требуемого продукта в узлы-потребители.

Эта модель возникла при проведении исследований в области проблем живучести больших трубопроводных систем - транспортных составляющих систем газо-, нефте- и нефтепродукто-снабжения [3]. В ситуации, когда объем передачи на некоторых ветвях сети выходит на границы пропускной способности и может на некоторую величину превышать их, требуется определить наиболее безопасные маршруты - маршруты, где превышение минимально.

Описание транспортной модели

Транспортная сеть задана направленным графом, имеющим т узлов (источники, потребители или узлы разветвления), и п ветвей (транс-

портные связи). Матрица инциденций А графа содержит элементы а7/, которые равны:

0, если узел 7 не связан с ветвью /, -1, если узел 7 является началом ветви /, +1, если узел 7 является концом ветви /. Для 7-го узла заданы величины й, и Ъг-, г = 1, ..., т . Если Ъг = 0 , а Ъг > 0, то в 7-м узле расположен потребитель с предельно необходимым объемом снабжения Ъг . Если Ъг < 0, а Ъ = 0, то в узле расположен источник, максимально допустимый объем снабжения которого равен |Ъг |. Если й, = 0 и Ъ{ = 0, то в 7-м узле находится узел разветвления без источника и без потребителя. Обозначим 1сош множество номеров узлов, в которых расположены потребители, а - множество номеров узлов, в которых расположены источники. Обозначим переменной Ь вектор

(Ъ,. ., Ът )Т , состоящий из объемов снабжения в узлах сети.

Обозначим переменной х вектор (хг,..., хи )Т, состоящий из объемов перевозок по ветвям сети. Каждая компонента х, вектора х в связи с наличием ограничений снизу на объем потока должна удовлетворять условию хг > хг, где

X! > 0 - заданная величина. Для /-ой ветви задана величина х}-, где х} > , } = 1,..., п . Если объем перевозки X} удовлетворяет условию х}- е [х}-, х}- ] , то издержки на этом интервале заданы линейной функцией от объема. Если х}- > х ■, то издержки

заданы нелинейной функцией от объема.

Обозначим Z - множество непрерывно дифференцируемых функций вещественного аргумен-

1 Работа поддержана грантом РФФИ 09-01-00306-а

та, равных нулю в нуле, производные которых монотонно возрастают и равны нулю в нуле.

Переменные издержки на передачу продукта по ветви ] представимы в виде суммы линейной и кусочно-заданной функций от объема передачи:

+ (Х} ) , (1)

где Я] - коэффициент линейной части, а функция Г; (X;) представима в виде:

F (X) =

(О, Xj < Xj < Xj,

[Fj (xj - Xj), xj > Xj,

где Fj ( • ) - функция из множества Z.

Исходная задача оптимизации

Рассмотрим задачу поиска объемов перевозок по ветвям и снабжения узлов:

P(x,b) = F(Xj) + SjXj)+ Xg(b -b) ^ min (2)

j=i

при ограничениях

Ax = b, x > x,

b < ъ, < о, i g is

0 < b < ъ, i G T

(3)

(4)

(5)

(6)

fj (X) =

I0, Xj <X <xj,

If (xj- xj), xj > xj

(7)

Пусть и = (щ, ..., ит)Т - вектор множителей Лагранжа ограничений (3) исходной задачи. Обозначим п = (Л, •■■, Лп)Т - вектор множителей Ла-

гранжа

для

ограничении-неравенств

(4),

пь = (лЬ, •, ЛЬт)Т и уь = V,..., уьт)Т - векторы множителей Лагранжа для нижних и верхних ограничений-неравенств из (5) и из (6). Построим функцию Лагранжа для задачи (2)-(6):

L(x, b, u, п, Пъ, vъ) = Z Fj (Xj)

j=i

+sjXj + Z (ъ- ъ) -

iGI™n?

-z u ({ax\ - b)-zij (xj - xj) - zvb (b - b>)+

,=1

+

j=1 b

iGl„,

ZV (ъ) - Zvb (ъ) - Zvb (ъ - ъ).

iGl„

iGl„

iG Ir

Целевая функция представляет собой сумму издержек на передачу продукта по ветвям и суммарный штраф за недопоставку продукта в узлы-потребители. Здесь gi - коэффициент штрафа за недопоставку в узел 7. Условие (3) описывает материальный баланс входящих и выходящих потоков во всех узлах. Условия (3), (4) накладывают ограничения на объем перевозок по каждой дуге. Условия (5), (6) накладывают ограничения на объемы снабжения узлов-источников и узлов-потребителей. Векторы х и Ь, для которых выполняются условия (3)-(6), будем называть допустимыми. Будем называть задачу (2)-(6) исходной задачей оптимизации.

Эквивалентная система уравнений к исходной задаче оптимизации

Обозначим fj (•) производную по своему

аргументу функции Г; (•), а /; (X;) - производную по х ■ функции Г; (X;). Заметим, что

Построим систему уравнений и неравенств от переменных х, Ь,и, п, П, Vй . Вначале найдем частные производные от функции Лагранжа по переменным х, Ь, и и приравняем эти производные к нулю, затем составим условия дополняющей нежесткости для ограничений (3)-(6) и перемен-

ь ь ных п, П , V .

]}(х;) + sJ-[лТи[.-Л; = 0, ; = 1,..., п, (8)

-v, = о

U, -ПЪг + Vh, = 0 , i G Ts

(9)

u -g,-vV + V = 0, i gicons, (10)

{Ai], -ъ = 0, i = 1,...,m, (11)

Xj - Xj > 0, Vj (Xj - Xj) = 0, Vj > 0, j = 1,..., n, (12)

ъ -bt > 0, V(ъ -b,) = 0, VV >0, i GIsrc, (13)

ъ < 0, ъ (vb ) = 0, vb > 0 , i G Is

(14)

b - b, > 0, vb (b, - b,) = 0, vb > 0, i e Icons, (15)

b, > 0, b (rtb ) = 0, v, > 0 , i e IconS • (16) Теорема 1. Для того чтобы векторы x, b составляли решение задачи (2)-(6), а векторы u, п, П b, vb являлись множителями Лагранжа ограничений (3)-(6) исходной задачи необходимо и достаточно, чтобы векторы x, b, u, п , П b, v b составляли решение системы (8)—(16).

Доказательство. Система (8)-(16) является записью условий оптимальности Куна-Таккера для задачи (2)-(6). Из выпуклости целевой функции задачи (2)-(6) и линейности её ограничений по теореме Куна-Таккера [1] следует необходимость и достаточность существования решения системы

n

иркутским государственный университет путей сообщения

(8)-(16) для существования решения и оптимальных множителей Лагранжа задачи (2)-(6). Теорема доказана.

Замечание. Переменные rf, vb можно исключить из системы (8)-(14) заменив их следующими выражениями:

rf = (u,)+, vb = (-ut)+, i 6Isrc, (17)

rf =(-ui + gi)+, vb =(ut -gi)+, i 6Ic0ns , (18)

где символом ( )+ обозначена неотрицательная срезка величины в скобках:

(а)+ = max (0, а). Экономическая интерпретация исходной задачи и эквивалентной системы

Вектор переменных u в системе (8)—(16) имеет смысл вектора цен на продукцию в узлах.

Величина (ATu). для j = 1, ..., n будет представлять собой увеличение цены в конечном узле ветви j по сравнению с начальным.

Величина fj (Xj) + sj - rf. совпадает с увеличением цены на ветви j, её будем считать тарифом на перевозку по ветви j=1, ..., n. Согласно (8) увеличение цены по ветви j происходит за счет

предельных издержек f (x.) + s. и дополнительного слагаемого - rf, которое представляет собой индикатор достижения ограничений снизу на величину потока. Если rf > 0 на ветви j, то Xj = Xj

(т.е. достигнуто ограничение снизу), а если rf = 0, то X — Xj. Абсолютное значение rf показывает

насколько тариф ниже предельных издержек на ветви j.

Аналогично, компоненты векторов П, vb - есть индикаторы достижения предельного снабжения в узлах-источниках и узлах-потребителях.

Если в 7-м узле-источнике rf > 0, то b = b (т.е. достигнут уровень предельно допустимого снабжения). Иначе, если rf = 0, то b — bi ■ Если в 7-м узле-потребителе vb > 0, то bt = bt (достигнут уровень предельного необходимого снабжения). Иначе, если vb = 0, то b1 < b1.

Двойственная задача оптимизации

Две дифференцируемые функции Fj (%) и

Ф ■ (у) из Z будем называть сопряженными, если

их производные (%) = (%)/ dx и

р.(у) = dФ■ (у)!dy являются взаимно обратными:

(Р} (У)) = У, (} (1} (1)) = 1.

Это понятие сопряженных является частным случаем сопряженных функций Лежандра и Фенхеля [4, 5].

Введем вектор у = (у, ..., уп )Т, каждая компонента у которого связана с компонентой х. соотношением:

у} = х ) , для } = 1,..., п . (19)

Обратная функция к / . обозначена р., таким образом из (7) и (19) следует, что каждая компонента вектора х связана с компонентой вектора у соотношением:

[х,х], У} = 0 ] [(}(У}) + х, У} > ^

для } = 1,..., п .

Введем функцию Ф ■ (у) из множества 2 сопряженную к ¥■ (%) из 2:

x, =Ф, (У,) = ■

(20)

Ф

у

(у) = jV/ (*)dT , для j

= 1,..., n.

Обозначим символом ф следующую функцию:

ф(У})-ф}(У}) + х}У}, } = 1... п . Функция Ф} (У}) является сопряженной к

функции (х} ) .

Рассмотрим задачу оптимизации с перемен-

Ъ Ъ

ными у, и, п, П , V :

DP(y,n, ць , v ь ) = £ Ф; (y}.) - £ xrfj

j=i

j=i

brfb + £ bvb ^ min (21)

i6^src i6^cons

y.j + Sj-\atu\ - n. = 0, j = 1,..., n, (22)

u - nb + vb = 0, i 6 Isrc, (23)

u, - g, -rf + vb = 0, i 6 Icons, (24)

rfj > 0, j = 1,..., n,

rf — 0, i = 1, ..., m ,

(25)

0

n

n

m

m

V6 > 0, i = 1, ..., m . (27)

Как будет показано далее, задача (21)-(27) имеет с задачей (2)-(6) одинаковые условия оптимальности и переменные в каждой из этих задачах являются множителями Лагранжа для ограничений другой из них. Поэтому задачу (21)-(27) будем называть двойственной задачей оптимизации к исходной задаче (2)-(6).

Теорема 2. Для того чтобы векторы у, и, п , П Ь, V Ь составляли решение задачи (21)-(27), а векторы х, Ь являлись оптимальными множителями Лагранжа для ограничений (22)-(24) двойственной

задачи необходимо и достаточно, чтобы векторы

. ь ь

х, Ь, у, и, п, П , V составляли решение системы

(8)—(16), (19).

Доказательство. Запишем функцию Лагранжа для задачи (21)-(27)

п П

L(у,и,л,Л,у6,х,Ъ) = 1 (Уз)"XХЛз -

з=1 1=1

т т п

- XЪЛ + XЫ "XХз(Уз + -[АТи]з-Л])

-г п

1=1

+ Хъ(иг-лЪ + уЬ) + Хъ(и - gI-лЬ + уЬ) .

Условия Куна-Таккера для задачи (21)-(27) построенные с использованием функции Лагранжа отличаются от системы (8)-(16) следующими условиями:

~(У]) - Х = 0, ] = 1,..., п , (28)

У] + -

к 4-лз=о, 1=1,..., п.

(29)

где условия (28) - дополнительные, а условия (29) используются вместо условий (8).

Замечаем, что функции (х) и ^ (/) взаимообратные. Поэтому равенства (28) перепишем в виде (19). Следовательно, равенства (29) можно переписать в виде (8). По теореме Куна-Таккера с учетом выпуклости целевой функции (21) и линейности ограничений (22)-(27) получаем необходимость и достаточность существования решения системы (8)-(16), (19) для существования решения задачи (21)-(27). Теорема доказана.

Экономическая интерпретация двойственной задачи

Величина Ф ■ (у ■) имеет следующую интерпретацию:

1) если Л]= 0 , то Ф. (у.) - прибыль перевозчика от транспортировки продукта по ветви у, связанная с формированием тарифа по предельным издержкам,

2) если Л]> 0 , то Ф . (у ) - возможная прибыль перевозчика от транспортировки продукта по ветви у, которую он получил бы, если бы на ветви тариф был равен предельным издержкам.

Если Л]> 0 , то х. = Х] . Тариф меньше предельных издержек на величину л. Величина ХЛ представляет собой нехватающий объем

средств, чтобы плата за передачу по ветви у была равна плате по тарифу по предельным издержкам.

Величина - ЬлЪ (которая равна - Ьг (щ X) представляет собой стоимость снабжения /-го узла-источника максимально допустимым объемом продукта при неотрицательной цене щ . Величина

Ъуъ равна Ъi (gi - иг)+ и представляет собой возможные затраты на выплату штрафа за недопоставку продукта в /-й узел в объеме, равном максимально необходимому, за вычетом платы за снабжение узла-потребителя тем же объемом продукта, при цене продажи не превышающей цену штрафа.

Решение исходной задачи алгоритмом внутренних точек

Для решения используем алгоритм внутренних точек [2]. При реализации алгоритма будем считать:

Р} X) = й]Хг.

Выберем начальное приближение х°, Ь° к решению задачи (2)-(6), удовлетворяющее ограничениям-неравенствам (4)-(6). Реализуем итерационный процесс, в котором на каждой итерации будет выбираться направление корректировки из решения вспомогательной задачи и с некоторым шагом вдоль выбранного направления осуществляться корректировка текущего приближения. Если текущее приближение не удовлетворяет ограничениям-равенствам (3), то процесс переходит в первую фазу - фазу ввода в допустимую область. Иначе процесс переходит во вторую фазу - фазу оптимизации в допустимой области.

иркутским государственный университет путей сообщения

1 п

0(Дх, ДЪ) = - ^

(Ах, )2

+

1 т

1 I-

2 }1(х) - х, )2 (дъ, )2

+

2 ^ттЪ - ъ},ъ} - ъ))

->ш1п, (30)

при ограничениях

где

[ЛДх^-ДЪ, -г) = 0, г = 1,..., т, (31)

гЧ . ЪЧ -[лхк

г = 1,..., т.

А для второй фазы - в следующем виде:

п — 1 п _ / ч

I ~ (х) ^ +11 } хК- )2 +

}=1

}=1

+

Шаг вдоль направления корректировки будет осуществляться так, чтобы не выйти за границы допустимой области и при этом:

1) на первой фазе - уменьшить невязки ограничений-равенств (3),

2) на второй фазе - оптимизировать значение целевой функции (2).

Вспомогательную задачу поиска направления корректировки текущего приближения для первой фазы алгоритма представим в виде:

Дх} =

[лТи ] (хЧ - х} )2, }

= 1,

ДЪ, = (-и,)Ш1П(Ъ} -,Ъ} -Ъ Ч)2,г = 1, ..., т

I^Ах] - Ig1 ДЪ +©(Дх, ДЪ) ^ ш1п, (32)

}=! ,е1соп,

при ограничениях

[ЛДх], - ДЪ = 0, , = 1, ..., т . (33) На первой фазе, в отличие от второй, в целевой функции вспомогательной задачи не используются слагаемые аппроксимирующие целевую функцию исходной задачи (2)-(6), а только слагаемые представляющие штрафы за выход переменных на границы ограничений (4)-(6). А в огра-

к ■ 1

ничениях присутствует слагаемые г, , ' = 1, ..., т , отражающие невязки текущего приближения.

Итерационный процесс состоит из следующих шагов.

1 шаг. Поиск направлений корректировки Дх, ДЬ и вектора множителей Лагранжа и. В зависимости от фазы решаем вспомогательную задачу (30)-(31), либо (32)-(33). Для этого с использованием правила множителей Лагранжа записываем условия оптимальности для вспомогательной задачи и выражаем аналитически переменные Дх, ДЬ через неопределенные множители Лагранжа - вектор и . Для задачи (30)-(31) эти выражения следующие:

Для задачи (32)-(33) получаем выражения:

1+г(х}м-х})2 ! }"••..• !

ДЪ, = (-и,)ш1п(ЪЧ -Ъ,,Ъ} -Ъ))2, , е 1„с, ДЪ, = (-и, + g, )ш1п(ЪЧ - Ъ,, Ъ - ЪЧ )2, , е ¡со,,,.

Подставляем эти выражения на первой фазе в (31), а на второй - в (33). Получаем систему линейных уравнений относительно переменных и7, , = 1, ..., т . Решим систему относительно вектора переменных и методом Холецкого. Зная и, вычислим значения переменных Дх, ДЬ .

2 шаг. Проверка критерия останова. Для допустимого приближения хк, Ьк проверим выполнение с заданной точностью условий оптимальности (8)-(16). Если каждое из условий выполнено с точностью е , где е - параметр точности оптимизации, то завершаем работу алгоритма, иначе переходим к следующему шагу.

3 шаг. Расчет величины Я . Найдем величины Я, Я, А3:

Я\ = ш1п {х, -хЧ Дх, : Дх, <0}

11 }'е{1,...п} } ]< ] } ;

А12 = Шт г{Ъ -Ъ-1 ДЪ, : ДЪ, < 0}, Аз = ш1п { Ъ - Ъ,Ч/ДЪ, : ДЪ > 0}.

Найдем величину Я = ш1п{Я11, А2, Я3},

со-

ответствующую кратчайшему шагу до границы области, формируемой ограничениями-

неравенствами (8)-(16).

4 шаг. Выбор величины шага Я .

Если алгоритм находится в первой фазе (режиме ввода в допустимую область), то:

1) если кратчайший шаг Я до границы области, формируемой ограничениями-неравенствами (8)-(16) меньше единицы, то назначаем Я = у\, где у - параметр метода, у е (0;1) (можно, например, взять 0.9).

2) если шаг А > 1, то назначаем Я = 1, переходим к шагу 7 и переводим алгоритм во вторую фазу.

п

п

Если алгоритм находится во второй фазе (режиме оптимизации в допустимой области), то рассчитываем величину Л как решение задачи оптимизации целевой функции зависящей от одной переменной Лк - величины шага вдоль направления корректировки текущего приближения:

Л = аг§тт

Лк е[0Д]

з=1

хк + Лк Ах,) +

+ 5,.(хк + Лк Ах,)

X \ Ъ + Лк АЪ )

. (34)

При решении задачи (39) используем метод дихотомии с критерием останова по длине текущего вложенного отрезка (длина отрезка меньше параметра оптимизации 3) и по удаленности от нуля производной целевой функции (производная по модулю меньше 3).

Далее назначаем Л = тт{Л, Л }. Если после этой операции шаг Л равен кратчайшему шагу Л до границы области, формируемой ограничениями-неравенствами (8)-(16), то назначаем Л = у\ .

6 шаг. Проверка условия выхода из допустимой области. Если во второй фазе алгоритма выполняется условие:

8

тах {г,

Г }>8,

\ г ) 1 АП

100

(35)

Таблица 1

Результаты расчетов

Размер Кол-во Невязки Точность

задачи итера- ограниче- выполне-

(число ций ний ра- ния усло-

узлов, метода венств в вий опти-

число вет- внут- точке ре- мальности

вей) ренних точек шения

(7, 10) 13 1.131*10-10 0.00437

(7, 22) 16 5.222*10-12 0.00571

(25, 30) 23 2.469*10-9 0.00144

(50, 67) 41 2.381*10-/ 0.00332

(100, 116) 68 1.865*10-/ 0.00931

(200, 218) 81 1.484*10-7 0.00641

(200, 240) 93 8.749*10-7 0.00689

то переводим алгоритм в первую фазу и переходим к следующему шагу.

7 шаг. Корректировка текущего приближения с шагом Л.

Вычисляем:

х^1 = хк + ЛАх, (36)

Ь^1 = Ьк + ЛАЬ (37)

и переходим к первому шагу.

Практические расчеты

С использованием алгоритма внутренних точек, реализованного на языке программирования С++, были проведены расчеты на тестовых задачах. Для формирования тестовых задач была разработана специальная программная среда, позволяющая задавать исходные данные модели. Результаты вычислений для рассчитанных примеров приведены в таблице 1.

Проведенные расчеты показали равномерное увеличение числа итераций метода внутренних точек с ростом размера задачи. Реализованный алгоритм позволил успешно решить задачи среднего размера для описанной модели.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Базара М., Шетти К. Нелинейное программирование. Теория и алгоритмы : пер. с англ. М. : Мир, 1982. 583 с.

2. Дикин И. И., Зоркальцев В. И. Итеративное решение задач математического программирования: алгоритмы метода внутренних точек. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 1980. 144 с.

3. Еделев А. В. Разработка специализированной инструментальной среды для исследования проблем живучести больших трубопроводных систем : дис. ... канд. техн. наук : 05.13.18. Иркутск, 2001. 107 с.

4. Зоркальцев В. И., Хамисов О. В. Равновесные модели в экономике и энергетике. Новосибирск : Наука. Сиб. отд-ние, 2006. 221 с.

5. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. М. : Мир, 1973. 470 с.