CC BY
27
Вестник КемГУ № 4 2009 Физика
УДК 548.1.02:548.713
ТРАНСЛЯЦИОННО-СОВМЕСТИМЫЕ МНОГОГРАННИКИ ДИРИХЛЕ-ВОРОНОГО ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ ОРИЕНТАЦИЙ ОСЕЙ ГОЛОЭДРИЙ
А. С. Поплавной, Р. И. Филиппов
Работа выполнена при поддержке целевой программы “Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2010 гг.), проект 2.1.1.1230”.
Представлен способ решения задачи о построении трансляционно-совместимых многогранников Ди-рихле-Вороного, отвечающих подрешеткам сложных кристаллических соединений. С использованием параметров Зеллинга эта задача сводится к задаче линейного программирования, которая может быть решена на персональном компьютере при условии ограничений на величину отношения объемов трансляционносовместимых многогранников. Получены частные решения для кубической и тетрагональной систем, отвечающие различным ориентациям реперов Браве и сортов многогранников.
A way of solving problem concerning a construction of translational-compatible Dirichlet-Voronoi polyhedra corresponding to complex crystal compound sublattices has been developed. By using the Zelling parameters one accomplishes a problem of linear programming which can be solved by means of a personal computer on condition that a value of relation of translational-compatible polyhedra volume is restricted. Particular solutions for cubic and tetragonal systems characteristic of various orientations of holohedral axes have been found.
Ключевые слова: решетки Браве, трансляционно-совместимые подрешетки, многогранники Дирихле-Вороного, линейное программирование.
Многогранники Дирихле-Вороного (МДВ) или зоны Бриллюэна (ЗБ) используются при решении многих задач кристаллографии, кристаллофизики и кристаллохимии. Для определения сорта МДВ(ЗБ) принято использовать известный алгоритм Делоне [1]; комбинаторно-симметрийная классификация этих многогранников представлена в статье [2]. С областью Дирихле решетки принято связывать приведенный четырехсторонник этой решетки, называемый основным четырехсторонником Зеллинга.
Этот четырехсторонник определяется приведенными параметрами Зеллинга, которые являются геометрическими константами решетки [1].
Сказанное относится к простым решеткам.
Сложная кристаллографическая структура может быть представлена как совокупность вложенных подрешеток, представляющих собой решетки Браве
[3]. Такое представление оказалось продуктивным при исследовании особенностей спектров элементарных возбуждений сложных кристаллов [4], в том числе колебательных спектров [5]. Методы исследования, представленные в [3], [4], [5], предполагают построение трансляционно-совместимых МДВ и соответствующих им ЗБ. Это необходимо при теоретико-групповом анализе симметрии каждой под-решетки и кристалла в целом, в частности, при перестройке ЗБ подрешеток в ЗБ кристалла, разложении соответствующих неприводимых звезд представлений и групп точечных симметрий.
В настоящей работе нами представлен метод построения трансляционно-совместимых МДВ(ЗБ), отвечающих подрешеткам сложных кристаллических соединений.
При построении сложных кристаллических структур из подрешеток Браве необходимо наложить на последние требование трансляционной совместимости. Пусть (a, b, c ) и (A, B, C) реперы двух решеток Браве. Эти решетки будут трансляци-онно совместимы при условии, если они связаны
между собой посредством матрицы М = п^ с целочисленными коэффициентами:
а4
f A' ' n11 n12 n ^ '43
B = n21 n22 n 23
v C V V n31 n32 n "33 V
с
V У
(1)
Матрицу М будем называть матрицей трансляционной совместимости [3]. Если ёв1 (М) = 1, то обе решетки полностью совпадают, в противном случае, определитель матрицы М показывает отношение объемов их элементарных ячеек.
Сорт решетки определяется как симметрико-топологическая характеристика ее МДВ [1]. Принадлежность решетки к тому или иному из 24 сортов можно определить на основе анализа ее параметров Зеллинга (g, И, к, I, т, п), которые определяются как скалярные произведения между векторами а, Ь, с и ё = -(а + Ь + с) :
g = (Ь, с) И = (а, с), к = (Ь, а),
I = (а, ё), т = (Ь, ё), п = (с, ё).
Особенностью таблицы является то, что сумма элементов в каждой ее строчке равна нулю. Параметры Зеллинга считаются приведенными, если выполняется условие
g, И, к, I, т, п < 0. (2)
В работе [1] даны условия на приведенные параметры Зеллинга для всех возможных 24 сортов. Выполнение этих условий необходимо и достаточно для принадлежности кристалла к тому или иному сорту.
Вестник КемГУ № 4 2009 Физика
Предположим, что решетки с реперами (a, b, c )
и (A, B, С) относятся к определенным сортам и отношение объемов их элементарных ячеек невелико. Это означает, что det (M ) не превышает некоторого целого числа. Исключим также случай больших значений n.., что приведет к конечному
множеству матриц трансляционной совместимости.
Тогда количество систем уравнений вида (1) будет конечным. В качестве решения каждой из систем будут выступать некоторые возможные реперы
(â0, К c0) и (A0, B0, С0), такие, что для них будет выполняться условие трансляционной совместимости, заданной матрицей M.
Переведем условие (1) на язык параметров Зел-линга. Для этого вычислим попарные произведения
векторов A, B, С, D :
G — (B, С ) — n21n31a2 + n21n32 k + n2ln33h +
+n22n3lk + n22n32b ^ n22n33g ^ +n23n3lh + n23n32g ^ n23n33c
(3)
ж — (С ,D) —...
Множители a2, b2, c2, можно преобразовать по следующему свойству: a — -(k + h +1 ),
b2 — -(k + g + m),
c2 — -(/ + m + n).
(4)
В результате в системе (3), которая состоит из шести уравнений, будут присутствовать только значения из матрицы трансляционной совместимости и параметры Зеллинга обеих решеток Браве.
Добавим к (3) условия на сорт. Будем добавлять условия таким образом, чтобы (3) трансформировалась в задачу линейного программирования. Возможны следующие варианты:
1) g — h - два параметра равны друг другу:
a) е сли равны параметры для решетки с репером A, B, С , то добавим дополнительное уравнение: X — G - H — y(nabna'b' - nxynxy ) gi,
где gi - условное обозначение для параметров Зеллинга (gl — g, g2 — h,...) и потребуем выполнения условия X — 0 ;
b) если равны некоторые параметры g., g.
для решетки с репером a, b, c , то добавим уравне-
ние X = gi — g ■ = 0 для соответствующих параметров Зеллинга.
2) g <0 и g = 0 — такие условия просто добавляются к системе.
После добавления условий система все еще будет иметь бесконечно много решений относительно неизвестных g, И, к, I, т, п. Для выделения частного решения добавим минимизирующую функцию:
!тгп = g + И + к + 1 + т + п .
В общем виде задача линейного программирования запишется как:
Яп =0 - Я, <0
О =0 О = Vп п , ,я .
г г ХУ х у <-> J
Ок < 0 Ок = Vпхупхуё.
Х1 = 0 Х1 = V (паЬпа'Ь'— пхупху) ё.
Хт =0 Хт = £„— а
(5)
2с^тт = я + И + к + 1 + т + п .
Далее эта задача записывается для конкретных сингоний и сортов решеток.
Решетки кубической сингонии
Рассмотрим решетки Браве, которые относятся к трем возможным сортам кубической сингонии. Рассмотрим полученные результаты в зависимости от
сорта решетки (а, Ь, с ).
Наибольшее количество дополнительных уравнений в задаче линейного программирования оказывается в случае совмещения двух объемноцен-трированных кубических решеток. Система будет состоять из 16 уравнений (6 основных, для выполнения условия трансляционной симметрии, и 10 дополнительных для выполнения условий для сортов). Ограничимся значениями —3 < п. < 3 для элементов матрицы трансляционной совместимости. При
таких ограничениях получаем 79 = 40353607 матриц и столько же задач линейного программирования.
Частные решения уравнений (5) искались для случаев разных сочетаний сортов К1, КШ, КУ кубической сингонии. Тривиальными решениями для сочетаний К1-К1, КШ-КШ, КУ-КУ являются МДВ с параллельными осями голоэдрий и целочисленным масштабированием. Однако для этих сочетаний имеются и решения с осями голоэдрий, расположенными под углами друг к другу, которые приведены на рисунках.
Решетки тетрагональной сингонии
Решетки тетрагональной сингонии характеризуются двумя параметрами, в отличие от решеток кубической сингонии, которые можно задавать одним параметром. Таким образом, уравнений в задаче линейного программирования для тетрагональных решеток Браве будет меньше, что приводит к росту
Вестник КемГУ № 4 2009 Физика
возможных решений. В качестве примера рассмотрим взаимные ориентации для двух сортов 01 и 011: (01) ё = к = I = п <0, И = т <0
ЮН ё = к = I = п <0, И = 0, т <0
):
Объемноцентрированная (К1)
ё = И = к = I = т = п <0:
0 1 -1
-1 -2 -1
2 1 1
-1 0
-1 -1
0 -1
Гранецентрированная (К111)
ё = к = I = п <0, И = т = 0:
0 -1
Простая кубическая (КУ)
ё = И = к = 0, I = т = п <0:
1 1 0
0 -1 1
-1 1 0
-2 -1
1 2
2 -2
-2 0 0
0 -2 0
0 0 -2
Для приведенных ограничений на п. , было по-
ч
лучено 23 различных решения. Различными считались только те варианты, которые давали такую взаимную ориентацию многогранников Дирихле-Вороного, что ее было невозможно путем поворотов совместить ни с одной из уже ранее найденных пар. На рисунке ниже изображены несколько найденных решений.
Заключение Условие трансляционной совместимости подре-шеток, записанное в форме (1), позволяет исследовать совместимость 14 типов решеток Браве с учетом схемы подчинения сингоний. Переход к системе (5) с практической точки зрения удобен как сведение уравнения (1) к задаче линейного программирования, удобной для реализации на компьютере. Более глубокий смысл этого перехода заключается в том, что параметры Зеллинга позволяют учитывать более тонкую классификацию решеток на сорта Делоне, которых оказывается 24. Фактически типы Браве являются просто объединениями сортов. Именно по сортам идет классификация МДВ [2], что опять же важно при практическом их построении. Найденные в настоящей работе частные решения (5) включают в себя трансляционносовместимые МДВ как с параллельными осями голоэдрий, так и с осями, расположенными под некоторыми углами.
п
п
п
п
п
VI
п^А =
1-3
Литература
1. Делоне, Б. Н. О. Браве. Избранные труды / Б. Н. Делоне, Р. В. Галиулин, М. И. Шторгин. — Л., 1974. - С. 309.
2. Галиулин, Р. В. Кристаллография / Р. В. Галиулин. - 1984. - Т. 29. - № 4. - С. 638.
3. Поплавной, А. С. Кристаллография /
А. С. Поплавной, А. В. Силинин. - 2005. - Т. 50. -№ 5. - С. 791.
4. Поплавной, А. С. Материаловедение /
А. С. Поплавной. - 2005. - № 9. - С. 2.
5. Поплавной, А. С. Известия вузов. Физика /
А. С. Поплавной. - 2008. - № 7. - С. 31.
2 2 1 0 2 1 2 1 0 -2 1 1 2 1
2 2 2 1 п 1 -1 -2 п 1 1 1 2
0 2 1 2 2 1 1 1 1 1 1
Трансляционно-совместимые МДВ для 01-ЦП
п
Рецензент — В. И. Крашенин, ГОУ ВПО «Кемеровский государственный университет».
