CC BY
27
установки ф = —10°. Лопатки направляющего аппарата также жестко закрепляются в положении а0 = 115°. Такое техническое исполнение с жестким закреплением рабочего колеса и направляющего аппарата обусловлено упрощением конструкции и удешевлением установки в целом, а также возможностью работы установки в автономном режиме. Несмотря на фиксированные угол установки лопастей рабочего
колеса и угол установки направляющего аппарата, обеспечиваются достаточно высокие значения КПД блока микро-ГЭС при работе в требуемой зоне.
Статья подготовлена в рамках реализации ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» (ГК №02.740.11.0750) ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям» (ГК №16.516.11.6107).
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Гидроэнергетическое и вспомогательное оборудование гидроэлектростанций [Текст]: Справочное пособие в 2 т. / Под ред. Ю.С. Васильева и Д.С. Ща-велева .— Т. 1. Основное оборудование гидроэлектростанций.— М.: Энергоатомиздат, 1988.
2. Виссарионов, В.И. Перспективы использования реконструируемых низконапорных ГЭС в режимах ГЭС—ГАЭС [Текст] / В.И. Виссарионов, В.В. Елистра-тов, С.И. Поташник // Гидротехническое строительство.— 1989. № 10.
3. Международный код модельных приемо-сдаточных испытаний гидравлических турбин [Текст]:
Рекомендации МЭК / МЭК.— Публикация 193.— Женева, 1965 г.— 54 с. Первое дополнение к публикации 193. Женева, 1974.— 21с.
4. Малышев, В.М. Модельные исследования гидротурбин [Текст] / В.М. Малышев.— Л.: Машиностроение, 1970.— 288 с.
5. Справочник конструктора гидротурбин [Текст] / Под ред. Н.Н. Ковалева.—Л.: Машиностроение, 1984.
6. Энергогидравлические исследования блока насосной станции с капсульными агрегатами в обратимых режимах работы [Текст]: Отчет о НИР / ЛПИ.— Л., 1986.— 73 с.
УДК 532:531
В.Н. Бухарцев, М.Р. Петриченко
ТРАНСЛЯЦИОННАЯ ИНВАРИАНТНОСТЬ ФОРМУЛЫ ДЮПЮИ И ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЫСОТЫ ПРОМЕЖУТКА ВЫСАЧИВАНИЯ
Формула Дюпюи для средней скорости фильтрации в однородном грунте применима для равномерного (синоним: параллельноструй-ное) движения или для движения, близкого к равномерному. Широкое применение формулы Дюпюи в гидравлической теории фильтрации, в частности при расчетах неравномерного фильтрационного движения сквозь однородные грунтовые плотины, объясняется не столько устойчивостью традиции сколько соблазнительной точностью прогнозов: удается правдоподобно вычислять величину фильтрационного расхода и даже высоту промежутка высачива-ния. Правда, последнее требует искусственных приемов, но они также основаны на формуле Дюпюи. Альтернативой этим приемам служат
точные гидромеханические решения, основанные на применении методов теории функций: используется отображение круговых и прямолинейных треугольников на круг и на верхнюю полуплоскость. Для отображающей функции получается дифференциальное уравнение с тремя регулярными особыми точками. Частные решения этого уравнения связаны некоторой группой преобразований [1]. Как показали Б.Б. Девисон и Н.Е. Кочин, групповые свойства решений уравнения Гаусса имеют приложение к теории фильтрационных потоков со свободной поверхностью [2].
Пусть Н — глубина потока в сечении х = 0, А0 — глубина фильтрационного потока в сечении х = X; к < к < Н — глубина потока в любом
промежуточном сечении 0<х<Н, к = к(х); д — фильтрационный расход на 1 м ширины перемычки; а также
А=Н; ц=H¡, 0<По <1-
Н / \
Тогда I = —11 -ц0). Дифференциальное
2А ^ '
тождество Дюпюи для расхода сквозь прямоугольную перемычку, имеющее вид
(1)
I=-А /=д,
йх к
как известно, приводит к точным оценкам величины фильтрационного расхода. Конфигурация депрессионной кривой, прогнозируемая формулой (1), правдоподобна только для длинных (распластанных) перемычек (плотины) с длинными участками равномерного движения, удаленными от напорной грани и от точки выхода депрессионной кривой на низовой откос. В окрестности концов депрессионной кривой формула Дюпюи приводит к значительным погрешностям при вычислении ординат свободной поверхности фильтрационного потока.
Применение оператора сдвига [3] расширяет возможности формулы Дюпюи. Пусть
21 = -ехр | I— йх
(йк2 ^
йх
( йк2
+ /
й 2к2
Л
йх йх
- + ....
Формулу (2) можно записать так: -21 = /(х + /); /(х):=дк2(х),
где д := — . йх
(2а)
Значит, на глубину к(х) выполняется разностное уравнение
к2 (х + /)-к2 (() + 21х = 0. (2Ь)
Справедлива следующая лемма: если к2(х)=
2 2
= Н2 - Н(Н2 - к°2),тов силу (2Ь) I = — ^к • Иначе говоря, (2) не противоречит формуле Дюпюи для расхода при любом постоянном значении I > 0. Равенство (2), ограниченное двумя первыми членами разложения справа, позволяет сформулировать задачу Коши о конфигурации де-прессионной кривой:
й 2 к2 йк2
,й2к2 йк* (п т\
——+-= -2/, х е (0, Ь);
йх2 йх у '
к (0)-—=и =0
йк
(3)
х=0
Для наглядности решения удобно использовать безразмерные переменные
Ц = — е(0,1); * = Н е(0,1); Ц = л®, ^(0)-1 = (Щ0 =°
(2) и безразмерные же параметры
Равенство (2) интерпретируется так. Если
^^: = у (х), то в силу (1) традиционная формула йх
Дюпюи принимает вид: 2/ = -у (х), а формула (2) получается из (1) сдвигом на /: 2/ = -у (х + /) . Иначе говоря, формула (1) задает линейный (по масштабу длины /) закон фильтрации, а равенство (2) постулирует зависимость градиента квадрата глубины от величины фильтрационного расхода. При малых значениях параметра
I = к = —А(1 -(«длина фильтрации») оба тождества, (1) и (2), близки. Различие возникает при больших значениях длины фильтрации, т. е.
в перемычках с — = О (1) .
А=—Н; ц=#' А=^(1)-^0.
В этих переменных задача Коши (3) принимает вид
йУ 2А2 йц2 2
- +-----= -2А ,
й^2 1 -ц2 й\
йц
ц(0)-1=1 йщ ^=0-
Решение задачи (4) имеет вид
ц® =
(4)
= , 1 -(1 -
(1 -ц2)
ехр
1 -ц0
(5,а)
//
Это выражение совпадает с решением Дюпюи при А>>1 (длинная перемычка). Наоборот, для короткой перемычки
(5,6) 195
В силу (5,а) относительная (в долях Н) высота промежутка высачивания равна
А = п(1)"110 =
1о +
(1 -12 )2
2Х2
1 - ехр
( 2Х2 ^
1 -10
-10 > 0. (6)
/у
Таким образом, справедливы следующие утверждения:
1. При Х>>1 высота промежутка высачивания
мала и в пределе при Х^-да будет Д ^ +0 (равномерно по 0 <10 < 1). В таблице приведены зависимости высоты промежутка высачивания от относительной (в долях Н) длины перемычки при различных значениях глубины наполнения
нижнего бьефа, Д = Д(Х, 10) , полученные по формуле (6). Рис. 1 иллюстрирует результаты расчета по формуле (6) высоты промежутка вы-сачивания в зависимости от длины X перемычки при переменной глубине 10 наполнения нижнего бьефа. Как видно, увеличение длины перемычки уменьшает высоту промежутка высачи-вания.
2). При Х>>1 (практически при Х>3) формула (5) не отличается от формулы Дюпюи для ординат депрессионной кривой. Исключение составляет створ х = 0 (Е = 0), в котором, в отличие от решения Дюпюи, касательная к депрессионной кривой перпендикулярна вертикальной верховой грани. На рис. 2 приведены безразмерные ординаты свободной поверхности фильтрационного потока
Депрессионные зависимости Д(Е) для перемычек различной относительной длины X при различных относительных глубинах 10 наполнения нижнего бьефа
Относит. Высота Д промежутка высачивания
координата сечения потока Е = х/Х 10 = 0 10 = 0,5 10 = 0,7
При X = 0,5
0 1,0000 1,0000 -
0,1 0,9987 0,9997 -
0,2 0,9954 0,9956 -
0,3 0,9892 0,9894 -
0,4 0,9810 0,9815 -
0,5 0,9707 0,9715 -
0,6 0,9583 0,9596 -
0,7 0,9437 0,9458 -
0,8 0,9270 0,9301 -
0,9 0,9082 0,9124 -
1,0 0,8871 0,8930 -
Д = 0,8871 0,3930 -
При X = 1,0
0 1,0000 1,0000 1,0000
0,1 0,9953 0,9954 0,9956
0,2 0,9951 0,9829 0,9842
0,3 0,9620 0,9643 0,9681
Окончание табл.
Относит. Высота Д промежутка высачивания
координата
сечения потока Л0 = 0 Л0 = 0,5 Л0 = 0,7
% = х/Ь
0,4 0,9356 0,9404 0,9421
0,5 0,9034 0,9122 0,9256
0,6 0,8656 0,8800 0,9009
0,7 0,8226 0,8442 0,8744
0,8 0,7739 0,8049 0,8464
0,9 0,7192 0,7620 0,8168
1,0 0,6575 0,7153 0,7771
Д = 0,6575 0,2153 0,0771
При X = 3,0
0 1,0000 - 1,0000
0,1 0,9728 - 0,9813
0,2 0,9241 - 0,9552
0,3 0,8690 - 0,9281
0,4 0,8096 - 0,9002
0,5 0,7453 - 0,8714
0,6 0,6749 - 0,8415
0,7 0,5962 - 0,8108
0,8 0,5055 - 0,7787
0,9 0,3944 - 0,7452
1,0 0,2357 - 0,7102
Д = 0,2357 - 0,0102
При X >> 1 (параболы Дюпюи)
0 1,0000 1,0000 1,0000
0,1 0,9486 0,9617 0,9741
0,2 0,8944 0,9219 0,9476
0,3 0,8366 0,8803 0,9263
0,4 0,7745 0,8360 0,8922
0,5 0,7071 0,7906 0,8631
0,6 0,6324 0,7416 0,8331
0,7 0,5477 0,6892 0,8018
0,8 0,4472 0,6324 0,7694
0,9 0,3162 0,5700 0,7352
1,0 0,0000 0,5000 0,7000
Д = 0,0000 0,0000 0,0000
0,50 0,75 1,00 1,75 1,50 1,75 7,00 7,75 7,50 7,75 .1,00 Д,И .4.50.1,75 4,00 4,75 4,50 4,75
Рис. 1. Результаты расчета по формуле (6) высоты промежутка высачи-вания в зависимости от длины X перемычки при переменной глубине наполнения нижнего бьефа Л0 (1 —0; 2 —0,3; 3 — 0,5; 4 —0,7)
Л = 0,5
Л =1,0
Л = 0,5
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9
0,60
Л =0,5
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 %
г)
А. = 0,5
Х= 1,0
Л = 2,0 Х = 3,0 \= 5,0
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 %
Рис. 2. Безразмерные ординаты свободной поверхности фильтрационного потока л = л(%; X, Л0) для X = 0,5; 1,0; 2,0; 3,0; 5,0 и при разных значениях постоянной глубины наполнения нижнего а — Н0 = 0 (Л0 = 0); б — к0 = 0,3Н (Л() = 0,3); в — Н0 = 0,5Н (Л() = 0,5); г — Н0 = 0,7Н (Л() = 0,7)
%
%
^ = X, при различных длинах перемычки X = 0,5; 1,0; 2,0; 3,0; 5,0 и различных глубинах наполнения нижнего бьефа = (0; 0,3; 0,5; 0,7).
По мере увеличения X происходит сближение параболы Дюпюи и депрессионной кривой (5) равномерно относительно глубины наполнения нижнего бьефа:
^0 е (0,1);
Уе > 0, ЗА >> 1 ^ 0 < "Л(5) -г\в < е; X > Л. 3. Наконец, равномерно по 0<Е,<1 при Х>0 выполняется условие ^ ^ 1 - 0; точно так же равно-
% ^1-0
мерно по Х>0 выполняется условие Д ^ + 0.
Л0 ^1-0
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Уиттекер, Е.Т. Курс современного анализа. Ч. 2 [Текст] / Е.Т Уиттекер, Дж.Н. Ватсон.— М.: Физ-матлит, 1962.— С. 65-90.
2. Полубаринова-Кочина, П.Я. Теория движения грунтовых вод [Текст] / П.Я. Полубаринова-Кочи-
на.— М.: Наука, 1977.— С. 326-345.
3. Белов, В.В. Сборник задач по дополнительным главам математической физики [Текст] / В.В. Белов, Е.М. Воробьев.— М.: Высшая школа, 1978.— С. 21-23.
УДК 538.9:532.538:539.539
С.Н. Колгатин
КРИТИЧЕСКАЯ ТОЧКА, БИНОДАЛЬ, СПИНОДАЛЬ И ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ДАВЛЕНИЯ НА ПРИМЕРЕ УРАВНЕНИЯ ВАН-ДЕР-ВААЛЬСА
Уравнение Ван-дер-Ваальса традиционно и закономерно излагается в курсе общей физики. Как правило, преподаватели ограничиваются общей идеей о взаимодействии молекул и их конечном объеме. Между тем упомянутое уравнение дает возможность продемонстрировать несколько концептуально важных физических понятий, которые необходимо знать будущему специалисту, таких, как бинодаль, спинодаль, критические параметры, метаста-бильная область. Напрямую эти понятия не связаны с уравнением Ван-дер-Ваальса, однако могут быть успешно объяснены с его помощью на доступном для понимания студентов уровне. В предлагаемой статье делается попытка дать краткий обзор вопроса на несколько более высоком уровне, чем лекционное изложение, с тем чтобы у преподавателя была возможность самостоятельно отобрать необходимый ему для построения курса материал. Статья также полезна ученым или специалистам, которым рассматриваемые вопросы интересны с точки зрения их практической работы.
Поправки Ван-дер-Ваальса
Большинство технических процессов описывается в рамках термодинамики, когда системе удается приписать определенные термодинамические параметры — плотность, температуру, давление и т. п. Даже в случае неоднородных в пространстве и нестационарных процессов, как правило, удается воспользоваться приближением локального термодинамического равновесия, когда можно приписать определенные термодинамические параметры физически малому объему* в течение промежутка времени, малого по сравнению с масштабом общего времени изменения этих параметров. Для описания системы, находящейся в состоянии локального термодинамического равновесия, первоочеред-
* Физически малый — это объем, содержащий достаточное количество атомов, чтобы можно было провести осреднение, и в то же время настолько небольшой, чтобы можно было считать осредненную характеристику (скажем, температуру или концентрацию атомов) в пределах этого объема постоянной.
