CC BY
14
УДК 539.371
Трансформация упругой продольной волны в волну Похгаммера
М.Н. Кривошеина, Е.В. Туч
Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия
Методом конечных элементов в динамической постановке показаны особенности распространения упругих продольных волн в цилиндрических пластинах и волн Похгаммера в стержнях. Показано, что в телах компактной формы вплоть до момента взаимодействия волн разгрузки с боковых поверхностей наблюдается распространение только одной продольной волны, далее одновременное распространение двух видов упругих продольных волн. В стержнях на начальном этапе наблюдается распространение упругой продольной волны. С течением времени влияние разгрузки с боковых поверхностей стержня приводит к одновременному распространению двух видов упругих волн — упругой продольной волны и волны Похгаммера. На примере алюминия показаны границы геометрических параметров для тел, имеющих форму, близкую к компактной, в которых невозможно исследование упругих свойств материалов ультразвуковыми методами.
Ключевые слова: распространение волн, упругость, деформирование, продольная волна, волна Пох-гаммера, геометрия образцов
DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_2_126
Transformation of a longitudinal elastic wave into a Pochhammer wave
M.N. Krivosheina and E.V. Tuch
Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia
The finite element method in a dynamic formulation was used to characterize the propagation of longitudinal elastic waves in cylindrical plates and Pochhammer waves in rods. It was shown that in compact bodies first only one longitudinal wave propagates until unloading waves from the side surfaces begin to interact, and then two types of longitudinal elastic waves propagate simultaneously. In rods, a longitudinal elastic wave propagates at the initial stage. Over time, the influence of unloading from the side surfaces of the rod leads to the simultaneous propagation of two types of elastic waves: a longitudinal elastic wave and a Pochhammer wave. Using aluminum as an example, the range of geometric parameters was determined for nearly compact bodies, whose elastic properties cannot be evaluated by ultrasonic methods.
Keywords: wave propagation, elasticity, deformation, longitudinal wave, Pochhammer wave, specimen geometry
1. Введение
Исследования закономерностей распространения упругих волн в твердых телах используются в области отработки неразрушающих методов контроля, для анализа напряженно-деформированного состояния и определения различных механических характеристик материалов. Исследо-
вание упругих свойств материалов традиционно проводят с помощью измерений скоростей распространения в них упругих продольных волн: в стержнях для определения значений модуля Юнга и в пластинах для определения значений упругих постоянных. Для нахождения упругих свойств в изотропном материале достаточно исследовать скорости распространения упругих волн в двух
© Кривошеина М.Н., Туч Е.В., 2023
видах образцов: стержневой и пластинчатой формы. Для исследования упругих свойств, например, в ортотропных материалах количество измерений должно быть равно девяти. Значения технических упругих постоянных удобно вычислять с помощью измерения скоростей распространения волн Похгаммера в образцах, имеющих стержневую форму. Волна Похгаммера — вид упругой продольной волны, распространяющейся вдоль оси симметрии в стержне. Для определения скорости распространения волны Похгаммера существует формула, полученная при следующих предположениях: стержень бесконечной длины, наличие осевой симметрии процесса и отсутствие напряжений на боковых поверхностях. Кроме того, предполагается, что скорость волны Похгаммера неизменна в любой момент времени по мере ее распространения вдоль оси симметрии стержня. На основе этой формулы можно получить фазовую скорость для синусоидальных волн любой частоты в бесконечно длинном цилиндре. Эти условия допустимы для тонких длинных стержней, но по мере увеличения диаметра стержня эта формула становится неверна. Численное моделирование процесса распространения упругих волн возможно без предположений о геометрических параметрах образца, о постоянстве скорости распространения вдоль оси симметрии и об осевой симметрии процесса. Это дает возможность наблюдать одновременное распространение нескольких видов упругих волн с различными амплитудами. По мере увеличения диаметра стержня влияние свободных поверхностей стержня на скорость распространения волны изменяется, необходим учет коэффициента Пуассона в процессе распространения упругих волн. На основе сравнения результатов, полученных в численных и натурных экспериментах в работах [1, 2], показано, что в образцах, имеющих форму, близкую к компактной, невозможно определение скоростей распространения продольных волн, а также волн Пох-гаммера. Авторы показали, что для каждого материала существует интервал отношения высоты к диаметру образца (L/D, где L — высота, D — диаметр образца), в котором невозможно определение ни скоростей продольных волн, ни скоростей волн Похгаммера. Исследования проведены для различных изотропных металлов — алюминия, меди и стали [2]. Диапазоны изменения геометрии образцов (L/D) в исследованных материалах, в которых невозможно измерение скоростей про-
дольных волн или волн Похгаммера, отличаются примерно в 1.5 раза. Остается неясным, как происходит распространение упругих волн в образцах, имеющих форму близкую к компактной, т.е. как происходит переход от продольной волны к волне Похгаммера при уменьшении диаметра образцов и переходе формы образцов от пластинчатой к стержневой. Считается, что в стержнях не важны эффекты, связанные с поперечным сжатием материала и процесс распространения упругих волн вдоль оси симметрии в стержнях можно считать близким к одномерному. Следовательно, скорость распространения упругой волны Пох-гаммера зависит только от одной характеристики упругости — модуля Юнга. Разрабатываются многочисленные модели распространения волн в стержнях с различной геометрией поперечного сечения, основанные на пренебрежении зависимостью напряжений сдвига и продольного смещения от одной или от обеих координат в поперечном сечении [3]. Отдельно стоит выделить математические модели распространения упругих волн в стержнях в рамках решений нелинейного волнового уравнения упругого стержня c учетом дисперсии [4, 5]. Разница величин скоростей распространения упругих продольных волн и волн Похгаммера без учета дисперсии пропорциональна выражению, содержащему только коэффициент Пуассона, который является мерой поперечной деформации материала. Для изотропных материалов скорость распространения волны Пох-гаммера меньше скорости распространения упругой продольной волны, т.к. величина коэффициента Пуассона всегда положительна. В материалах, упругость которых характеризуется значением коэффициента Пуассона 0.25, уменьшение скорости распространения волны Похгаммера составляет 9.5 %, при значении коэффициента Пуассона 0.4 — 46 %. Для полимеров, упругость которых характеризуется значением коэффициента Пуассона 0.49, значение скорости распространения волны Похгаммера относительно величины скорости продольной волны уменьшается в 4 раза. Столь существенные отличия в величинах скоростей распространения упругих волн, а также выявление диапазона изменения геометрических характеристик, при которых невозможно определить ни скорости продольных волн, ни скорости волн Похгаммера, является важным для исследования упругих свойств материалов — упругих постоянных или технических упругих постоянных.
По особенностям распространения упругих продольных волн все образцы можно разделить на три типа: пластины, по толщине которых распространяется волна со скоростью близкой к продольной, стержни, в которых вдоль оси симметрии распространяются волны Похгаммера, а также третий тип — это формы, близкие к компактным.
В работе показано, что в образцах компактной формы наблюдается выход продольной волны на свободную поверхность, регистрация которой возможна только при наличии высокоточной аппаратуры. Выход волны, следующей за продольной волной, в образцах компактной формы характеризуется значительным изменением скорости в зависимости от геометрии образца. Поэтому регистрация скорости распространения такой волны не может быть использована для определения упругих свойств материалов. Показано, что в стержнях всегда можно зарегистрировать выход продольной волны на свободную поверхность ранее выхода волны Похгаммера, но возможность регистрации выхода продольной волны в стержнях определяется точностью регистрирующей аппаратуры.
Целью работы является исследование разделения фронта упругой продольной волны на несколько волн с различной амплитудой и скоростью распространения в образцах, имеющих геометрию, близкую к компактной, а также выделение из их числа волны Похгаммера в стержнях.
2. Моделирование распространения упругих волн в цилиндрических телах
Методом конечных элементов моделируется распространение упругих продольных волн в телах цилиндрической формы с одинаковыми высотами (Ь = 50 мм) и различными диаметрами В: от В = 1 мм (Ь/В = 50) до В = 2000 мм (Ь/В = 0.025). Процесс распространения упругих волн инициируется в результате ударного нагружения тел о жесткую стенку.
Для моделирования распространения упругих волн в цилиндрах из изотропного материала, в условиях динамического нагружения в трехмерной постановке используется система уравнений, включающая в себя уравнение неразрывности, уравнения движения сплошной среды [6], а также закон Гука. Соотношения закона Гука записаны с использованием величин полных напряжений и скоростей полных деформаций:
Dc
Dt
у _
= CH,,e
ijkl kl'
где D/Dt — коротационная производная Яуманна; Cjkl — компоненты симметричного тензора упругих постоянных в расчетной системе координат; Oj — компоненты симметричного тензора напряжений; eVj — компоненты симметричного тензора скоростей деформаций.
За начало распространения упругой продольной волны вдоль оси симметрии цилиндра принимается момент времени (t=0), когда между цилиндром стержневой, компактной или пластинчатой форм и абсолютно жесткой недеформируе-мой стенкой появится хотя бы одна общая точка.
Начальные условия: ui(0) = V;(0) = 0, W;(0) = V0. Здесь ui, vi, wi — компоненты скорости в декартовой системе координат 0XYZ. Боковые поверхности цилиндра свободны от нагружения. На контакте цилиндра и жесткой стенки реализовано условие скольжения без трения. Начальная скорость ударного нагружения цилиндра о жесткую стенку V0 = 50 м/с, в цилиндрических телах реализуются только упругие деформации. Расчетная область состоит из тетраэдров, их количество варьируется в зависимости от диаметра цилиндра в пределах 150 000-250000. Задача решается в трехмерной постановке методом конечных элементов, модифицированным для решения задач в динамической постановке [7].
Волна сжатия, возникшая из-за ударного на-гружения, распространяется к верхней свободной поверхности цилиндра. Момент выхода упругой продольной волны либо волны Похгаммера фиксируется по максимальному изменению координаты точки свободной поверхности на оси симметрии цилиндра. На рис. 1 стержневая форма цилиндра показана заштрихованной областью, по мере увеличения диаметра цилиндр обретает форму, близкую к компактной, далее он превращается в пластину.
Для безграничных пространств величины скоростей распространения упругих продольных волн зависят только от механических характеристик материала и с использованием технических упругих постоянных определяются по формуле
Е (1 -v)
'р(1 + v)(1 -2 v)
(2)
В стержнях вдоль оси симметрии распространяется волна Похгаммера, скорость которой не зависит от величины коэффициента Пуассона:
Рис. 1. Схематичное изображение ударного нагруже-ния цилидров с различными диаметрами В и одинаковой высотой Ь о жесткую стенку с начальной скоростью У0
се = J-,
(3)
где C¡ — скорость распространения продольной волны; CE — скорость распространения волны Похгаммера в стержнях; р — плотность; E — модуль Юнга; v — коэффициент Пуассона.
Существуют различные формулы для определения скоростей распространения упругих продольных волн в изотропных материалах, которые содержат параметры геометрии цилиндра и процесса распространения волн в цилиндрах различной геометрии — от стержней до пластин. Полученные по этим формулам значения скоростей распространения упругих волн могут быть применены в узких диапазонах изменения геометрических параметров тел, а сами диапазоны изменения геометрических параметров подлежат определению [3-5]. В изотропном алюминии значения скоростей, полученные по формулам (2) и (3), составляют: Q=6286 м/с, CE=5164 м/с. Свойства алюминия, используемые при численном моделировании процесса распространения упругих волн: Е = 72 ГПа, v = 0.33, р = 2700 кг/м3.
3. Результаты. Распространение упругих продольных волн
Распространение упругих продольных волн в направлении толщины в пластинах с высокой степенью точности происходит с одинаковой скоростью. В пластинах с боковых поверхностей распространяются волны растяжения, которые не успевают уменьшить амплитуду волны сжатия, распространяющейся вдоль оси симметрии. На рис. 2 показано распределение давления в сечениях цилиндров из алюминия в моменты времени, соответствующие выходу продольной волны к свободной поверхности. Принципиальные отличия в распределении давления на рис. 2 состоят в том, что на рис. 2, а (L/D = 0.5) при достижении сво-
Рис. 2. Распределение давления в сечении цилиндра: t = 8.1 мкс, L/D = 0.5 (а), 0.625 (б)
бодной поверхности волной сжатия вся центральная часть цилиндра находится в зоне сжимающих давлений. Распределение давления на рис. 2, б (L/D = 0.625) демонстрирует обширную зону с отрицательными давлениями в нижней части цилиндра. Однако наблюдаемая зона растяжения, возникшая в результате взаимодействия волн разгрузки, не успевает уменьшить амплитуду продольной волны сжатия в момент выхода ее на свободную поверхность с L = 50 мм.
Наглядно этот факт продемонстрирован на рис. 3 с помощью кривых изменения давления вдоль осей симметрии цилиндров при различных значениях отношения L/D. На рис. 3 кривая 1 показывает распространение упругой волны в пластине с одинаковой амплитудой давления. Кривая 2 демонстрирует падение давления в нижней части
Рис. 3. Распределение давления вдоль оси симметрии цилиндров: t = 8.1 мкс, L/D = 0.25 (1), 0.5 (2), 0.625 (3)
0 5 10 15 20 25 мкс
Рис. 4. Изменение координаты свободной поверхности на оси симетрии цилиндра с течением времени для различных значений диаметра цилиндров: В = 16.6 (1), 75 (2), 120 (3), 2000 мм (4)
цилиндра в 2 раза вследствие возникновения разгрузки с боковых поверхностей. Кривая 3 соответствует максимальному значению отношения Ь/В для алюминия, когда возникающая в нижней части цилиндра зона отрицательных давлений не успевает оказать влияние на процесс выхода продольной волны на свободную поверхность.
Для геометрии образцов, имеющей значения Ь/В < 0.625, за выходом упругой продольной волны на свободную поверхность наблюдается выход еще одной волны, но имеющей малую амплитуду давления, поэтому приводящую к слабым колебаниям свободной поверхности. Амплитуда давления в этой волне увеличивается по мере увеличения отношения Ь/В и становится равной амплитуде давления в продольной волне при Ь/В = 0.67 в алюминиевых образцах. При Ь/В > 0.625 взаимодействие волн разгрузки, распространяющихся с боковых поверхностей, приводит к уменьшению амплитуды давления в момент выхода волны сжатия на свободную поверхность. При Ь/В > 0.625 наблюдается выход продольной волны с уменьшенной амплитудой давления и следом за ней еще одной волны сжатия на свободную поверхность. С помощью графиков 1-4 на рис. 4 показаны изменения высоты цилиндров в процессе выхода продольной волны на свободную поверхность для различных значений Ь/В. Для каждого отношения Ь/В время выхода упругой волны определяется по минимальному значению высоты цилиндра. Для стержней (кривая 1) эта величина может составлять 49.53 мм. Для пластин цилиндрической формы, характеризующихся отношением Ь/В < 0.625 (кривые 3 и 4), минимальные значения толщин одинаковы и составляют 49.62 мм, т.е. при выходе волны Похгам-
мера на свободную поверхность деформация в стержнях больше, чем деформация в пластинах при выходе на свободную поверхность продольных волн. Вид кривой 2 при Ь/В = 0.67 демонстрирует выход на свободную поверхность последовательно двух волн сжатия с одинаковыми изменениями высоты цилиндра. После выхода упругой волны на свободную поверхность при t= 8.1 мкс, в момент времени t = 17.2 мкс наблюдается выход еще одной волны сжатия, при этом изменения высот цилиндра при t = 8.1 и 17.2 мкс одинаковы и составляют 49.62 мм. После выхода на свободную поверхность продольной волны при t = 8.1 мкс наблюдаются небольшие колебания поверхности и выход второй волны сжатия, характеризуемый амплитудой давления, меньшей в 3 раза, по сравнению с амплитудой давления в продольной волне. Время выхода второй волны сжатия соответствует скорости распространения, которая более чем в 2 раза превышает скорость упругой продольной волны. Для алюминиевых цилиндров величина Ь/В = 0.67 является границей, отделяющей пластины от форм, близких к компактным. В условиях натурных экспериментов в случаях, когда величина 0.67 < Ь/В < 3, максимальное укорочение высоты цилиндров происходит во второй волне в различные моменты времени — от 17.2 (при Ь/В = 0.67) до 10.56 мкс (при Ь/В = 2.5) в зависимости от величины Ь/В. Эти времена не соответствуют времени выхода ни продольной волны, ни волны Похгаммера на свободную поверхность цилиндра [4].
На рис. 5 показано распределение давления в сечении цилиндра компактной формы (Ь/В = 1) в момент выхода волны сжатия на свободную поверхность. Зона максимального давления имеет минимальный объем, по сравнению со случаями, представленными на рис. 2. Видна обширная область растяжения, сформированная взаимодействием волн разгрузки с боковых поверхностей. Для образцов компактной формы наблюдается выход упругой продольной волны, но из-за взаимодействия волн разгрузки с боковых поверхностей происходит значительное ослабление амплитуды давления. Выход последующей волны сжатия в алюминиевых образцах, имеющих 0.67 < Ь/В < 3, происходит со скоростью, изменяющейся в диапазоне от 0.559СЕ до СЕ и зависящей от величины отношения Ь/В.
Полученная с помощью численного моделирования зависимость величины скорости распрост-
0.02 -0.01 0.00 0.01 0.02
Рис. 5. Распределение давления в сечении цилиндра: t = 8.1 мкс, L/D = 1
ранения упругой продольной волны от величины L/D для алюминия показана на рис. 6. При L/D < 0.625 скорость продольной волны составляет 6160-6190 м/с и близка к теоретическому значению, полученному по формуле (2). При L/D = 0.67 скорость волны равна 2900 м/с. Резкое уменьшение скорости продольной волны объясняется уменьшением амплитуды давления из-за действия волн разгрузки с боковых свободных поверхностей цилиндра и увеличением деформации цилиндра в волне, следующей за продольной волной, что показано на рис. 4. При дальнейшем увеличении значения L/D в волне, следующей за продольной волной, наблюдается увеличение амплитуды давления и, следовательно, большее сжатие цилиндра в момент выхода волны на свободную поверхность. По мере роста значения L/D скорость распространения этой волны возрастает и приближается к значению скорости распространения волны Похгаммера СЕ (3) для алюминия. Точно такая же зависимость скорости распространения упругой продольной волны в зависимос-
ти от величины L/D для алюминия получена с применением численного метода типа «крест» в осесимметричной постановке в работах [1, 2]. Также в работе [2] представлено удовлетворительное совпадение результатов изменения скоростей распространения упругих волн в зависимости от изменений величины L/D для алюминия, меди и железа. Из анализа кривой на рис. 6 понятно, что образцы, характеризующиеся отношением 0.67 < L/D< 3, не могут быть использованы для определения упругих характеристик материалов — из-за изменяющейся величины скорости распространения этой упругой волны.
4. Распространение волны Похгаммера
В случаях, когда величина L/D > 3, скорости распространения волн сжатия близки к теоретическому значению скорости распространения волны Похгаммера. Независимость величины скорости распространения волны Похгаммера в стержнях от L/D позволяет при нахождении ее величины в натурных экспериментах однозначно определять модуль Юнга. В отличие от выхода продольных волн на свободную поверхность в пластинах (рис. 3), в стержнях наблюдается выход продольной волны с малой амплитудой давления, затем выход волны Похгаммера. На рис. 7 показано распределение давления вдоль оси симметрии в стержне в различные моменты времени, предшествующие выходу продольной волны на свободную поверхность для случая L/D = 3. В момент времени 7.5 мкс пунктирной кривой 1 показано изменение амплитуды давления вдоль оси симметрии в стержне, ее величина в продольной волне составляет 1.44 МПа. Амплитуда давления в волне Похгаммера достигает величины P = 3.9 МПа. Сплошной кривой показано распределение давления вдоль оси симметрии при t=7.8 мкс. В этот
Рис. 6. Скорость регистрируемой упругой продольной волны в зависимости от L/D
Рис. 7. Распределение давления вдоль оси симметрии в стержнях в момент времени 7.5 (1) и 7.8 мкс (2)
—2 | .,.,.,., . 0.00 0.01 0.02 0.03 0.04 Ь, м
Рис. 8. Распределение давления вдоль оси симметрии
в стержнях в момент времени 8.5 (1) и 9 мкс (2)
момент времени максимальное давление в продольной волне составляет Р = 1.07 МПа, а в волне Похгаммера Р = 3.84 МПа. Сравнивая кривые 1 и 2, можно видеть, что амплитуда давления в продольной волне снижается с течением времени по мере приближения к свободной поверхности стержня.
На рис. 8 показано распределение давления вдоль оси симметрии в стержне при t = 8.5 и 9 мкс. Эти моменты времени соответствуют приближению выхода волны Похгаммера на свободную поверхность стержня. В момент времени 8.5 мкс величина давления в волне Похгаммера составляет 3.48 МПа. Сплошной кривой показано распределение давления вдоль оси симметрии при t= 9 мкс, величина давления в волне Похгаммера составляет 4.23 МПа. Сравнивая кривые 1 и 2, можно видеть, что амплитуда давления в волне Пох-гаммера не снижается по мере приближения к свободной поверхности стержня, хотя и составляет примерно 2/3 от максимального значения давления при выходе продольной волны в пластинах (см. рис. 3).
5. Обсуждение результатов
В 19-20 веках в рамках проведения натурных экспериментов с целью исследования процесса распространения скоростей распространения упругих волн все образцы были поделены на три вида: пластинчатой, компактной и стержневой форм. Из них две формы имели постоянные значения скоростей распространения продольных волн: пластинчатая и стержневая. Образцы компактной формы, как наиболее удобные, особенно для исследования скоростей распространения упругих волн в анизотропных материалах, не позволяли получить надежные результаты [8]. Неизвестен был критерий разделения формы образцов на
пластины и компактные образцы, особенно для образцов, выполненных из анизотропных материалов [8-11]. Отсутствовало понимание закономерностей распространения упругих продольных волн в образцах компактной формы. А главное — неясна возможность использования регистрируемых скоростей распространения волн в образцах компактной формы для определения упругих характеристик материалов.
На примере алюминия показано: в цилиндрических телах, у которых Ь/В < 0.625, как и в тонких пластинах, разгрузка с боковых поверхностей не успевает уменьшить амплитуду волны сжатия. Для таких тел процесс выхода упругой продольной волны на свободную поверхность одинаков и позволяет зарегистрировать единственную волну с постоянной скоростью. До выхода продольной волны на свободную поверхность нет влияния ни одной границы, поэтому скорость продольной волны соответствует полученной по формуле (2) для безграничного пространства. Скорости распространения продольных волн совпадают при любых величинах Ь/В, изменения координат свободных поверхностей с течением времени также одинаковы при одинаковых значениях Ь. Несмотря на неизменность амплитуды давления в продольной волне можно наблюдать возникновение еще одной волны, следующей за продольной волной, но имеющей малую амплитуду давления.
Для случаев, когда 0.67 < Ь/В < 3, вдоль по линии распространения продольной волны наблюдается многократное уменьшение амплитуды давления, что усложняет регистрацию ее выхода в натурных экспериментах. Выходящая следом волна имеет амплитуду давления, многократно превышающую амплитуду давления в продольной волне, поэтому именно ее регистрируют в натурных экспериментах. Время выхода этой волны на свободную поверхность изменяется более чем в 2 раза в зависимости от изменения величины Ь/В. По причине зависимости скорости этой волны от геометрии цилиндрического тела волна не может быть классифицирована как отдельный вид упругих волн, например, только для тел с компактными формами. По мере приближения значения Ь/В к 3, величина этой скорости приближается к значению волны Похгаммера, определенной по формуле (3).
Было известно только одно условие, необходимое для выполнения при регистрации волн Пох-гаммера, распространяющихся в любых изотропных материалах: Ь/В > 3. В работе [1] получено,
как и в настоящей работе, что при Ь/В > 5 точность соответствия скорости волны Похгаммера теоретическому значению (3) повышается. С помощью численного моделирования выявлено, что предшественницей волны Похгаммера является продольная волна, распространяющаяся со скоростью волны в безграничном пространстве (2). Начиная с Ь/В > 3 выход продольной волны на свободную поверхность стержня наблюдается с малой амплитудой давления, поэтому ее регистрация затруднена. Выход продольной волны сопровождается деформированием поверхности, точно равным деформированию поверхностей в пластинах при выходе в них на свободную поверхность продольной волны, что показано на рис. 4. В следующей за продольной волной волне Похгаммера деформирование поверхности увеличивается, скорость распространения постоянная, а амплитуда давления в волне Похгаммера достигает 2/3 от амплитуды давления в продольной волне в пластинах.
6. Выводы
В стержнях выходу волны Похгаммера на свободную поверхность предшествует выход продольной волны, имеющей амплитуду давления, значительно меньшую, чем в волне Похгаммера. По этой причине в натурных экспериментах в стержнях не регистрируют распространение продольной волны.
В образцах, имеющих форму, подобную компактной, также наблюдается выход на свободную поверхность продольной волны со скоростью, близкой к величине скорости распространения продольной волны в безграничном пространстве, но с очень малой амплитудой давления. Далее наблюдается выход еще одной волны сжатия, в момент времени, зависящий от отношения Ь/В. В натурных экспериментах происходит регистрация выхода второй волны из-за значительного повышения в ней амплитуды давления по сравнению с амплитудой давления в продольной волне. Использование величины скорости распространения второй волны для определения упругих свойств материала нецелесообразно.
На примере алюминия показано, что точные границы разделения форм образцов на пластины, подобные компактным, и стержни могут быть предварительно найдены с помощью математического моделирования, т.к. зависят от механических характеристик материалов, что особенно важно для исследования упругих свойств в анизотропных материалах.
Работа выполнена в рамках государственного задания ИФПМ СО РАН, тема номер FWRW-2021-0011.
Литература
1. Гулидов А.И., Баянов Е.В. Распространение упругих волн в однородных по сечению круглых стержнях // ПМТФ. -2011. - Т. 52. - № 5. - С. 155-162.
2. Bayanov E.V., Kurlaev N.V., Matveev K.A. Study of elastic wave propagation in a short rod by ultrasound method // Physics AUC. - 2017. - V. 27. - P. 69-78.
3. Nayfeh A.H., Abdelrahman W.G. An approximate model for wave propagation in rectangular rods and their geometric limits // J. Vibr. Control. - 2000. - V. 6. - P. 3-17.
4. Guo P., Zhang L., Lu K.-P., Duan W.-S. Solution of nonlinear wave equation of elastic rod // Appl. Math. Mech. -2008. - V. 29. - No. 1. - P. 61-66.
5. Guo P., Wu X., Wang L. New solutions of elastic waves in an elastic rod under finite deformation // J. Appl. Math. -2014. - V. 2014. - Article 495125. - https://doi.org/10.1155/ 2014/495125
6. Седов Л.И. Механика сплошной среды. - М.: Наука, 1970. - Т. 1.
7. Anderson Ch.E., Cox P.A., Johnson G.R., Maudlin P.J. A constitutive formulation for anisotropic materials suitable for wave propagation computer programs—II // Comput. Mech. - 1994. - V. 15. - P. 201-223.
8. Кийко В.М., Спиридонов Л.С. Экспериментальное определение упругих характеристик волокнистых композитов // Механика композитных материалов. - 1986. -№ 3. - C. 531-536.
9. Honarwar F., Enjilela E., Sinclair A., Mirnezami S. Wave propagation in transversely isotropic cylinders // Int. J. Solids Struct. - 2007. - No. 44. - P. 5236-5246.
10. Tuch E.V., Krivosheina M.N. Elastic energy separation at impact loading of cylindrical bodies made of isotropic and anisotropic materials // Russ. Phys. J. - 2021. - V. 64. -No. 8. - P. 1427.
11. Разоренов С.В., Гаркушин Г.В., Савиных А.С., Климова-Корсмик О.Г. Откольная прочность стали 09ХН2МД, полученной методами горячей прокатки и прямого лазерного выращивания, в субмикросекундном диапазоне длительности нагрузки // Физ. мезомех. - 2022. - Т. 25. -№ 5. - С. 57-65. - https://doi.org/10.55652/1683-805X_ 2022_25_5_57
Поступила в редакцию 01.03.2022 г., после доработки 24.06.2022 г., принята к публикации 04.07.2022 г.
Сведения об авторах
Кривошеина Марина Николаевна, д.ф.-м.н., доц., внс ИФПМ СО РАН, marina@ispms.ru, marina_nkr@mail.ru Туч Елена Владимировна, к.ф.-м.н., нс ИФПМ СО РАН, tychka2012@mail.ru
