Transformacija koordinata između Gaus-Krigerove i svetske poprečne Merkatorove projekcije za teritoriju Srbije Текст научной статьи по специальности «Математика»

2 TRANSFORMACIJA KOORDINATA ? б IZMEĐU GAUS-KRIGEROVE I SVETSKE В POPREČNE MERKATOROVE

PROJEKCIJE ZA TERITORIJU SRBIJE

Potpukovnik mr Stevan Radojčić, dipl. inž.

Uprava za operativne poslove J-3 GŠ

Rezime:

U radu je prikazan postupak i predložene su formule za transfor-macije iz Gaus-Krigerove projekcije, koja se koristi u Srbiji, u Svetsku poprečnu Merkatorovu projekciju i obratno. Osim preračunavanja izme-đu koordinata u ravni i na elipsoidu, date su i formule za Helmertovu sedmoparametarsku transformaciju između srpskog datuma i WGS84 (World Geodetic System 1984).

Ključne reči: Gaus-Krigerova projekcija, UTV, transformacija, Beselov elipsoid, WGS84.

PROCEDURE AND FORMULAS FOR COORDINATE TRANSFORMATIONS BETWEEN THE GAUSS-KRUGER PROJECTIONS AND THE UNIVERSAL TRANSVERSE MERCATOR PROJECTIONS FOR SERBIA

Summary:

This paper gives a procedure and a complete set of formulas for transformations from the Gauss-Kruger projection, used in Serbia, to the Universal Transverse Mercator and vice versa. Besides the conversions between plane and ellipsoid coordinates, the paper gives the formulas for the Helmert’s seven-parameter datum transformation between a Serbian datum and a WGS 84 (World Geodetic System 1984) one.

Key words: Gauss-Kruger projection, UTM, transformation, Bessel’s ellipsoid, WGS84.

Uvod

Kao državni geodetski datum u Srbiji se koristi elipsoid Besela, pozi-ci oniran 1892. godine u tački Hermannskogel kod Beča, a kao dr-žavna projekcija Gaus-Krigerova projekcija (GKP) trostepenih meridijanskih zona. Sve naše topografske karte, a delimično preglednotopografske, pa i

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4 / 08

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4 / 08

druge karte izdanja Vojnogeografskog instituta, kao i raznovrsni sistemi i sredstva koji koriste geodetski datum ili projekciju - za navigaciju, pozicioni-ranje, upravljanje vatrom i slične potrebe - počivaju na tim rešenjima.

Sa druge strane, sve više zemalja, posebno evropske zemlje i da-nice NATO, za geodetski datum usvaja WGS84 (ili GRS80, što je u geo-metrijskom smislu isto), a za projekciju Svetsku poprečnu Merkatorovu projekciju (UTM). Takvim rešenjima postiže se interoperabilnost i olakša-va korišćenje savremenih sistema pozicioniranja kakav je, na primer, si-stem globalnog pozicioniranja GPS [1].

Svi korisnici GPS u našoj zemlji, mnogi subjekti saradnje naše zemlje i vojske sa državama i vojskama u okruženju i članicama NATO, auto-ri raznih aplikacija koje se odnose na navigaciju, pozicioniranje, praćenje i druge geoprostorne namene, kao i mnogi drugi, susreću se sa problemom transformacije koordinata između ova dva sistema. Formule koje se ovde prikazuju prilagođene su širem krugu korisnika, odnosno onom bez poseb-nih geodetskih znanja. Zbog toga se značenje pojedinih izraza ne objaš-njava, niti se navode njihovi nazivi, osim tamo gde se to nije moglo izbeći. Takođe, one su uređene tako da se identične formule koriste za transfor-maciju iz GKP u UTM i obrnuto. Razlikuju se samo određene konstante.

Prelaz iz Gaus-Krigerove u UTM projekciju

Potpun prelaz iz ravni Gaus-Krigerove u ravan UTM projekcije pod-razumeva sledeće korake:

- pravougle koordinate y i x neke tačke u GKP konvertuju se u odgova-rajuće geodetske koordinate B i L (latituda i longituda) na elipsoidu Besela;

- koordinate B i L se konvertuju u prostorne pravougle koordinate X, Y i Z, koje se odnose na elipsoid Besela;

- prostorne koordinate X, Y i Z transformišu se u prostorne koordinate X, Y i Z, koje se odnose na WGS84;

- koordinate X, Y i Z se konvertuju u geodetske koordinate B i L na WGS84, i

- koordinate B i L se konvertuju u koordinate E i N u ravni UTM.

Ovaj algoritam podrazumeva da se za transformaciju geodetskih

datuma koristi Helmertova sedmoparametarska transformacija, čija se primena i inače preporučuje za transformaciju između našeg datuma i WGS84. Takođe, podrazumeva se da je za tačku čije se koordinate tran-sformišu poznata visina (h) i to elipsoidna visina, tj. udaljenost od površi elipsoida. S obzirom na to da za naš datum te visine nisu poznate, uzi-maju se odgovarajuće nadmorske visine.

Šematski se to može prikazati na sledeći način:

(y,x)GK ^ (B, L)Bes ^ (X, Y, Z)Bes ^ (X, Y, Z)WGS84 ^(B, L)wGS84 ^ (E, N)utm

<9T)

Prvi korak: (y,x)GK ^ (B, L)ses U ovom koraku važi sledeće:

a = 6 377 397,155 (velika poluosa Beselovog elipsoida), b = 6 356 078,96325 (mala poluosa Beselovog elipsoida), m0 = 0,9999 (linijski razmer duž srednjeg meridijana zone GKP), y0 = 6 500 000 i L0 = 18° za tačke u 6. zoni GKP, odnosno: y0 = 7 500 000 i L0 = 21° za tačke u 7. zoni GKP.

Sledi računanje nemodulisanih koordinata:

У - Уо .

x

y = -——; x = ■

mo mo

a dalje se računaju pomoćne veličine [2]:

e =

1 - b- • e' = a! - !•

1 a2 ’ e V b2 ’

Mi

ei

x'

a(1 - e2 / 4 - 3e4 /64 - 5e6 / 256)

1 - (1 - e 2)1/2 1 + (1 - e 2)1/2

I 3 27 3 ) . „ f 21 2

/м+\— e,---e, I sin 2 Mi +1— e

I 2 1 32 1 ) I 16 1

55 4 1 • ,

—e1 I sin4M1 + 32 1 )

151 3 ■ r 1097 4 . 0

+---e1 sin6M1+-----e1 sin8M1

96 1 512 1

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

V =

a

(1 - e2 sin2 B1 )1

m 1 „aLeil

/2

(1 - e( sin2 B1 )3 2 T1 = tan2 B1; C1 = e'2 cos2 B1; D = У

Tražene koordinate su [2]:

" D2

B = B1 -

V1 tan B1

M

2

(5 + 3( + 10C1 - 4C12 - 9e'2)) +

24

(61 + 90T + 298C1 + 45^2 - 252e'2 - 3C2}

D6 720

(6)

(7)

(8)

(9)

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4 / 08

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4 / 08

L — L0 +-----

cos B1

D3 d5

D-(1 + 271 + C) — + (5 - 2C + 2871 - 3C2 + 8e'2 + 24712)-

v 1 1 6 v 1 1 1 1 420

Drugi korak: (B, L)Bes ^ (X, Y, Z)ses

(10)

Dobijene geodetske koordinate B i L na Beselovom elipsoidu treba konvertovati u prostorne pravougle koordinate X, Y i Z (koje se odnose na isti elipsoid). Postupak je sledeći:

V —

a

(1

2 • 2 - e sin

B—

X — (V + h)cosBcosL ; Y — (V + h)cosB sin L; Z

(11)

[v (1 -e2) + h]sin B (12)

Treći korak: (X, Y, Zfees ^ (X, Y, Z)wgs84

Za transformaciju koordinata između dva geodetska datuma potrebno je poznavati tzv. parametre transformacije, do kojih se dolazi na osnovu tačaka za koje su koordinate poznate u oba datuma. Što je više takvih tačaka i što je bolji njihov raspored na razmatranoj teritoriji, to će ocena parametara biti bolja (naravno, do granice koju određuje tačnost našeg datuma). Za Helmertovu transformaciju koja se ovde izlaže, a za koju je rečeno da predstavlja optima-lan izbor kada je u pitanju transformacija našeg datuma, potrebno je poznavati sedam parametara: tri translacije duž koordinatnih osa X, Y i Z (X tY, tZ), tri rotacije oko koordinatnih osa X, Y i Z (а, в, Y i faktor razmera (dm). Korisnik može sam da odredi parametre, ili da ih preuzme od nacionalne geodetske ili kartografske agencije ili neka druge odgovarajuće institucije. Vojnim korisnici-ma u Srbiji parametre saopštava Vojnogeografski institut.

Ako se od sračunatih koordinata formira vektor rBesel —[X Y Z]Bese[,

a od parametara translacije vektor t — [tX tY tZ ] matrica rotacije biće [3]:

R —

cos Pcosy cosasinY + sinasin Pcosy sinasiny-cosasin Pcosy

- cos esiny cosacosy-sinasin esiny sinacosy + cosasin esiny sin в -sinacosв cosacosв

(13)

Sada je vektor pravouglih koordinata koje se odnose na WGS84:

rWGS84 —[X Y Z ]WGS84 — (1 + dm)R (rBesel - t) (14)

Četvrti korak: (X, Y, Z)wgs84 ^ (B, L)wgs84

<4T)

Za dalja računanja potrebni su parametri elipsoida WGS84: a = 6 378 137 (velika poluosa WGS84) b = 6 356 752,31425 (mala poluosa WGS84)

Sledi računanje pomoćnih veličina [4]:

e =

1 - b- • e' = —

а2 ’ V b2

1

p = V X2 + 72 ; в = arctan —

pb

i, konačno, koordinata tačke:

„ — + e'2b sin3 0 r 7 ,

B = arctan-----т----r—; L = arctan—; h

p - e2а cos3 в X

P

cos B

N

(15)

(16)

(17)

Geodetska latituda B i elipsoidna visina h obično se računaju na osnovu složenijeg postupka, iterativno. Međutim, ovde su date jednostav-nije, direktne formule, jer one daju rešenja koja su, za našu teritoriju, sa-svim saglasna sa iterativnim [5].

Peti korak: (B, L)wgs84 ^ (E, N)utm Ovde važi:

m0 = 0,9996 (linijski razmer duž srednjeg meridijana zone UTM)

Lo = 21° (za 34. zonu UTM)

Dalje je [2]:

A = (L - L0 )cosB; T = tan2 B; C = e'2 cos2 B (18)

V

M

а

L - el sin2 b)12

1 -1e2 --3e4 — e6'Ib-(3e2 + — e4 +-43-e6srn2B

ч 4 64 256 ) \ 8 32 1024

= а

+

15

e4 +

256 1024

45 35

-e6 sin 4B I---------e6 sin 6B

3072

(19)

(20)

7 ' = V

A + L - T + C)— + (5 - 18T + T2 + 72C - 58e'2 )-v '6 V 420

x' = M + V tan B

A2 A4 A6

— + (5 - T + 9C + 4C2) — + (61 - 58T + T2 + 600C - 330e'2)--

2 24 720

(21)

(22)

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4 / 08

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4 / 08

i, konačno:

E = y 'm 0 +500000; N = x'm0 (23)

Prelaz iz UTM u Gaus-Krigerovu projekciju

Prelaz iz UTM u GKP vrši se analogno prelazu iz GKP u UTM, s tim da se polazi od koordinata E i N u UTM, a završava sa y i х u GKP, odnosno:

(E, N)utM ^(B L)WGS84 ^ (X Y Z)WGS84 ^ (X, Y, Z)ees^ (B, L)Bes ^ (y,x)GK Prvi korak: (E, N)utm ^ (B, L)wgs84 U ovom koraku važi sledeće: a = 6 378 137 (velika poluosa WGS84) b = 6 356 752,31425 (mala poluosa WGS84) m0 = 0,9996 (linijski razmer duž srednjeg meridijana zone UTM)

L0 = 21° (za 34. zonu UTM)

Najpre se sračuna:

, E - 500000 , N

У =-------------; x' = (24)

m0 m0

Dalje važe formule (2)-(10).

Drugi korak: (B, L)wgs84 ^ (X, Y, Z)wgs84 Važe formule (11) i (12).

Treći korak: (X, Y, Z)wgs84 ^ (X, Y, Z)Bes

Postupak je analogan gornjem: od sračunatih koordinata formira se vektor rWGS84 = [X Y Z]WGS84 i pomoću vektora translacije t i matrica rotacije R odrede prostorne koordinate:

rBesel =[X Y ZLel = (l + dm))T (rWGS84 - t) (25)

Četvrti korak: (X, Y, Z)Bes (B, L)Bes Prelaskom na Beselov elipsoid važi: a = 6 377 397,155 (velika poluosa Beselovog elipsoida), b = 6 356 078,96325 (mala poluosa Beselovog elipsoida).

Dalje se primenjuju formule (15)-(17).

Peti korak: (B, L)Bes ^ (y, x)gkp Po analogiji sada je:

m0 = 0,9999 (linijski razmer duž srednjeg meridijana zone GKP) y0 = 6 500 000 i L0 = 18° za tačke u 6. zoni GKP, odnosno

y0 = 7 500 000 i L0 = 21° za tačke u 7. zoni GKP

Dalje se koriste formule (18)-(22), nakon čega je:

У = У Ч + У0; x = x m (26)

C9D

Zaključak

S obzirom na sve širu zastupljenost WGS84 i UTM u raznim aplika-cijama i sistemima, posebno onim zasnovanim na GPS, širi se krug zain-teresovanih za poznavanje procedura i načina prelaska iz tih sistema u naše odgovarajuće sisteme, tj. naš datum (Beselov elipsoid) i našu dr-žavnu projekciju (Gaus-Krigerovu projekciju).

Pitanje transformacija, u principu, zahteva specijalizovano geodet-sko znanje, posebno u delu koji se odnosi na izbor modela i parametara transformacije, jer od toga zavisi kakva će biti tačnost transformisanih ko-ordinata. Međutim, najveći broj potreba mogu zadovoljiti i korisnici bez ta-kvog znanja, ukoliko se definišu jasne procedure i obezbede valjane for-mule.

Literatura

[1] Borisov, M.: Topografsko-kartografski sistem prema novim vojnim standardima, Vojnotehnički glasnik, broj 3-4, Beograd, 2005.

[2] Lapaine, M, Tutić, D.: Relationships between the old Gauss- Kruger projection and UTM projection for Croatia, Reports of the Symposium of the IAG Subcommision for Europe (EUREF), Dubrovnik, 2001.

[3] Torge, W.: Geodesy, Walter de Gruyter, Berlin - New York, 2001.

[4] Vaniček, P, Krakiwskz, E: Geodesy: The Concepts Elsevier Science BV, Amsterdam, 1986.

[5] Božić. B.: Globalni sistem pozicioniranja, Viša građevinsko-geodetska škola, Beograd, 2001.

VOJNOTEHNIČKI GLASNIK 4 / 08