Топология изоэнергетических поверхностей для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(3,1)} Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.938.5

ТОПОЛОГИЯ ИЗОЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ ДЛЯ ИНТЕГРИРУЕМОГО СЛУЧАЯ СОКОЛОВА НА АЛГЕБРЕ ЛИ so(3,1)

Д. В. Новиков1

Изучается интегрируемый случай В. В. Соколова на so(3,1). Это гамильтонова система с двумя степенями свободы, где гамильтониан и дополнительный интеграл являются однородными многочленами степени 2 и 4 соответственно. Описана топология изоэнерге-тических поверхностей при различных значениях параметров системы.

Ключевые слова: интегрируемые гамильтоновы системы, бифуркационная диаграмма, изоэнергетическая поверхность.

Sokolov's integrable case on so(3,1) is studied. This is a Hamiltonian system with two degrees of freedom where both the hamiltonian and additional integral are homogeneous polynomials of degrees 2 and 4, respectively. The topology of isoenergy surfaces is described for different values of parameters.

Key words: integrable Hamiltonian systems, bifurcation diagram, isoenergy surface.

Основы теории топологической классификации интегрируемых гамильтоновых систем были заложены в работах А.Т. Фоменко (см., например, [1-3]). В дальнейшем были разработаны различные методы вычисления инвариантов, классифицирующих системы на изоэнергетических поверхностях (см., например, работу А. В. Болсинова, П. Рихтера и А. Т. Фоменко [4]). Эти инварианты вычислены для многих классических интегрируемых случаев, возникающих в механике и математической физике. Обычно в таких системах изоэнергетические поверхности компактны. Настоящая работа продолжает исследования, развиваемые школой А. Т. Фоменко. Исследуется топология одного из недавно открытых интегрируемых случаев (случая Соколова на so(3,1)), для которого изоэнергетические поверхности (и перестройки интегральных многообразий) некомпактны.

Этот интегрируемый случай был открыт А. В. Борисовым, И. С. Мамаевым и В. В. Соколовым в работах [5-7]. Соответствующая гамильтонова система имеет параметр к и может быть записана в виде уравнений Эйлера на шестимерной алгебре Ли g. При к > 0 алгебра Ли g изоморфна so(4), при к = 0 — алгебре Ли e(3), а при к < 0 — алгебре Ли so(3,1).

Упомянутые уравнения Эйлера всегда имеют два интеграла (инварианты коприсоединенного представления алгебры Ли g):

fi = кБ2 + R2, f2 = {S,R),

где S = (Si, S2, S3), R = (R1, R2, R3), а Si,S2,S3,Ri,R2, R3 — координаты на g*. Интегралы fl и f2 задают симплектические многообразия M4 = {(S, R) | fi(S,R) = 1,f2(S, R) = g} (орбиты коприсоединенного представления алгебры Ли g).

Гамильтониан случая Соколова имеет вид

Я = + aS\ + SiR2 - S2RI, (1)

а соответствующий дополнительный интеграл является полиномом четвертой степени.

Случай Соколова на алгебре Ли so(4) (при к > 0) был изучен в работе А. А. Ошемкова и Г. Хаги-гатдуста [8], на алгебре Ли e(3) (при к = 0) — в работе Д. В. Новикова [9]. Настоящая работа посвящена исследованию топологии изоэнергетических поверхностей

Q3hh = { (S, R) | fi(S, R) = 1, f2(S, R) = g, H(S, R) = h }

для случая Соколова на алгебре Ли so(3,1) (при к < 0) при различных значениях параметров g и h.

Теорема 1. Гамильтониан случая Соколова (1), где к = —17 а > 1, ограниченный на M4 , имеет,

а i _

ровно два критических значения: 0 u, h\ =---1—л/(а2 — 1)(4g2 + 1).

1 Новиков Дмитрий Вячеславович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

[email protected].

Доказательство получается прямым вычислением.

Теперь исследуем топологию изоэнергетической поверхности Qg н при различных значениях д и Л. Обозначим через открытый двумерный диск с к дырками.

Теорема 2. Изоэнергетическая поверхность Qg ^ для гамильтониана случая Соколова (1), где к = —1, а> 1, Л = 0, Л = Н\, диффеоморфна О2 х М.

Доказательство. Фиксируем значение вектора 5 = (51 ,£2,£з) и рассмотрим относительно К систему

51К1 + 52 К2 + 5зКз = д, БзПг — =--52 + схБ \ — Ь.

Она задает прямую I в пространстве М3(К), если векторы (£1,62, 5з) и (52, —51, 0) линейно независимы. А они зависимы, только если 51 = 52 = 0. В этом случае Л = 0. Но значение Л = 0 всегда является критическим (см. теорему 1). Прямая I пересекает сферу К2 = 1 — кБ2 не более чем в двух точках. Множество точек 5, для которых существует пересечение, есть образ поверхности Q'3 ^ при проекции (5, К) ^ 5. Обозначим его через Р^н С М3(5). Прямая I пересекает сферу тогда и только тогда, когда (р(0,1))2 ^ 1 — к52, где р(0,1) — расстояние от прямой I до начала координат, причем равенство соответствует случаю, когда прямая пересекается со сферой по одной точке, а строгое неравенство — по двум. Вычисляя р(0,1), получаем

„2 ( aS% - —S? - h \2 _ 9 , V ^ а

2

(Р(0, 0) = §2 + --S2a+S2 ' < 1 " *S¿.

Следовательно, множество Pgh задается неравенством

[aS2 - ^S2 - h)2 + (xS4 -S2+ g2)(S¡ + S2) < 0. (2)

Обозначим

V = авЪ - ^ - к, и = 512 + 5|, г = Б1 В новых переменных и, V, х неравенство (2) представится в виде

ких2 + (2ки2 — и + v2)х + и(у2 + д2 + ки2 — и) ^ 0. (3)

Теперь подставим к = —1. Тогда квадратичное по х неравенство (3) перепишется следующим образом:

их2 + (2и2 + и — v2)х + и(и2 + и — V2 — д2) ^ 0. (4)

Сначала рассмотрим случай, когда и = 0. Поскольку и = + то из равенства и нулю следует, что 51 = 52 = 0, откуда в свою очередь следует, что Л = 0. Но, как мы уже знаем, значение Л = 0 является критическим (см. теорему 1). При этом также оказывается, что сама прямая Л = 0 не влияет на топологию Qg н, т.е. при проходе на плоскости М2(д,Л) через прямую Л = 0 и непересечении ветви гиперболы Л = ¡х 1 _

---1— л/(а2 — 1)(4д2 + 1) топологический тип С^'^ }1 не меняется. Такая же ситуация наблюдалась и на

2 2 у ' 8о(4) (см. работу А. А. Ошемкова и Г. Хагигатдуста [8]), и на е(3)(см. работу Д. В. Новикова [9]). Далее

считаем, что и > 0.

Найдем дискриминант О уравнения

их2 + (2и2 + и — v2)z + и(и2 + и — V2 — д2) = 0, (5)

соответствующего тому случаю, когда в неравенстве (4) стоит равенство:

О = (2и2 + и — V2)2 — 4и2(и2 + и — V2 — д2) = (V2 — и)2 + 4и2д2 > 0.

Мы видим, что уравнение (5) всегда имеет корни Х1, Х2. Поскольку х ^ 0, то нужно вычислить, когда неравенство (4) имеет неотрицательные решения. Заметим, что для ненулевых корней знаки однозначно определяются знаками суммы и произведения корней.

Разбирая все варианты, получаем, что образ Р^^ при проекции на плоскость £1,£2 состоит из всех точек ($1, £2), таких, что (£1, £2) = (0, 0). Прообразом любой внутренней точки (£1, £2) € п(Р^) при проекции 7г: Р3 —£2) является прямая или же дополнение к интервалу ( —уг+Щ^^г), л/ -гц_(£1, £2)) в зависимости от знака и2 + и — V2 — д2 (если знак " +", то — прямая, если " —", то — дополнение к интервалу), где £+(£1, £2) — единственный положительный корень уравнения (5) (при и2 + и — V2 — д2 < 0).

Нам осталось определить при различных регулярных (д,Ь) вид области на плоскости М2(£1,£2), задаваемой неравенством и2 + и — V2 — д2 < 0. В переменных £ оно перепишется следующим образом:

(£? + £22)2 + £? + £| - + а£| - й) - д2 < 0.

Переписывая последнее неравенство относительно переменной £1, получаем неравенство

(«2 " 1)

которое эквивалентно следующему:

—Sf + + ^ Sj + (1 - а2) + (1 + 2ah)Si - д2 - h2 < 0,

,2 , 1 + 2д}1\2 , 4д2 + 1 , а + 2к \ ^ с2 ^ [ /( о2 , 1 + 2аН\2 , Ад2 + 1 а + 2к '2 + 2(1—а2)) + 4(а2—1) + 2(а2-1) I ^ ^ а 1 ]/ + 2(1-а2)) + 4(а2-1) 2(а2-1)

Заметим, что левая часть всегда меньше нуля. Правая часть будет больше нуля при всех £2 тогда и только

(уI \ __(У^ \ _

тогда, когда к < — — + —л/(ск2 — 1)(4д2 + 1). Если к > — — + — у/(а2 — 1)(4д2 + 1), то правая часть будет

а 1

положительна при |£г| > const, const зависит от д и h. В случае h = — — + — у/(а2 — 1)(4д2 + 1) правая

часть будет больше нуля при S2 = 0 и равна нулю при S2 = 0. Образ Pgh будет иметь следующий тип:

а 1 _

1) при h ф 0 и h < —— + — у/{су2 — l)(4g2 + 1) имеем пространство R3(£) с вырезанными из него

"однополостным гиперболоидом" и прямой Si = S2 = 0, при h = 0 эта прямая "вклеивается";

а 1 _

2) при h ф 0 и h > —— + — у/{су2 — l)(4g2 + 1) имеем пространство R3(£) с вырезанными из него

"двуполостным гиперболоидом" и прямой Si = S2 = 0, при h = 0 эта прямая "вклеивается".

Для получения изоэнергетической поверхности необходимо склеить два экземпляра многообразий Pgh, описанных выше, по их границе. Теорема доказана.

Автор выражает глубокую благодарность А. Т. Фоменко и А. А. Ошемкову за постановку задачи, постоянное внимание и помощь.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-01-00748), программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-3224.2010.1), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (контракты 02.740.11.5213 и 14.740.11.0794), АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект РНП-2.1.1.3704).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фоменко А. Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, № 1. 145-173.

2. Фоменко А.Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1991. 55, № 4. 747-779.

3. Фоменко А.Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25, № 4. 23-35.

4. Болсинов А.В., Рихтер П., Фоменко А.Т. Метод круговых молекул и топология волчка Ковалевской // Матем. сб. 2000. 191, № 2. 3-42.

5. Борисов А.В., Мамаев И.С., Соколов В.В. Новый интегрируемый случай на во(4) // Докл. РАН. 2001. 381, № 5. 614-615.

6. Соколов В.В. Об одном классе квадратичных гамильтонианов на во(4) // Докл. РАН. 2004. 394, № 5. 602-605.

7. Соколов В.В. Новый интегрируемый случай для уравнений Кирхгофа // Теор. и матем. физ. 2001. 129, № 1. 31-37.

8. Хагигатдуст Г., Ошемков А.А. Топология слоения Лиувилля для интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли so(4) // Матем. сб. 2009. 200, № 6. 899-921.

9. Новиков Д.В. Топологические особенности интегрируемого случая Соколова на алгебре Ли e(3) // Матем. сб. 2011. 202, № 5. 127-160.

Поступила в редакцию 24.12.2010

УДК 539.3

ФОРМУЛЫ ОБЩЕГО КОМПЛЕКСНОГО ПРЕДСТАВЛЕНИЯ В ПЛОСКОЙ МИКРОПОЛЯРНОЙ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ

М. У. Никабадзе1

Получены формулы общего комплексного представления в плоской микрополярной теории упругости с учетом объемных нагрузок при неизотермических процессах.

Ключевые слова: плоская микрополярная теория, комплексное представление, тензор деформации, тензор изгиба-кручения, тензор напряжений, тензор моментных напряжений.

Several formulas of the genenral complex representation in the micropolar plane elasticity theory are obtained with consideration of volume loads in nonisothermal processes.

Key words: plane micropolar theory, complex representation, strain tensor, bending-torsion tensor, stress tensor, couple-stress tensor.

1. Уравнения равновесия относительно вектора перемещений и угла вращения плоской микрополярной теории упругости. Будем говорить [1], что микрополярное тело находится в плоском деформированном состоянии (ПДС) относительно плоскости ÜX\X2, если векторы перемещений u и вращения ш зависят только от xi, X2, т (т — время), но не зависят от X3 и представляются в виде

U = u1 (xi,Х2,т) в/, Ш = ш(Х1,Х2,т) вз, (1)

где вг — базис выбранной координатной системы. При этом считаем, что вз — единичный вектор, перпендикулярный векторам в/, I = 1, 2 (плоскости OX1X2).

Учитывая (1) и исходя из уравнений трехмерной микрополярной теории упругости [1, 2] при неизотермических процессах, в данном случае получим следующие уравнения:

ßAi + (Л + ß)di0 - 2adi(ß - ш) - kdit + pFi = 0,

+ (Л + ßW - 2ад2(ß - ш) - kd2t + pF2 = 0, (2)

(5 + ß)Аш + 4a(ß - ш)+ pm = 0,

где 2ß = е/jd/uj; k = а^(3Л + 2ß); Л, ß, a, ß, 5 — материальные постоянные; F/ — компоненты массовой силы; m — массовый момент; p — плотность; t = T - To — перепад температуры; в = div u = д/и/, д/ = d/dX/.

Умножая второе уравнение (2) на мнимую единицу i и складывая с первым, с учетом выражений А = 4dzdz, dz = l/2(9i + id2), dz = 1/2{д\ — id2), z = x 1 + 1x2 будем иметь

dz [4ßdzu + 2(A + ß)Q + 4a i(i9 -tu)- 2 kt] = pF (и = щ + iu2, F = Fi + iF2). (3)

1 Никабадзе Михаил Ушангиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: [email protected].