Топологический метод формирования математической модели телекоммуникационной сети на основе матрицы контуров Текст научной статьи по специальности «Математика»

На основании полученных данных можно предположить перспективу в использовании полученного нового материала. У данного образца замечено небольшое снижение теплопроводности и незначительное изменение водопоглощения до уровня значений керамзитобетона без добавок, однако, эти недостатки перекрываются увеличением морозостойкости и прочности образца за счет свойств магнезиального цемента. Повышенные прочностные характеристики на сжатие и изгиб, а также полное отсутствие усадки в бетонах на их основе, износостойкость, экологичность состава, бактерицидные свойства. Благодаря использованию гипсоцементно-пуццолановых вяжущих с магнезиальным цементом можно практически полностью отказаться от тепловлажностной обработки материалов, что, конечно же, снизит материалы затраты на изготовление.

Таким образом, использование гипсоцементно-пуццоланового вяжущего на основе магнезиального цемента в качестве добавки в керамзитобетон рационально и является перспективным направлением, по которому необходимо проводить дальнейшие исследования и эксперименты. Также следует учитывать, что все работы по производству строительных материалов и возведению стен и перегородок должны осуществляться профессионалами, четко придерживаясь правильной технологии выполнения работ. Список использованной литературы:

1. Нарышкина М. Б. Стеновые материалы на основе композиционного гипсового вяжущего: диссертация на соискание ученой степени кандидата технических наук. Белгород. 2010 г.

2. Лукьянова А.Н., Старостина И.В. Строительные композиционные материалы на основе модифицированных гипсовых вяжущих, полученных из отходов производства // Фундаментальные исследования. 2013. № 4.

3. http://www.dissercat.com/content/vysokoprochnoe-gipsotsementnoputstsolanovoe-vyazhushchee

4. http://www.findpatent.ru/patent/236/2368580.html

© Горячев Д.Е., 2017

УДК 621.391

О.Л. Гутковская

аспирант ФГБОУ ВО «СибГАУ» г. Красноярск, Российская Федерация

ТОПОЛОГИЧЕСКИЙ МЕТОД ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОЙ СЕТИ НА ОСНОВЕ МАТРИЦЫ КОНТУРОВ

Аннотация

В данной статье приводится алгоритм получения математической модели многополюсной телекоммуникационной сети с использованием методов теории графов, которая представляет собой систему линейных неравенств, в свою очередь полученная система неравенств может служить системой ограничений при решении задачи оптимального распределения трафика. Предложенный подход к анализу основан на том, что потоки трафика в телекоммуникационной сети будут выражаться через контурные интенсивности, которые представляют собой совокупность линейно-независимых переменных данной математической модели.

Ключевые слова

Распределение трафика, теория графов, управление трафиком, автоматическое проектирование

телекоммуникационных сетей, контурный метод.

Постановка задачи. Пусть дана телекоммуникационная сеть, представленная в виде направленного

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №05/2017 ISSN 2410-6070_

графа G=(V, N), узлами такой сети являются либо конечные хосты, либо телекоммуникационный узел (коммутатор или маршрутизатор), каналы связи представлены направленными ребрами. Каждый конечный хост является источником и потребителем информационных потоков X1, где i - номер источника. Каждый канал связи характеризуется своей пропускной способностью Rn, п - номер ребра. Интенсивность трафика,

создаваемый источником i в ребре n, будем обозначать Я'п, контурную интенсивность, создаваемую

источником i, будем обозначать . Взаимодействие каждой пары источник приемник описывается

запросом dij, где j - номер приемника, элементы dj группируются в матрицу запросов D. В качестве матрицы, задающей структуру графа, будем использовать матрицу инцидентности I.

Предлагаемое решение. Данный алгоритм получен на основе исследований автора [1,2,3] Целью данной статьи является сформировать систему линейных неравенств связывающую, потоки в каждом ребре через контурные интенсивности, создаваемые каждым источником, то есть определить зависимость

\ = f(An) ,где Ли - суммарный поток, проходящий по ребру, который можно определить по формуле:

Поскольку каждый источник, генерирующий трафик, является независимым от других источников, то поток в каждом ребре, создаваемый >м источником, будет выражен линейной комбинацией контурных интенсивностей для соответствующего источника. Под контурной интенсивностью, понимается поток, циркулирующий в линейно-независимом контуре графа. Количество линейно-независимых контуров в графе определяется его цикломатическим числом v=n-m+p, где п число ребер графа, т число узлов в графе, р число несвязанных компонент графа, в данном случае рассматриваются только однокомпонентные графы. Используя матрицу контуров С=(ста), элементы которой показывают какие ребра входят в независимые циклы, и совпадают ли направление выбранного ребра с направлением обхода контура, ста=0 - ребро не входит в состав контура, ста=1 - ребро входит в состав контура и совпадает по направлению с выбранным контуром, СуИ=-1 ребро входит в состав контура и не совпадает по направлению с выбранным контуром.

Алгоритмы получения матрицы контуров из матрицы инцидентности хорошо известны, в качестве матрицы контуров удобно использовать матрицу фундаментальных циклов графа. В такой матрице каждый контур содержит ровно одну хорду графа, а все остальные ребра входящие в контур являются ветвями данного графа, таким образом, становится очевидным физический смысл контурной интенсивности, контурная интенсивность создаваемая источником i числено равна потоку в соответствующей хорде. Следовательно, для удобства использования данной математической модели необходимо чтобы источники и/или получатели нагрузки находились в хордах графа.

Поскольку в общем случае в топологии сети могут присутствовать ребра, не входящие в контура, то предварительно анализируемую сеть необходимо привести к такому виду, чтобы в ней отсутствовали разомкнутые маршруты, для этого необходимо в исходной матрицы инцидентности сложить строки, которые соответствуют узлам инцидентных только одному ребру, то есть строки, в которых находится всего один не нулевой элемент. После чего нужно удалить одну из строк получившейся матрицы инцидентности, так как в матрице инцидентности произвольно взятая строка является линейно-зависимой. Поскольку такой строкой может быть строка полученная в результате сложения строк только с одним не нулевым элементов, то из исходной матрицы инцидентности можно сразу исключить все строки в которых только один не нулевой элемент. Полученную таким образом матрицу инцидентности обозначим за Г. Дальнейшие манипуляции будут именно с матрице I'.

В качестве алгоритма получения матрицы контуров удобно использовать следующий метод:

На первом шаге определить остовное дерево графа, при этом необходимо обеспечить чтобы ветви графа по возможности не содержали получателей и/или источников информации.

На втором шаге, сортировать в матрице инцидентности столбцы, таким образом, чтобы номера столбцов соответствующие ветвям графа находились слева, а столбцы соответствующие хордам находились

справа.

I ' =

Ветви

Хорды

На третьем шаге складывая между собой строки, таким образом, чтобы в части матрицы инцидентности, где находятся ветви графа, образовалась подматрица с единицами по главной диагонали. В подматрице, относящейся к хордам, получается матрица хорд графа Н.

1

I' =

1

Н

На четвертом шаге получаем матрицу контуров следующего вида:

1

С =

1

-Н

В данной матрице контуров, номера столбцов единичной матрицы соответствуют номерам хорд, расположенных в том же порядке что и в матрице инцидентности, полученной на втором шаге. Номера столбцов в матрице -НТ соответствуют номерам ветвей, расположенных в том же порядке что и в подматрице ветвей, полученной на втором шаге.

После получения матрицы контуров, можно выразить потоки в каждом ребре через потоки в каждом контуре, но поскольку при таком получении матрицы контуров каждой контурной интенсивности ставится соответствующая хорда, то в результате получаем систему уравнений, в которой потоки в каждом ребре выражаются через потоки в хордах.

Аг =гтАг=СтАг т

^ ребер ^ ^ ^ 1Ухорд> Ш

где А'ребер - вектор потоков в каждом ребре, создаваемый источником /';

А1 - вектор контурных интенсивностей, создаваемый источником /;

А'хорд - вектор интенсивностей в хордах, создаваемый источником /';

Для получения суммарного потока в каждом ребре необходимо просуммировать вектора потоков каждом ребре от каждого источника:

(2)

I I I

Поскольку в данной системе не все контурные или хордовые интенсивности известны, то полученная система уравнений имеет бесконечное число решений, каждое из которых соответствует, определенному распрямлению трафика по сети. Очевидно что данная система должна решаться с рядом обязательных ограничений, которые накладываются на потоки в каждой хорде. Ограничение первое, поток, создаваемый каждым источником в каждом ребре должен быть не отрицательным; ограничение второе, суммарный поток не должен превышать пропускную способность сети. Данные ограничения можно записать следующим образом:

^Л' < я

^ п п

1 (3)

Л > о

п

Ограничение третье, контурные интенсивности, которые могут принимать произвольные значения необходимо приравнять к нулю. Третье ограничение можно выполнить двумя способами, первый способ решить систему уравнений найдя только базовое решение, второй способ заключается в решении задачи линейного программирования, где в качестве целевой функции будет выступать сумма всех контурных интенсивностей создаваемых всеми источниками. Целевая функция имеет следующий вид:

F Ю = min

i п

При решении данной системы уравнений совместно с системами неравенств, будет найдено произвольное решение, если необходимо обеспечить белее жесткие требование к качеству обслуживания информационных потоков, то необходимо задаться еще одной системой ограничений в общем случае не линейной, которая будет отражать, например, требуемый уровень вероятности потерь, и задержек.

{nK)<tk '

где Р(Я'п)- функция, описывающая вероятность потерь в конкретном канале или по определенному маршруту следования трафика;

Т(Я'п) - функция, описывающая среднее время задержки в конкретном канале, для маршрута или дисперсию задержки;

Pj - пороговый уровень вероятности потерь для j-ого канала или маршрута;

tk - пороговое время задержки или дисперсии для k-ого канала или маршрута.

Численный пример. В качестве примера рассмотрим сеть со следующей топологией:

Рисунок 1 - Анализируемая сеть и её граф

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №05/2017 ISSN 2410-6070

Для данной топологии зададимся матрице запросов:

0 20 30"

D

10 0 20 40 15 0

Вектор пропускных способностей каналов связи с 1-ого по 6-й: R = [100 100 50 50 20 20]

Матрица инцидентности направленного графа:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12"

1 -1 1 1 -1 0 0 1 -1 0 0 0 0

2 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 -1 0 0

3 0 0 -1 1 -1 1 0 0 0 0 -1 1

4 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

5 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0 0 0

6 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 900000000000 -1

I =

Матрицы инцидентности Г:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 1 -1 1 1 -1 0 0 1 -1 0 0 0 0 2 1 -1 0 0 1 -1 0 0 1 -1 0 0 3 0 0 -1 1 -1 1 0 0 0 0 -1 1

I ' =

Пусть ветвями будут ребра 1, 3, 8, тогда:

1 3 8 2 4 5 6 7 9 10 11 12 1 -1 1 -1 1 -1 0 0 1 0 0 0 0 2 1 0 0 -10 1 -10 1 -10 0 3 0 -1 0 0 1 -1 1 0 0 0 -1 1

I ' =

Далее путем перестановок и сложением строк между собой формируем следующую матрицу: 8 1 3 2 4 5 6 7 9 10 11 12"

I ' =

1 1 0 0 0 0 0 0 -1 -1 1 1 -1 2 0 10 -10 1 -10 1 -10 0 3 0 0 1 0 -1 1 -1 0 0 0 1 -1

Выделяем матрицу хорд графа H

H =

С =

2 4 5 6 7 9 10 11 12"

1 0 0 0 0 -1 -1 1 1 -1

2 -10 1 -10 1 -1 0 0

3 0 -11 -10 0 0 1 -1_

^чаем матрицу контуров:

2 4 5 6 7 9 10 11 12 8 1 3

2 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

4 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

5 0 0 10 0 0 0 0 0 0 -1 1

6 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1

7 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0

9 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 -1 0

10 0 0 0 0 0 0 1 0 0 -1 1 0

11 000000 0 1 0 -1 0- 1

12 000000 0 0 1 1 0 1

Используя формулу 1, определяем потоки в каждом ребре от каждого источника, по формуле 2, определяем суммарные потоки в каждом ребре, после чего получаем систему неравенств 3.

2 > 0 2 > 0 25 > 0 2 > 0 2 = 0 21 = 20 2о = 0 2li = 0 2г = 30 2 + 21 — 20 - 2i + 22 = 50

2 — 25 + 26 — 2) + 2а > 0 2 — 25+26 — 2) +22 > 0

222 > 0

22 > 0 252 > 0 2б2 > 0 22 = 10 2? = 0

22 = 30 21? = 0 2?? = 20

2? + 29 — 2o — 2121 + 2г = 0

22 — 2 + 2б —2g +2ю > 0

22 —22 +22 —2 +22 > 0

23 > 0 23 > 0 23 > 0

2 > 0

2 = 40 2g3 = 15

2o = 0

2131 = 55

22 = 0

2? + 2g — 20 — 211 +2.,,, = 0 2 — 2S + 2б —2g + 2ю > 0

23 —23 +263 — 231 + 20 > 0

22 +22 +23 < 100

2, +22 + 233 < 50 2,! + 22 + 23 < 20 26 + 22 + 263 < 20

2 — 25 +26 — 23 + 2o + 23 — 252 + 2g — 2g2 + 2o + 23 — 253 + 26 — 23 + 2130 < 100 24 — 25 +26 — 21 + 22 + 22 — 25 + 2 — 22 + 2 2 + 24 — 25 + 26 — 23 + 2 2 < 50

<n50

30 6

20

10

У \30

6*-» 7

15

20 8 ~ ^9

У V

б

Рисунок 2 - Распределение трафика по каналам связи от каждого источника

6

6

4

4

а

в

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №05/2017 ISSN 2410-6070_

Решение данной системы неравенств найдем в среде MathCAD, и покажем его графически на рисунке 2. Заключение. Приведённый алгоритм формирования математической модели обладает не высокой алгоритмической сложностью, определяемый размерностью матрицы инцидентности O(nxm). Число переменных, которое получается в математической модели, зависит от числа источников нагрузки и число хорд в направленном графе, описывающим телекоммуникационную сеть, и равно v • ^, где s число источников, v цикломатическое число графа.

Решением системы неравенств являются потоки, которые создаются каждым источником, на основании полученных результатов можно определить маршруты прохождение трафика от каждого источника к каждому приемнику, с учетом накладываемых ограничений. Если в результате системы неравенств не удалось отыскать решение, то это означает что сеть не в состоянии пропустить заданный объем трафика. Система неравенств 3, является базовой системой, которую можно дополнять любыми ограничениями, на показатели качества обслуживания. Или же сама система неравенств 3 может быть использована в качестве системы ограничений для поиска оптимального распределения трафика. Список использованной литературы:

1. Гутковская О.Л., Пономарев Д.Ю. Контурный метод анализа сетей VPN // Современные проблемы науки и образования. 2015. №1-1 С.343.

2. Гутковская О.Л., Пономарев Д.Ю. Узловой метод анализа сетей VPN // Фундаментальные исследования. 2015. №11-5 С.875-881.

3. Гутковская О.Л., Пономарев Д.Ю. Ортогональный метод анализа сетей VPN // Современные наукоемкие технологии. - 2016. - № 7-1. - С. 30-37.

© Гутковская О.Л., 2017

УДК 664.8:658.567.1(628.336.6)

Комарова Е.В., студентка4 курса Буряков А.В., студент 3 курса Южно-Российского государственного Политехнического университета (НПИ)

Суржко О.А.

Профессор, д.т.н.

ПОЛУЧЕНИЕ БИОГАЗА ИЗ ОТХОДОВ ПЛОДООВОЩНЫХ КОНСЕРВНЫХ ЗАВОДОВ

Аннотация

Статья посвящена получению биогаза из отходов плодоовощных консервных заводов.

Ключевые слова

Биогаз, плодоовощные консервные заводы, отходы пищевой промышленности.

В настоящее время в РФ на плодоовощных консервных предприятиях образуются значительные объемы отходов. Так, в частности, в 2014 году общий объем выращенных в растениеводстве культур Краснодарского края (зерновые, технические, кормовые и овощные) составил 10130 тыс. т. В растениеводстве и промышленности по переработке продукции растениеводства ежегодно образуется около 20 млн. т отходов. Из них около 60% - первичные отходы, образующиеся после сбора урожая, и 40 % -вторичные отходы, получаемые в результате технологических процессов превращения целевого сырья в пищевую продукцию.

На одном плодоовощном консервном заводе 21 % всего перерабатываемого сырья составляют отходы, наибольшее количество которых образуется при подготовке сырья к консервированию. При механизированной уборке плодоовощной продукции увеличивается приблизительно на 15 % количество