CC BY
43
УДК 004.724.2+004.272.43 ББК 3.9.7.3.02
ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ РЕЗЕРВЫ СУПЕРКОМПЬЮТЕРНОГО ИНТЕРКОННЕКТА
1 2 Каравай М. Ф. , Подлазов В. С.
(ФГБУН Институт проблем управления
им. В.А. Трапезникова РАН, Москва)
Рассматриваются простые возможности повышения характеристик интерконнекта суперкомпьютеров Gemini (CRAY) и Blue Waters (IBM) за счет использования системных сетей с прямыми каналами.
Ключевые слова: параллельные многопроцессорные вычислительные системы, системные сети, самомаршрутизируе-мые сети, прямые каналы, распределенные полные коммутаторы, некоммутируемые мультикольца.
1. Введение
В основе структуры суперкомпьютеров Gemini и Blue Waters [12, 13] лежит пара тесно связанных узлов - процессорного узла и высокоинтеллектуального связного узла с большим числом каналов для межпроцессорного интерконнекта. Gemini и Blue Waters имеют процессорный узел с многоядерными процессорами. Узлы связи имеют 20 и 47 портов высокоскоростных дуплексных каналов соответственно.
Узлы связи Gemini объединены в 3,0-тор. Измерения x и у состоят из четырёх идентичных дуплексных колец, измерение z - из двух дуплексных колец. Все кольца имеют одинаковую пропускную способность. Общее число пар N процессорного и
1 Михаил Федорович Каравай, доктор технических наук, доцент (Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, тел. (495) 334-90-00, [email protected]).
2 Виктор Сергеевич Подлазов, доктор технических наук, доцент (Москва, ул. Профсоюзная, д. 65, тел. (495) 334-78-31, [email protected]).
связного узлов составляет величину N = NxNyNz, где N — число пар узлов в каждом кольце i-го измерения.
Скрытым резервом данной связной системы является неоп-тимальность использования множества колец. В каждом измерении все кольца имеют одинаковую топологию (последовательность соединения узлов). Использование колец с разной топологией открывает возможность существенного (в разы) повышения пропускной способности множества колец каждого измерения [2, 9, 10]. При этом в узле связи меняется только алгоритм выбора кольца для передачи пакета данных. Особенности и характеристики использования колец разной топологии рассматривается во втором разделе статьи, а в третьем разделе они применяются для 3^-тора.
Каждый узел связи (node) Blue Waters имеет межузловые каналы трех видов: 7 каналов K1 максимальной пропускной способности V\, равной пропускной способности межпроцессорных каналов в процессорном узле; 24 канала К2 пропускной способности V2 = Vi/5 и 16 каналов К3 пропускной способности V3 = 2 V2. Каналы K1 выполнены медным кабелем, а каналы К2 и К3 - оптическим кабелем. На рис. 1.1 приведена структура связей в Blue Waters.
Рис. 1.1. Узлы; суперузлы и связи между ними
32 узла связи образуют суперузел (supernode), в котором узлы связаны по схеме полного графа каналами К и К2. Среди них выделяются 4 группы по 8 узлов, связанных каналами К1. Остальные узлы связаны каналами К2. Суперузлы связаны каналами К3 также по схеме полного графа.
Каждый суперузел имеет 512 каналов K3. В максимальной конфигурации Blue Waters каждый такой канал используется для связи с другим суперузлом по схеме полного графа. В этом случае Blue Waters содержит 513 суперузлов и в них 513*32*4 > 64 K процессоров, связанных каналами разной пропускной способности. Передача пакета между любыми двумя узлами занимает не более трёх смен каналов с промежуточной буферизацией пакетов (скачков).
Скрытым резервом данной системы связи является, во-первых, неоптимальное использование каналов K1 максимальной пропускной способности для создания суперузла. Дополнительное использование при каждом узле связи коммутатора 7 х 7 каналов K1 открывает возможность построения суперузлов с большим числом узлов, связанных только каналами K1, и освобождения каналов К2 для связи с дополнительными суперузлами или повышения пропускной способности системной сети. Так построенные суперузлы имеют топологию распределенного полного коммутатора в виде квазиполного графа или орграфа [4-8]. Эта оптимизация позволяет существенно увеличить как общее число узлов в системе или пропускную способность ме-жузловой сети, так и число узлов, связанных каналами максимальной пропускной способности. При этом в узле связи меняется только алгоритм выбора канала K1 для передачи пакета данных.
Еще одним резервом является неоптимальное использование каналов К3 для объединения суперузлов в систему. Дополнительно использование при каждом суперузле коммутаторов каналов К3 позволит увеличить число суперузлов и/или пропускную способность сети за счет замены полного графа на несколько минимальных квазиполных (ор)графов в виде распределенных полных коммутаторов.
Особенности и характеристики использования распределенных полных коммутаторов рассматривается в четвёртом разделе статьи, в пятом разделе они используются для описания системы связи внутри суперузла, а в шестом разделе - между суперузлами.
Метод расширения полного коммутатора (раздел 4), приводящий к построению распределенного полного коммутатора, в
разделе 7 применяется к расширению дуплексного кольца (двух встречных колец). Это приводит к построению мультикольца с разреженными кольцами, состоящего из нескольких дуплексных колец и имеющего большую пропускную способность, чем мультикольцо с полными кольцами (раздел 2). В разделе 8 это мультикольцо применяется для SD-тора Gemini.
2. Некоммутируемые мультикольца
Мультикольцом мы называем набор из n > 2 кратных колец различной топологии (последовательности соединения узлов). В кратном кольце любой пакет удаляется из канала узлом-получателем, а не узлом-отправителем, освобождая тем самым канал для одновременного и параллельного использования другими узлами. Такую пространственную параллельность обеспечивает не любой способ множественного доступа к каналу. Она возможна в сегментированном кольце и в кольце со вставкой регистра, но невозможна в кольце с передачей жезла (FDDI, Token Ring).
В сегментированном кольце по кольцу циркулируют сегменты равной длины, в которых переносятся пакеты данных. Пакет от любого источника передается только в свободный сегмент и доставляется приемнику безо всякой буферизации в промежуточных абонентах. Поэтому сегментированное кольцо (СК) обеспечивает минимальные времена доставки пакетов по сети.
В кольце со вставкой регистра любой источник всегда передает пакет в канал, а идущий по каналу пакет буферизует у себя, задерживая его доставку по каналу. Кольцо со вставкой регистра (КВР) позволяет использовать пакеты произвольной длины.
Оба способа в условиях однородных узлов и равномерного распределения длин маршрутов обеспечивают практически одинаковую пропускную способность W кольца в модели M/G/1 теории массового обслуживания [1]. Она определяется как W = cv, где с > 1 - емкость кратного кольца, а v (бит/сек) - скорость передачи по кольцу. В СК и КВР зависимость задержки передачи пакета (пребывания в буферах) T(s) от загрузки кольца s имеет сходный вид:
(2.1) т = Fk/(с - s).
Здесь к = (СК, КВР) - вид кольца; s - загрузка кольца: s = ЛВ, где Л (сек-1) - суммарная интенсивность генерации пакетов, В = Ь/V (сек) - средняя длительность пакета, а Ь (бит) -средняя длина пакета. Функция Fk (у, Ь, С) (сек) зависит от загрузки s и ее дисперсии у (для экспоненциального распределения 1-й и 2-й моменты совпадают), средней длины пакетов Ь и ее дисперсии С, но не зависит от емкости с. Если в КВР используются пакеты одинаковой длины, равной длине сегмента в СК, то имеют место следующие соотношения: Т(0)квр = 0 и
Т(0)ск = В/2, Fквp(c/2) * 2В и Fcк(c/2) * 2,5В.
Последние соотношения показывают, что СК и КВР имеют практически одинаковые задержки доставки пакетов, только в СК для каждого источника они состоят из задержек в его выходном буфере, а в КВР - из задержек во вставляемых промежуточных буферах других источников.
Топология любого кольца задается следующим образом. Предположим, что узлы перенумерованы целыми числами из [0, N - 1]. Пусть номера соседних узлов вдоль направления передачи задаются последовательностью Х{ е [0, N - 1], \ = 0, 1, ..., в которой Х+1 = (X + 5)mod N, где 5 называется шагом кольца и 1 < 5 < N - 1, 0 < Х0 < 5 - 1.
Кольцо с шагом 5 > N/2 является встречным кольцом с шагом -(Ы - 5). При Х0 = 0 и 5 = 1 получаем традиционное кольцо (с шагом 1), а при Х0 = 0 и 5 = N -1 - встречное кольцо с шагом -1. В дальнейшем кольцо с шагом 5 будем называть кольцом 5, а его дугу - дугой 5.
Определение 2.1. Мультикольцом {5„} = {'5, 25, ..., ”5} называется набор из 2 < ” < N - 1 различных колец :5 = 1, 25, ., ”5, где ]5 Ф к5.
Рис. 2.1 дает пример мультикольца с 16 узлами и 4 кольцами.
Рис. 2.1. Мультикольцо {54} = (1, 3, -3, -1) = (±1, ±3)
Мультикольцо - это орграф, который обладает центральной симметрией и является симметричным по узлам графом. Это означает, что поворот на любой угол, кратный 3 = 2пШ, сохраняет набор дуг, инцидентных каждому узлу. Такое отображение является автоморфизмом и сохраняет все пути в мультикольце. Поэтому достаточно рассматривать маршруты только из узла с номером 0.
В данном разделе рассматриваются некоммутируемые сегментированные мультикольца, в которых любой пакет от узла отправления до узла назначения доставляется только по одному кольцу. Выбор кольца для передачи зависит, в первую очередь, от длины пути (числа дуг) между этими узлами. Если в кольце ]5 существует путь от узла отправления 1Xi в узел назначения Х+г, то его длина равна г, т.е. длина пути по кольцу 1 называется длиной маршрута между узлами отправления и назначения.
Предполагается, что все узлы генерируют потоки пакетов одинаковой длины с одинаковым распределением маршрутов по их длинам. Даже в этом простейшем случае возникает ряд оптимизационных задач. Во-первых, определить, какую максимальную пропускную способность имеет заданное мультикольцо и при каких условиях она достигается. Во-вторых, при задан-
ном числе колец найти мультикольцо с максимальной пропускной способностью. В-третьих, какие наращиваемые наборы мультиколец обеспечивают максимальные пропускные способности при увеличении N.
Пропускная способность кратного кольца наиболее полно характеризуется такой безразмерной величиной, как его емкость с, измеряемая как среднее число пакетов, параллельно переданных в одном сегменте за время его прохода по кольцу в условиях максимальной загрузки, при которой каждый узел передает пакет всегда, когда кольцо на его выходе свободно (свободен проходящий по кольцу сегмент). Для мультикольца {Sn} вводятся емкость ]с каждого кольца JS и средняя длина пути ]L в нем. Справедлива формула [1-10]:
(2.2) Jc = N/ JL .
Заметим, что для любого некратного кольца, например с передачей жезла, с < 1.
Возможны различные правила выбора кольца для передачи по заданному маршруту (с заданными узлами отправления и назначения). В силу узловой симметрии и сохранения путей результат этого выбора будет одинаковым во всех узлах с одинаковыми маршрутами. Применение некоторого правила создает расписание маршрутов R(r) = Jpr, где ]pr - вероятность назначения пакета в кольцо JS, а r = lL - длина маршрута по кольцу 1. Пусть заданный маршрут в кольце JS имеет длину Jr. Простейшее правило состоит в назначении колец, в которых заданный маршрут имеет наименьшую длину, т.е. Jpr = 1/nr, если
]r = min kr и nr - число таких колец, и Jpr = 0 в противном слу-
\<k<m
чае.
В случае равномерного распределения длин маршрутов и использования простейшего правила величины ]L для (2.2) вычисляются следующим образом. Сначала строится расписание маршрутов R(r). В нем величина 4r задает длину пути маршрута длины r в j-м кольце, а величина ]Lr = ]lr Jpr является взвешенной
N-1
длиной. Величина Ы = ^ 3рг задает число маршрутов, назна-
г=1
Ґ т Л
ченных в 3-е кольцо
N-1
!34
. Тогда
3 Т — г=1
(2.3) ^ =
Емкость одиночного (симплексного) кольца для любого распределения длин маршрутов задается асимптотическим выражением с = 2. Емкость одиночного дуплексного кольца, т.е. мультикольца {^2} = (±1), зависит от распределения длин маршрутов [2, 9, 10]. Для равномерного распределения емкость каждого симплексного кольца в {^2} задается асимптотическим выражением с = 4, а суммарная емкость дуплексного кольца -выражением С = 8. Для других распределений суммарная емкость еще больше: для треугольного С = 12, для гиперболического С = 4 1пN, для распределения обратных квадратов С = ^N/(3 1п N и для экспоненциального с показателем q С = 2(1 - q)N.
При п > 2 емкость С мультикольца {^«}, рассчитанная как
п
С = ^ 1 с , не подтверждается результатами моделирования. Это
3=1
происходит из-за простоев колец, возникающих при их неоднородной загрузке, которая, в свою очередь, является следствием их разной емкости и заданного потока пакетов. Результаты моделирования задают некоторую эффективную емкость мультикольца С , которая аналитически рассчитывается следующим образом [2, 9, 10].
Обозначим ^ = 3с/У и q = тіп^, тогда эффективная емкость С -это
(2.4) С = (N -Щ.
Обозначим JL = ^ 1 Lr и L = max JL , тогда (2.4) можно
Г
переписать в виде:
(2.5) C = N(N -1)/L .
В таблице 2.1 дается пример построения расписания маршрутов по простейшему правилу для мультикольца на рис. 2.1.
Таблица 2.1. Назначение колец в {S4} = (±1, ±3) при N = 16
S Г 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 Взвешенные длины
1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 2 5 2
3 0 3 6 9 12 15 2 5 8 11 14 1 4 7 10 13 1 2 3 2 2
-3 0 13 10 7 4 1 14 11 8 5 2 15 12 9 6 3 1 2 3 2 2
-1 0 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 2 5 2
Такое расписание в дальнейшем называется кратчайшим. Верхняя строка в левой части таблицы дает длины маршрутов (по кольцу 1). Первый столбец задает кольца. В каждой строке задаются последовательности прохождения узлов в каждом кольце, считая узлом отправления маршрутов узел 0. Жирным шрифтом выделены узлы назначения, к которым ведет кратчайший путь. В правой части таблицы приводятся взвешенные длины соответствующих маршрутов. В таблице 2.2 приводится расписание маршрутов R(r), построенное по таблице 2.1.
Таблица 2.2. Кратчайшее расписание R(r) для {S4} = (±1, ±3). Эффективная емкость мультикольца C = 20
S 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1 1 0 0,5 1 0 0 0,25 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 1 0 0 1 0 0,25 1 0 0 0,5 0 0 0
-3 0 0 0 0,5 0 0 1 0,25 0 1 0 0 1 0 0
-1 0 0 0 0 0 0 0 0,25 0 0 1 0,5 0 1 1
В общем случае кратчайшее расписание сохраняет неоднородность загрузки колец, что снижает эффективную емкость мультикольца. Поэтому применяется эвристическая процедура
выравнивания загрузки колец. В ней проводится многократное выравнивание эффективных емкостей колец с минимальным и максимальным значениями за счет расщепления некоторых маршрутов на несколько долей для передачи по разным кольцам. Она имеет сложность 0(п) и приводит к выровненному расписанию R(г). В таблице 2.3 приводится такое расписание.
Таблица 2.3. Выровненное расписание Я (г) для {54} = (±1, ±3).
Эффективная емкость мультикольца С = 21,8.
£ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 1 1 0 0,5 1 0 0 0,125 0 0 0 0 0 0 0
3 0 0 1 0 0 1 0 0,375 1 0 0 0,5 0 0 0
-3 0 0 0 0,5 0 0 1 0,375 0 1 0 0 1 0 0
-1 0 0 0 0 0 0 0 0,125 0 0 1 0,5 0 1 1
Было проведено исследование условий достижения мультикольцами {5П} с числом колец т максимальной эффективной емкости при N < 124. Оказалось, что при равномерном распределении длин маршрутов для любого N всегда существует хотя бы одно мультикольцо с дуплексными каналами (с парами встречных каналов одинакового шага) и выровненным расписанием, для которого
(2.6) С(N) = k(N)п2, где k(N) = 0(1).
Среди таких мультиколец были выделено семейство наращиваемых мультиколец, для которых справедливость формулы
(2.6) при увеличении N обеспечивается только добавлением новых дуплексных колец. Оно представлен в таблице 2.4.
Таблица 2.4. Семейство наращиваемых квазиоптимальных мультиколец
4 6 8 10 12
16 ±1+3 ±1,±2,±3
32 ±1,±2,±3 ±1,±2,±3,±7
64 ±1,±2,±3,±7 ±1,±2,±3,±5,±7
128 ±1,±2,±3,±5,±7 ±1,±2,±3,±5,±7,±9
В таблице 2.4 для каждого N приводится только два набор колец, для которых. C(N) « KN , где 0,5 < K < 2.
Оценим расход кабеля E(n) на наращиваемое мультикольцо при условии, что все кабели прокладываются вдоль колец (±1).
n/2-1
Примем, что E(n) = 4 + ^ 2(2/ -1). Тогда E(n) « n2 / 2 - 4n .
i=1
3. Варианты использования полных мультиколец в 3D-торе
Сначала рассмотрим 3,0-тор из Gemini [12] с N = 16K узлами (Nz = 16, Nx = Ny = 32) при равномерном распределении длин маршрутов.
Если измерение z состоит, как в [12], из двух идентичных дуплексных колец ±1, то его суммарная емкость составляет Cz = 15. Здесь и далее приводятся значения эффективных емкостей, полученные имитационным моделированием. Мультикольцо {S4} = (±1, ±3), состоящее из двух дуплексных колец (±1) и (±3), обеспечит эффективную емкость Cz = 21,8 (см. таблицу 2.3). Таким образом, имеет место увеличение пропускной способности колец измерения z в 1,5 раза.
Если измерения x и у состоят, как в [12], из четырех идентичных дуплексных колец с шагом ±1, то их емкость составляет Cx = Cy = 30,5. Мультикольцо {S8} = (±1, ±2, ±3, ±7), состоящее из четырех дуплексных колец ±1, ±2, ±3 и ±7, обеспечит при выровненном расписании эффективную емкость Cx = Cy = 65
(с округлением до целого). Таким образом, имеет место увеличение пропускной способности колец этих измерений более чем в 2 раза. Заметим, что кратчайшее расписание обеспечивает
только C = C = 58 .
x у
Рассмотренное мультикольцо {S8} обладает некоторой неоднородностью, состоящей в том, что кольца ±2 расщепляются на два миникольца, проходящие через четные и нечетные узлы. Эту неоднородность можно устранить, выбрав простые
N = N = 37. В этом случае при выровненном расписании
С = С = 66.
Такая же картина сохраняется при N = N = 64. В этом случае при выровненном расписании Сх = Су = 66 . Аналогично при
простых N = N = 67 получается Сх = Су = 65 .
Главное преимущество увеличения пропускной способности колец состоит в уменьшении очередей в буферах узлов, что приводит к значительному (в разы) сокращению времен доставки пакетов по сети в условиях ее высокой загрузки. Пусть 5 (0 < 5 < С, где С = Сх = Су) задает загрузку 4-х пар дуплексных колец ±1. Тогда для измерений х и у сокращение времени доставки т можно грубо оценить согласно формуле (2.1) выражением т = (64 - 5)/(31 - 5) ~ 1 + 1/(31 - 5). При 5 > 0,5С время доставки сокращается в т> 3 раз, а при 5 > 0,8 С - в т> 6 раз.
Главным недостатком мультикольца является повышенный расход связного кабеля. Если прокладывать все кольца мультикольца {58} = (±1, ±2, ±3, ±7) параллельно кольцу ±1, то расход кабеля по сравнению с 4 дуплексными кольцами ±1 увеличится в 3,25 раз. Расход кабеля можно снизить при хордовой прокладке дуг колец (±2, ±3, ±7).
Необходимо отметить, что повышение пропускной способности рассмотренного 3^-тора достигается при неизменном числе дуплексных портов узлов связи, равном 20. Фактически это означает, что за счет увеличения длины колец и выбора места подключения узлов к ним можно существенно повысить пропускную способность любого многоканального nD-тора. Иначе говоря, только за счет удлинения связного кабеля, выбора места и последовательности подсоединения узлов к нему можно в разы повысить пропускную способность такого тора, и сделать это без повышения энергопотребления.
4. Распределенные полные коммутаторы
Распределенным полным коммутатором (РПК) мы называем сеть на N абонентов, обладающую функциональным свойством полного графа, но имеющую существенно меньше каналов
М (М << N) и не являющуюся однокристальным полным коммутатором N х N. Функциональное свойства полного графа - это его неблокируемость и самомаршрутизируемость на произвольной перестановке пакетов данных между абонентами. Это свойство означает возможность соединения произвольных пар источник-приемник «прямыми» каналами без промежуточной буферизации пакетов, которые выбираются каждым источником независимо от других источников.
Указанным свойством обладает сеть в виде минимального квазиполного графа, одну долю которой составляют коммутаторы т х т, а другую - т-портовые абоненты. В одной доле имеется N коммутаторов, а в другой - N абонентов. В ней выбирается минимальное т такое, что между любыми двумя узлами в каждой доле можно было проложить ровно а разных путей длины 2, проходящих через разные узлы в другой доле. Каждый такой путь между любой парой абонентов проходит через один коммутатор, и разные пути проходят через разные коммутаторы.
Пример такой сети приведен на рис. 4.1 для т = 4, N = 7 и а = 2. На рис. 4.1 толстыми линями выделены пути между абонентами, выделенными одинаковой заливкой. Нетрудно видеть, что их два для каждой пары абонентов.
Рис. 4.1. Минимальный квазиполный граф с т = 4, N = 7 и а = 2
Здесь возникает вопрос о существовании минимальных квазиполных графов и об их параметрах. Оказывается, что он уже давно решен в комбинаторике. Такие двудольные графы описываются на языке неполных уравновешенных блок-схем, в частности, симметричных блок-схем [4-8].
Симметричная блок-схема В(Ы, т, а) состоит из элементов, составляющих одну долю графа, и блоков, составляющих другую долю графа. Число элементов и блоков одинаково и равно N. Параметр т задает число блоков, в которые входит каждый элемент, и число элементов, входящих в каждый блок. Вхождение некоторого элемента в некоторый блок задает ребро на двудольном графе между соответствующими вершинами разных долей. Параметр а < т задает число блоков, в которые входит каждая пара элементов. Если блок-схема В(^ т, а) существует, то ее параметры связаны соотношением N = т(т - 1)/а + 1, которое выводится прямо из определения блок-схемы [7].
Любая блок-схема описывается таблицей, в которой строчки задают блоки, а ячейки - вхождения элементов. Блоки и элементы задаются своими номерами. Теперь проинтерпретируем блок как коммутатор т х т, элемент - как абонент с т дуплексными портами, а вхождение элемента в блок - как подсоединение абонента к коммутатору дуплексным каналом через один из своих портов. Тогда а интерпретируется как число коммутаторов, через которые любые два абонента соединены разными дуплексными каналами. Вся блок-схема интерпретируется как минимальный квазиполный граф, одна доля которого состоит из абонентов, а другая из коммутаторов. Он описывает распределенный полный коммутатор с а-кратным резервированием каналов - РПК(^ т, а). По построению он наследует маршрутные свойства полного коммутатора т х т, т.е. является неблокируемым и самомаршрутизируемым. Задающая блок-схему таблица описывает схему межсоединений абонентов и коммутаторов. В таблице 4.2 приводится пример В(7, 4, 2) и РПК(7, 4, 2).
Таблица 4.2. Схема межсоединений в РПК(7, 4, 2)
Блоки 4х4 В(7, 4, 2), РК(7, 4, 2)
1 1 2 3 4
2 1 2 5 7
3 1 3 5 6
4 1 4 6 7
5 2 3 6 7
6 2 4 5 6
7 3 4 5 7
Для блок-схем существует проблема их построения. В таблицах 4.3 и 4.4 приводятся параметры блок-схем В^, т, а) при малых т и а. Светлой заливкой выделены блок-схемы, которые не существуют по теории, а темной заливкой - блок-схемы, которые еще не построены.
Таблица 4.3. Параметры N и т при а = 1
ВЩ, т, 1) и РПК N т, 1)
т 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
N 3 7 13 21 31 43 57 73 91 111 133
Таблица 4.4. Параметры N и т при а = 2
ВЩ, т, 2) и РПВД т, 2)
т 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
N 2 4 7 11 16 22 29 37 46 56
Возможностью соединения произвольных пар источник-приемник «прямыми» каналами обладает также полное 2-мерное коммутируемое мультикольцо [3, 4, 7].
Мультикольцо ^м} = {^, 2S, ..., MS} является коммутируемым, если каждый его узел содержит полный коммутатор т х т, 1 < т < М, который позволяет перенаправлять пакеты между некоторыми кольцами. Коммутируемое мультикольцо с N=рг узлами называется полным г-мерным мультикольцом. В нем длины шагов колец задаются цифрами в р-ичной системе счисления, а число колец М задается выражением М = (р - 1)г.
При г = 2 число колец М = 2(р - 1), шаги !S = 7 при 1 < 7 < р - 1 и ^ = (/ - р)(р - 1) при р <у < М, а в узле используется коммутатор р х р. На рис. 4.2 приведен пример полного двумерного мультикольца ^4} = {1, 2, 3, 6} с N = 9 узлами.
Пусть каждый узел полного двумерного мультикольца содержит абонента с т = р входными портами и т = р выходными портами коммутатор т х т (рис. 4.3).
т-1
1 /; т^'т \ т-1
**
т-1
т-1
Рис. 4.3. Коммутатор т хт и абонент А7 в составе ¡-го узла
Маршрутизация в полном 2-мерном мультикольце осуществляется методом червоточины, т.е. путем прокладки прямого канала между источником и абонентом через промежуточный коммутатор. Эта прокладка осуществляется путем посылки пилотного пакета, содержащего адрес абонента-приемника. Она осуществляется в два этапа - сначала по дугам малых длин ^ = 7, а затем - по дугам больших длин ^ = (/ -р)(р - 1). Дуги малых длин идут от абонентов к коммутаторами, а дуги больших длин - от коммутаторов к абонентам. Любой путь по 2-мерному мультикольцу проходит только через один коммутатор. При этом маршрутизация на произвольной перестановке пакетов является неблокируемой и самомаршрутизируемой, и пилотный пакет может быть частью заголовка пакета данных.
Рис. 4.4. Минимальный квазиполный орграф для полного 2-мерного мультикольца при т = р = 3
Схема межсоединений дуг 2-мерного мультикольца может быть перерисована в виде двудольного орграфа. Одну его долю составляют абоненты, а другую - коммутаторы. Полустепень всех узлов в каждой доле одинакова и равна т. Число вершин в каждой доле N задается равенством N = т2. В этом орграфе любые два абонента связаны одним путем длины 2 (через один и только один коммутатор). Такой орграф можно назвать минимальным квазиполным орграфом. На рис. 4.4 приведен пример этого орграфа для т = 3 ^ = 9).
Схема межсоединений в полном 2-мерном мультикольце при N = 9 задается в таблице 4.1.
Таблица 4.1. Таблица межсоединений для полного 2-мерного мультикольца
Коммутаторы 3x3 Симплексные каналы от абонентов Симплексные каналы к абонентам
1 1 9 8 1 4 7
2 2 1 9 2 5 8
3 3 2 1 3 6 9
4 4 3 2 4 7 1
5 5 4 3 5 8 2
6 6 5 4 6 9 3
7 7 6 5 7 1 4
8 8 7 6 8 2 5
9 9 8 7 9 3 6
Аналогичная регулярная схема межсоединений существует для любого N. В ее таблице на пересечении i-й строки, 1 < i < N, и 7-го столбца, 1 < j < m, в левой части таблицы межсоединений содержится номер (i -j)mod N + 1, а в правой - номер (i + (j - 1)m)mod N+1. Все соединения задаются симплексными каналами и через симплексные порты.
Каналы в полном мультикольце можно сделать дуплексными, если кольца с шагами (1, 2, ...,p - 1) заменить на кольца с шагами (±1, ±2, ..., ±L(p-1)/2j), а кольца с шагами (p, 2p, ..., (p - 1)p) - на кольца с шагами (±p, ±2p, ..., ±L(p-1)/2jp). Однако при этом порты остаются симплексными, так как приемные и передающие порты каждого конца любого канала находятся на разных частях сети: один на абоненте, а другой на коммутаторе.
5. Применение квазиполных (ор)графов в суперузле Blue Waters
Рис. 5.1. Полные графы связей узлов и суперузлов
Данный раздел относится только к левой части рис. 5.1, задающей связи между узлами в суперузле.
Предположим, что каждый связной узел (node) в Blue Waters [13] дополнен одним полным коммутатором 7 х 7 для каналов К\. Пусть выбор выходных портов этого коммутатора осуществляется по их номерам в заголовке каждого пакета. Тогда можно создать суперузел с использованием только каналов К связного узла и этих дополнительных коммутаторов. Такой суперузел имеет структуру квазиполного графа или орграфа (см.
рис. 4.1 и рис. 4.4), в которой связной узел является 7-портовым абонентом.
Сначала попробуем построить суперузел в виде распределенного коммутатора РПК(43, 7, 1) со структурой квазиполного графа. «В чистом виде» эта попытка неосуществима, так как блок-схема 5(43, 7, 1) (см. таблицу 4.3) не существует. Однако если допустить, что некоторые абоненты связаны параллельно более чем через один коммутатор 7 х 7, то можно построить РПК(39, 7, 1|2). Схема дуплексных межсоединений для него обладает тем свойством, что каждый абонент / связан дополнительным путем через один коммутатор с 4 абонентами, чьи номера задаются как (/' ± 1)mod 39 и (/' ± 2)mod 39.
Таким образом, РПК(39, 7, 1|2) позволяет создать суперузел из 39 связных узлов, объединенных неблокируемыми каналами К\. Это позволит освободить каналы К2 каждого узла в каждом суперузле для связи с другими суперузлами. Их можно использовать двояко - оставить по одному каналу К2 или К3 между любой парой суперузлов или удвоить число таких каналов. В первом случае число суперузлов увеличится с 513 до 1561 = 39*(16 + 24) + 1, т.е. более чем втрое. Во втором случае число суперузлов увеличится только до 781, но появляется возможность либо увеличить вдвое пропускную способность сети, либо снизить «длину» резервного пути между любыми связными узлами с 5 до 3 скачков.
Специально отметим, что двукратное повышение пропускной способности здесь достигается за счет добавления коммутатора 7 х 7 к каждому узлу связи. Коммутатор много проще узла связи (фактически он уже имеется в его составе) и имеет много меньшее энергопотребление. Тем самым двукратное повышение пропускной способности системной сети достигается при незначительном увеличении ее энергопотребления.
Теперь если построить суперузел в виде распределенного коммутатора со структурой квазиполного орграфа, то число узлов в нем возрастет до 49, а число суперузлов - до 1960 или до 980 при отсутствии или при наличии резервирования каналов соответственно. При этом схема межсоединений абонентов и коммутаторов задается таблицей, аналогичной таблице 4.1, в
которой на пересечении i-й строки, 1 < i < 49, и j-го столбца, 1 < j < 7, в левой части таблицы межсоединений содержится номер (i - j)mod 49 + 1, а в правой - номер (i + 7(j - 1))mod 49 + 1.
6. Применение квазиполных (ор)графов для связи между суперузлами в Blue Waters
Данный раздел относится только к правой части рис. 5.1, задающей связи между суперузлами.
Аналогично можно оптимизировать структуру связей между суперузлами посредством замены полного графа на минимальный квазиполный граф. При этом «длина» пути между любыми узлами любых суперузлов остается не превосходящей трёх скачков.
Для этого достаточно дополнить каждый суперузел с M узлами коммутатором M х M каналов К3 и построить квазиполный граф суперузлов, используя от каждого узла только один (!) канал К3. При этом число суперузлов N достигает величины N = M(M - 1) + 1. Правда, для квазиполного графа возникает проблема его построения - для больших M она решена только для случая, когда M - 1 является простым числом [5]. В частности для суперузла с M = 39 узлами такой квазиполный граф еще не построен. Однако, если уменьшить число узлов в суперузле до M = 38 (просто не подключая 39-й узел к коммутатору 38 х 38), то имеется возможность построить такой квазиполный граф. У авторов имеется программа беспереборного построения квазиполных графов с простыми значениями M - 1.
Как следствие, мы можем построить системную сеть, в которой число суперузлов N достигает величины N = 38*37 + 1 = 1407 (против 513 в Blue Waters).
Коммутатор 38 х 38 должен быть оптоэлектронным и само-маршрутизируемым - оптическим по внутренним каналами и электронным по управлению их коммутацией. При этом управление должно осуществляться на основе маршрутных адресов в пакетах данных. Существуют ли такие коммутаторы достаточно большого размера (на 30-50 портов) - это открытый вопрос, но он уже в «повестке дня» современной технологии [14].
B Blue Waters пропускная способность каналов между процессорным узлом и связным узлом (7V\ = 350 ГБ/с) примерно равна пропускной способности каналов между одним связным узлом и всеми связными узлами в других суперузлах (16V3 = 320 ГБ/с). Поэтому необходимо использовать все 16 каналов К3 для связи с другими суперузлами посредством использования 16 квазиполных графов. Все 16 должны иметь разные схемы межсоединений узлов и коммутаторов - например за счет перенумерации узлов, подключаемых к очередному коммутатору.
В результате, во-первых, каждый суперузел связан 16 путями (через разные узлы в нем) с любым другим суперузлом. Это в 16 раз повышает пропускную способность системной сети между суперузлами. Во-вторых, каждый узел связан 16 разными 2-скачковыми и 3-скачковыми путями (через разные коммутаторы в суперузле) с любым узлом в любом другом суперузле. Это в 16 раз повышает пропускную способность системной сети между узлами в разных суперузлах. В-третьих, многократно повышается вероятность появления 2-скачковых путей (16/38 против 1/32 в Blue Waters). Это сокращает среднее время доставки пакетов по сети.
Таким образом мы получаем системную сеть с 1407-38 = 53466 узлами (против 16416 в Blue Waters - примерно в 3,5 раз больше) с многократно повышенной пропускной способностью и отказоустойчивостью.
Накладные затраты проведенных изменений характеристик системной сети - это увеличение энергопотребления за счет добавления 16 коммутаторов 38 х 38. В каждом суперузле имеется 38-16 = 608-дуплексных портов каналов К3. Добавлено 16-38 = 608 дуплексных портов каналов К3 в коммутаторах. Порты в узлах и в коммутаторах работают на одной скорости и с одинаковой интенсивностью. Поэтому энергопотребление суперузла увеличивается не более чем вдвое, так как порты каналов К2 не используются.
Использование распределенных полных коммутаторов, построенных на основе квазиполного орграфа, позволяет получить еще более высокие характеристики системной сети. Напомним
(раздел 5), что в этом случае суперузел состоит из M = 49 узлов. Используя один канал К3 от каждого узла и коммутатор 49 х 49, можно построить системную сеть со структурой квазиполного орграф с 2401 суперузлами. Использование 16 коммутаторов 49 х 49 в каждом узле позволит повысить пропускную способность между любыми узлами в разных суперузлах и многократно резервировать пути между ними.
В результате мы получим системную сеть с 2401-49 = 117649 узлами (против 16416 в Blue Waters - примерно в 7 раз больше) с теми же накладными расходами что и в случае квазиполного графа. При этом надо помнить, что системной сети со структурой орграфа невозможно использовать дуплексный порт, так как передающая и приемная его части размещаются на разных блоках - узле связи и на коммутаторе.
Рассмотренные структуры системной сети обеспечивают многократное повышение ее характеристик (по числу узлов, по пропускной способности между ними и по резервированию кратчайших путей) за счет менее чем двукратного повышения энергопотребления ее суперузлов. При этом использование оптоэлектронных коммутаторов позволит многократно снизить это повышение энергопотребления.
7. Мультикольца с разреженными кольцами
Построение сетей на основе квазиполного графа позволяет расширять с сохранением маршрутных свойств любую сеть [6, 11], а не только полный коммутатор, как в разделе 3. В данном разделе рассматривается способ расширения сети, состоящей из дуплексного кратного кольца - двух встречных колец с шагом (+1). Он приводит к построению мультиколец, состоящих из дуплексных колец, к каждому из которых подсоединена только часть абонентов. Они называются мультикольцами с разреженными кольцами, в противоположность мультикольцам из раздела 2, которые содержат полные кольца, к каждому из которых подсоединены все абоненты.
Сам способ расширения сети, состоящей из дуплексного кольца, состоит в следующем.
Пусть к дуплексному кольцу подсоединено К абонентов. Каждый абонент подсоединяется к каждому однонаправленному кольцу через дуплексный порт. Берется N = т(т - 1) + 1 дуплексных колец, к которым подсоединяются абоненты с 2т дуплексными портами. Каждое из N дуплексных колец разбивается на равные части по т портов. Каждая часть нумеруется в каждом дуплексном кольце в диапазоне 1 < у < ГК/т~|. Все у-е части в каждом дуплексном кольце составляют у-е простейшее мультикольцо- ПМК(^ т, 1). В нем подсоединение к каждому однонаправленному кольцу в дуплексном кольце описывается блок-схемой В(^ т, 1) и задается соответствующим квазиполным графом. На рис. 7.1 приводится ПМК(7, 3, 1).
ДК(3) ДК(3) ДК(3) ДК(3) ДК(3) ДК(3) ДК(3)
Рис. 7.1. ПМК(7, 3, 1). ДК(3) - дуплексное кольцо с 3 абонентами
Первый ПМК(^, т, 1)должен иметь стандартную структуру. К у-му ПМК(А^, т, 1) подсоединяются абоненты с номерами от до Ы(] + 1) - 1 так, чтобы абоненты на одинаковых позици-
ях имели номера на N больше, чем в (у - 1)-м ПМВД т, 1).
В таблице 7.1 приводится схема подсоединений абонентов к дуплексным кольцами при К = 10 и т = 2, а в таблице 7.2 - при К = 12 и т = 4.
Таблица 7.1. Таблица подсоединений абонентов к кольцам
при К = 10 и т = 2 (ДК - дуплексные кольца, П - их порты, ПМК - ПМК(3, 2, 1))_____________________________________
1-й 2- й 3 й 4- й 5 й
ДК/п ПМ [К ПМК ПМК ПМК ПМК
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1 1 3 4 6 7 9 10 12 13 15
2 2 1 5 4 8 7 11 10 14 13
3 3 2 6 5 9 8 12 11 15 14
Таблица 7.2. Таблица подсоединений абонентов к кольцам при К = 12 и т = 4 (ДК - дуплексные кольца, П - их порты)
ДК/п 1-й ПМК(13, 4, 1) 2-й ПМК(13, 4, 1) 3-й ПМК(13, 4, 1)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 1 13 11 5 14 26 24 18 27 39 37 31
2 2 1 12 6 15 14 25 19 28 27 38 32
3 3 2 13 7 16 15 26 20 29 28 39 33
4 4 3 1 8 17 16 14 21 30 29 27 34
5 5 4 2 9 18 17 15 22 31 30 28 35
6 6 5 3 10 19 18 16 23 32 31 29 36
7 7 6 4 11 20 19 17 24 33 32 30 37
8 8 7 5 12 21 20 18 25 34 33 31 38
9 9 8 6 13 22 21 19 26 35 34 32 39
10 10 9 7 1 23 22 20 14 36 35 33 27
11 11 10 8 2 24 23 21 15 37 36 34 28
12 12 11 9 3 25 24 22 16 38 37 35 29
13 13 12 10 4 26 25 23 17 39 38 36 30
Пропускная способность мультикольца с разреженными кольцами зависит от его емкости С, которая определяется как С ~ 8N и совпадает с эффективной емкостью. Число абонентов R этого мультикольца зависит от числа абонентов К исходного дуплексного кольца, расширением которого и было построено мультикольцо, т.е.
(7.1) R *NK/m *Кт.
Сравним характеристики полного и разреженного мультиколец. Здесь для целей сравнения приходится выбирать для исходного дуплексного кольца К = 4т. Длина кабеля в мульти-
кольце с разреженными кольцами составляет Е = 2N длин кольца (1) или (-1).
Рассмотренные характеристики сведены в таблицу 7.3. Видно, что в равных условиях мультикольцо с разреженными кольцами в два раза превосходит мультикольцо с полными кольцами по емкости при немного большем расходе кабеля.
Таблица 7.3. Характеристики двух видов мультиколец
Характеристика Полные кольца Разреженные кольца
Число портов абонента 2m 2m
Число абонентов 4m2 4m2
Эффективная емкость ~ 4m2 ~ 8m(m - 1)
Длина кабеля ~ 2m(m - 4) ~ 2m(m - 1)
Результаты сравнения показывают, что способ инвариантного расширения произвольных сетей оказался весьма эффективным не только для коммутаторов (раздел 4), но и для некоммутируемых кольцевых сетей.
При этом число портов в узлах связи остается неизменным, т.е. равным 20. Это означает, что за счет увеличения числа колец, выбора колец и места подключения узлов к ним можно существенно повысить пропускную способность любого многоканального nD-тора. Грубо говоря, за счет удлинения связного кабеля, выбора места и последовательности подсоединения узлов к нему можно в разы повысить пропускную способность такого тора, и сделать это без повышения энергопотребления.
8. Варианты использования разреженных мультиколец в 3D-торе
Мультикольца с разреженными кольцами могут применяться в 3D-торе Gemini [12] (Nz = 16, Nx = Ny = 32).
Для измерения z пусть m = 2. Возьмем 3 дуплексных кольца на 10 абонентов. Тогда мультикольцо объединит 15 абонентов (таблица 7.1), а его емкость составит 3 х 7,5 = 22,5. Это в
1,5 раза больше, чем в измерении z Gemini, и чуть больше, чем в мультикольце с полными кольцами (раздел 3).
Для измерений x и у пусть m = 4. Возьмем 13 дуплексных колец на 12 абонентов. Тогда мультикольцо объединит 39 абонентов (таблица 7.2), а его емкость составит 13 х 7,5 = 97,5. Это в 3 с лишним раза больше, чем в измерениях x и у Gemini, и в
1,5 раза больше, чем в мультикольце с полными кольцами (раздел 3).
Общее число процессорных и связных узлов в 3D-торе рассмотренной структуры может достигать N = NzNxNy = 22815, т.е. может быть больше, чем в 3D-торе Gemini. При этом число дуплексных портов связных узлов остается неизменным, т.е. равным 20.
9. Заключение
Некоммутируемое мультикольцо и распределенный полный коммутатор разрабатывались авторами как самостоятельные системными сети для МВС с несколькими десятками или сотнями абонентов. Они разрабатывались как системные сети с минимальными временами доставки пакетов данных по прямым каналам. Данная работа показывает, что их можно эффективно использовать в качестве компонент в более масштабных и изощренных системных сетях.
Такая возможность возникла вследствие появления в суперкомпьютерах многоядерных процессорных узлов и многофункциональных связных узлов с большим числом сетевых каналов. Как следствие возникла задача наиболее эффективного использования этих каналов для решения двуединой задачи повышения пропускной способности системной сети и/или ее расширения без увеличения сложности связных узлов. Данная работа на примере двух разных системных сетей показывает, что эту задачу можно решать за счет оптимального выбора схемы соединений связных узлов или даже последовательности их соединений.
Существенной особенностью рассмотренного подхода является то, что повышение пропускной способности системных сетей достигается с минимальным повышением энергопотребления (Blue Water) или даже без оного (Gemini).
Литература
1. АНДРЕЕВ Л.В. Однонаправленные кольцевые сети связи с коммутацией пакетов // Проблемы передачи информации. -1982. - Т. 18, вып. 4. - С. 85-103.
2. АЛЛЕНОВ А.В., ПОДЛАЗОВ В.С., СТЕЦЮРА Г Г. Пропускная способность набора кольцевых каналов. I. Класс наборов колец. Наборы с простыми узлами // Автоматика и телемеханика. - 1996. - №3. - С. 135-144.
3. АЛЛЕНОВ А.В., ПОДЛАЗОВ В С. Пропускная способность набора кольцевых каналов II. Кольцевые коммутаторы // Автоматика и телемеханика. - 1996. - №4. - С. 162-172.
4. КАРАВАЙ М.Ф., ПАРХОМЕНКО П.П., ПОДЛАЗОВ В С.
Универсальная сетевая структура для отказоустойчивых многопроцессорных систем реального времени // Труды конференции «Технические и программные средства систем управления, контроля и измерения» (УКИ’10), Москва, 2010. - С. 583-597. - иЯЪ: http://cmm.ipu.ru/proc/index.html.
5. КАРАВАЙ М.Ф., ПАРХОМЕНКО П.П., ПОДЛАЗОВ ВС.
Комбинаторные методы построения двудольных однородных минимальных квазиполных графов (симметричных блок-схем) // Автоматика и телемеханика. - 2009. - №2. -С.153-170.
6. КАРАВАЙ М.Ф., ПОДЛАЗОВ ВС. Метод инвариантного расширения системных сетей многопроцессорных вычислительных систем. Идеальная системная сеть // Автоматика и телемеханика. - 2010. - №10. - С. 166-176.
7. КАРАВАЙ М.Ф., ПОДЛАЗОВ В С. Распределенный полный
коммутатор как «идеальная» системная сеть для много-
процессорных вычислительных систем // Управление боль-тттими системами. Выпуск 34. - М:. ИПУ РАН, 2011. -С. 92-116. - иЯЬ: http://ubs.mtas.ru/upload/library/
UBS3405.pdf.
8. КАРАВАЙ М.Ф., ПОДЛАЗОВ В.С., СОКОЛОВ В.В. Метод расширения полных коммутаторов в фиксированном схемном базисе // Труды 5-й международной конференции «Параллельные вычисления и задачи управления»
(PAC0’2010), Москва, 2010. - С. 295-305. - URL: http:// paco.ipu.ru/pdf/A205.pdf.
9. ПОДЛАЗОВ В.С., ПОДЛАЗОВА А.В. Обеспечение наращиваемости отказоустойчивых многопроцессорных систем с общей памятью с использованием многокольцевых некоммутируемых сетей связи с неоднородными узлами // Труды Института проблем управления РАН. - 2002. - Т. XVIII. -С.164-181.
10. ПОДЛАЗОВ В.С. Наращиваемые многокольцевые некоммутируемые сети связи для многопроцессорных вычислительных систем // Проблемы управления. - 2006. - №2. -С.50-57.
11. ПОДЛАЗОВ В.С., СОКОЛОВ В.В. Метод однородного расширения системных сетей многопроцессорных вычислительных систем // Проблемы управления. - 2007. - №2. -С.22-27.
12. ALVERSON R., ROWETH D., KAPLAN L. The Gemini System Interconnect // 18th IEEE Symposium on High Performance Interconnects. - 2009. - P. 83-87.
13. ARIMILI B., ARIMILI R., CHUNG V., et al. The PERCSHigh-Performance Interconnect // 18th IEEE Symposium on High Performance Interconnects. - 2009. - P. 75-82.
14. RITER MB., VLASOV Y., KASH J.A., BENNER A. Optical technologies for data communication in large parallel systems // Topical Workshop on Electronics for Particle Physics (TWEPP-10), Aachen, Germany, 2010. - URL: http://iopscience.iop.org/ 1748-0221/6/01/C01012.
TOPOLOGICAL RESERVE OF SUPERCOMPUTER INTERCONNECT
Mikhail Karavay, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Doctor of Science, assistant professor ([email protected], Moscow, Profsoyuznaya st., 65, (495)334-90-00).
Viktor Podlazov, Institute of Control Sciences of RAS, Moscow, Doctor of Science, assistant professor ([email protected], Moscow, Profsoyuznaya st., 65, (495)334-78-31).
Abstract: We consider simple capabilities of interconnect characteristics improvement of Gemini (CRAY) and Blue Waters (IBM) supercomputers owing to utilization of direct channels system area networks.
Keywords: massive parallel multiprocessor computer, system area networks, self-routing networks, direct channels, distributed full switches, nonswitched multirings.
Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии Д. А. Новиковым
