Топологические и физические эффекты вращения и спина в общерелятивистской теории гравитации Текст научной статьи по специальности «Физика»

В.Г. КРЕЧЕТ

Топологические и физические эффекты вращения и спина в общерелятивистской теории

гравитации

В рамках общерелятивистской теории гравитации, в качестве которой рассматриваются ОТО и ТЭК (теория Эйнштейна-Картана) исследуются вопросы взаимосвязи внутреннего момента импульса (спина) и вращения материальных распределений и собственного момента импульса гравитационного поля. Показано, что вектор плотности спина гравитационного поля с точностью до множителя 1/к равен вектору ротора тетрадного репера ю1 = 81к1тек(а)е(а)1>т/2(8^ = ю7кс ). Показано, что вектор Б^оказывается пропорциональным вектору плотности спина гравитирующего спинорного поля б\у) =Ьс(у/ у5 у) /2, как и псевдовектор кручения Q1 пространства-времени в теории Эйнштейна-Картана, что в обоих случаях индуцирует кубическую нелинейность у спинорного поля. Получено выражение для тензора плотности энергии-импульса вихревого гравитационного поля. Далее показано, что свободное вихревое гравитационное поле с поляризованным спином может индуцировать образование «кротовых нор». Аналогичный эффект может вызвать быстро вращающаяся самогравитирующая идеальная жидкость Получены соответствующие точные решения совместных систем уравнений Эйнштейна и вращающейся идеальной жидкости.

В данной работе рассматриваются вопросы взаимосвязи внутреннего момента импульса (спина)и вращения материальных распределений и собственного момента импульса гравитационного поля в рамках общерелятивистской теории гравитации, в качестве которой рассматриваются ОТО и теории Эйнштейна-Картана (ТЭК). В качестве материальных распределений используются дираковское спинорное поле и вращающаяся идеальная жидкость.

Рассмотрим сначала дираковское спинорное поле, описываемое спинорной функцией у(х1). Общерелятивистский лагранжиан спинорного поля имеет вид:

Ц(у) = (Ье/2)[Б1 у+ у1 у - у+ у1 Ц у - 2цу+ у ] (1)

ЗдесьБ1 у=у,1 - Г1 у, - ковариантная производная спинорной функции в аффиннометрическом пространстве, а Г1 - коэффициенты спинорной связности аффинно-метрического пространства [1], у1 - матрицы Дирака аффинно-метрического пространства, удовлетворяющие условию фундаментальной связи пространства и спина: у1ук + ук у1= 2glk.

В формализме тетрад вышеприведенному условию удовлетворяют следующие выражения для матриц Дирака: у1 = еа1уа, где еа1 - компоненты локального ортонормированного репера (тетрады), уа - матрицы Дирака пространства Минковского, а, Ь, с.... - локальные индексы, 1, _), к.... - мировые индексы. С учетом этих формул для ковариантной производной спинорной функции и матриц Дирака лагранжиан спинорного поля (1) в пространстве Римана-Картана примет вид:

Цу) = (Ъс/2)( у+,1 у1 у - у+ у1 у,1+ (ю1+ 3Q1 )(у + 71 уз у) - 2цу+у ) (2)

Здесь ю1 = 81 т еак еа1,т /2 - ротор тетрады, то есть вихревая составляющая гравитационного поля. С кинематической точки зрения вектор ю1равен угловой скорости вращения тетрадного репера в каждой точке, или системы отсчета, определяемой этим репером. Далее Q1= 81к1^к1т /6- псевдослед тензора кручения Qk1m пространства-времени, а аксиальный вектор у+у1у5у пропорционален вектору плотности собственного момента импульса (спина) спинорного поля б1 (у) = Ьс(у у1 у5у)/2. Поэтому можно считать, что лагранжиан взаимодействия Ь1П; = ю1Б1(у), входящий в спинорный лагранжиан (2), описывает спин-спиновое взаимодействие спинорного и гравитационного полей. Следовательно, вектор и плотность спина гравитационного поля б1 ^) с точностью до коэффициента1/к равен ротору тетрады ю1:

б1 ^) = 81к1т еак еа1,т /2кс.(к = 8п О/с4 ) (3)

Это выражение для плотности внутреннего момента импульса (спина) гравитационного поля совпадает с тем, что получено В.И. Родичевым, но другим способом [2]. Такое совпадение позволяет считать верным полученное выражение (3) для вектора плотности спина гравитационного поля.

Из формулы (2) видно, что спинорное поле совершенно одинаковым образом взаимодействует как с вихрем гравитационного поля, так и с псевдоследом кручения прстранства-времени, то есть для спинорного поля они не различимы.

Чтобы получить связь между аксиальными векторами вихря гравитационного поля ю1, кручения пространства-времени (если оно существует^и плотности спина спинорного поля s1 (у), необходимо, исходя из принципа наименьшего действия, проварьировать полное действие системы гравитационного и спинорного полей в пространстве Римана-Картана U4 с лагранжианом

L = - R/2k + L(y)(4)

по ©hQ1. Используя разложение для скалярной кривизны пространства-времени R в лагранжиане (4) на неприводимые компоненты в рамках монадного формализма [3], в результате получим:

ю-к s1 (у)/2, Q-k s1 (у)/2 (5)

Из (5) видно, что и вихрь гравитационного поля, и псевдослед кручения совершенно одинаково зависят от плотности спина спинорного поля s1 (у) и пропорциональны ему Это еще раз говорит о том, что в рамках спинорной гравидинамики вихрь гравитационного поля ю1и псевдослед кручения Q1 эквивалентны и оба приводят к одинаковым эффектам, в частности, к индуцированию псевдовекторной нелинейности у спинорного поля. Так, если подставить выражения (5) для рассматриваемых величин в спинорный лагранжиан (1), то в нем появятся две псев-довекторных нелинейности, одна из которых индуцирована вихрем гравитационного поля, а другая кручением пространства-времени:

L(y) =(hc/2)(y+,1 у1 у- у+ у1 у,0 +(кЬе/4)(у +у1 у5у)2+ (3кЬе/4)(у+ у 1 у5 у)2. (6)

Таким образом, мы получили аналог теоремы В.И. Родичева [2] об индуцировании псевдовекторной нелинейности у спинорного поля кручением пространства-времени, с тем отличием, что здесь псевдовекторную нелинейность у спинорного поля индуцирует также и вихревая составляющая гравитационного поля.

Здесь еще надо добавить, что, как видно из формулы (5), взаимодействие между вихрем гравитационного поля и плотностью спина спинорного поля является контактным, то есть вихрь гравитационного поля существует лишь в том месте, где есть момент импульса материи. Это значит, что в рамках теории гравитации с линейным по R лагранжианом не существует распространяющегоя в пространстве свободного вихревого гравитационного поля. Распространяющееся вихревое гравитационное поле может существовать лишь в рамках теории гравитации с квадратичными по кривизне лагранжианами, но такие теории пока не находят экспериментального подтверждения.

Простейшим примером пространства-времени, где существует стационарное вихревое гравитационное поле, есть пространство-время с цилиндрической симметрией, описываемое стационарной метрикой вида:

ds2 = D(x)dt2 - A(x)dx2 - B(x)da2 - A(x)dz2 - 2E(x)dtda (7)

При этом геометрические свойства пространства определяются 3-мерным линейным элементом:

dl2=Adx2 + ((BD+E2)/D)da2 + Adz2, (8)

а интенсивность стационарного гравитационного вихря (угловая скорость вращения системы отсчета, определяемой тетрадой с времени-подобным вектором т1 = (D-12 , 0, 0, 0)) определяется выражением:

ю = (E1 D - D1 E)/2DA12 (E2 + BD)12 (9),

где символ () обозначает дифференцирование по координате х. В рассматриваемом случае вектор вихря направлен вдоль оси Oz, которая, следовательно, является осью вращения тетра-ды(системы отсчета).

Возникает вопрос об источниках такой метрики. В нашей работе [5] мы показали, что источником метрики (7) может быть дираковское спинорное поле с вектором плотности спина, поляризованным вдоль оси вращения Oz, то есть метрические коэффициенты A, B, D, Е этой метрики определяются решением совместной системы уравнений Эйнштейна-Дирака в пространстве-времени с метрикой (7). При этом геометрия эффективного 3D-пространства (8) оказалась совпадающей с геометрией «кротовой норы», то есть гравитационный вихрь и вращение материи, а также поляризованный спин могут индуцировать образование «кротовых нор»!

Ниже мы покажем, что источником метрики вида (7) и средством образования «кротовых нор» может также являться быстро вращающаяся самогравитирующая идеальная жидкость с

осью вращения, совпадающей с осью симметриии. Выбираем сопутствующую систему отсчета, так что 4-скорость жидкости У1будет совпадать с монадным вектором системы отсчета т1 = (D-12 , 0,0 0). Тогда выражение для угловой скорости ю вращения жидкости будет определяться формулой (9).Тензор энергии-импульса для идеальной жидкости имеет вид: T1k = (p+s)V1 Vk -pg1k, где р - давление, а s - плотность энергии жидкости. Решается совместная система уравнений Эйнштейна и идеальной жидкости в пространстве-времени с метрикой (7):

R1k - Rg1k /2 = K[(p+s)V1 Vk - pg1k ]. (l0)

При данной постановке задачи и при использовании формулы (9) для угловой скорости вращения ю из системы уравнений Эйнштейна (10) можно получить уравнение для метрического коэффициента R(x) = (E2 + BD)/D при da2 в эффективной пространственной метрике (8), определяющего расстояние до оси симметрии (вращения):

A'1[Rm/R + (D'/D - R'/R)R'/2R =K(p - s) + 4ю2/с2, (11)

а для угловой скорости получается интеграл движения:

ю = ©0/AD1/2. (12)

Здесь ю0 - константа интегрирования, определяющая граничное значение угловой скорости, в тех точках, где AD = 1.

Из уравнения (11) следует, что когда

4ю2/с2 > k(s - p), (13)

то R'' > 0 в точке, где R' = 0, то есть в этой точке функция R(x) имеет минимум при R^ 0, а это есть условие существования «кротовой норы».

Таким образом, при достаточно быстром вращении сплошной среды, когда выполняется условие (13), может образоваться «кротовая нора»! В частности, в случае предельно жесткого уравнения состояния (р = s ) условие (12) заведомо выполняется, то есть вращающаяся жидкость с предельно жестким уравнением состояния индуцирует образование «кротовой норы».Соответствующее точное решение уравнений Эйнштейна для самогравитирующей вращающейся идеальной жидкости с предельно жестким уравнением состояния следующее: p = s = ю0 2/кс2 = const., A = D = 1, ю = ю0 = const, R(x) = b2cosh(©0x/c), (14)

где b - постоянная интегрирования. Решение (14) показывает, что самогравитирующая вращающаяся идеальная жидкость с предельно жестким уравнением состояния вращается как твердое тело, то есть везде имеет одинаковое значение угловой скорости, и образует «кротовую нору», так как метрический коэффициент R(x), определяющий расстояние до оси вращения, везде больше нуля и имеет минимум при х = 0 и нигде не обращается в нуль. Форма «кротовой норы» определяется гиперболическим косинусом, радиус ее горловины - значение R(x) при х =

0, равен b и является произвольным. Это показывает также уравнение (11) для функции R(x), которое инвариантно относительно преобразования: b^ ^b (^ = const). Получившаяся «кротовая нора» соединяет два плоских пространства, так как метрические коэффициенты A(x), D(x) = 1 везде (- да < x < да ).

В стационарном пространстве с метрикой типа (7), где существует вращение конгруэнций времени-подобных мировых линий, то есть существует стационарное вихревое гравитационное поле, возможно существование «кротовой норы» без материи, геометрия которой определяется решением вакуумных уравнений Эйнштейна для метрики (7): R1k = 0. Соответствующее решение следующее:

ю = ©0/AD1/2 , A = c/ba>o(x2/b2 + 1)2, D = exp(arcs1n(x2/b2 + 1)-1)/(x2 /b2 + 1),

R(x) = exp(arcs1n(x2/b2 + 1)-1)(x2 + b2), (b = const., с - скорость света) (15)

Из данного решения видно, что угловой метрический коэффициент R(x), как и в предыдущем примере, везде больше нуля и нигде в нуль не обращается и имеет точку минимума, т.е. опять получилась геометрия «кротовой норы». Это решение еще раз показывает, что вихревое гравитационное поле может образовывать «кротовые норы», а его источником может служить достаточно быстро вращающася сплошная среда, и возможно также образование «кротовой норы» вихревым гравитационным полем и в пустом пространстве.

Отметим также, что вращающаяся самогравитирующая пылевая материя (р = 0) «кротовую нору» не образует, а образует замкнутое по радиальной координате пространство, то есть при интенсивном вращении пылевой материи с сохранением цилиндрической симметрии пространство может свернуться вокруг оси вращения. Соответствующее решение уравнений Эйн-

штейна для указанной физической ситуации в пространстве-времени с метрикой типа (7) следующее:

ю = ю0ехр(ю02х2/2с2), 8 = ю02ехр(ю02х2/с2)/кс2 ,

Б(х) = 1, Я(х) = х2, А(х) = ехр(- ю02х2/с2). (16)

Из данного решения видно, что линейное расстояние 1(х) вдоль радиальной координаты х является конечным при бесконечном увеличении значения координаты х: 1 = 0|“А(х)1/2дх = 0|“ехр(-ю02 х2/2с2^х = (п/2)1/2с/ю0, то есть получилось замкнутое по радиальной координате пространство, причем плотность материи экспоненциально быстро возрастает с удалением от оси вращения.

Приведенные выше примеры показывают, что достаточно быстрое вращение сплошной среды может индуцировать образование пространств с нетривиальной топологией - типа замкнутых вселенных и «кротовых нор». Это объясняется тем, что в общерелятивистской теории гравитации, как мы показали [4], энергия вращения описывается тензором плотности вращательной энергии Т1к(ю2), все компоненты которого пропорциональны квадрату угловой скорости ю2. Для него выполняется также закон сохранения: Т1к;к = 0.Структура тензора плотности вращательной энергии соответствует структуре тензора энергии-импульса идеальной жидкости с анизотропным давлением р3 вдоль оси врашения:

. Т1к(ю2) =(р+8)У1Ук + (р - л^Вк - р^1к (17)

Здесь V1 - 4-скорость системы отсчета - монада (У1У1 = 1), В1 - вектор анизотропии, направленный вдоль оси вращения (В1В1 = -1, V1B1 = 0), причем давление р = -ю2./к, то есть давление у тензора вращательной энергии (он же тензор энегии-импульса вихревого гравитационного поля) всегда отрицательно, и для него нарушается слабое энергетическое условие (8 + р)> 0, т.е. тензор плотности вращательной энергии имеет свойства «фантомной материи», что и приводит к возможности образования «кротовых нор» с помощью достаточно быстрого вращения сплошной среды или вихревым гравитационным полем.

В рассматриваемом случае для пространства с вихревым гравитационным полем типа (7) компоненты тензора плотности вращательной энергии следующие (они же компоненты тензора энергии-импульса вихревого гравитационного поля):

Тк(ю) = (ю2/кс2)^(-1, 1, 1, 3). (18)

Из результатов этой работы можно сделать также вывод, что если для полного гравитационного поля, имеющего деформационную и вихревую составляющие, определение энергии является до конца еще не решенной проблемой, то для его вихревой составляющейпроблема энергии решается. Энергия вихревого гравитационного поля описывается вполне определенным тензором плотности энергии-импульса вида (17), все компоненты которого пропорциональны квадрату ротора тетрады ю2.

В заключение автор выражает благодарность участникам научного семинара Российского гравитационного общества Ю.С. Владимирову, К.А. Бронникову, В.Д. Захарову, В.Д. Захарову, А.В. Каганову, В.В. Кассандрову, А.С. Соловьёву, М.Л. Фильченкову, Б.Н. Фролову и др. за интерес к данной работе, стимулирующее обсуждение и полезные замечания.

Библиографический список

1. Кречет В.Г. // Изв. вузов. Физика. 1985. N 12. С. 9-14.

2. Родичев В.И. Теория тяготения в ортогональном репере. М.: Энергоатомиздат, 1974.

3. Владимиров Ю.С. Системы отсчета в теории гравитации. М.: Энергоатомиздат, 1982.

4. Кречет В.Г. // Изв. вузов. Физика. 2005. № 3. С. 3-6.