CC BY
15
УДК 621. 311.018.782.3 ББК 3279.016.2
ПЛ. ВОРОНОВ, В. А. ЩЕДРИН
ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ СИНХРОННОЙ МАШИНЫ НА ОСНОВЕ ПРИМЕНЕНИЯ СХЕМНОГО ЭЛЕМЕНТА ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ ЦЕПИ - ГИРАТОРА
Ключевые слова: синхронная машина, схема замещения, преобразование координат, матрица преобразования, тензор импеданса, диакоптика, гиратор.
Поиск единой основы для эффективного и систематического анализа и исследования тензорно-топологическим методом сложных устройств электротехнических и электроэнергетических систем привел к необходимости одновременного использования двух источников информации: уравнений состояния (движения) и схем замещения или более общих топологических моделей, построенных для этих физических объектов. Электрические модели в виде схем замещения, широко применяемые на практике в качестве средства составления уравнений и объединения их с векторными диаграммами, оказались удобными и для наглядного представления тензоров и многомерных пространств анализируемых систем. Граф электрической цепи и наложенная на него алгебраическая структура в виде законов Кирхгофа, выражающая связь между токами и напряжениями её, стали представлять собой наиболее простую топологическую модель. Тензорные уравнения, устанавливающие связь между параметрами невозбужденной электрической системы и переменными величинами (электромагнитными параметрами режима) возбужденной системы, объединили её в целостный объект и идентифицировали как физическую систему и с её моделью, позволив тем самым не только составлять уравнения состояния (движения) любых сложных систем, но и обосновать и развить новый эффективный способ их решения по частям, называемый методом диакоптики. В статье предлагается топологическая модель для синхронной явнополюсной машины во вращающихся координатах, включающая схемный элемент гиратор, а также показана одна из возможностей физической реализации такой модели.
Опыт анализа и исследования сложных электротехнических комплексов и электроэнергетических систем по частям, включающих и устройства неэлектрического характера, показывают, что топологические модели, построенные для них, содержат в себе обширную информацию о скрытых силах позиционных (голономных) и кинематических (неголономных) связей, появляющихся в процессе расчленения систем на части и соединения этих решений в общее решение для системы в целом [3, 5]. Заметим, что линейные графы комбинаторной (алгебраической) топологии, дополненные понятием полного сопротивления (импеданса), могут использоваться совместно с аппаратом теоретико-множественной топологии, одной из составных частей которого является тензорный анализ, использованный впервые Г. Кроном для преобразования координат электрических вращающихся машин и цепей [14]. Тензорный метод позволяет осуществлять не только физическое, но и функциональное разделение сложных систем на части. В частности, тензор импеданса электрической машины можно разделить на тензоры активного сопротивления, индуктивности и вращения, которые отражают действия электро-
магнитных и механических сил. По существу метод диакоптики является следствием свойств топологических моделей, из которых вытекает как возможность составления ортогональных уравнений электрических систем посредством применения несингулярных матриц преобразования [11, 13], так и принадлежность этих матриц преобразования, применяемых для разных целей, к определенным группам, объединяющим их благодаря групповым свойствам в одно семейство или в общий соответствующий тензор преобразования. Именно в тензорах преобразования содержатся основные характеристики скелета динамических систем, хотя сами матрицы как компоненты тензора преобразования в уравнения состояния систем не входят. Они выполняют специфическую роль, связанную с ключевыми понятиями: группа, инвариантность, преобразование. Если сингулярные или несингулярные матрицы С являются сущностями определенной группы и для них единственной допустимой операцией принимается, например, умножение, т.е. произведение С1С2С3 образует матрицу С4, которая принадлежит этой же группе, то эти матрицы обладают «групповым свойством». Они помимо данного главного условия должны удовлетворять еще трем: иметь обратный элемент, принадлежащий этой же группе, причем произведение = 1; умножение любой из матриц на единичный элемент группы должно оставлять их без изменения; умножение матриц может выполняться в любом порядке согласно с ассоциативным законом. Когда элементы не имеют обратных, то такая группа называется «полугруппой», для которых многие теоремы теории групп остаются справедливыми [1].
В статье используются три типа групп матриц преобразования: О, Оп, и О/. Первая группа матриц осуществляет преобразование параметров одной электрической системы, состоящей из «Ь» ветвей (элементов), в другие системы, составленные из тех же ветвей, но соединенных различными способами. Эти матрицы составляют группу так называемых матриц соединения, составляющих основу для изучения электрических цепей, поскольку в зашифрованном или закодированном виде выражают законы Кирхгофа. К группе О/ относятся матрицы линейных преобразований, в которых содержатся компоненты, являющиеся функциями переменных величин, в частности, например, угла положения осей ротора машин относительно вращающегося синхронно вектора напряжения системы. К группе Оп относятся все матрицы С, применяющиеся при исследовании систем и имеющие только действительные компоненты. В [10, 12] дан подробный обзор матричных уравнений и используемых схем замещения электрических машин в различных системах координат. Среди схем замещения имеют место и физически реализуемые модели, которые могут использоваться для анализа переходных процессов в электроэнергетических системах. Однако уравнения движения, выраженные через переменные фаз А, В, С, не удобны при исследовании задач динамики машин и взаимосвязанных с ними сетей. Наиболее удобными для режимных расчетов таких систем являются их модели, представленные в координатах /, Ь, 0 и й,
д, 0, хотя в последних, например, для синхронных машин, нельзя получить статическую схему замещения, выполненную из набора четырех идеализированных и физически реализуемых элементов электрических цепей: Я, Ь, С и идеального трансформатора, поскольку синхронная машина в осях й, д представляет собой невзаимную систему из-за дополнительных слагаемых в уравнениях состояния, называемых ЭДС вращения, вызванных вращением координатных осей. ЭДС вращения появляются также в каждом элементе электрической сети, если она рассматривается совместно с машинами во вращающихся осях координат. Уравнения синхронных машин и сетей в различных системах координат подробно рассмотрены в [2] на основе тензорных преобразований. Применять к таким системам непосредственно уравнения Лагранжа, как это принято для систем в фазных координатах А, В, С, не допустимо, поскольку введение новых координат й, д 0 справедливо только для воображаемых электрических токов ¡¿, ¡ф \0, которые эквивалентны в динамике квазикоординатам (скоростям), в то время как электрические заряды дй и дд в этих осях, как координаты, не существуют. Когда вводятся обобщенные координаты для стационарных (неподвижных) электрических цепей, то используются преобразования типа О^ для токов в виде /(АВС) = С/'(АВС). Тем самым осуществляется переход от токов отдельных ветвей к токам независимых контуров. В этом случае наложенные позиционные связи, ограничивающие число степеней свободы в новой цепи, оказываются интегрируемыми, а уравнения Лагранжа дают правильные уравнения состояния её. Но когда вводятся уравнения связи для вращающихся машин и сетей во вращающихся
координатных осях й и д, то преобразование 1(АВС) = САвс/'уф вводит неин-
тегрируемые связи, а уравнения состояния для электрической системы, полученные непосредственно из уравнений Лагранжа, оказываются ошибочными. Это означает, что система является неголономной и не может быть описана в действительных обобщенных координатах. Она будет характеризоваться квазикоординатами, которыми являются гипотетические токи (скорости) и ¡д. Поэтому сначала необходимо получить уравнения машины в голономной фазной системе координат с помощью уравнения Лагранжа, а затем выполнить преобразование к осям й, д. Для более полного раскрытия смысла данного преобразования желательно обратиться к тензорным уравнениям динамических систем [14, 10].
Синхронная машина в координатах й, д, 0 представляет собой невзаимную систему. Однако ее схему замещения или топологическую модель можно реализовать с помощью невзаимного элемента электрической цепи - гирато-ра [15]. Поскольку схемный элемент гиратор может быть реализован физически, то такая модель может быть использована для исследования не только на ЦВМ, но и на аналоговых устройствах или АВМ. Проиллюстрируем построение такой модели на примере трехфазной идеализированной явнополюсной синхронной машины с демпферными контурами Б, Q в координатных осях, жестко связанных с ротором.
Уравнения такой машины в матричной форме записи и = г \ импеданса или полного сопротивления г хорошо известны [2, форм, полученная в [12], имеет вид
и ее матрица 10]. Одна из
й д Р в Q
ий й Гй + ^р -ЬйрВ Мрйр Мор -MQdpе
ид д Ьрв Гд + ЬдР МрйрВ Моёрв Щ<р
ир р МРйр 0 гР + ЬРр М0рр 0 1р
иа в Мвр 0 М0рр г0 + Ь0р 0
щ Q 0 Щр 0 0 rQ + LQР iQ
(1)
Заметим, однако, что преобразованные матричные уравнения вида (1) от фазных координат А, В, С к переменным й, д, 0, используемые разными авторами, как правило, отличаются большим разнообразием знаков компонент их матриц. Это обусловлено произволом в выборе положительных направлений токов в обмотках машины, механического вращения вала (ротора) её, а также расположением координатных осей й, д относительно друг друга. В приведенных же уравнениях (1) токи статора направлены вовне, а ротора - вовнутрь машины, ось д опережает ось й и вращение вала осуществляется против часовой стрелки, а само преобразование выполнено в отличие от преобразования Парка - Горева с соблюдением инвариантности мощности [2, 12]. Поэтому в уравнениях (1) отсутствуют множители 2/3, а взаимные индуктивности между фазными обмотками статора и обмоткой возбуждения, а также демпферной обмоткой по продольной оси ротора одинаковы. Кроме того, из системы (1) исключено уравнение для напряжения и тока нулевой последовательности. Его нетрудно включить дополнительными строкой и столбцом, на пересечении которых вводится только один диагональный элемент импеданса = (г0 + Lop). Остальные элементы дополнительного столбца и строки равны нулю. Ток нулевой последовательности /0 появляется только в случае заземленной нейтрали статора, когда система фазных токов синхронной машины является неравновесной. Часто для генераторов изменяют знаки перед всеми компонентами матрицы г и обозначают её через гг, предполагая при этом, что ось д опережает ось й и вращение вала совершается против часовой стрелки. Если изменить направление оси д на обратное, то при вращении вала по часовой стрелке получаются компоненты импеданса с теми же знаками. Поскольку демпферные обмотки короткозамкнуты, то можно преобразовать матрицу импеданса г, исключив с помощью формулы редукции г = - г2z4^lz3 оси В, Q машины.
Невзаимная связь между контурами й, д статора машины, представленная в уравнениях (1), не зависит от выбора положительных направлений переменных и вида записи самих уравнений. Её появление можно наглядно проиллюстрировать и на примере перехода от простой схемы замещения машины в системе комплексных вращающихся координат /, Ь, 0 к схеме в действительных переменных й, д, 0. Оси /, Ь, представляющие собой координат-
ную систему прямых и инверсных переменных, соответствуют теории вращающегося поля и являются симметричными составляющими. Данному преобразованию соответствуют следующие соотношения для токов:
1 . ч . . 1 . ч
^ +4 ^ гд=~ ]42(г£" 4 ^
а матрицы преобразования соответственно имеют вид
С =
42
£ Ь С* = , С 42 д
1 1 £ 1 ]
д - ] Ь 1 -
В результате преобразования матрицы импеданса в осях £ Ь по выражению г' = С*гС можно с помощью С получить матрицу импеданса в осях й, д, выраженную через компоненты г£, гЬЬ. Следовательно, имеем
[г'] = [С,] • £
£ Ь
£ г££
Ь гЬЬ
1 2
д
г££ + гЬЬ ](г£ - гЬЬ)
д -](г1£ - гЬЬ) г££ + гЬЬ
(2)
Из (2) следует, что взаимные сопротивления между двумя контурами й, д машины различаются по знаку и не являются взаимными. Уравнения машины с импедансом из выражения (2) можно реализовать топологической моделью (схемой замещения), включающей невзаимный пассивный элемент электрической цепи - гиратор. Гиратор, его свойства и применение подробно описаны в электротехнической литературе [4, 7 и др.]. Он представляет собой четырехполюсник, прямые и инверсные уравнения которого в матричной форме имеют вид
М1
Ы2
0 -Яя
Яя 0
12
12
0
0
и1
Ы2
(3)
где Яг = 1 / - сопротивление гирации.
Схемное обозначение гиратора показано на рис. 1, а.
и1
\(Ч+гьь)
V 12
V ) V V
и2 иЛ
Хе=]
(г£'-гЬЪ)
2
12(г££+гЬЬ)
а б
Рис. 1. Схемное обозначение гиратора (а) и гиратора в схеме машины в осях й, д, выраженного через параметры£ Ь (б)
1
Я
д
и
д
Из уравнений гиратора следуют его основные свойства. Он является устройством преобразования полных сопротивлений, а также тока в напряжение и наоборот. Если к выходным зажимам гиратора присоединить нагрузку с импедансом гНГ, то входное сопротивление его будет равным гвх = Я^/ гНГ.
Следовательно, подключение емкости приводит к индуктивному входному сопротивлению, причем Ь = Я^С . Поскольку мощность, потребляемая гира-
тором, равна нулю, то отмеченное свойство его может быть широко использовано при моделировании. На рис. 1, б показана схема машины в осях й, д, соответствующая импедансу (2) и её уравнениям, если их записать в виде
и<1
=(2-
Ч + гЬЬ 0
0 Ч + ^Ь
1
+ —-2
0 Лч - 2ЬЬ)
-Ач- *ъь) 0
) -
разделив исходную матрицу (2) на две части. Тогда вторая часть полученной составной матрицы полного сопротивления может быть представлена гирато-ром, а результирующая схема машины эквивалентной моделью, показанной на рис. 1, б. Она состоит из последовательного соединения двух четырехполюсников и представляет двухконтурную модель, в которой контуры й, д обладают антивзаимной связью.
Аналогичным путём можно построить эквивалентные схемы многоконтурных систем и устройств, в частности для рассматриваемой синхронной машины, уравнения (1) которой уже приведены выше. Из этой системы уравнений посредством редукции постоянно замкнутых демпферных контуров можно исключить часть переменных, относящихся к этим контурам, но не пренебрегая ими. Так как исключаемые контуры не содержат ЭДС, то исходная система упрощается. Если еще дополнительно пренебречь и активными сопротивлениями демпферных контуров, то тогда получается трехконтурная несимметричная переходная матрица импеданса синхронной машины, кото-
рую можно записать в мат ричной фо рме
й д р
й Гй + Ьй Р Ьй Рв МшР
[ = - Ьй Рв гд + Ь Р - М'рР
р М РйР 0 гр + Ь'рР
(4)
Ввиду громоздкости матрицы импеданса после исключения коротко-замкнутых демпферных контуров и неудобств её размещения в тексте статьи, приведем ряд выражений для отдельных фрагментов компонент этой матрицы в виде
Г2 „ Л (
(
ЬУ- Ьй
V
(
М'рй = Мрй
V
Щ йР
г0 + Ь0Р МОРМОйР
го + ЬйР
к=
\
Ьд -
Ь'Р =
ЩдР
гв + ЬвР
МррР г0 + ЬВР
Ьр -
и
д
д
Подставив в (4) соответствующие фрагменты из (5), можно получить матрицу переходного полного сопротивления рассматриваемой машины в развернутом виде с учетом активных сопротивлений демпферных обмоток.
Любую несимметричную матрицу, подобную (4), всегда можно представить в виде суммы симметричных и кососимметричных матриц. Представим таким способом матрицу (4), разделив дополнительно симметричную часть её на три отдельных матрицы, а кососимметричную часть на две матрицы. В
результате выразим
2'] суммой следующих пяти матриц:
й г р й г р
й Гй + 1'йР М'гйР 1 й
г гг + 1'гР + — • 2 г - мрр
р М'рйр гр + Ь'р р р - М'рйРВ
1
+ — • 2
й г р й г р
й (¿г - ¿й) р0 1 +—• 2 й
г Щ - ¿й) р0 г - мрр
р р М'РЛр0
1
+ —• ■ 2
й г р
й (¿г + ¿й) ре
г - (¿г+¿й) ре
р
№'] = -
й г р
й
г +Z
р +Z
Каждая и этих пяти матриц может быть сопоставлена отдельному шести-полюснику. Шестиполюсники, соединенные последовательно, образуют топологическую модель синхронной машины (рис. 2). Она соответствует импедансу (4).
ил 1''
3 ир
га+Ьлр
Я.
Я.
-Я,
-Я.
Мр
гр+Ьрр*
Я
Я
Гд+ЬдР
Я
X
Я
X
2'
Рис. 2. Топологическая модель синхронной машины, соответствующая импедансу (4)
+
+
1
2
и
г
Модель включает два гиратора, сопротивления гирации которых обозначены на схеме через Я х = 1/2(- Ьд)р9 и Яг2 = 1/2М'рйрВ . Матрицы типа
2" (показана выше рядом с пятой матрицей модели) реализуются с помощью Т-образной схемы с поперечным отрицательным сопротивлением. Полученная модель может объединяться со схемами замещения других устройств энергосистем и использоваться при проведении аналитических исследований.
Расчет цепей с гираторами и другими схемными элементами на основе теории электрических цепей подробно рассмотрен в [7, 8]. Физическая интерпретация и реализация топологических моделей с гираторами для конкретных объектов и анализа их режимов работы требуют специального рассмотрения. Наиболее просто реализовать такие модели можно, например, для установившихся режимов симметричной двухфазной асинхронной машины и синхронной машины с равномерным воздушным зазором без демпферных контуров, импедансы которых в осях й, д имеют вид
й
[ г ' ] =
й
ХМ ]УГг А
д
ХМ мг
А
[ г ' ] =
й д
й Я ХЛ
д -Хл Я -ХЛ
р Яр
2
д
Поскольку для асинхронной машины единственной возбуждающей функцией являются приложенные симметричные фазные напряжения, изменяющиеся с угловой частотой ю, то матрица импеданса в установившемся режиме получается после исключения короткозамкнутых роторных контуров
с помощью замен: р = й / й = ]ю, р9 = 9 = ую , а также индуктивностей и взаимных индуктивностей на сопротивления юЬ = X, юМ = ХМ. Величина А = (гг + /хг)2 + (ухг)2, а сопротивление вычисляется по формуле
X2
= г5 + ]'х5 + —А^- [гг + ](1 - V2) хг ], индексы 5 и г относятся к статору и ротору
соответственно. Аналогичные замены проведены и для синхронной машины. Обратим особое внимание на то, что для исследования переходных процессов сопротивления гирации гираторов пропорциональны р9 и, следовательно, при изменении скорости ротора машины оно должно быть переменным.
Основная трудность практического построения схем с гираторами заключается непосредственно в физической реализации самих этих элементов. Такая реализация не требуется для расчетов на ЭЦВМ, но она важна при использовании аналоговых устройств переменного тока. Гиратор можно реализовать на основе схемы двух источников тока, включенных встречно параллельно. Существует также возможность и ряда способов физической реализации гираторов с помощью операционных усилителей с дифференциальным входом, например, для создания искусственных индуктивных элементов с высокой добротностью [9].
С помощью гираторов могут синтезироваться многополюсники с различными своеобразными свойствами. Так, каскадное соединение двух иде-
альных гираторов образует идеальный трансформатор, а соединение гиратора с сопротивлением R = Rg - вентиль мощности (энергии) [б].
Выводы. l. На основе уравнений трехфазной синхронной машины в системе координат d, q, 0 построена топологическая модель с применением ги-раторов - схемных элементов электрических цепей.
2. Разработанная модель, раскрывающая дополнительную информацию о сложных системах, содержащуюся в их уравнениях состояния в неявной форме, повышает эффективность решения режимных задач на ЭВМ методом диакоптики.
3. Показаны возможные способы физической реализации гираторов при моделировании.
Литература
1. Ван дерВарден Б.Л. Алгебра: пер. с пем. М.: Мир, 197б. 64s с.
2. Воронов П. Л. Разработка и реализация методик и алгоритмов расчета по частям симметричных и несимметричных режимов систем электроснабжения: дис. ... капд. техн. паук. Чебоксары, 20l9. 25S с.
3. Воронов П.Л. Особенности применения матриц преобразования и уравнений связи при анализе несимметричных повреждений // Южно-Уральского государственного университета. Сер. Энергетика. 20lS. Т. lS, № l. С. 27-З7.
4. Ионкин П.А., Миронов В.Г. Синтез RC-схем с активными невзаимными элементами (вопросы реализации). М.: Энергия, 1976. 240 с.
5. Крон Г. Исследование сложных систем по частям - диакоптика / пер. с англ. Л.Я. Банах, А.В. Власова, И.А. Павлова и др.; под ред. А.В. Баранова. М.: Наука, 1972. 542 с.
6. Милях А.М., Шидловский А.К. Принцип взаимности и обратимость явлений в электротехнике. Киев: Наукова думка, 1967. З16 с.
7. Миронов В.Г. Методы и алгоритмы оптимального проектирования микроэлектронных частотно-избирательных цепей: дис. ... д-ра техн. паук. М., 19S4. З75 с.
S. Сигорский В.П., Петренко А.И. Алгоритмы анализа электронных схем. М.: Советское радио, 1976. 60S с.
9. Соколов Н.И., Миронов В.Г., Щедрин В.А. Искусственные индуктивности для расчетных моделей переменного тока // Электричество. 1970. № 6. С. 7S-S0.
10. Уайт Д., Вудсон Г. Электромеханическое преобразование энергии / пер. с англ. Н.Ф. Ильинского и др.; под ред. С.В. Страхова. М.: Энергия, 1964. 52S с.
11. Хэпп Х. Диакоптика и электрические цепи. М.: Мир, 1974. З44 с.
12. Щедрин В.А., Воронов П.Л. Применение метода преобразования координат к анализу электрических сетей с распределенными источниками энергии // Региональная энергетика и электротехника: проблемы и решения: сб. пауч. тр. Вып. 11. Чебоксары: Изд-во Чуваш. уп-та, 2015. С. 42-65.
13. Щедрин В.А., Воронов П.Л. Двойственность и ортогональность электрической цепи // Региональная энергетика и электротехника: проблемы и решения: сб. науч. тр. Вып. 10. Чебоксары: Изд-во Чуваш. уп-та. 2014. С. 94-109.
14. Kron G. Tensors for Circuits (Formerly entitled A Short Course in Tensor Analysis for Electrical Engineers). N.Y., Dover Publ., Inc., 1959, 250 p.
15. Tellegen B.D.H. The gyrator, a new electric network element. Philips Res. Rep., 194S, vol. З, pp. S1-101.
ВОРОНОВ ПАВЕЛ ЛЕОНИДОВИЧ - кандидат технических наук, доцент кафедры электроснабжения и интеллектуальных электроэнергетических систем имени А.А. Федорова, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары (plv911@mail.ru).
ЩЕДРИН ВЛАДИМИР АЛЕКСАНДРОВИЧ - кандидат технических наук, профессор, профессор кафедры электроснабжения и интеллектуальных электроэнергетических систем имени А. А. Федорова, Чувашский государственный университет, Россия, Чебоксары.
P. VORONOV, V. SHCHEDRIN TOPOLOGICAL MODEL OF A SYNCHRONOUS MACHINE ON THE BASIS OF APPLICATION OF THE SCHEME OF THE ELECTRIC CIRCUIT - GIRATOR
Ключевые слова: synchronous machine, substitution scheme, coordinate transformation, transformation matrix, impedance tensor, diacoptics, gyrator.
The search for a single basis for effective and systematic analysis and research of complex devices of electrical and electric power systems using tensor-topological methods has led to the need for simultaneous use of two sources of information: equations of state (motion) and substitution schemes, or more general topological models constructed for these physical objects. Electrical models in the form of substitution schemes, widely used in practice as a means of composing equations and combining them with vector diagrams, proved to be convenient for visual representation of tensors and multidimensional spaces of the analyzed systems. The graph of an electric circuit and the algebraic structure superimposed on it in the form of Kirchhoffs laws, expressing the relationship between its currents and voltages, became the simplest topological model. Tensor equations that establish the relationship between the parameters of an unexcited electrical system and the variables (electromagnetic mode parameters) of an excited system, combined it into a complete object and identified it as a physical system and its model, thus allowing not only to make equations of state (motion) of any complex systems, but also to justify and develop a new effective way of solving them in parts, called the diacoptic method. The article proposes a topological model for a synchronous single-pole machine in rotating coordinates, including the gyrator circuit element, and shows one of the possibilities ofphysi-cal implementation of such a model.
Литература
1. Waerden B. L. van der. Modeme algebra. Berlin. Verlag von Julius Springer, 1930 (Russ. ed.: Algebra. Moscow, Mir Publ., 1976, 648 p.).
2. Voronov P.L. Razrabotka i realizatsiya metodik i algoritmov rascheta po chastyam simmetrichnykh i nesimmetrichnykh rezhimov sistem elektrosnabzheniya: dis. ... kand. tekhn. nauk [Development and implementation of methods and algorithms for calculating parts of symmetrical and asymmetrical modes of electricity supply systems. Cand. Diss.]. Cheboksary, 2019, 258 p.
3. Voronov P.L. Osobennosti primeneniya matrits preobrazovaniya i uravnenii svyazi pri analize nesimmetrichnykh povrezhdenii [On using trasformation matrices and constraint equations for analysis of non-symmetric faults]. Yuzhno-Ural'skogo gosudarstvennogo universiteta. Ser. Ener-getika, 2018, vol. 18, no. 1, pp. 27-37.
4. Ionkin P.A., Mironov V.G. Sintez RC-skhem s aktivnymi nevzaimnymi elementami (voprosy realizatsii) [Synthesis of RC schemes with active non-reciprocal elements (implementation issues)]. Moscow, Energiya Publ., 1976, 240 p.
5. Kron G. Diakoptics: The Piecewise Solution of Large-Scale Systems, Macdonald and Co., London, UK, 1963 (Russ. ed.: Issledovanie slozhnykh sistem po chastyam - diakoptika. Moscow, Nauka Publ., 1972, 544 p.).
6. Milyakh A.M., Shidlovskii A.K. Printsip vzaimnosti i obratimost'yavlenii v elektro-tekhnike [The principle of reciprocity and reversibility of phenomena in electrical engineering]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1967, 316 p.
7. Mironov V.G. Metody i algoritmy optimal'nogo proektirovaniya mikroelektronnykh chastotno-izbiratel'nykh tsepei: dis. ... d-ra tekhn. nauk [Methods and algorithms for optimal design of microelectronic frequency-selective chains. Doct. Diss.]. Moscow, 1984, 375 p.
8. Sigorskii V.P., Petrenko A.I. Algoritmy analiza elektronnykh skhem [Electronic circuit analysis algorithms]. Moscow, Sovetskoe radio Publ., 1976, 608 p.
9. Sokolov N.I., Mironov V.G., Shchedrin V.A. Iskusstvennye induktivnosti dlya raschetnykh modelei peremennogo toka [Artificial inductives for calculated AC models]. Elektrichestvo, 1970, no. 6, pp. 78-80.
10. White D.C., Woodson H.H. Electromechanical energy conversion. New York, Wiley, 1959 (Russ. ed.: Elektromekhanicheskoepreobrazovanie energii. Moscow, Energiya Publ., 1964, 528 p.).
11. Happ H.H. Diakoptics and hetworks. New York, London, Academic Press, Inc., 1971 (Russ. ed.: Diakoptika i elektricheskie tsepi. Moscow, Mir Publ., 1974, 344 p.).
12. Shchedrin V.A., Voronov P.L. Primenenie metoda preobrazovaniya koordinat k analizu elektricheskikh setei s raspredelennymi istochnikami energii [Applying the method of converting coordinates to the analysis of electrical networks with distributed energy sources]. In: Regional'naya energetika i elektrotekhnika: problemy i resheniya: sb. nauch. tr. Vyp. 11. [Regional energy and electrical engineering: problems and solutions: a collection of scientific works. Iss. 11]. Cheboksary, Chuvash University Publ., 2015, pp. 42-65.
13. Shchedrin V.A., Voronov P.L. Dvoistvennost' i ortogonal'nost' elektricheskoi tsepi [The duality and orthogonality of the electrical circuit]. In: Regional'naya energetika i elektrotekh-nika: problemy i resheniya: sb. nauch. tr. Vyp. 10 [Regional energy and electrical engineering: problems and solutions: a collection of scientific works. Iss. 10]. Cheboksary, Chuvash University Publ., 2014, pp. 94-109.
14. Kron G. Tensors for Circuits (Formerly entitled A Short Course in Tensor Analysis for Electrical Engineers). N.Y., Dover Publ., Inc., 1959, 250 p.
15. Tellegen B.D.H. The gyrator, a new electric network element. Philips Res. Rep., 1948, vol. 3, pp. 81-101.
VORONOV PAVEL - Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Department of Power Supply and Intelligent Power Systems named after A.A. Fedorov, Chuvash State University, Russia, Cheboksary (plv911@mail.ru).
SHCHEDRIN VLADIMIR - Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Power Supply and Intelligent Power Systems named after name A.A. Fedorov, Chuvash State University, Russia, Cheboksary.
Формат цитирования: Воронов П.Л., Щедрин В.А. Топологическая модель синхронной машины на основе применения схемного элемента электрической цепи - гиратора // Вестник Чувашского университета. - 2020. - № 1. - С. 78-88.
