Точные решения с двумя линейными инвариантными соотношениями уравнений равновесия пластинки на упругом стержне в потоке воздуха Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.38 ББК 22.21

С. А. Шретер

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ С ДВУМЯ ЛИНЕЙНЫМИ ИНВАРИАНТНЫМИ СООТНОШЕНИЯМИ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ПЛАСТИНКИ НА УПРУГОМ СТЕРЖНЕ В ПОТОКЕ ВОЗДУХА*

Аннотация. Рассмотрена задача о пространственном поведении системы пластинка-стержень в набегающем потоке воздуха. Построение решения осуществлено с помощью введения двух линейных инвариантных соотношений. Константы в этих соотношениях определены исходя из физического смысла механической модели.

Ключевые слова: стержень, пластинка, математическая модель, аэродинамические силы, инвариантное соотношение.

S. ^ Shreter

EXACT SOLUTIONS WITH TWO LINEAR INVARIANT RELATIONS OF EQUILIBRIUM EQUATIONS OF THE PLATE ON AN ELASTIC ROD IN A FLOW OF AIR

Abstrac. The problem of the spatial behavior of plate-rod in the air flow. Construction of the solution achieved by the introduction of two linear invariant relations. The constants in these relations are defined on the basis of the physical meaning of a mechanical model.

Key words: rod, plate, the mathematical model, the aerodynamic forces, invariant relation.

Постановка задачи. Рассмотрим механическую задачу в постановке работы [6], расширив ее с плоской до пространственной (рис. 1). К упругому тонкому стержню жестко прикреплена абсолютно твердая пластинка. Стержень имеет еще одну точку жесткого закрепления на противоположном конце. Полученная система помещается в поток воздуха. В отличие от [10] точка крепления стержня и пластинки имеет произвольное положение на пластинке, в том числе она не обязана находиться на оси симметрии пластинки. Под воздействием потока пластинка начинает отклоняться от положения равновесия, и стержень изгибается и закручивается.

Цель работы: используя уравнения равновесия системы, необходимо установить зависимость между аэродинамическими силами и углами отклонения пластинки от положения равновесия.

Для записи уравнений равновесия введем системы координат. OXYZ - подвижную систему координат с единичными векторами э, э2, э3, связанную с главными осями изгиба и кручения

стержня. И OX YaZa - неподвижную систему координат с единичными векторами iv, i , i , связанную с набегающим потоком воздуха (рис. 2).

Рис. 1. Постановка задачи

Рис. 2. Две системы координат

Данная статья написана при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 1.1885.2011, тема: «Математическое моделирование статики и динамики гибридных механических систем и идентификация их параметров». Научный руководитель А. А. Илюхин.

Переход от подвижной системы к неподвижной системе произведем аналогично классическим работам [7; 8] с учетом нашей постановки задачи. Осуществим поворот вокруг оси OYa

на произвольный угол 0Х (рис. 3). Причем 6Х заключен в пределах 0 < вх < 2я. После первого поворота единичные вектора и i , оставаясь в плоскости OXaZa, примут направления единичных векторов ix, iz. Из сказанного следуют формулы для единичных векторов.

ix = iv cos вх - i sin вх, iz = iv sin вх + / cos вх, (1)

Y i

■ .X

iV ip iq

ix COS^j 0 -sin^j

Jp 0 1 0

i sin0. 0 COS0J

о 1 X

/ 1

/

> Ъ

Рис. 3. Поворот вокруг оси ОУа Поворот вокруг оси О^ определяет угол 02 (рис. 4), который совмещает ось ОХ} с

осью

ОХ . Причем этот угол должен находиться в пределах 0<в2 <Ж. Этот поворот производится вокруг оси с единичным вектором /г. Векторы \х и / перпендикулярные вектору \г в системе координат ОХ' УХ' займут положение единичных векторов Э и I , причем первый вектор

определяет положение подвижной оси ОХ. По сказанному имеем следующие выражения для единичных векторов.

(2)

эг = гх cos 02 + гр sin 02. iy = -гх sin 02 + гр cos 02,

Yd

i \

fi\

Y

X

1 rp h

cos sin02 0

Jy - sin #2 cos02 0

i z 0 0 1

Рис. 4. Поворот вокруг оси ОХ'

Осуществим, последний, третий поворот осей вокруг оси ОХ на угол 0-,

тем самым со-

вместим оси OY' и OZ' с осями OY и OZ соответственно. Единичные вектора i и i'z систе

мы координат ОХУ' X' примут положения единичных векторов э2 и э3, полностью определяющих положение оставшихся двух осей подвижной системы координат ОХУХ . Для единичных векторов имеем следующие связи.

^Y

Y<'

' fi \

i

э-

fi/ ; э - /

э2 = i cos 0-. + iz sin 0-.. э:. = -/ sin 0-. + iz cos 0-.,

X

Рис. 5. Поворот вокруг оси OX

(3)

ry l

1 0 0

Э2 0 cos03 sin03

Э3 0 - sin cos03

э

Уравнения равновесия механической системы возьмем аналогично уравнениям равновесия упругой линии из работ [1; 2], в главных осях изгиба и кручения.

¿Ш,

dl

- + co-M-, - со3М2 = О

dM2 ~dü <ИМ,

di

-сохМ3 + co3Ml + F3 = 0, <

+ со1М2 - co2Ml -F2= О

сО\

dF2 di dl'\ ~d¡

+ g)2F3 - co3F2 = 0

+ (o3Fx - (oxF3 = 0.

+ (OXF2 - a>2Fx = 0

(4)

где 1'\ = И, 1'2 = У2 К, /'з = /3Я, а У,, у2, У-, - компоненты единичного вектора у внешней

силы Я в главных осях изгиба и кручения (т.е. на оси подвижной системы координат ОXYZ, связанной со стержнем). В плоском случае эти уравнения вместе с граничными условиями рассматривались ранее [3-5]. Пусть , I , I единичные вектора неподвижной системы координат

, направленные соответственно вдоль скорости потока, подъемной и боковой силы. Таблица направляющих косинусов углов между осями неподвижной ОХ^а%а и подвижной ОXYZ систем координат примет следующий вид согласно (1)-(3).

Таблица 1

Матрица перехода между системами ОХ Y Z и OXYZ

V fp Í

cos cos 02 sin02 -si^j cos02

Э2 sin sin - cos sin 02 cos cos 02 cos cos 0J sin 63 + sin sin 02 cos

Э3 sin 6>J cos + co^j sin #2 sin #3 -cos6*2 siné^ co^j cos - sin sin #2 sin

Компоненты единичного вектора у обобщенной внешней силы R на неподвижные оси будут выглядеть следующим образом:

ух = cosí^ cos<92 • S + sin в2 • P - sin 0X cos<92 • Q

y2 = (sin 0l sin въ - COS0J sin 02 cos03)- S + COS02 COS03 ■ P +

+ (eosQx sin въ + sin Qx sin 62 eos03)-Q

y3 = (sin в1 COS03 + cos01 sin 62 sin 63) ■ S + (-cos02 sin 63)-P + + (eos 6X eos93 - sin вх sin 02 sin 03)-Q

Вектор со угловой скорости будет иметь следующее выражение через производные углов поворота 0], 02,0 -,:

^ ~ dO, - do, _ do,

eo = i--- + iz--- + --1,

dl dl dl

где i - единичный вектор по оси подъемной силы, вокруг этой оси OYa осуществлялся первый поворот на угол 9Х осей и , которые перешли в оси OX' и OZ' соответственно; I -единичный вектор по оси OZ', вокруг которой производился второй поворот на угол 02 осей

OX'

и OYa, которые перешли в оси

OX и OY' соответственно; э - единичный вектор по оси

ОХ, вокруг которой производился последний поворот на угол 0-, для совмещения осей OY' и

OZ' с осями OY и OZ соответственно.

Тогда проекции вектора со на подвижные оси OXYZ будут

1 sin + - 3

щ = со ■э1 =

dl

dl

_ _ d6, d62 . соп — со-э, — —i- eos еп eos и г, л--- sin 6/,,

2 2 dl 2 3 dl 3

dG,

СО з = со-э3 = —

eos#2 sin 6>3

eos 6*,

dl dl Т. к. выполняются следующие равенства для произведения единичных векторов.

/ • = sin в2 , /z • = 0 , • = 1, i ■ э2 = COS02 COS¿?3 , iz -э2 = sin ез , • э2 =0, / • э3 = — eos¿?2 sin , /z • э3 = eos6>3, ^ • э3 - 0,

Проекции вектора со на неподвижные оси ОХ Y 7, и будут

_ de7 . de'

сох = со ■ iv = —- sin ex л--1 eos вх eos 02

dl

dl

_ _ de, del .

(Dr. = 0)-l =-i- H--- Sin 6*

2 p dl dl 2

СО, — СО -l —

5 q

de2 deз .

—- eos ex--1 sin ex eos e2

dl dl

Т.к. выполняются следующие равенства

ip ■ i,. = 0, /_ • iv = sin ex, • iv = eos^j eosé?2, ip-ip = 1> l'ip = 0> V^ = sin • l, = 0, l-iq = cos^, э,-iq = -sin6», cos(92.

Имея системы (4) и выражения для компонент / и ®, получаем уравнения равновесия рассматриваемой механической системы.

Линейные инварианты. Дальнейший поиск решения осуществим с помощью введения линейных инвариантных соотношений [9]

С1М1+С2М2+С3М3 = А.

дц + /ш2 + 1ХМ, = Е, (5)

где С, С2, С, А, Д, Д, Д, Е - константы, подлежащие определению.

В соотношениях (5) специальным преобразованием можно уменьшить число констант (дальше символ "волна" опустим).

С1М1 +С2М2 =А,

Ъ2М2 + ДМ3 = Ё, (6)

Используя соотношения (6), их производные и общие интегралы уравнений (4), получаем систему для определения искомых констант

СХМХ +С2М2 =А.

1)2М2 + /ХМ, = К.

= о,

б// б//

Д-2. + Д-- = 0, (6)

с!1 с!1

м^+м^+м^; =

^ (ДА^2 + В^2 + ВфЛ2 ) - ^ - я,

Выражения для производных от составляющих момента получим из уравнения равновесия. После преобразования системы (6) получим систему из двух нелинейных уравнений относительно М2.

I Х3М23 + Х2М22 + ХхМ2 +х0=о [¥4М24 + ¥3М23 + ¥2М22 + ¥ХМ2 + 70 = О

Через Х3, Х2, Х0, 1Ц, обозначены коэффициенты:

_152С2 ДС2 \С2В1 \С2В3Р2 1)Х2

(7)

X__ 2 2 1 2 ' ^2 "1 |

3' 2 с, ^ 2 с/ 2 ^д2 ^д2 ' X Р2С1В3Е ^Р.С.В.Е АВ.С,2

Сх 2 ^ д2с2 д2с2 2 с/ \АВ3Р2 С2В3ЕР2 + 2ЕС2В1Р2 + д2 ВгА

2 С, /Л С, /Л Д2<^ /Л С,

2

х .- 3 А2 В1 С2 | АВъЕР2 С2 Н 1 С2 Е1 Е1 Сх Въ Ё1 Сх В2 2 ЕАВХ Р2 Е2 С2 Д 1 ' 2 С? + С, Д2 + Сх +2 (\ Д2 + Д2 С2 Д2 С2 ДЧ', Д2 С,

^ АН \ Аъ Вх 1 АВ3Е2 Е2 АВх

Хс.:----1---г----—н--г--л ,

0 с; 2 С/ 2 С^Д2 Б2 с, V ■= _ 3 С22 В3 д2 2 д4 С2 В3 В2 2 с!2 д, Б2 В2 3 д с22 д2 7 д, Б2 В2 |

4 '

2 с; д2 д4 с22 с22 д2 2 С2 2 д2

д22с22 | В2 С2 | 2д32 д2 | 2 В2 д2 | 1 д32 д4 | д4^2 | д4^2 | С2 С2 д2 д2 4 д4 д4 с22 д4 с22

1 1 О 2 п2 п 2 л2 п 2 п 2 2 т) 2 гл 2 л 2 л2 п 2

, 1 Р 2 , 1 А Ч , Ч в3 д ц д ч в3 д с2 д д

+ _ -о? "i---^--1--;-;--1--;-;--1--;-;--1--;-;— ,

4 2 4 С/ С2 Д2 С22д2 С^Д2 С^Д2 7 _ЪВ3ЕР2В1С22 ^Р23С2В3ЕВ2 ^С2В3ЕВ2Р2 2В3ЕВхР2 3' д2с^ д4С22 С22Д2 Д2

_2С2 В22ЕР2 _2В2ЕВхР2 _2С2В2 АР2 _2С2 В2 ЕР2 _2С2 В23ЕР2 с22 д2 д2 д2 с!2 д2 С2 С2 д2 +

4 В3 Р2 а В2 _ 2 с2 £32 Р2 А _2 д3 с^ В2 Е _2 д3 с^ 522 Е ЪВХАС2В2

+ ад2 с2 д2 д4 с2 а4 с2 + а? +

^2 ^з -^з -^з ^2 3 2

2

5В3ЕР2В2 4 В2 Е д 2В2 Р2 А 2 В2 АС2 2 В2 АС2 2 В2 АР2

Р2 Р2 С2 Р2 С2 С2 Р2 С2

ЪВ1АС2В3Р2 2 С2 В2 Е д 2д В2 Е В2 А С2 В2 Е д3

С; д2 с22 д2 д2 с; д

4

3 Вг А2 В3 Б2 3 В3 Е2 Вг С2 А В2 Е А Д В2 А2 Б2 В2 Б2 А2

у__ - ^ ^ 3 2 -^з^ 1 2 | 1 "3 2 | "1 2 |

2' 2 <^2д2 2 д2с^ с2д2 д2с^ с^д2 2С2 В3Е2 В2 2 В2 АР2Е д2 с,2 д32 Е2 Р2 С2 В2 Е2 2В1АЕВ3Р2 С2 д2 + д2 С2 + д4 С2 + д4 с22 с2 д2

| 2ВгАЕВ2Р2 4 С2 В2 АЕР2 6В3ЕАВ2Р2 4С2В2 ЕАР2

С2 /Л2 Д2 г,2 с2 д2 д2 С,2

2Р2 С2 В3Е2 В2 2 В3Е2В1 2 В2Е2В1 С2 В2 Е2 С2 В2 Е2

д4 С2 д2 + д2 + /Л2 С,2 + С2 Р2 +

С,2 Д32 Е2 С,2 Д22 Е2 Н В, С2 Н В3 Д2 3 д,2 л2 с22 3

--;-;—1--;-;----;---;--1---й----;--

С2 Р2 С2 Р2 2 С2 Р2 2 С,4 2 С2

3 В2 Е2 Д2 _ 3 В3Е2 В2 + 2 В23 Е2 В2 А2 < В2 А2 6 ВХАС2 В3ЕР2

2 д4 2 д2 д2 С* С* С* д2

У ,= 2Н ВХАС2 ^2Н В3ЕР2 В2 А3 С2 ^Ъ ВХ А2 В3ЕР2 ^

С2 Р2 С* С2Р2

ЪВ3Е2В1АС2 В2 Еъ д +2 В1 А Е2 В3 2ВХАЕ2В2 2В2А2ЕР2

Р2 С2 д4 с2 д2 с2 д2 с/ д

2С2В2 АЕ2 _2В2 Е2 А + 2В3Е2 АВ2 _2С2В2 Е2 А _2 В2 Е А2 д

с; д2 с2 д2 с2 д2 С2 Р2 С2 Р2

V _ „2 Н Вг А2 Н ВЪЕ2 1 В2 А4 3 Вг А2 В3 Е2 1 В2 Е4 Л2 £2 532 £2 Л2 о2

-<П --п---п--'---л----п-п--'---л--'--п-п--'--п-п--Л

0 С2 В2 4 С* 2 С2 Б2 4 д4 С2 Б2 С2 Б2

Неизвестные константы из системы (7) будем искать исходя из того, что компонента М2 не должна быть константой, а значит:

Г Х3 = 0,Х2 = О, Х1 =0,Х0 = о \74 =0,73 =0,72 =0Д=0,70=0-

Вывод. Решая систему (8) с учетом выражений для Х3, Х2, Хх, Х0, У, 73, У2, 71,

У0, получаем две группы решений. Первая группа состоит из четырех решений вида (берутся всевозможные комбинации знака перед корнями):

А = 0, Е = 0,Н = 0, К = 0, Я = 0

В2 — ВХВ3

-2-С2,С2=СотХ, (9)

— 2ВХ В3 + 2 В2 Вх—В2 + В3 В2

2 В1 — 3 В2 Вг + В2

2 2 '^3

2^ — 3^ -б3 +

Д, , А = сотх

Решения такого вида (9) следует сразу отмести, поскольку нулевое значение для аэродинамической силы я ведет к тривиальному решению, при котором все искомые константы равны нулю. Такое решение не представляет интерес для его последующего исследования, поскольку деформация стержня отсутствует.

Вторая группа решений состоит из 16 решений вида

1. А = А',С1=С1', Д = Д\Е = Е,Н=Н\К = К\

2. А = 1А',С1=С1', Д = Д\Е = 1Е\Н = -Н\К = -1К\

3. а = -а\с1 = с1\о2=о2\е = -е,н=н\к = -к\

4. а = -1а\(\ = с/,/)2 = 1)2\е = -¡е,н = -н',к = ис,

5. а = а\с1=-с1\0 2 =02\е = е\н = н\к = -к\

6. а = 1а,с1=-с1\02 = б2',е - ¡е,н - -н',к - ¡к',

7. а = -а\с1=-с1\о2=о2\е = -е\н = н\к = к\

8. Л = -//Г,Г, = -Г,', Д =1)2\е = -¡е\н = -н\к = -¡к',

9. а = а',с1 =с1',02 = -б2' ,е = -е ,н = н' ,к = к',

ю. а = !а,сх = сдд = = -/£',я = -н\к = -/x',

11. а = -а,с1 = с1\о2=-о2\е=е\н=н\к = -к\

12. а = -1а,с1 = СЛА = -о2\Е=1Е\н = ~н\к=1к\

13. а = а\с1=-с1\о2=-о2\е = -е\н = н\к = -к\

14. а-1а',с1 = -с?,в2 =-02,е = -1е,н = -н\к = ис,

15. а = -а,с1 = -с1\о2 = -о2\е = е\н=н\к=к\

16. а = -гА,с1 = -с?,в2 =-б2 ,е = 1е,н = -н\к = -ис,

где переменные со штрихами имеют вид:

Л ' =

Д2Д

\1/4

С ' = С1

е ' =

А

ч 1/2

ч -д33 + + ав{ - 8д/д3 j

с,

2'

V ~в3+2в1у

с £> ' =

2' 2

д

ч 1/2

V ~В3 У

В,

3'

Я2Д

ч1/4

ч -д3 + 5д32д + 4/у, - щгвъ ,

/л —д3 + 2в, вх — в3

В

-1/2

я' = - -д3 + 2д, 2 3 1

к ' =

Я2Д

ч 1/2

ч -в33 + 5в32в1 + 4в? - 8в?в3 j

вх+ в3 в\ 1,

Я2Д

\3/4

у -д33 + 5в3вх + 4д/ - 8д2д3 ,

2д, — зд д3 + д3

2 /

д

а ~В3

.-1/2

v -в3+2в1у

С, А, я

- произвольные постоянные.

Анализ 16 решений второй группы позволяет сделать следующие выводы, для последующих исследований:

1. Решения первой группы следует отбросить.

2. Решения второй группы зависят от значения аэродинамической силы Я, которое в установившемся равновесном положении должно быть постоянным.

3. Искомые константы C, C2, A, D, D, E,

а также константы H, K из общих интегралов

систем (4) зависят от параметров самого стержня Бг, b2, b3 и аэродинамической силы набегающего потока, передаваемой на стержень с помощью пластинки.

4. Поиск значений констант C, c, a, D, D, e

должен осуществляться из соображений того, что решение задачи должно быть действительным.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Горр, Г. В. Нелинейный анализ поведения механических систем / Г. В. Горр и др. - К.: Наукова думка, 1984. - 288 с.

2. Илюхин, А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней / А. А. Илюхин. - К.: Наукова думка, 1979. - 216 с.

3. Илюхин, А. А. Анализ воздействия аэродинамических сил на поведение гибридной системы / А. А. Илюхин, С. А. Шретер // Фундаментальные исследования. - 2012. - № 6. - Ч. 1. - С. 106-111.

4. Илюхин, А. А. Сопоставительный анализ различных решений задачи обтекания пластинки на упругом стержне / А. А. Илюхин, С. А. Шретер // Известия ЮФУ. - 2012. - № 6. - С. 69-73.

5. Илюхин, А. А. Математическое моделирование поведения пластинки в аэродинамической трубе / А. А. Илюхин, С. А. Шретер // Механика твердого тела. - Донецк, 2011. - Вып. 41. - С. 122-131.

6. Локшин, Б. Я. Введение в задачу о движении тела в сопротивляющейся среде / Б. Я. Локшин, В. А. Привалов, В. А. Самсонов. - М.: Изд-во Москов. гос. ун-та, 1986. - 86 с.

7. Lurie, A. I. Analytical Mechanics. Springer / A. I. Lurie. - Berlin, 2002. - 864 p.

8. Остославский, И. В. Динамика полета. Траектории летательных аппаратов / И. В. Остославский, И. В. Стражева. - М.: Машиностроение, 1969. - 500 с.

9. Харламов, П. В. Исследование решения с двумя линейными инвариантными соотношениями задачи о движении тела, имеющего неподвижную точку (специальные случаи) // Механика твердого тела. - Киев, 1976. - Вып. 8. - С. 37-56.

10. Шретер, С. А. Математическая модель плоскопарраллельного обтекания пластинки потоком воздуха // Вестник Таганрогского государственного педагогического института. - 2012. - № 1. - С. 55-61.