CC BY
8УДК 517.9+536+532
Точные решения и нелинейная неустойчивость реакционно-диффузионных систем уравнений с запаздыванием
1 Институт проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, Москва, 119526, Россия 2 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия
В статье рассмотрен широкий класс нелинейных реакционно-диффузионных систем уравнений с запаздыванием. Получены многопараметрические точные решения с обобщенным разделением переменных, содержащие произвольное число произвольных постоянных. Приведено решение, описывающие нелинейное взаимодействие стоячей волны с бегущей волной. Определена область неустойчивости решений системы с запаздыванием.
Ключевые слова: точные решения, реакционно-диффузионные системы, нелинейные уравнения с запаздыванием, глобальная неустойчивость, обобщенное разделение переменных.
Введение. Дифференциальные уравнения и системы уравнений в частных производных с запаздывающим аргументом возникают в различных приложениях, таких как биология, биохимия, химия, биофизика, физическая химия, медицина, экология, теория климатических моделей, теория управления, экономика и многих других (см., например, работы [1-11] и ссылки в них). Отметим, что подобные уравнения встречаются в математической теории искусственных нейронных сетей, результаты которой используются для обработки сигналов и изображений и проблем распознавания образов [12-21].
В настоящей статье основное внимание уделено классу нелинейных реакционно-диффузионных систем уравнений с запаздыванием следующего вида (о других нелинейных системах с запаздыванием см. разд. 5, 6):
где и = и(х, ¿), т = т(х, ¿), и = и(х, Ь — т), ъи = т(х, Ь — т); Р(...), С{...) — произвольные функции трех аргументов; т — время запаздывания (т > 0).
В общем случае система (1)-(2) (при т = 0) допускает простые точные решения типа бегущей волны и = и(г), т = 'ш(г), где г = ах + (такие решения для различных реакционно-диффузионных уравнений и систем с запаздыванием рассмотрены, например, в работах [2-7].
© А.Д. Полянин1,2
щ = к1 ихх + Ьи + Р (и — аи,т,и)), Щ = к21ихх + С (и — аи, т, Ни),
(1) (2)
Список известных точных решений другого вида даже для одного нелинейного реакционно-диффузионного уравнения
Щ = к-1ихх + С^, гй), (3)
(частный случай уравнения (2), в котором кинетическая функция С не зависит от первого аргумента) весьма невелик. Полный групповой анализ нелинейного дифференциально-разностного уравнения (3) выполнен в работе [11]; были найдены четыре уравнения вида (3), допускающие инвариантные решения, два из них малоинтересны, поскольку имеют вырожденные решения (линейные по ж).
Вопросам устойчивости (обычно в линейном приближении) решений типа бегущей волны, стационарных и некоторых других решений различных реакционно-диффузионных уравнений и систем с запаздыванием посвящены многочисленные работы, например, [2, 7-10, 12-21].
Далее термин точные решения нелинейных дифференциально-разностных уравнений с частными производными (в том числе и систем вида (1)-(2)) применяется в следующих случаях:
1) решение можно выразить через элементарные функции или представить в замкнутой форме (выражается через неопределенные или определенные интегралы);
2) решение можно выразить через решения обыкновенных дифференциальных или обыкновенных дифференциально-разностных уравнений (либо систем таких уравнений);
3) решение можно выразить через решения линейных уравнений в частных производных.
Допустимы также комбинации решений из пп. 1)-3).
Этот термин обобщает определение точных решений, используемое для нелинейных уравнений в частных производных [22, 23].
Замечание 1. Точные решения уравнения теплопроводности с нелинейным источником без запаздывания (при т = 0), которое является частным случаем уравнения (3) при = С(^), приведены,
например, в работах [22, 24-26]. Наиболее полный обзор точных решений этого уравнения дан в [23]; там же описано много точных решений с обобщенным и функциональным разделением переменных нелинейных систем реакционно-диффузионных уравнений без запаздывания.
Замечание 2. Методы решения и различные приложения линейных и нелинейных обыкновенных дифференциально-разностных уравнений, которые существенно проще нелинейных дифференциально-разностных уравнений в частных производных, описаны в [27-30].
Замечание 3. Численным решениям нелинейных реакционно-диффузионных систем с запаздыванием и возникающим при этом трудностям посвящена работа [31].
1. Описание метода определения области неустойчивости.
Изложим общую идею используемого ниже метода. Пусть вектор-функция и = и(х, ¿) описывается некоторой нелинейной системой уравнений в частных производных (которая может быть как с запаздыванием, так и без запаздывания) и и0 = и0(х, ¿) — частное решение этой системы. Пусть удалось найти точное решение этой системы в виде суммы
и = и0(х, ¿) + у(х, Ь, е),
где V = у(х, I, е) — некоторая достаточно гладкая по всем аргументам функция, ограниченная всюду при конечных £ и зависящая от параметра е, который не входит в рассматриваемую систему уравнений. Если функция V удовлетворяет следующим двум условиям:
^(х, з, е)| ^ 0 при е ^ 0 (0 ^ 5 ^ т),
^(х, Ь, е)| ^ го при Ь ^ го,
решение и0(х, ¿) является неустойчивым.
Действительно, в силу первого условия (4) и непрерывности функции V по параметру е, для любого достаточно малого 6 можно выбрать такое значение е, что сначала (при 0 ^ 5 ^ т) выполняется неравенство
|и — и01 ^ 6,
а при £ ^ го величина |и — и0| становится неограниченной. Другими словами, два решения системы и0 и и, сколь угодно мало различающиеся сначала, неограниченно «разбегаются» при больших временах.
2. Область нелинейной неустойчивости системы (1)-(2). Применим описанный выше метод для анализа нелинейной неустойчивости реакционно-диффузионной системы уравнений с запаздыванием (1)-(2). Теорема 1. Пусть
и0 = и0(х,Ь), = т0(х,1) (5)
— произвольное частное решение рассматриваемой системы. Тогда система (1)-(2) при а > 0 имеет также решение
и = и0(х,Ь) + есЬь(х,1), т = т0(х,1), с = - 1па, а> 0, (6)
т
где V = ь(х,Ь) — любое т-периодическоерешение линейного уравнения теплопроводности с источником
щ = к^хх + (ь — ф, ь(х,г) = ь(х,г — т). (7)
Доказательство теоремы проводится подстановкой решения (6) в систему (1)-(2) с учетом того, что (5) является решением данной системы, а функция V удовлетворяет решению (7).
Воспользуемся теоремой 1 для получения условий неустойчивости реакционно-диффузионной системы (1)-(2). Для этого рассмотрим стационарное пространственно-периодическое решение задачи (7)
ГЬ—с
V = е вт(аж + т), а = \ ——, Ь ^ с, (8)
V «1
где е и т — произвольные постоянные.
Из анализа формул (6) и (8) следует, что при выполнении условий
а> 1, Ъ т — 1п а ^ 0 (9)
(второе условие эквивалентно неравенству Ь ^ с) любое решение системы (1)-(2) будет неустойчивым.
Условия (9) удобно представить в более наглядном виде:
1п $
а> 1, Ь> 0, т ^ т0, т0 = ——. (10)
Ь
Физический смысл условий (10) состоит в том, что в области параметров а > 1, Ь > 0 неустойчивость возникает за счет запаздывания, которое должно быть достаточно большим: т ^ т0. Поскольку вид кинетических функций Р и С не влияет на условия неустойчивости (10) реакционно-диффузионной системы (1)-(2), будем называть эти условия глобальными условиями неустойчивости.
Замечание 4. Хотя мы получили глобальные условия неустойчивости (10) решений нелинейной системы (1)-(2) во всей области изменения пространственной переменной —то < х < +то, они остаются справедливыми также для ограниченных решений соответствующих нелинейных нестационарных краевых задач с граничными условиями первого, второго и третьего рода в полуплоскости 0 ^ х < то (или — то < х ^ 0). Для доказательства этого в частном решении (8) параметр т выбирается так, чтобы удовлетворить соответствующему однородному граничному условию. В частности, для граничных условий первого и второго рода в решении (8) надо положить т = 0 и т = р/2 соответственно.
Замечание 5. Важно подчеркнуть, что здесь речь идет о нелинейной неустойчивости, причем все полученные выше результаты являются точными (а не линеаризованными, как в теории линейной устойчивости; не использованы также различные допущения, разложения и аппроксимации, характерные для большинства нелинейных теорий).
3. Точные решения нелинейной системы (1)-(2) при а > 0. Для
построения точных решений системы (1)-(2) при а > 0 используем формулу (6) и уравнение (7), которые фигурируют в формулировке теоремы 1.
В общем случае для произвольных кинетических функций F(Z,w,w) и G(Z,w,w) в качестве частного решения (5) системы (1)-(2) можно взять решение одного из следующих трех видов:
и0 = ф(£), w0 = y(i) (пространственно-однородное решение); (11a)
и0 = ф(ж), w0 = y (ж) (стационарное решение); (11б)
и0 = 3>(z), w0 = y(z), z = ax + pt(бегущая волна), (11в)
где a и p — произвольные постоянные (последнее решение включает в себя первые два как частные случаи). Решения (11а)-(11в) описываются системами обыкновенных дифференциальных уравнений с запаздыванием. Например, для решения типа бегущей волны (11в) имеем систему
Рф'(^) = к1а2ф"(г) + by(z) + F (ф(г) — a<$(z — z0), y (г), y(z — z0)),
by'(z) = k2a2y"(z) + G(3(z) — аф(г — zo), y(z), y(z — zo)) ,zo = pt.
(12)
Общее t-периодическое решение уравнения (7) можно представить в виде
v = Q1(x,t; b — с), (13)
где
те
0i (x,t; е-ХпХ lA cos(prai — Упх) + вп sin(p„t — gnx)] +
га=0
те
+ ^ еХпХ [Сп cos(prai + gnx) + Dn sin(prai + gnx)], (14)
ra=1
p 2™ ; (УУГЩ — ь\1/2 (VWTWa + ь\1/2
pn = T", П-Ûi-) , gn = 1-2k[-) . (15)
Здесь An, Bn, Cn, Dn — произвольные постоянные, для которых ряды в формулах (13)-(15) и производные (01)i и (81)жж сходятся (сходимость, например, заведомо можно обеспечить, если положить Ап = Вп = Сп = Dn = 0 при п > N, где N — произвольное натуральное число).
Выделим следующие частные случаи:
1) t-периодические по времени t решения уравнения (7), затухающие при х ^ го, описываются формулами (13)-(15) при А0 = В0 = 0, Сп = Dn = 0, п = 1, 2, ... ;
2) t-периодические по времени t решения уравнения (7), ограниченные при х ^ го, описываются формулами (13)-(15) при Сп = Dn = 0, п = 1, 2, ... ;
3) стационарное решение описывается формулами (13)-(15) при
p0 = lo = 0, Ап = Вп = Сп = Dn = 0, п =1, 2, ...
Формулы (6), (11), (13)—(15) и обыкновенные дифференциально-разностные уравнения (12) описывают многопараметрические точные решения широкого класса нелинейных реакционно-диффузионных систем уравнений с запаздыванием вида (1)-(2) при а > 0, которые представляют собой суперпозицию бегущих волн и решений с обобщенным разделением переменных. В качестве конкретного примера приведем любопытное точное решение системы (1)-(2), являющееся следствием формулы (6) и стационарного решения уравнения (7), когда частное решение (5) выбирается в виде бегущей волны (11в):
и = ф(г) + есг [А вт(аж) + В сов(аж)], и> = У (г),
„ 1п а /Ь — с (16)
г = ах + рт, с =-, а
т V к1
где А, В, а, Ь — произвольные постоянные, а функции ф(г) и у (г) описываются нелинейной системой обыкновенных дифференциально-разностных уравнений (12). При а =1, что соответствует с =0, решение (16) можно трактовать как нелинейную суперпозицию бегущей волны с периодической стоячей волной.
4. Точные решения нелинейной системы (1)-(2) при а < 0.
Теорема 2. Пусть (5) — произвольное частное решение реакционно-диффузионной системы с запаздыванием (1)-(2) при а < 0. Тогда эта система имеет также решение
и = и0(х,Ь) + еаь(х,1), т = и>0(ж,^), с = - 1п |а|, а< 0, (17)
т
где V = ь(х,£) — любое т-апериодическое решение линейного уравнения теплопроводности с источником
VI = к1ьхх + (Ь — с)ь, ь(х,£) = —ь(х,Ь — т). (18)
Доказательство теоремы проводится подстановкой решения (17) в систему (1)-(2) с учетом того, что (5) является решением данной системы, а функция V удовлетворяет (18).
Для построения точных решений системы (1)-(2) при а < 0 используем формулу (17) и уравнение (18).
В общем случае для произвольных кинетических функций Р(С,,^,гп) и С(£,,м,й)) в качестве частного решения (5) системы (1)-(2), как и ранее, можно взять пространственно-однородное решение (11а), стационарное решение (11б), или решение типа бегущей волны (11в). В частности, решение типа бегущей волны (11в) описывается системой обыкновенных дифференциально-разностных уравнений (12).
Общее t-апериодическое решение уравнения (18) можно представить в виде
v = 02(x,i; b - с), (19)
где
те
02 (х, t; е-Кх lA cos(Pni - gnx) + Вп sin(prai - gnx)] +
п=1
те
+ ^ еКх [Сп cos(prai + упх) + Dn sin(prai + gnx)], (20)
ra=1
p.=^, x„=(v^E+pj: Y.=)17: (21)
5ra, Cn, Dn — произвольные постоянные, для которых ряды в (19)-(21) и производные (02)t и (02)хх сходятся. Затухающие при х ^ то решения задачи (18) (t-апериодические по времени t) определяются формулами (19)-(21) при Сп = Dn = 0, п =1, 2, ...
Формулы (17), (11), (19)-(21) и обыкновенные дифференциально-разностные уравнения (12) описывают многопараметрические точные решения широкого класса нелинейных реакционно-диффузионных систем уравнений с запаздыванием вида (1)-(2) при а < 0, которые представляют собой суперпозицию бегущих волн и решений с обобщенным разделением переменных.
5. Многокомпонентные нелинейные системы с запаздыванием.
Рассмотрим многокомпонентную нелинейную систему реакционно-диффузионных уравнений с запаздыванием следующего вида:
щ = kuxx + bu + F(х, t,u - au, w1,nj1, ..., wm, wm), (wn)t = kn(wn)xx + Gn(x,t,u - au,W1,W1, ..., wm,wm), (22) n =1, 2, ..., m,
где и = u(x,t), и = u(x,t - t), wn = wn(x,t), wn = wn(x,t - tn); F(... ), Gn(... ) — произвольные функции своих аргументов; t, tn — времена запаздывания.
Система (22) обобщает систему (1)-(2) сразу по трем направлениям:
1) число уравнений системы может быть произвольным;
2) кинетические функции F, Gn дополнительно могут явно зависеть от независимых переменных х и t;
3) времена запаздывания могут быть разными (t = tra, t = tj). Ниже приведены основные результаты для системы (22).
Теорема 3. Пусть
Щ = Щ'Юп0 = тп0(х,1), п = 1, 2, ..., т, (23)
— произвольное решение рассматриваемой системы. Тогда система (22) при а > 0 имеет также решение
и = и0(х,Ь) + ес*у(х,1), гшп0 = /шп0(х,1), с =-1па, а> 0, (24)
х
где V = ь(х,Ь) — любое х-периодическоерешение линейного уравнения теплопроводности с источником (7).
Следствие теоремы 3 с использованием частного решения (8): при выполнении условий (10) любое решение системы (22) будет неустойчивым (глобальные условия неустойчивости).
Теорема 4. Пусть (23) — произвольное решение реакционно-диффузионной системы с запаздыванием (22). Тогда при а < 0 эта система имеет также решение
и = и0(х,Ь) + есЬь(х,1), тп0 = тп0(х,1), с = - 1п |а|, а< 0, (25)
х
где V = ь(х,£) — любое х-апериодическое решение линейного уравнения теплопроводности с источником (18).
Для построения точных решений системы (22) используются формулы (24) (при а > 0) и (25) (при а < 0), где функция V определяется по формулам (13)-(15) (при а > 0) и (19)-(21) (при а < 0). Если кинетические функции Р, Сп не зависят явно от х и ¿, в качестве частного решения (23) системы (22) можно взять решение одного из следующих трех видов:
и0 = ф(£), и^о = Уп^) (пространственно-однородное решение); (26а)
и0 = ф(ж), тп0 = Уга(^) (стационарное решение); (26б)
и0 = ф(г), тп0 = Уп(^), z = ах + (бегущая волна). (26в)
Если кинетические функции Р, Сп зависят явно от £ (но не зависят явно от х), в качестве частного решения (23) системы (22) можно взять решение вида (26а); если кинетические функции Р, Сп зависят явно от х (но не зависят явно от то в качестве частного решения (23) системы (22) можно взять решение вида (26б).
6. Другие реакционно-диффузионные системы уравнений. Рассмотрим некоторые другие нелинейные реакционно-диффузионные системы уравнений с запаздыванием, допускающие точные решения. Для краткости будем приводить только системы уравнений и указывать вид точных решений (возникающие при этом системы обыкновенных дифференциальных и дифференциально-разностных уравнений, как правило, будут опускаться).
Система 1. Рассмотрим нелинейную систему уравнений с запаздыванием
иг = к\ихх + иР(-, — ),
\и_ W_J (27)
. „/и ги\ у '
Щ = к2тхх + тС[-, — ), \и ш/
в которую входят две произвольные функции двух аргументов.
1.1. Система (27) допускает четыре точных решения с разделяющимися переменными:
и = [^1 сов(аж)+А2 в1п(аж)]ф(^), и> = [^ сов(Рж) + В2 81п(Рж)]у(£);
и = [А1е-ах+А2еах]ф(г), т = [В1е-Рх+В2е}х ]у(*);
и = [А\ сов(аж)+А2 в1п(аж)]ф(£), и> = [^е-Рх+В2еРх]у(£);
и = [^е-аж+^2еаж]ф(^), т = [^ сов(рж) + В2 81п(Рж)]у(г),
(28)
где А\, А2, В\, В2, а, Р — произвольные постоянные, а функции ф(£) и у(£) описываются соответствующей системой нелинейных дифференциально-разностных уравнений. Для иллюстрации приведем только систему, соответствующую первому решению (28):
2„п\ < Iф(^ - Х) - Х)
ф'(*) = -кг а2ф(£) +
, „,.ЛЛ п\ ф(^ - Х) - Х)
ф(*) ' У(^)
Замечание 6. Решения вида (28) допускает более общая система (27), у которой функции Р и С дополнительно явно зависят также от третьего аргумента 1
Замечание 7. Решения вида (28) допускает более общая система (27) с двумя различными запаздываниями, которые могут зависеть от времени: и = и(х,Ь), и = и(х,Ь — Х1), т = т(х^), го = — х2),
XI = Х1 (¿), Х2 = Х2(*).
1.2. Нелинейная система с запаздыванием (27) допускает также решение в виде произведения бегущих волн
и = ехр(а1ж + р1^)ф(г), и> = ехр(а2ж + р2£)у(г), г = 1х + уЬ, (29)
где а1, а2, р1, р2, у, 1 — произвольные постоянные, а функции ф(г) и у (г) описываются соответствующей системой нелинейных дифференциально-разностных уравнений.
1.3. Система (27) допускает решения
N
и = ем{01(ж) + £[Ф1„0г) ео8(ага^) + уы(х) 81п(ага;£)] |,
п=1
N
ю = еы{92(ж) + ^[ф2„(ж)ео8(ага^) + у2п(х) 81п(ага;£)]|, ( )
га=1
2жп
ап ,
X
где 11 и 12 — произвольные постоянные; N — любое натуральное число (при сходимости соответствующих рядов допускается также N = то), а функции 01 (ж), ф1„(ж), У1„(ж), 02(я), Ф2п(ж), У2п(х) описываются соответствующими системами линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
1.4. Система (27) допускает решения
N
и = е11 [ф1„(ж) еов^) + уы(х) з1п(Ь„^)],
п=1 N
™ = [ф2п(Х) СОБ^) + У2п(х) 81п(Рга*)],
(31)
п=1
рга = ж(2п + 1)/х, где 11 и 12 — произвольные постоянные, а функции ф1га(ж), у1п(ж), ф2га(^), у2п(х) описываются соответствующими системами линейных обыкновенных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
1.5. Система (27) допускает также два решения, представляющих собой комбинацию решений вида (30) и (31). Первое из этих решений имеет вид
N 2Рп
и = ем{0(ж) + £[ф1„0г) еов^) + У1„(ж) в1п(ага^)^, ап = —,
га=1
N
™ = У^[ф2п(ж) СОБ^) + У2п(х) ^1п(рга¿)], = ---.
^—' X
га=1
(32)
Второе решение определяется формулами (32), в которых в левых частях надо поменять местами и и т (оставив правые части на месте).
Система 2. Можно рассмотреть более общую, чем (27), систему уравнений
, /т и п)\
щ = к1ихх + иИ —,-,— ,
(33)
Ыг = к21^хх + 1и(Л—,-, — }, \и и ш/
в которую входят две произвольные функции трех аргументов.
2.1. Система (33) допускает два точных решения с разделяющимися переменными:
и = [А сов(Рж) + Б в1п(Рж)]ф^), и> =[А сов(Рж) + Б в1п(Рж)]у(£); и =[Ае-Рх + Ве рж]ф(^), т =[Ае-Рх + Ве рж]у(^), (34)
где А, В, Р — произвольные постоянные, а функции ф(£) и у(£) описываются соответствующей системой нелинейных дифференциально-разностных уравнений. Отметим, что в системе (33) кинетические функции Р и С могут дополнительно явно зависеть также от четвертого аргумента .
Замечание 8. Решения вида (34) допускает более общая система (33) с двумя различными запаздываниями, которые могут зависеть от времени: и = и(х, ¿), и = и(х, Ь — х1), т = т(х, ¿), г) = т(х, Ь — х2), Х1 = Х1(г), Х2 = Х2(¿).
2.2. Система (33) допускает также решение в виде произведения бегущих волн
и = ехр(аж + Р^)ф(г), и> = ехр(аж + &)у(г), г = 1х + уЪ, (35)
где а, р, у, 1 — произвольные постоянные, а функции ф(^) и у (г) описываются соответствующей системой нелинейных дифференциально-разностных уравнений.
Система 3. Другим возможным обобщением системы (27) является система уравнений
щ = к1ихх + а1и 1пм + иР\—, — ),
ч (36)
-Юг = к2и>жж + а2т 1пгш + wG[ —, — ,
\и т/
которая имеет решение в виде произведения функций разных аргументов
и = ф1(ж)У1 (г), ы = ф2(ж)У2^).
Функции ф1(ж), ф2(ж), у1(^), у2(£) описываются двумя независимыми обыкновенными дифференциальными уравнениями и системой обыкновенных дифференциально-разностных уравнений
^ф! = &1ф1 - «1ф1 1п ф1, ^2ф'2' = &2ф2 - «2ф2 1п ф2;
у1(*) = ЬхУхС*) + , + ^^ ^п У1(*),
У^) = М^*) + , + 1п У2(¿) ,
где Ь1 и Ь2 — произвольные постоянные.
Система 4. Теперь рассмотрим нелинейную систему
о / ги и и) \ щ = кихх + и Щ —,-,— ,
\и и ги / (37)
= ктхх + ш (Л-,-,— , V и и га/
в которую входят две произвольные функции трех аргументов. Эта система допускает решение вида
и = х~и (г), ги = х\¥ (г), г = Ь +—- ж2,
6к
где функции и (г) и ]¥ (г) описываются системой обыкновенных дифференциально-разностных уравнений
-■(. * (ш ^) -
- ■(. К Ш ^)=0.
Краткие выводы. В статье исследован широкий класс нелинейных реакционно-диффузионных систем уравнений с запаздыванием
щ = к1 ихх + Ьи + Р (и — ай,т,й)), Щ = к21ихх + С (и — аи, т, и)),
где и = и(х, ¿), т = ^(ж, ¿), г) = и(ж, £ — х), г) = ^(ж, £ — х); ^ и С — произвольные функции трех аргументов; х — время запаздывания. Доказано, что при выполнении неравенств (глобальные условия неустойчивости)
7 п ^ 1п а
а > 1, Ь > 0, х ^ х0, х0 = ——
любое решение рассматриваемой системы будет неустойчивым для любых кинетических функций Р(С,,1и,и)) и Важно под-
черкнуть, что для доказательства неустойчивости решений в статье применен новый точный метод (не использующий никаких допущений и приближений), который может быть полезен для анализа других нелинейных биологических, химических, биофизических и экологических моделей с запаздыванием.
Описаны многопараметрические точные решения с обобщенным разделением переменных, содержащие произвольное число произвольных постоянных. Приведено точное решение, представляющее собой нелинейную суперпозицию бегущей волны с периодической стоячей волной. Рассмотрены также другие системы с запаздыванием, включая более сложные многокомпонентные нелинейные системы реакционно-диффузионных уравнений. Полученные результаты могут быть использованы для решения некоторых задач и тестирования приближенных аналитических и численных методов решения подобных и более сложных нелинейных уравнений в частных производных с запаздыванием.
ЛИТЕРАТУРА
[1] Wu J. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. New York, Springer-Verlag, 1996, 429 p.
[2] Smith H.L., Zhao X.-Q. Global asymptotic stability of travelling waves in delayed reaction-diffusion equations. SIAM J. Math. Anal, 2000, vol. 31, pp. 514-534.
[3] Wu J., Zou X. Traveling wave fronts of reaction-diffusion systems with delay. J. Dynamics and Differential Equations, 2001, vol. 13, no. 3, pp. 651-687.
[4] Huang J., Zou X. Traveling wavefronts in diffusive and cooperative Lotka-Volterra system with delays. J. Math. Anal. Appl, 2002, vol. 271, pp. 455-466.
[5] Faria T., Trofimchuk S. Nonmonotone travelling waves in a single species reaction-diffusion equation with delay. J. Differential Equations, 2006, vol. 228, pp. 357-376.
[6] Trofimchuk E., Tkachenko V., Trofimchuk S. Slowly oscillating wave solutions of a single species reaction-diffusion equation with delay. J. Differential Equations, 2008, vol. 245, pp. 2307-2332.
[7] Mei M., So J., Li M., Shen S. Asymptotic stability of travelling waves for Nicholson's blowflies equation with diffusion. Proc. Roy. Soc. Edinburgh Sect. A, 2004, vol. 134, pp. 579-594.
[8] Gourley S.A., Kuan Y. Wavefronts and global stability in time-delayed population model with stage structure. Proc. Roy. Soc. London A, 2003, vol. 459, pp. 15631579.
[9] Pao C. Global asymptotic stability of Lotka — Volterra competition systems with diffusion and time delays. Nonlinear Anal.: Real World Appl, 2004, vol. 5, no. 1, pp. 91-104.
[10] Liz E., Pinto M., Tkachenko V., Trofimchuk S. A global stability criterion for a family of delayed population models. Quart. Appl. Math., 2005, vol. 63, pp. 56-70.
[11] Meleshko S.V., Moyo S. On the complete group classification of the reaction-diffusion equation with a delay. J. Math. Anal. Appl., 2008, vol. 338, pp. 448-466.
[12] Arik S. Global asymptotic stability of a larger class of neural networks with constant time delay. Physics Letters A, 2003, vol. 311, pp. 504-511.
[13] Cao J. New results concerning exponential stability and periodic solutions of delayed cellular neural networks. Physics Letters A, 2003, vol. 307, pp. 136-147.
[14] Cao J., Liang J., Lam J. Exponential stability of high-order bidirectional associative memory neural networks with time delays. Physica D, 2004, vol. 199, no. 3-4, pp. 425-436.
[15] Lu H.T., Chung F.L., He Z.Y. Some sufficient conditions for global exponential stability of delayed Hopfield neural networks. Neural Networks, 2004, vol. 17, pp. 537-444.
[16] Cao J.D., Ho D.W.C. A general framework for global asymptotic stability analysis of delayed neural networks based on LMI approach. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, vol. 24, pp. 1317-1329.
[17] Liao X.X., Wang J., Zeng Z. Global asymptotic stability and global exponential stability of delayed cellular neural networks. IEEE Trans. Circ. SystII, 2005, vol. 52, no. 7, pp. 403-409.
[18] Song O.K., Cao J.D. Global exponential stability and existence of periodic solutions in BAM networks with delays and reaction diffusion terms. Chaos, Solitons & Fractals, 2005, vol. 23, no. 2, pp. 421-430.
[19] Zhao H. Exponential stability and periodic oscillatory of bidirectional associative memory neural network involving delays. Neurocomputing, 2006, vol. 69, pp. 424-448.
[20] Wang L., Gao Y. Global exponential robust stability of reaction-diffusion interval neural networks with time-varying delays. Physics Letters A, 2006, vol. 350, pp. 342-348.
[21] Lu J.G. Global exponential stability and periodicity of reaction-diffusion delayed recurrent neural networks with Dirichlet boundary conditions. Chaos, Solitons & Fractals, 2008, vol. 35, pp. 116-125.
[22] Полянин А.Д., Зайцев В.Ф., Журов А.И. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. Москва, Физматлит, 2005, 256 с.
[23] Polyanin A.D., Zaitsev V.F. Handbook of Nonlinear Partial Differential Equations, Second Edition. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2012, 1912 p.
[24] Дородницын В.А. Об инвариантных решениях уравнения нелинейной теплопроводности с источником. Журн. вычисл. матем. и матем. физики, 1982, т. 22, № 6, с. 1393-1400.
[25] Ibragimov N.H. (Ed.) CRC Handbook of Lie Group Analysis of Differential Equations, V. 1, Symmetries, Exact Solutions and Conservation Laws. Boca Raton: CRC Press, 1994, 448 p.
[26] Galaktionov V.A., Svirshchevskii S.R. Exact Solutions and Invariant Subspaces of Nonlinear Partial Differential Equations in Mechanics and Physics. Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press, 2006, 498 p.
[27] Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. Москва, Мир, 1967, 548 c.
[28] Hale J. Functional Differential Equations. New York, Springer-Verlag, 1977, 447 p.
[29] Kuang Y. Delay Differential Equations with Applications in Population Dynamics. Boston, Academic Press, 1993, 412 p.
[30] Smith H.L. An Introduction to Delay Differential Equations with Applications to the Life Sciences. New York, Springer-Verlag, 2010, 183 p.
[31] Брацун Д.А., Захаров А.П. К вопросу о численном расчете пространственно-распределенных динамических систем с запаздыванием по времени. Вестник Пермского ун-та. Сер.: Математика. Механика. Информатика, 2012, вып. 4 (12), с. 32-41.
Статья поступила в редакцию 15.05.2013
Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом:
Полянин А.Д. Точные решения и нелинейная неустойчивость реакционно-диффузионных систем уравнений с запаздыванием. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 4. URL: http://engjournal.ru/ catalog/fundamentals/math/662.html
Полянин Андрей Дмитриевич — д-р физ.-мат. наук, вед. науч. сотруд. Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН, проф. кафедры «Прикладная математика» МГТУ им. Н.Э. Баумана. e-mail: [email protected]
