CC BY
41
УДК 519.87
ТОЧНЫЕ ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ПРИБЛИЖЕННОГО РЕШЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ АБЕЛЯ В ОКРЕСТНОСТИ ПРИБЛИЖЕННОГО
ЗНАЧЕНИЯ ПОДВИЖНОЙ ОСОБОЙ ТОЧКИ
В.Н. Орлов
В работе завершается исследование приближенного решения дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки. Полученные результаты иллюстрируются расчетами
Ключевые слова: подвижная особая точка, точные границы, приближенное решение, дифференциальное уравнение Абеля
К уравнению Абеля приводят задачи нелинейной оптики при описании сверхизлучательной лавины [1-3], теории конечной упругости [4], нелинейной диффузии [5], задачи оптимизации стержня реактора [6], в нелинейной теплопроводности установившегося режима [7-9], в нелинейной волновой теории [10].
В связи с тем, что дифференциальное уравнение Абеля в общем случае не разрешимо в квадратурах, а наличие подвижных особых точек (критические полюса) не позволяет применять к этому уравнению существующие приближенные методы, задача приближенного решения указанного уравнения является актуальной. Она состоит из следующих:
1) приближенное решение дифференциального уравнения Абеля в области аналитичности;
2) нахождение подвижных особых точек решения рассматриваемого уравнения с заданной точностью;
3) приближенное решение указанного выше уравнения в окрестностиподвижной особой точки.
Первая и третья задачи решены в работах [11, 12] соответственно. В работе [12] автором построено приближенное решение уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки, для которого получены априорные оценки. Проведено исследование влияния возмущения подвижной особой точки на приближенное решение. И, как показывают полученные результаты, используемый аппарат в исследовании влияния возмущения подвижной особой точки на приближенное решение существенно сужает область его применения. В данной работе предлагается иной подход в решении отмеченной выше задачи, результатом чего существенно расширена область применения приближенного решения в окрестности подвижной особой точки. Предлагаемые результаты и опубликованные ранее [12] являются дополняющими друг друга, имеющими как общие области, так и взаимоисключающие, а приведенные расчеты характеризуют их согласованность.
Рассматривается задача Коши для уравнения Абеля в нормальной форме
Орлов Виктор Николаевич - РГСУ, канд. физ.-мат. наук, доцент, E-mail: Orlowvn@rambler.ru
w'(х) = w3(х) + Ф(х) , (1)
w( Хо) = Wo, (2)
к которому приводится с помощью определенной замены переменных дифференциальное уравнение Абеля 1-го рода w'(х) = /о (х) + / (хМх) + /2 (х^2 (х) + /з (х^3 (х). В свою очередь, к уравнению Абеля 1-го рода с помощью некоторой замены переменных приводится уравнение Абеля 2-го рода [13]
[ 8 о( х) + 8х (хМ х)К( х) =
= /о (х) + / (хМх) + /2 (х^2 (х) + /3 (х^3 (х).
Теорема. Пусть 1) Ф(x) е Cш в области
2)
Ф (n)( x)
n!
(~*- x) < Pi;
< M1 в области (1),
(1)
M1 = const, n = 0, 1, ... ;
3) x < x ;
4) известна оценка погрешности значения ~ *:
|х*- x* |< Дх *;
1
5) x <
3/161
+M+ш )2
Тогда для приближенного решения
wN
r(x) = (Г-x)-1/2 £ Cn (x*- x)n/2, Co * 0, (2)
0
в области
F = F1 n F2 n F3 справедлива оценка
ДwN (x) < До + Д1 + Д2 + Д3 ,
где
(3)
Д0 =
Д£
3/2
Д1 <
(
22n-4(1 + M)n(x* - x)(3n-3)/2 1 - 22(1 + M )(x*- x)3/2
1 \1/2 Л
1 ( x - x ) x - x
• + ---------------+
3n + 2 3n + 3
\
в случае N +1 = 3n ,
3n + 4
22п - 4(1 + M)(х *- х)(3п-3)/2 1 - 22(1 + M)(х *- х)3 / 2
I 1 + (х *- х)1/2 + 4(1 + M )(х*- х)Л
3п + 3 3п + 4
\
для N +1 = 3п +1 и
3п + 5
22п - 4(1 + M)(х *- х)(3п-1)/2 1 - 22(1 + M)(х* - х)3/2
I 1 + 4(1 + M)(х *- х)1/2 + 4(1 + M)(Х*- х)Л
3п + 4
3п + 5
3п + 6
в случае N +1 = 3п + 2,
* 2 <
Д3 <
Ах *• 2-2 (1 + M + ДМ)
1 - 22(1 + M + ДМ)(~2 - х)3/2
х* \1/2 Л
1 (х2 - х) х2 - х
2-2 ДМ (х2*- х)3/2 1 - 22(1 + M + ДМ)(~2 - х)3/2
I 1 12 ч1/2
X I —+ — (х2 - х)
1 6 35 2
M = Бир
n,G1
Ф (п)( х)
п!
,х* ,х* . ,х*
х1 = х - Ах
G1 = {х: (~ * - х) < р1},
,х* ,х* . ,х*
х2 = х + Ах ,
ДМ =
Бир
Ф (п+1)( х)
п!
Ах
G2 = {х: (~*-х) < Д~*}, п = 0,1,2,....
Доказательство.
Д^XN (х) =^(х) - ^XN (х) |<
<| W(х) - 1~(х) | + | 1~(х) - ^XN (х) | .
Для выражения | w(х) -1~(х) | в отличии от варианта, предложенного в [12], воспользуемся дифференциальным исчислением [14]:
| w(х) - W(х) |< Бир
0г
дW( х)
ох
Д~ * + 2 Бир
дW( х)
дСп
ДCn
где G2 = {х:(~*- х) <Дх*}. В силу п. 2 теоремы существует
Ф (п)( х)
M = Бир
}
а согласно [12]
п!
Ух из области (1), (4)
ДМ =
Бир
Ф (п+1)( х)
п!
Дх
G2 = {х: (~*- х) <Д~*}, п = 0, 1, 2, ... . (5)
Далее
Бир
д>~( х)
дх
= Бир
О,
2 (~ *-х)(”-3)/2
<1
п -1
Бир | Сп | Бир(~* - х)(п 3)/2 .
При этом
Бир(~* - х)(п 3)/2 =
[(**- х)(п-3)/2, п = 0,1,2; 1(х2*- х)(п-3)/2, п = 3,4,...,
Бир
02
д>~( х)
дС„
= Бир(~* - х)(п 1)/2 = 02
[(~*- х)(п-1)/2, п = 0;
I (х* - х)1
(п-1)/2
п = 1, 2,...,
где ~* - Д~*, х* = ~ * + Дх *. Принимая во вни-
мание (4), (5) и оценки для Сп, полученные в работе [12],
2п - 4
2
|С3п |< —— (1 + М)" = ^п ,
3п + 2
|С3п+1 |< Т—3 (1 + М)п = ^п+1,
3п + 3
22п-4
| С3п+ 2 |< 3 2(1 + М) =^3п + 2,
3п + 2
из рекуррентного соотношения
(6)
(7)
(8)
- Сп I- + р| = Д
где
Дп = С** для п = 2к , к = 0, 1, 2, ...;
Дп = С7 для п =1;
Дп = С* * + Ап1 для п = 2к +1,
к = 1, 2, ..., п1 = 0, 1, ...;
пп
у'-» * * _ Л у'-» у'-» * у'-» * _ Л у'-» у'-» р _
Сп = / , СгСп-г , Сп = / , СгСп-г , р = '
0 0 полученного из (1) при подстановке в него
Ф(х) = 2 Ап (х * - х)п
(2) и выполнения соответствующих преобразований, имеем [12]
Бир | Сп |< Сп (| А0 + ДА0 М А1 + ДА1 |, ...) <
02
Таким образом,
ад
кх) - W(х)|< Дх * 2
< Сп(1 + М + ДМ) = Зп . п - 1
2
5п Бир(х* - х)(п-3)/2 +
^ДСп Бир(х * - х)
- х)(п-1)/2
А так как [12]
С = С0 =^-^=, С = С = С2 = С2 = 0,
то следует
X
2
о
о
0
2
0
и
X
X
X
X
5
6
7
X
2п-4
п,0
1
2
0
0
0
2
п,0
0
2
о
| w(х) -1~(х) |<
Дх
^л/2(х1*- х)3/2
+ Дх
(~2 - х)(и-3)/2 +2АС (~2 - х)
(п-1)/ 2
Тогда для Дт% (х) получаем выражение
(х) =|^(х) - (х) |<-
Дх
2л/1(~Г - х)3/2
+]Г|(~И1(Г - х)(п-1)/2+Д? * ]Г§ и (Х2 - х)(и-3)/2 +
N+1 3
ад
+ 2Д(~» (х2 - х)(” 1)/2 = Д0 + Д1 + Д2 + Д3 •
Итак, для Д 0 имеем
Д0 =
Дх
3/2
2л/2(хГ - х)3
Согласно результатам работы [12] для ДГ справед-
ливы
Дг <
22п-4(1 + М)п(х* - х)(3п-3)/2 1 - 22(1 + М)(х* - х)3/2
.х * \1/2 ~ * Л
1 (х - х) х - х
-+-----------------+
3п + 2 3п + 3
3п + 4
в случае N +1 = 3п ,
22п-4(1 + М)(х* -х)(3п-3)/2
Ді <■
1 - 22(1 + М)(х* - х)3/2
1 + (х*- х)1/2 + 4(1 + М)(х* - х)Л
3п + 3 3п + 4 3п + 5
\
для N +1 = 3п +1 и
22п-4(1 + М)(х* -х)(3п-1)/2
Ді <■
1 - 22(1 + М)(х* - х)3/2
( 1 + 4(1 + М)(х* - х)1/2 + 4(1 + М)(х* - х)
3п + 4
3п + 5
3п + 6
в случае N +1 = 3п + 2.
Переходим к оценке Д2 • Учитывая структуру
оценок для 9п (6)-(8), получаем
ад
Д 2 =ДГ2х п (х*- х)(п-3)/2 =
3
= Дх*2х3п (х2- х)
(3п-3)/2
■Дх*2х3п+1(х2 - х)
(3п - 2)/2
+ Дх
>2хх3п+2(х2'- х)
(3п-1)/2 =
= Дх*У 22п-4(Г + М + ДМ^ (х*-х)(3п-3)/2 +
3п + 2 2
3п + 2
4х*^ 22п-4(1 + М + ДМ)п +Дх 2—---------------------------
1
3п + 3
(х2* - х)(3п-2)/2 +
- Дх * V 22п - 4(1 + М + ДМ )п (х2* - х)(3п-1)/2 < ^ 3п + 4 2
Дх* • 2-2(1 + М + ДМ)
1 - 22(1 + М + ДМ)(х2* - х)3/2
* ,,ч1/2
1 ( х2 - х )
— + 5
6
х2 - х 7
Переходим к оценке Д3. Воспользуемся оценками для ДСп , полученные в работе [12]:
ДС3п <
22п - 4 ДМ 3п + 2
(1 + М + ДМ )п
ДС3п+1 <
ДС3п+2 <
22п-4 ДМ 3п + 3 22п - 4 ДМ 3п + 4
(1 + М + ДМ)
п -1
(1 + М + ДМ)
п-1
где
Итак,
ДМ = Бир
п,02
Ф (п+Г)( х)
п!
Дх * •
Д3 =2ДСп(х2 -х)(п-1)/2 =
3
ад
= ^Д(х3п (х2 - х)(3п-1)/2 +
1
ад
+ 2ЛС3п+1(х2 - х)3п/2 +
1
ад
+ 2ДСЗп + 2 (х2 - х)(3п+1)/2 <
<__________2-2 ДМ (х2*- х)2__________
_ 5(1 - 22(1 + М + ДМ)(х2*- х)3/2)
+ 2-2 ДМ(х2* - х)3 / 2
6(1 - 22(1 + М + ДМ)(х2* - х)3 2)
_________2-2 ДМ (х2*- х)2__________
7(1 - 22(1 + М + ДМ )(х2*- х)3 / 2)
= 2-2 ДМ(х2* - х)3/2
1 - 22(1 + М + ДМ)(х2* - х)3/2
Г 1 12 х* 1/2
х I — +— (х2 - х)1/2 ^ 6 35 2
Оценка для Д 0 справедлива в области
^ = {х: х < х*}, для ДГ — в области
Р2 = і х: (х - х) <
для Д 2 и Д3 — в области
1
^16(1 + М )2
+
3
3
*
X
3
X
X
X
X
X
X
+
р3 = 1 х: (х2* - х) < . 1 [.
[ ^16(1 + М + ДМ)2 ]
Тогда оценка для ДWN (х) будет верна в области (3), что и доказывает теорему.
Пример. Задача Коши (1)-(2):
Ф(х) = 0 ; w(1) = 1.
Точное решение
w( х) = ■ 1 .
л/3 - 2х
Точное значение подвижной особой точки х* = 1,5 . Приближенное значение подвижной особой точки х * = 1,49; Дх* = 0,01. Значение х1 = 1,4 попадает в
область действия результатов работы [12] и настоящей. Расчеты приведены ниже:
x1 w( x^ W3( xO Д ^W3( x^j (Дн^ x1)) л
1,4 2,236 2,367 0,121 0,210 0,225
где w(х1) — точное значение решения; W3(х1) — приближенное значение решения; Д — абсолютная величина погрешности; (ДW3(х1))} — оценка погрешности по результатам работы [12]; (ДW3(х1))и — оценка погрешности по результату настоящей работы.
Литература
1. Чудновский В.М., Холодкевич Е.Д. Теория сверх-излучательных лавин радиоволнового диапазона // ФТТ.
— 1982. — Т. 24, № 4. — С. 1118-1123.
2. Чудновский В.М. Лавинный распад инвертированного состояния квантовой системы: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Минск, 1983. — 16 с.
3. Самодуров А.А., Чудновский В.М. Простой способ определения времени задержки сверхизлучательной бозонной лавины // Докл. АН БССР. — 1985. — Т. 29, № 1. — С. 910.
4. Hill J.M. Radial deflections of thin precompressed cylindrical rubber bush mountings // Internat. J. Solids Structures. — 1977. — 13. — С. 93-104.
5. Ockendon J.R. Numerical and analytical solutions of moving boundary problems // Proc. Symp. Moving Boundary Problems / ed. D.G. Wilson, A.D. Solomon and P.T. Boggs.
— New York, 1978. — P. 129-145.
6. Axford R.A. The exact solution of singular arc problems in rector core optimization // Proc. Nuclear Utilities Planning Methods Symp. Tennessee, 1974. — P. 1-14.
7. Axford R.A. Differential equations invariant urber two-parameter Lie groups with applications to non-linear diffusion // Los Alamos Report. — 1970. (LA-4517, UC-34).
8. Axford R.A. Group invariance properties of the Pois-son-Boltzmann and other non-linear field equations // Los Alamos Report. — 1972. (LA-4864. UC-34).
9. Axford R.A. Non-linear thermal instability phenomena in plates and rods // A.S.M.E. Nuclear Eng. Div., Winter Annual Meeting. Michigan, 1973. — P. 1-12.
10. Hill J.M. Radial deflections of thin precompressed cylindrical rubber bush mountings // Internat. J. Solids Structures. — 1977. — 13. — С. 93-104.
11. Орлов В.Н. Об одном приближенном методе решения уравнения Абеля // XX Международная науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях ММТТ-20», 30.05.2007, Ярославль. — Т.1, секция 1. — С. 64-65.
12. Орлов В.Н. Приближенное решение дифференциального уравнения Абеля в окрестности подвижной особой точки // Вестник РГСУ, филиал г. Чебоксары. — 2008. — № 2 (19). — С. 141-144.
13. Камко Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1971. — 576 с.
14. Бахвалов Н.С. Численные методы. — М.: Наука, 1970. — 632 с. : ил.
Российский государственный социальный университет, филиал, г. Чебоксары
THE EXACT APPLICATION AREA BORDERS OF ABEL DIFFERENTIAL EQUATION APPROXIMATE SOLUTION IN THE AREA OF THE MOVABLE SPECIAL POINT APPROXIMATE MEANING
V.N. Orlov
In this work is being completed the research of the approximate solution of Abel differential equation in the area of the movable special point. The obtained results are illustrated by calculations
Key words: A movable special point, exact borders, approximate solution, Abel differential equation
