CC BY
90
УДК 621.391: 621.396
ТОЧНОСТЬ ОЦЕНКИ ДВУХ НЕЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ПРИНИМАЕМОГО
СИГНАЛА ТЕНЕВОГО РАДАРА
В.И. Костылев, М.П. Сличенко, Д.В. Звягин
В статье рассматривается задача о точности оценки двух неэнергетических параметров принимаемого сигнала теневой радиофизической системы. Получены результаты, из которых следует, что при фиксированном истинном значении одного из оцениваемых параметров дисперсия оценки другого параметра уменьшается с ростом его истинной величины
Ключевые слова: теневая радиофизическая система, базовая линия, потенциальная точность
Радиолокация является одним из важнейших направлений радиофизики. С момента своего зарождения в начале 30-х годов она прошла большой и сложный путь развития. Современная РЛС совсем не похожа на свой прототип. Прогресс современной радиолокационной техники многим обязан применению теории оценки параметров сигналов на фоне помех, построенной на базе математической статистики, дающей общую методологию статистического синтеза.
Под словом радиолокатор обычно подразумевается радиотехническое устройство, состоящее из расположенных в одном месте передатчика, приемника, блока переключателя с антенной и блока обработки сигналов. Радиолокатор излучает электромагнитные волны и принимает эхо-сигналы, отраженные от находящихся в пространстве предметов. Так как эхо-сигнал от облученного предмета расходится во всех направлениях, то возможно определение его координат и в случае, когда приемник располагается далеко от излучающего передатчика. Такие радиолокаторы будем называть разнесенными. В настоящее время возрос практический интерес именно к таким радарам - разнесенным бистатическим системам [1, 2]. Целью настоящей статьи является определение потенциальной точности условных оценок параметров информативной составляющей сигнала теневого радара, принимаемого в бистатической радиолокационной системе от малоразмерной цели с конечной1 площадью отражающей поверхности.
Костылев Владимир Иванович - ВГУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, е-шай: kostylev@phys.vsu.ru Сличенко Михаил Павлович - ВГУ, аспирант, е-шаД: asp2010@mail.ru Звягин Денис Викторович - ВГУ, аспирант, е-шаД: den_archon@rambler.ru
Модель принимаемого сигнала биста-тического радиолокатора
Конфигурация бистатического радара (рис. 1) предполагает наличие разнесенных в пространстве одной передающей и одной приемной станций. Передатчик Т , приемник Я и цель О образуют так называемый бистатический треугольник. Будем называть линию, проходящую между Т и Я -базовой линией, а расстояние ТЯ - базой радараЬ .
Далее рассматривается случай плоской задачи, когда бистатический треугольник Т - О - Я не меняет своего положения в пространстве, а цель является малоразмерной (имеющей конечную, ненулевую площадь Б ) и, соответственно, создающей тень. Используя для решения дифракционной задачи метод Кирхгофа и принцип Бабине, можно получить следующую модель принимаемого в данном случае сигнала [1]:
*Т
(*)=л
cos
2п| /0* - —
2АБ . I +------------— sin< 2п
Р1 I
2р1
, (1)
где А - амплитудный множитель; /0 = ю0 /2п - несущая частота зондирующей волны; Ь - база радара; 2 = с//0 - длина зондирующей волны (с - скорость света); Б - площадь малоразмерной цели; р1 = - радиус первой зоны Фре-
неля; V - модуль скорости цели.
+
Рис. 1 Конфигурация бистатического радара
Если ввести новые обозначения
^ = V/рі ; Ф = «о = Ук/Рі, (2)
то формулу (1) можно переписать в виде:
ЇТ ( )= е(і) + ^ (), (3)
где
е(0 = А СОБ
2 АБ
Рі2
бій <! 2п
.(4)
Как видно из формулы (3), принимаемый сигнал ¿Т (*) является суммой неинформативного колебания е(*) и информативного сигнала (*) . Информативный
сигнал (*) есть следствие «тени», отбра-
сываемой целью на приемную антенну. Он содержит информацию о скорости V цели и моменте *0 пересечения целью О базовой линии радара.
Относительно введенных для удобства параметров Р и Ф можно отметить, что
Р имеет размерность частоты, а параметр Ф безразмерен.
Из формул (1) - (4) следует, что прямое измерение скорости цели, V, и момента пересечения целью базовой линии, *0, невозможно. Эти параметры могут быть измерены лишь косвенно. Прямое измерение может быть проведено для вспомогательных параметров Р и Ф, измерив которые можно затем вычислить скорость и момент пересечения базовой линии. Однако указанный расчет потребует априорного точного знания величины радиуса первой зоны Френеля, Р1 . Неточное знание последней снижает точность измерения скорости цели и момента пересечения целью базовой линии радара.
Потенциальная точность несовместной условной оценки параметров сигнала теневого радара в случае малоразмерной цели
В общем виде задача оценки (измерения) параметров сигнала при приеме на фоне помех может быть сформулирована следующим образом. Пусть в течение фиксированного интервала времени [0;Т] наблюдается некоторая реализация случайного процесса, являющаяся детерминированной скалярной функцией от полезного сигнала и помехи. На основе обработки наблюдаемой реализации необходимо произвести измерение, т.е. выработать оценку искомого параметра (в общем случае многомерного). Одним из основных условий задачи оценки параметров сигнала является требование независимости оцениваемых параметров от времени в течение интервала приема.
Из-за наличия помех и конечного времени наблюдения любой оценке присущи ошибки, определяемые как критерием качества оценки, так и условиями, при которых происходит процесс оценивания. Поэтому задача оптимальной (наилучшей) оценки параметра состоит в том, чтобы найти такой алгоритм определения параметра, при котором для заданного критерия оптимальности оценивания эти ошибки решения были бы минимальными. Требование малости ошибок в общем случае не имеет однозначного смысла. Однако при заданном критерии оценки можно сформировать показатель качества оценки, зависящей от оценок, и задача получения оптимальной оценки сводится к нахождению алгоритма получения оценки, который минимизирует этот показатель качества.
Существуют различные правила оценки, в зависимости от заданных априорных сведений об оцениваемом параметре [3]. В настоящей работе рассматривается оценка максимального правдоподобия параметров детерминированного сигнала, обеспечи-
вающая максимум максиморум логарифма функционала отношения правдоподобия при непрерывной обработке (наблюдении).
Определим потенциальную точность несовместных условных оценок параметров Р и Ф информативного сигнала п (*) = ¿(*, Р, Ф). Из практически возможных комбинаций сигнала и помех наибольший практический интерес представляет собой
аддитивная смесь полезного сигнала s(t,F, Ф) и помехи n(t):
x(t) = s(t,F0,Фо) + n(t), 0 < t < T , (5)
где Fo и Ф о - истинные значения неизвестных неэнергетических параметров сигнала, а T - время наблюдения смеси сигнала и помехи. Будем полагать, что помеха n(t) представляет собой реализацию нормального случайного процесса с нулевым средним значением < n(t) >= 0 и функцией корреляции
K(t1, t2) = (No/2)d(h -12 ) , (6)
где N0 - физическая спектральная плотность мощности шумового фона, S(x) -дельта-функция Дирака.
Рассмотрим несовместную оценку параметров F и Ф . Выражение для функционала отношения правдоподобия при оценивании одного из параметров (например, параметра F ) можно записать в виде [4]:
Л(F) = exp<! j x(t)v(t, F)dt -1J s(t, F)v(t, F)dt 1,
[0 2 о J
(7)
где v(t, F) - опорный сигнал, являющийся решением интегрального уравнения
J K (t ,t)v(t, F )dr = s(t, F). (8)
0
Для белого шума с функцией корреляции вида (6) из интегрального уравнения (8) получаем выражение для опорного сигнала v(t, F) :
v(t, F) = (2/ No )s(t, F). (9)
В выражении (7) от принятой реализации x(t) зависит лишь первое слагаемое в показателе экспоненты
Y0(F) = \x(t)v(t, F)dt. (10)
0
Эта функция является достаточной статистикой и определяет ту существенную операцию, которую нужно произвести над принятой реализацией, чтобы извлечь всю информацию о неизвестных параметрах, содержащихся в реализации x(t) .
Используя выходной сигнал оптимального приемника [3], выражение для логарифма функционала отношения правдоподобия представим в виде:
Y(Р) = Yо(Р) --2-2(Р). (11)
Подставляя сюда принятую реализацию смеси сигнала и шума, выражение (11) можно переписать в виде суммы сигнальной составляющей
Б(Р) = Б(Р0, Р) - 2 2(Р)
и помеховой составляющей Й(Р), причем Y (Р) = Б(Р) + Й(Р). (12)
Нетрудно показать, что сигнальная составляющая логарифма функционала отношения правдоподобия достигает абсолютного максимума при значениях Р = Р0.
Так как отношение сигнал/помеха на выходе оптимального приемника не зависит от конкретного значения оцениваемого параметра Р , то он является неэнергетическим. При оценке таких параметров логарифм функционала отношения правдоподобия с точностью до произвольной константы совпадает с выражением (12). Последнее, можно записать в виде:
Y (Р )= р2 Б (Р) + рN (Р), (13)
где введены в рассмотрение Б (Р) = Б(Р )р~2, N (Р) = N (Р )р- - нормированные сигнальная и помеховая составляющие логарифма функционала отношения правдоподобия соответственно, ар- отношение сигнал/помеха по напряжению на выходе оптимального приемника в точке Р = Рт [4].
С учетом (13) систему уравнений правдоподобия запишем в таком виде:
■ВД + р-1 ёВД1 = 0 (14)
ё(Р) н ё(Р) р '
гт
Из (14) видно, что при р^-да решение системы Рт совпадает с истинным значением параметра (Рт = Р0). В случае отсутствия аномальных ошибок величина параметра р- мала и абсолютный максимум Y(Р) расположен вблизи истинного значения оцениваемого параметра.
Первые и вторые моменты несовместных оценок параметров Р и Ф определяются следующими выражениями:
Ър =< рт - р0 > , Ъф =< Фт - Ф0 > ,
2 2 2 2
ёр =< рт > - < рт > , ёф =< Фт > - < Фт > ,
где йр , йф - дисперсии, а Ър и Ъф смещения оценок параметров р и Ф соответственно, а усреднение выполняется по всевозможным реализациям помехи п(*) при фиксированных значениях оцениваемого параметра.
Введем обозначение а = 2АБ/р]2 . Тогда ненормированная сигнальная функция будет иметь следующий вид:
2а2 Т (
Б(РХ,Рг) = — |бій
N. о
2п
/о* _ Т _
2п
/о* _
(15)
2
й*.
Используя (14) и дифференцируя подынтегральное выражение в (15), получим следующие выражения для дисперсии оценок параметра р :
йР =—Т1.---------------------2’ (16)
2п2Т 2 М (5,2’3)р2
где введена безразмерная функция
М (а, Ъ, с) = РоФ о Т + ф2.
а Ъ с
Проведя аналогичную процедуру оценивания параметра Ф, дисперсия его оценки примет вид:
йФ =
1
2п2 М (3,1’1)р2
(17)
Как показывает расчет, оценки параметров с достаточной степенью точности можно считать несмещенными и использовать в качестве основных параметров дисперсию или рассеяние оценок Р и Ф .
Дисперсии несовместных оценок параметров Р и Ф достигают своих мак-
^ * / симальных значений при Р = 5Ф0 /4Т и
Ф * = Р00Т / 2 соответственно. С учетом (2) данное обстоятельство физически означает следующее: наихудшим с точки зрения точности косвенной оценки скорости и момента пересечения базовой линии цели является тот случай, когда на всем протяжении интервала наблюдения траектория цели «симметрична» относительно базовой линии теневого радара. Т.е. данный случай соответствует достижению целью базовой линии в середине интервала наблюдения: *0 = Т/2 .
Данный случай движения цели на интервале наблюдения соответствует ми-
нимально возможному вкладу эффекта Доплера, а, следовательно, и минимуму извлекаемой информации о скорости движения цели и о моменте пересечения базовой линии.
Далее в работе представлены графические зависимости при отношении сигнал/шум р = 3 и единичной длительности интервала наблюдения.
На рис. 2 представлена зависимость дисперсии ё Ф оценки параметра Ф от истинной величины параметра *0 при различных истинных значениях параметра Р0 = 1;2;3. На рис. 3 представлена зависимость дисперсии ёр параметра Р, от истинных величин параметров Ф0 и Р0 .
раметра Ф от истинной величины параметра *0 при различных истинных значениях параметра Р0 = 1;2;3
0.38-
______ -______________________________ , -
Рис. 3 Зависимость дисперсии ёР параметра Р от истинных величин параметров Ф 0 и Р0
2
X бій
Заключение
В результате решения задачи оценивания параметров сигнала в бистатиче-ской радиолокационной системе было показано, что при фиксированном истинном значении одного из оцениваемых параметров, дисперсия оценки другого параметра уменьшается с ростом его истинной величины. Данный факт объясняется тем, что с ростом известной истинной величины одного из параметров увеличивается вклад эффекта Доплера, а значит и информация об оцениваемом параметре. Полученные результаты отражают влияние топологической динамики перемещения неточечной цели относительно базовой линии в бистатической радиолокационной системе на точность
оценивания параметров ее движения во временной области относительно взаимного положения начального момента движения цели и длительности интервала наблюдения на временной оси.
Литература
1. Kostylev V.I. Bistatic Radars / V.I. Kostylev // Bistatic Radars: Principles and Practice / ed. M. Cherniakov. - Chichester,UK: Wiley, 2007.— Pt. II, chaps. 9-14.— P. 189-394.
2. Аверьянов В.Я. Разнесенные радиолокационные станции и системы. Минск: Наука и техника, 1978.— 184с.
3. Куликов Е.И. Методы измерений случайных процессов.— М.: «Радио и связь», 1986.— 272с.
4. Куликов Е.И. Оценка параметров сигналов на фоне помех / Е.И. Куликов, А.П. Трифонов.— М.: Советское радио, 1978.— 295с.
Воронежский государственный университет
ACCURANCY OF AN ESTIMATION OF TWO NOT ENERGY PARAMETERS OF AN ACCEPTED SIGNAL IN A SHADOW RADAR
V.I. Kostylev, M.P. Slichenko, D.V. Zvyagin
The article is devoted to the problem of accuracy of an estimation of two not power parameters of an accepted signal of shadow radio physical system is considered. Results are received, from that follows that at the fixed true value of one of estimated parameter, the dispersion of an estimation of other parameter decreases with growth of its true size
Key words: shadow radio physical system, base line, potential accuracy
