Точное агрегирование информации в многошаговых играх двух лиц с фиксированной последовательностью ходов при агрегированной информации о выборе партнера Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.837.3 ББК (В) 22.18

ТОЧНОЕ АГРЕГИРОВАНИЕ ИНФОРМАЦИИ В МНОГОШАГОВЫХ ИГРАХ ДВУХ ЛИЦ С ФИКСИРОВАННОЙ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬЮ ХОДОВ ПРИ АГРЕГИРОВАННОЙ ИНФОРМАЦИИ О ВЫБОРЕ ПАРТНЕРА

Алиев В. С.1

(ФГОУВПО «Финансовая академия при Правительстве Российской Федерации», Москва)

Рассматривается многошаговая игра двух лиц с фиксированной последовательностью ходов при информации на каждом ходу о сложившейся к моменту принятия решения предыстории игры и агрегированной информации о выборе игрока 2 на этом ходу. Игрок 1, обладая на каждом шаге 7 этой информацией, первым выбирает на этом шаге стратегию х 7 (•), и в начале игры, сразу на п ходов, сообщает свою стратегию х (•) = (хД-), хп(•)) игроку 2. Игрок 2, получая информацию о выборе игрока 1, и обладая информацией на каждом ходу о сложившейся к моменту принятия решения предыстории, выбором своей стратегии V = (VI, V2, vn) стремится к увеличению своей функции выигрыша. В данной работе с использованием результатов теории групп Ли найдены достаточные условия точного агрегирования в рассматриваемой игре.

Ключевые слова: игра, оптимальная стратегия, максимальный гарантированный результат, теория групп Ли, точное агрегирование.

1 Алиев Вагиф Судеиф оглы, доцент, кандидат физико-математических наук (Aliev_VS@mail.ru, тел. 8-499-760-9622, 8-916-128-0792).

1. Введение

В результате решения агрегированной задачи получаются значения укрупненных переменных, которые обычно не совпадают со значениями аналогичных агрегатов, получаемых при укрупнении точного решения первоначальной задачи. Разность между этими величинами называется ошибкой агрегирования. Классическая теория агрегирования изучает методы нахождения наилучшего способа агрегирования, который дает точное агрегирование или максимально уменьшает ошибку агрегирования.

Теория классического агрегирования, за исключением частных случаев, не решила проблемы устранения ошибки агрегирования и, главное, проблемы дезагрегирования, т.е. получения решения исходной задачи. Для устранения этих недостатков методов классического агрегирования в экономико-математических исследованиях появились методы итеративного агрегирования, позволяющие получать значения укрупненных и детализированных показателей плана с любой заранее заданной точностью.

К сожалению, для большинства оптимизационных задач, решаемых методами итеративного агрегирования, вопрос сходимости процесса итеративного агрегирования до сих пор остается открытым, несмотря на то, что для них доказаны теоремы, дающие условие окончания процесса, а именно, доказана оптимальность неподвижной точки этих процессов для исходной задачи. Вопросы точного агрегирования до сих пор остаются актуальными.

Настоящая работа посвящена вопросам точного агрегирования в многошаговых играх двух лиц с фиксированной после -довательностью ходов при агрегированной информации о выборе игрока 2 на этом ходу и информации о сложившейся к моменту принятия решения предыстории игры [1].

2. Постановка задачи

Определение. Агрегирование в играх с фиксированной последовательностью ходов называется точным, если максималь-

ные гарантированные результаты игрока, имеющего право делать ход первым, при агрегированной и полной информации о выборах других игроков (другого игрока) совпадают.

Прежде чем сформулировать достаточные условия точного агрегирования, в соответствии с [1], где рассматривалась игра Г 2(7), введем обозначения, приведем формулировки задач и полученные там результаты.

Рассматриваются многошаговые игры двух лиц. Функции выигрыша игроков, соответственно, /г (х, V), г = 1, 2, к увеличению значения которых каждый из них стремится, предполагаются непрерывными, а х, V выбираются из соответствующих множеств

X = ПХ с Ек, V = П^- с Ет,

г=1 г=1

где х = (XI, Х2, ..., х„), V = (VI, V2, ..., V„), хг е X- с Ек ,

vi е Vi с Ет‘ , г = 1, ., п, п < т, к1 + к2 + . + кп = к,

т1 + т2 + ... + тп = т; X, V, X, Vi, i = 1, ., п - компактные множества; Е, Ет, Ек‘, Ет‘, i = 1, ..., п - евклидовы пространства соответствующей размерности.

В отличие от [2, 5] будем предполагать, что агрегированный вектор выбора игрока 2 у = (уь ., уп) = (Т^), ., 7^)) при отсутствии информации о выборе V будет известен игроку 1

последовательно в п шагов, где vi е Vi, уг е Еп, ri < т, i = 1, ..., п, а Ti ( ): Ет‘ ® Ег - известные игрокам непрерывные на Vi операторы, i = 1, ., п.

Введем следующие обозначения:

х =(X1,..., х^ у = (Уl,..., Уi ^ V = (V1,..., Vг);

7Ф) = (Т1(^Х...,Т-(vi)), х(Тф)) =(Xl(T1(Vl)),...,х(Т(V-))); Уг(7) = Тг(^) - образ множества V-;

Vг (у- , 7) = 7_1(уг )Р| V - пересечение прообраза у- е ДТ) с множеством Vi;

V(у,7) = &к(ук,Тк), V = I^Vk ;

к=1 к=1

xt =П х,, y (T) = П Yk T), i = 1, • ••, n;

k=1

k=1

т (•) = (т тп (•)), к (у,т) = П V (у, Т) •

7=1

Будем предполагать, что множеством стратегий игрока 1 на 7-ом ходу является множество произвольных функций ~ (), аргументами, которых являются сложившаяся к моменту принятия решения агрегированная предыстория х7-1, у7-1 и агрегированный выбор игрока 2 на 7-ом ходу у7, где значение функции ~7 (х7_1, у7) принадлежит множеству Х7, т.е. ~7 (х7-1, у7) е Х7.

Обозначим множество таких функций ~7 ( ) через Х7:

xi =

i-1

r. + X (ks + rs)

~i (): E

~ (Xi-1, Yi (T)) с Xi

7 = 1, ..., n.

Заметим, что стратегии игрока 1 могут быть представлены в следующем виде: x7 (x7-1, y7) = x7 (y7), 7 = 1, ..., n. В нашем изложении x0, y0 - символы отсутствия аргумента.

Стратегией игрока 2 на 7-ом ходу (1 < 7 < n) является v7 е V7, а агрегированной стратегией у7 е Y7(Tt).

Игрок 1, обладая на каждом шаге 7 точной информацией о векторе (x7_j, y7) , первым выбирает x7( ), 7 = 1, ..., n, и в начале игры сразу на n ходов сообщает свою стратегию x (•) = (x:(), ..., xn()) игроку 2.

Введем следующие обозначения:

L\(x У,T) = F2(xy. T) = .“(K.) /2(x v),

veV (y,T)

L- (x!_1, y!_1, T) = max max L1 (x, y,, T), 7 = 1, ., n.

(T) xeX,

Тогда Ь7-1( х7-1,, у7-1, Т) выступает как максимальный гарантированный результат игрока 2 на 7-м ходу.

s = 1

При известной стратегии игрока 1, в соответствии со своим правилом поведения, игрок 2 свою стратегию V е V выбирает из множества

Я2(х(),Т) = ^е V I Л(х(Т(^) = Ь\(х(Т(V)), Т(V), Т) >

> шах^ 0 max: L\ (xt (Tt (vt)), Tt (vt), T); sup f2 (x(T(z)), z) - S (x()) \ \,

Z G V

0 £ i £ n-1

где S (•) - известный игроку 1 функционал, причем S (•) = 0, если в определении R 2 (x (•), T) верхняя грань достигается, и равна числу S (•) = S 0 > 0 в противном случае.

Игрок 1, зная о таком правиле поведения игрока 2, выбором своей стратегии x( ) стремится получить (может быть, с e '-точностью, где e' > 0) свой максимальный гарантированный выигрыш

у2 (T) = sup inf fi (x (T (v )),v), где X = П X .

x(-) G X v G R2(x(0> T) i=1

Введем следующие обозначения:

X-(xi-i, y-,T) = Arg imn L(xi, y-,TY i = 1, ..^ n; xGXi

E] (xi-i, yi-i,T) = Arg max imn l1 (xi, y,T), - = 1, ..^ n; yiGYi xiGXi

V + (x, y, T) = Arg max f2 (x, y);

v g V (y, T)

M](x, y, T) = F] (x, y, T) = min 4 fi (x, v);

v g V+(x, y, T)

M]-i(xi-], y--^ T) =

= jnf _ sup M](x, у-, T),

у- g e] (xi-i, y,-i, T) x G XH (xi-1, y, T)

A1 (T) = i(*„ y) g Xi xx- (T)

> max Lk (xk, yk,T) f,

0£k £i-1 k k k 1

L (yi,T) >

K1(T) = sup M)(xt, y, T), i = 1, ..., n; ^(T) = M1(T).

(X, Уі^D)(T)

I(T) = iiє {0,1,...,n}

max KP (T) = K0 (T) I; 5 = max i.

0 £ p £ n F І ієі (T)

Если 5 ф 0, то для достаточно малого числа e > 0 опреде-

,_s,e -s,e4

лим точку (Xs , ys ) такую, что выполнились следующие соотношения

(x;,e, ys,e) g dS (T): Ml (x;,e, yi,e, t) > k\(t) -e.

Определим точки y+, x’H’e (y.), удовлетворяющие соответственно следующим условиям: y+ g E1 (Хг-1, y., T),

M\-1 (Xi-\, yi-l,T) + b) > sup m1(Xi, y -l, y+, T),

X G XH (X-1, y,.-i, y+, t)

i = 1, ..., n; x-(y)g XH(X-\,y1,T): M\(X-i, x^(y),y,,T) >

sup M0( Xi,yi,T)--, i = 1, ..., n;

X є X«(X1_o,y1,T) n

где Ь > 0 - достаточно малое число.

Теорема 1. В сформулированных условиях максимальный гарантированный результат игрока 1 в игре Г2 (Т) равен (Т) = К] (Т). Получение такого результата (может быть, с точностью до е) обеспечивает этому игроку стратегия х5(• )б X :

Х-'е, если у = у.'е, 1 < 7 < 5,

Хг (Уг ) = < Хг'е (Уг X если Уг * У™> 1 < 7 < 5

Х*’е (У7 ), при 5 + 1 < 7 < п; 7 = 1, ..., п.

Теперь приступим к формулировке достаточных условий точного агрегирования.

3. Достаточные условия точного агрегирования

Пусть в игре Г2(Т) из [1] непрерывные операторы Т7() определены следующим образом: Т7 (•) = (:] (•),..., ^ (•)), где

¿/(•), 7 = 1, г, 7 = 1, ..., п - непрерывно дифференцируемые

и функционально независимые функции vг■; функции /¡( ), /;(•) -непрерывно дифференцируемые, а вектора д/7 /9 х}- , д/7 /9 У7,

7 = 1, 2; 7 = 1, ., п, не равны тождественно нулю.

Для того чтобы найти достаточные условия точного агрегирования в игре Г2(Т), рассмотрим непрерывную группу преобразований О пространства Ек+т в себя, каждое преобразование

вом /7(g(х,V)) = /7(х,V), 7 = 1, 2, т.е. функции/¡( ),/2( •) являются инвариантами группы О.

Найдем, как и в [3, 4], подгруппу О' группы О такую, что функции /1( ), /2( ) являются ее инвариантами, и любой другой ее инвариант выражается в виде функций от /1( ), /2( ).

Пусть инфинитезимальный оператор некоторой однопараметрической подгруппы группы О' имеет вид:

7 = 1, ., п, 7 = 1, ., кь, Р = 1, ., т,:

(1) б( /Д х, V)) = 0, б( /2 (Х, V)) = 0.

Пусть для "(х, V) е X X V ранг матрицы этой системы р равен ее рангу на X X V (очевидно р = 1 либо р = 2), а коэффициенты сг(хь х2), I = 1, ..., р (сг(хь х2) равен а/(х,V) либо Ьр(х,V)),

соответствуют р линейно независимым столбцам этой матрицы.

Подставляя поочередно вместо остальных коэффициентов (Ср + 1, 5, ., Ск + т 5) = ей 5 = 1, ., к + т - р (ех - единичный век-

п к7

Рассмотрим систему уравнений относительно а/ ( • ) , Ьр (• ),

тор с размерностью к + т - р, 5-й компонент которого равен единице, а остальные равны нулю), решим рассматриваемую систему уравнений (1) относительно с/(-), I = 1, ..., р. Получим

ау (• К К( • ), і = 1, ..., кь р = 1, ..., т і = 1, ..., п,

5 = 1, ..., к + т - р, решения рассматриваемой нами системы уравнений и систему операторов

п кі Л п ті Л

(2) а ( • )=ЁЁ а15(ху) ту+ЁЁьр (ху) л~р,

і=1 у=1 Лхі і=1 р=1 иуі

5 = 1, ..., к + т - р,

которая является линейно независимой и якобиевой, т.е. (Аі, Ау) = АіАу - АуАі = 0, і, і = 1, ., к + т - р. Поэтому эта система операторов в силу обратной второй основной теоремы Ли определяет (к + т - р)-параметрическую группу Ли О' (см. теорему 24 [8, §8, гл.2]).

Теорема 2. При сформулированных условиях для того, чтобы в игре Г2 (Т) агрегирование было точным, достаточно, чтобы для каждой окрестности Ж(х, V) и для каждого шага q (1 < q < п) существовали не все тождественно равные нулю функции vlp (ху), 5 = 1, ., к + т - р, р = 1, ., Bq, Bq > mq - ^, q = 1, ., п , удовлетворяющие следующим условиям:

к+т-р

(3) Ё vqs b (х,v)a1l S(х,V) = 0, р = 1, ..., Bq, у = 1,

і = 1, ..., п, q = 1, ..., п;

к+т-р

(4) Ё vqs р (х, v)b|s (х, V) = 0,

5=1

і = {1, ..., п} \ {q};

Л к+т-р

(5) Ё (х(x,v)=°:

ах 5=1

і = 1, ..., п;

Л к+т-р

(6) — Ё v‘qр (ху)Ь]5(x,v) = 0,р = 1, ..., Bq, к = {1, ..., n}\{q},

™к 5=1 ’

І = 1, ..., ті, і = 1, ..., п;

Р = 1, •.., Bq,

Р = 1, ., Bq, Р = 1, •.., Bq,

, кі ,

І = 1,

і = 1,

ті,

ті,

5=1

mq k+m-p fit“ (v )

(7) CP,q (t* (Vq )) = Z Ё Vlb (X,V)Ks (^V) fi / = 0 =

j=1 s=1 fiVq

b = 1, ..., Bq, a = 1, ..., rq, q = 1, n;

-|j=1,..., mq

(8) rank

k+m-p

Ё Vq,b(x V)bq,s(x v)

s=1

= mq - rq , q = 1 n

b =1,!, Bq

Доказательство. Учитывая результаты примера 2 из [7] можно утверждать, что если у группы G' существует подгруппа Hq, инфинитезимальные операторы которые имеют вид

mq fi

(9) Cb,q (• ) = 1 cjq (x, V) — , b = 1, Bq

j=1 fiVq

и ранг матрицы [c^ q (x,v)]'’'"’'в' равен mq - rq, то f(x, v),

b ’ '’ qq

i = 1, 2, выражаются через инварианты

x1, xlkl’ ХП, ХПП , v1, VГ, ., Zq (VqX zq (Vq), ...,

v\,vnmn, q = 1, ..., n, этой подгруппы, т.е. существуют такие непрерывно дифференцируемые функции f1 ( • ), f2* ( • ), что

f(x V) = f*(Х’ Zl(Vl)’'''’ Zn On )), где Z q (Vq ) = (z' (Vq ), •••, ^ (Vq )) ,

q = 1, ..., n.

Так как инфинитезимальный оператор любой однопараметрической группы G' является линейной комбинацией с переменными коэффициентами операторов (2), то для того, чтобы существовал оператор вида (9), представляющий однопараметрическую подгруппу, необходимо и достаточно, чтобы существовали функции Vqsp(x,v), s = 1, ..., k + m - p, b = 1, •••, Bq,

Bq > mq - rq, q = 1, ., n, для которых выполнились соотношения (3)46).

В этом случае операторы Срг q(• ) будут иметь вид:

mq k+m-p fi

Cb,q( 0 = 2 Ё vtb(x,v)bjs(xv)fivr = 0,b = 1 ., Bq;q = 1, -,n'

j=1 s=1 fivq

Значит, выполнение условий (7)-(8) является достаточным условием того, чтобы tq(vq),..., tq(vq), q = 1, ..., n, были инвариантами подгруппы Hq, q = 1, ., n, т. е. выполнились соотношения fi(x, v) = f*(x,T1(V1),...,Tn(Vn)) , i = 1, 2, для произвольных стратегий x e X, v e V.

Напомним, что игра Г2(Т) является агрегированным аналогом игры, рассмотренной в [3], где выбор игроком 1 i-й компоненты стратегии на i-м ходе производится при полной информации о сложившейся предыстории (xi-1,vi-1) к моменту принятия решения и о выборе игрока 2 vi на i-м ходу.

Для завершения доказательства теоремы в соответствии с [6] введем обозначения:

Ln(x, v) = f2(x, v);

(хг_1; v-) = max min Lt (xit vt), i = 1, ..n;

vi є V. xi є Xi

i i i г

X*(xi_i ,vt) = Arg min Li(xi,vi), i = 1 n;

xi є Xi

i = 1, n.

Введем также обозначения:

Mn(x, v) = f1(x, v);

Mi (Xt,Vt) = inf SUp Mi + 1(xi+1,Vi+1),

i = 1, n-1;

К = sup (xi,vi), i = 1, •••, n, Ко = M0;

(xi,vi)є D1

s = max i .

i є I

Введем достаточно малое число е > 0. Если 5 Ф 0, определим точку (х,’6, у,’6')є Д такую, что выполнилось неравенст-

во ы,(х-УГ) > к, - 6.

X (У ) є хі (Х-1’ УІ

Определим точки х*(уІ)є Хі (хІЧ, УІ) , І = 1, ..., п, удов-

летворяющие условиям:

_ * _ _ _ _ £ мг (Х,._1( хгв (у.), у1)> вир Мг (ъ, у1 )---, 1 = 1, п.

*■ е X* (Х _1,Уг ) п

Тогда легко проверить, что выполняются следующие соотношения:

^¡(х, у, Т) = /* (х, у) = / (х, V) - при фиксированном у е 7(Т) и для любого V е У(у, Т) или при фиксированном V е V и для У = Ту);

У (х, у, Т) = У(у, Т) - для произвольных х е X, у е 7;

Ц (хг, У,Т) = Ц (хг,Уг ^ 7 = 0, 1, п - 1;

^г+1(хг „ уг, Т) = ^ 1 = 0, 1, -, П - 1;

Хг (х-_1> Уг,Т) = Х (хг_1-Ц- ), 1 = 1 - , п;

М1 (хг, у., Т) = Мг (хг,Уг) , г = 1, ..., п - 1 - при фиксированном у. е Уг ( Т) и для любого V. е У (у., Т) или при фиксированном

V еУг и для Уг е Тг ^ );

Б)(Т) = Т (В1), г = 1, ..., п - где отображения Т.^ () определяются следующим образом: Т (хг, Vг) = (хг ,Т (V.)) для любых

х е хг, V еУг, 1 = 1, -, п;

К(Т) = Кг, г = 0, 1, ..., п;

Отсюда, учитывая результаты, полученные в теореме 1 и в работе [6], получаем, что максимальный гарантированный результат игрока 1 в игре Г2(Т) совпадает с соответствующим результатом игры с полной информацией на каждом шаге о выборе игрока 2, рассмотренный в [6], т.е. агрегирование в рассматриваем игре точное. Теорема доказана.

Литература

1. АЛИЕВ В. С., КОНОНЕНКО А. Ф. Многошаговые игры двух лиц с фиксированной последовательностью ходов при агрегированной информации о выборе партнера // Автоматика и телемеханика, 2005, №2, с. 108-114.

2. АЛИЕВ В. С., КОНОНЕНКО А. Ф. Некоторые вопросы принятия решений в играх двух лиц при агрегированной информации // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1997, т.37, №10, с. 1163-1173.

3. АЛИЕВ В. С., КОНОНЕНКО А. Ф. Об условиях точного агрегирования информации в теоретико-игровых моделях. М.: ВЦ РАН, 1991.

4. АЛИЕВ В. С., КОНОНЕНКО А. Ф. Об агрегировании в динамических играх // Ж. вычисл. матем. и матем. физ., 1995, т.35, №8, с. 1245-1259.

5. АЛИЕВ В. С., ЦВЕТКОВ А. В. Игра двух лиц с фиксированной последовательностью ходов при агрегированной информации // Планирование, оценка деятельности и стимулирование в активных системах: Сб. трудов, М.: Институт проблем управления, 1985, с.35-42.

6. ДАНИЛЬЧЕНКО Т. Н., МОСЕВИЧ К. К. Многошаговые игры двух лиц с фиксированной последовательностью ходов / Ж. вычисл. матем. и мат. физ. 1974. Т. 14. №4. С. 1047-1052.

7. ПАВЛОВСКИЙ Ю. Н. Агрегирование сложных моделей и построение иерархических систем управления // Исследование операций. М.: ВЦ АН СССР, 1974, вып. 4, 3-38.

8. ЧЕБОТАРЕВ Н. Г. Теория групп Ли. Изд. 2. М.: УРСС, 2003.

PERFECT AGGREGATION OF INFORMATION IN MULTISTAGE TWO-PERSON GAMES WITH A FIXED ORDER OF

MOVES AND AGGREGATE INFORMATION ABOUT THE

PARTNER’S CHOICE

Vagif Aliev, Federal state educational establishment of the supreme

vocational training «Financial academy at the Government of the

Russian Federation», Moscow, The candidate of physical and mathematical sciences, assistant professor (Aliev_V S@mail.ru).

Abstract: Two-person multistage game is considered with fixed order of moves, with perfect information at every move about the history of the game, and with aggregated information about current move of the second player. Player 1 is the first to choose his move x i (•) on every stage and at the beginning of the game announces his strategy x (•) = (x1(^), ..., xn(-)) - the complete planfor all n stages. Given the choice of player 1 and the history of the game the second player maximizes her payoff function by choosing her strategy v = (v1, V2, vn). The article applies the theory of Lee groups to give sufficient condition of perfect information aggregation in this game.

Keywords: game, optimal strategy, maximal guaranteed result, theory of Lie groups, perfect aggregation.

Статья представлена к публикации членом редакционной коллегии А. Ф. Кононенко