CC BY
15Точная волновая функция основного состояния двухподрешеточного антиферромагнетика специального типа
Куркин М.И. (kurkin@imp.uran.ru)
Институт физики металла УрО РАН
Посвящается памяти академика Андрея Станиславовича Боровика-Романова
Введение
В настоящее время описание антиферромагнитных спиновых структур основано на гипотезе магнитных подрешеток [1]. Предполагается, что в таких структурах можно выделить группы электронов с параллельной ориентацией спинов. Эти группы получили название подрешеток, так как первоначально их связывали с атомами в узлах кристаллических решеток. Простейшая антиферромагнитная структура формируется из двух подрешеток. Поскольку полный спин антиферромагнетика равен нулю, то спины подрешеток S1 и S2 должны быть антипараллельными. Это означает, что волновая функция основного состояния двухподрешеточного антиферромагнетика удовлетворяет условию [2]:
S2 Ф0 = (Si2 + S22) Ф0 = 0. (1)
Параллельность спинов в подрешетках требует добавить условия максимальности величин Si и S2 [2]:
Si2 Фо = S22 Фо = N/4 (N/4 + 1) Фо. (2)
В (2) N - полное число спинов, N/2 - число спинов в подрешетке, N/4 -максимальная величина спина подрешетки. Стандартная гипотеза подрешеток требует ещё более сильного условия, чем (2). Оно состоит в том, что максимальной должна быть не только величина спина подрешетки, но и её проекция на определенное направление, которое обычно выбирают за ось z. Математически это требование может быть записано в виде:
(Фо./Siz /Фо) = - (Фо / Si/Фо) = N/2. (3)
При записи (3) использовалось предложенное Дираком [2] обозначение для матричных элементов операторов.
Можно убедиться, что равенство (3) может выполняться лишь приближенно, если антиферромагнитное упорядочение определяется обменным взаимодействием между спинами подрешеток Vex [2]:
Vex = 2 Jjk (SJ Sk)- (4)
j,k
В формуле (4) индексы j и k нумеруют спины в первой и второй подрешетках:
Sj = 2 ; S2 = 2 Sk, (5)
j к
Jjk -параметры обменного взаимодействия спинов с номерами J и к. Из (4) и (5) следуют неравенства:
SjZ Vex - Vex SjZ ф 0 , S2Z Vex - Vex Sf ф 0. (6)
По законам квантовой механики [2] неравенства (6) означают, что матричные элементы (3) не могут иметь максимальные значения N/2. Разности
ASj = N/2 - (Фо / Sjz /Ф0), AS2 = - (N/2 - (Ф0 / S2Z / Фо)) (7)
обычно называют нулевыми колебаниями, поскольку они не связаны с тепловым движением и существуют при температуре T=0.
В настоящее время для описания нулевых колебаний используется приближенный метод, предложенный Андерсоном [3]. Целью этой работы был поиск точного решения проблемы нулевых колебаний для какого-нибудь модельного, пусть даже несуществующего объекта. В следующем разделе статьи приведены результаты расчетов точной собственной функции Ф0, соответствующая наименьшему собственному значению оператора Vex специального типа. Его специфика в том, что параметры Jjk в (4) не зависят от индексов J и к:
V = J 2 (Sj Sk) = J (Sj S2) . (8)
j ,k
Найденная волновая функция Ф0 удовлетворяет условиям (1) и (2), но для матричных элементов Sjz и S2Z вместо (3) получились нулевые значения:
(Ф0 / SjZ / Ф0) = - (Фо /S2Z/ Фо) = 0. (9)
Равенства (9) означают, что амплитуды нулевых колебаний (7) равны максимальным значениям матричных элементов SJZ и S2Z , из-за чего ось z становится эквивалентной осям x и у. Это является следствием пространственной изотропии оператора V (8). Чтобы снять вырождение по направлениям, был подобран такой оператор анизотропии Va, который позволил получить точную волновую функцию Ф основного состояния анизотропного гамильтониана
H = V + Va (10)
Оказалось, что функция Ф обладает очень важным для проблемы нулевых колебаний свойством. Хотя наинизшие собственные значения операторов H и V могут отличаться слабо, но различие функций Ф0 и Ф растет с ростом числа спинов N . В результате при N^w для матричных элементов SJZ и S2Z получаются значения (3), а не (9). Вычисление функции Ф, описывающей полноценные магнитные подрешетки, составляет содержание третьей части статьи.
В четвертом её разделе проводится сравнение найденного точного решения с результатами, которые дает приближенный метод Андерсона [3]. Для этого метод Андерсона был применен к гамильтониану H (10). В пределе N^w полученные результаты для амплитуды и энергии нулевых колебаний совпали с результатами точного решения.
1. Вычисление функции Фо
Эта функция является решением уравнения:
V Фо = Ушп Фо (11)
для наименьшего собственного значения
Vmln = - 3 N/4 (N/4 + 1) (12)
Доказательство минимальности Vmln дано в Приложении.
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что решением уравнения (11) при условии (12) является функция:
N/2
Фо = X £ (-1)п , (13)
п=0
Множитель
X =(N/2 + 1)-1/2 (14)
обеспечивает нормировку Ф0:
(Фо / Фо) = 1 (15)
Функции Тп удобно записать в следующем виде:
¥п = [(N/2 - п)! / (N/2)! N1] 82+) То, (16)
N/2 N/2
яг = £ 5х -I 3); 82+ = £ (^ +1 (17)
]=\ к=\
N/2 N/2
То = П ПУ2 П М-1/2 ' (18)
1=1 к=1
Уза и ща - собственные функции операторов и Як для собственных значений а = ± У2 ' [2]:
5/ Уз, а =0 ; Як ук,о = О Ук,а ■ (19)
Функцию То (18) следовало антисимметризовать по перестановкам координат электронов, поскольку они относятся к Ферми-частицам. Однако, для проводимых здесь расчетов эта операция не влияет на результаты, поэтому она опущена.
Согласно (18) и (19) функция То описывает двухподрешеточный антиферромагнетик с максимальными значениями проекций спинов 8/ и 82 :
8/ То = N/4 То; Я2г То = - N/4 То ■ (20)
Функции Тп (16) с п^0 соответствуют состояниям с отклоненными значениями спинов от оси г. Их присутствие в формуле (13) связано с нулевыми колебаниями. Непосредственной подстановкой можно убедиться, что Фо (13) удовлетворяет условиям (1), (2) и (9). Равенство (9) означает, что все члены ряда (13) в одинаковой
степени определяют свойства функции Ф0, поэтому амплитуды нулевых колебаний AS] и AS2 (7) совпадают с максимальными значениями проекций S¡z и S2z (20). Условие (9) можно рассматривать как следствие пространственной изотропии оператора V (8), запрещающей выделять ось z по отношению к осям х и y. Если это так, то введение слабой анизотропии должно радикально влиять на величины матричных элементов операторов Sz и S2z. В следующем разделе приведены результаты вычислений функции Ф, описывающей основное состояние анизотропного гамильтониана H (10).
2. Вычисление функции Ф
Искомая функция Ф является решением уравнения:
H = (V + Va) Ф = E Ф (21)
для наименьшего значения E. Оператор V в (21) по-прежнему определяется формулой (8). Оператор Va выбирался так, чтобы можно было найти точное решение (21). Этому требованию удовлетворяет оператор:
Va = - K [ (SO2 + (S2z)2] - h (S]z - S2z) (22)
Параметры K и h в (22) связаны соотношением:
h2 = K (K + J) (23)
Первый член в (23) по виду совпадает с одноосной магнитной анизотропией, но параметр K не зависит от координат взаимодействующих спинов, как и параметр J в (8). Вид второго слагаемого с h не совсем обычен, так как делает неэквивалентными направления z и -z. В таком виде магнитная анизотропия использовалась в [4]. Присутствие такого слагаемого в (22) также необходимо для получения точного решения уравнения (21).
Это решение искалось в виде ряда, аналогичного (13):
N/2
Ф = Л 2 (-1) X Чя. (24)
n=0
Л - нормировочный множитель, значение которого не совпадает с X (14) из-за un Ф 1. Система уравнений для коэффициентов un имеет вид:
E un = - J/2 [2 N/4 (N/4 + 1)(1 + 2K/J) щ - (N/2 + Nn - 2n2)(2K/J)un + (N/4 - n)(4h/j) Un + (Nn/2 + N/2 - n2 - n)(un+i - Un) +(N/2 - n2 + n)(un-i - Un)] (25)
Она имеет решение:
un = exp(-an), (26)
где коэффициент a определяется из двух условий:
2K/J = cha - 1; 2h/J = sha. (27)
Они совпадают, если K и h связаны соотношением (23). Собственное значение E определяется выражением:
Е = - 3N/4 (N/4 + 1) (1 + 2К/3). (28)
Доказать, что оно является наинизшим из собственных значений Н , удалось только в пределе
Из формул (26) и (27) непосредственно следуют два вывода:
1. величина а не зависит от числа спинов N
2. свойства функции Ф (24) определяются началом ряда с числами п < 1/а, то есть амплитуда нулевых колебаний сравнима с 1/а.
Отсюда следует третий вывод (его строгое доказательство приведено ниже):
3. при достаточно больших N влияние нулевых колебаний становится пренебрежимо малым, что соответствует гипотезе магнитных подрешеток (3).
Для строгого доказательства третьего вывода необходимо вычислить
диагональные матричные элементы операторов £/ и £/:
(Ф/ /Ф) = - (Ф/ 82"/Ф) = N/4 - Л8, (29)
Л8 = (егЪа - 1)/2 = [2к + 2(к(к+1)1/2 + 1]/4(к(к + 1))1/2 (30)
к = К/3 (31)
Из (29)-(31) видно, что при N ^<х> правая часть (29) стремится к величине N/4, соответствующей гипотезе подрешеток (3).
3. Сравнение с результатами, полученными методом Андерсона
Полученное точное решение относится к системе спинов очень специального типа, в которой параметры обменного взаимодействия 3 (8) и магнитной анизотропии К (22) не зависят от координат взаимодействующих спинов. К реальным антиферромагнетикам с зависящими от расстояния параметрами 3 и К оно неприменимо. Тем не менее, некоторую пользу из него можно извлечь. Например, на нем можно проверить эффективность метода, предложенного Андерсоном [3] для описания нулевых колебаний спинов.
В методе Андерсона эти колебания рассматриваются как нулевые колебания спиновых волн, аналогичные нулевым колебаниям фононов в кристаллической решетке. Схема расчета по методу Андерсона и основные формулы приведены в книге Дж.Займана [4] (гл. 10, § 11 «Основное состояние антиферромагнетика»). Эти формулы были применены к гамильтониану Н (10) и получены следующие результаты.
Независимость параметров 3 и К от координат взаимодействующих спинов сильно отразилось на спектре спиновых волн. Стандартное выражение для энергии спиновой волны ёч [4] получилось только для значения ц=0:
кч = (А2 - В2)12. (32)
Величины А и В в (29) определяются формулами:
А = 3N/2 + 2КN + 2Ъ; В = 3N/2. (33)
Значения ёч с дф0 оказались одинаковыми:
% = А (34)
Полученный спектр éq (32)-(34) был подставлен в формулы, которые описывают сокращение спинов подрешеток AS. При таком спектре величина AS определяется только спиновыми волнами с q=0. При k=K/J<<1 для AS получилось выражение:
AS = (J/16K)1/2, (35)
которое совпадает с AS (30).
С помощью спектра (32)-(34) была вычислена также энергия E основного состояния антиферромагнетика по формулам, приведенным в [4]. В пределе N^w для E получилось выражение (28).
Заключение
Получить точное квантовомеханическое описание основного состояния антиферромагнетика и оценить степень достоверности гипотезы магнитных подрешеток были основными целями данной работы. Это удалось сделать для гамильтониана H (10) очень специального вида. Есть мнение, что при таком ограничении полученный результат не заслуживает самостоятельной публикации. Так считает, например, мой коллега Е.В.Розенфельд. Я полагаю, что именно по этой причине он не присоединился ко мне в качестве соавтора, хотя очень охотно и плодотворно сотрудничал со мной в процессе выполнения этой работы.
У меня более уважительное отношение к точным решениям. В частности, только получив формулы (24) и (26) я окончательно поверил в существование магнитных подрешеток в виде макроскопических векторов, которые не нуждаются в оговорках, обсуждавшихся в [3]. Кроме того, появилась идея использовать это точное решение для построения приближенных решений для более реалистических моделей антиферромагнетизма. Наконец, мне просто было любопытно взглянуть на волновую функцию, соответствующую модели подрешеток. Вот те соображения, по которым я решился на публикацию этой статьи.
Благодарности
Прежде всего, я хочу выразить благодарность за сотрудничество Е.В.Розенфельду. По-видимому, у него есть свой план обоснования гипотезы подрешеток. Я желаю ему удачи. Я также признателен проф. С.В.Малееву за поддержку этой работы и ценные рекомендации.
Особенно я благодарен редакции журнала «Исследовано в России» за возможность посвятить эту статью памяти Андрея Станиславовича Боровика-Романова. В 1962 году я имел возможность обсудить с ним проблему магнитных подрешеток в антиферромагнетиках [5]. В то время я считал, что нашел удачную аналогию, сравнив электроны с противоположными спинами с картами черной и красной мастей, которые обменное взаимодействие переставляет местами. Мне казалось очевидным, что при таком перемешивании подрешетки не смогут выжить. Андрей Станиславович привел мне убедительный контраргумент, сравнив подрешетки с двумя магнитными стрелками, уложенными валетом. Поскольку суммарный магнитный момент этих стрелок равен нулю, то при квантовом описании их волновая функция должна быть собственной функцией оператора S (формула (П.1) Приложения) для собственного значения S=0. Но оператор S2 (П.1) содержит слагаемое (S1S2), которая переставляет спины не хуже любого обменного взаимодействия. Тем не менее, по виду этих стрелок не скажешь, что такое перемешивание как-то на них влияет. Последовала немая сцена, после которой я признал, что у меня не будет шансов при игре в карты против Всевышнего, пока я не
научусь тусовать карточную колоду, не нарушая в ней исходного распределения по мастям.
В то время мне еще не хватало опыта использовать оператор для количественного описания антиферромагнитного упорядочения. Я понял, что должен решить эту задачу, только в 1997 году, когда случилось событие, заставившее меня задуматься над тем, какую роль в моей жизни сыграл А.С. Боровик - Романов [5]. К сожалению, я уже не узнаю, как теперь Андрей Станиславович оценил бы мои шансы в игре в карты против Всевышнего.
Литература
[1] Е.А.Туров, А.В.Колчанов, В.В.Меньшенин, И.Ф.Мирсаев, В.В.Николаев «Симметрия и физические свойства антиферромагнетиков», Физматлит, М. 2001, 560 с.
[2] П. А.М. Дирак «Принципы квантовой механики» (перевод с англ. под ред. В.А.Фока), ГИФМЛ, М., 1960.
[3] P.W.Anderson. Phys.Rev., 1952, V. 86, p. 694-701.
[4] Дж. Займан «Принципы теории твердого тела» (перевод с англ. под ред. В.Л.Бонч-Бруевича) Изд. «Мир», М., 1966, 416 с.
[5] М.И.Куркин «Природа», 2000, №11, с. 57-64.
Приложение
^ ( N Л
Доказательство минимальности значения Ушт = - 3 — I — +11
Известно [1], что для оператора квадрата полного спина $ имеют место соотношения:
Я2 Ч = ((1 + Я 2 )2 Ч = $2 + 2 $ $ 2 + Я 2 К = 8 (8 + 1)Ч5 (П.1)
$1 и $2 определяются формулами (2), ^ - собственная функция $2 для квантового числа 8. Если ^ является собственной функцией операторов $2 и для собственных значений 81 и 82, то для оператора ($1$2) получается выражение:
($1 $ 2) = * (8 (8 +1) - 81 (81 +1) - 82 (82 +1)) (П.2)
Минимум в правой части (П.2) достигается при минимальном значении 8 (8=0) и максимальных значениях 81 и 82 (81 = 82 =N/4):
($1 $2 )шт =-^ (7 + 1) (П.3)
Подстановка (П.3) в (8) дает (12).
