CC BY
140
5. Duncan J. Watts & Steven H. Strogatz Collective dynamics of'small-world' networks//Nature.— 1998. — V.393 — P.440.
G. J. Leskovec, D. Chakrabarti, J. Kleinberg, C.Faloutsos, Z.Gha-ramani Kronecker graphs; an approach to modeling networks, 29 Dec
2008.
7. D.Price, Networks of scientific papers, Science, 149(1965),pp. 510 -515.
8 Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы. — М.: Институт компьютерных исследований, 2002. — 656 с.
9. Шелухин О.И., Тенякшев А.М., Осин А.В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях / под ред. О. И . Шелухина. — М.: Радиотехника, 2003. — 480 с.
10. В. Столингс. Современные компьютерные сети. — СПб. : Питер, 2003. — 784 с.
11. Dorogovtsev, S.N. and Mendes, J.F.F. and Samukhin, A.N., «Structure of Growing Networks: Exact Solution of the Barabasi-Albert's Model», Phys. Rev. Lett. 85,4633 (2000).
12. Clauset, Aaron; Rohilla Shalizi, Cosma; Newman, М. E. J. Power-law distributions in empirical data , SIAM Review, in press, eprinl arXiv:0706.1062.
13. E.J. Newman, (2003). "The structure and function of complex networks". SIAM Review 45:167 - 256. doi: 10. И 37/S003614450342480.
14. Leskovec, J.M. Kleinberg, and C. Faloutsos. Graphs over lime: densification laws, shrinking diameters and possible explanations. In KDD '05: Proceeding of the 1 Ith ACMS1GKDD international conference on Knowledge discovery in data mining, pages 177- 187,2005b.
15. Jure Leskovec, К J. Lang, A. Dasgupta, and M.W. Mahoney. Community structure in large networks: Natural cluster sizes and the absence of large well-defined clusters. ArXiv, arXiv:0810.1355, Oct2008c.
16. Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка: Библиотечка «Квант» № 19. — М.: Наука, гл. редакция физ.-мат. литературы. 1982. - 175 с.
17. Задорожный В.Н., Юдин Е.Б. Генерация статистически однородных планарных графов // Обработка информации и управление. Теория и практика : сб. докл. науч.-практ. конф. — Омск: ОмГТУ, 2008. - С. 27-31.
18. Задорожный В.H., Юдин Е.Б. О надежности больших статистически однородных сетей // Информационные технологии и автоматизация управления : матер, межвуз. научно-практ. конф. 20 —24 апреля 2009 г. — Омск: ОмГТУ, 2008. — С. 184— 186.
19. Задорожный В.Н., Юдин Е.Б. Тестирование эффективности алгоритмов на графах // Там же. — C. 180 — 183.
20. Задорожный В.H., Юдин Е.Б., Ершов Е.С. Р-ориентиро-ванное измерение эффективности алгоритмов редукции //Там же. - С. 177- 179.
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».
Адрес для переписки: e-mail [email protected] ЮДИН Евгений Борисович, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».
Адрес для переписки: e-mail [email protected]
Статья поступила в редакцию 17.09.2009 г.
© В. Н. Задорожный, Е. В. Юдин
уДк 6813 06 В. Н. ЗАДОРОЖНЫЙ
Е. Б. ЮДИН
Омский государственный технический университет
ТОЧНАЯ ТЕОРИЯ ГРАФА БАРАБАШИ-АЛЬБЕРТ
Исследуется граф Барабаши-Альберт, описывающий большие сетевые структуры типа Интернет. Вводится фундаментальная матрица О, определяющая ряд важных структурных характеристик графа. Выводится точная формула матрицы. Устанавливаются ранее неизвестные и уточняются известные структурные свойства графа.
Ключевые слова: случайные динамические графы, большие сетевые структуры.
1.Введение
Предложенная в 1999 г. в статье Альберта Бара-баши и Реки Альберт [1] модель больших сетевых структур, формируемых но принципу предпочти гель-ного связывания (называемому еще принципом «богатый становится богаче»), завоевала за последние несколько лет огромную популярность среди исследователей больших сетей [2 — 5). Эта модель представляет собой случайный динамический граф, выращиваемый из небольшого графа-затравки путем неограниченно повторяемых шагов добавления к графу новой вершины с т ребрами. Свободные концы ребер каждой новой вершины присоединяются преимущественно к вершинам, богатым связями, т.к. вероятность р,
соединения ребра с 1-й вершиной графа пропорциональна ее степени связности А,:
p,=kl/'Ljkr
(1)
С ростом графа Барабаши-Альберт (графа БА) ряд его числовых характеристик сходится к стационарным значениям. Так, известна стационарная вероятность Ок того, что случайно выбранная вершина имеет степень связности к [6]:
Ol ='
2m(m + l) k(k + l)(k + 2)
к>т-
(2)
В то же время многие структурные характеристики графа БА, важные с прикладной точки зрения,
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК № 3 («3) 2009
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N* 3 <ВЗ) 2009
такие как коэффициент кластеризации, статистика подграфов определённой конфигурации и другие, остаются малоизученными. А если решаемая задача требует их учета, то оии оцениваются приближенными асимптотическими методами [7], либо рассчитываются путем трудоемкого статистического моделирования [8]. В предлагаемой статье выводится точная рекуррентная формула, которая определяет фундаментальную матрицу О, позволяющую точно установить многие важные конфигурационные характеристики графа БЛ. Для ряда из них приводятся явные аналитические выражения, найденные с помощью матрицы О.
2. Исходные положения
Отправным пунктом, предваряющим введение матрицы Q в теорию графа БА, является констатация различия ста тистических свойств у двух концов любого его ребра. Различие возникает в момент добавления ребра в граф вместе с новой вершиной: только один конец ребра выбирает вершину, имеющую высокую степень связности. Это различие зафиксируем путем следующей модификации описания графа БА. Всякую новую вершину снабдим т ориентированными дугами (вместо неориентированных ребер), начала которых инцидентны этой вершине, а концы присоединяются к имеющимся вершинам графа по правилу предпочтения (1), Замена ребер дугами не изменяет графа БА, нолишьупрощаегего более дифференцированное описание. В этой нотации будем рассматривать граф БА как случайный динамический орграф G = G(<).
Определим слой Ак как множество вершин графа G(<), имеющих степень связности к (к = т, т + 1,...). По построению, вершины граничного слоя Аш инцидентны только исходящим из них дугам. Степенью дуги назовем пару (/,А),гдеУ — степень вершины, из которой дуга исходит (или начальная степень дуги), к — степень вершины, в которую дуга заходит (концевая степень дуги). Степень случайно выбранной дуги (с.в.д.) опишем матрицей Q =|| Ol k || вероятное -тейтого, что дуга имеет начальную степень I и концевую степень к (1,к > т).
Определим туннель В(1,к) как множество всех дуг графа G(f), начало которых лежит в слое А,, а конец — в слое Ак .Туннели В(т,к) с параметром ¡ = щ будем называть входными, с параметром />я! + 1 — внутренними.
Начала новых т дуг, добавленных в граф G(f). лежат в граничном слое Ат .
В ходе эволюции графа всякий слой Ак (к> т +1) пополняется новой вершиной, когда новая дуга выбирает вершину предшествующего слоя А, ,. Подобным же образом слой Ак теряет вершину, когда новая дуга выбирает ее и вершина переходит в слой At+I. Число дуг, исходящих из вершины любого слоя Ак, равно т. Число заходящих в нее дуг равно к-т.
Число дуг туннеля В(1,к), заходящих в случайно выбранную вершину слоя Лк, лежит между 0 и к-т, и в среднем равно |B(7,À:)|/|Aj , где |В(/,/с)| - число дутвтуннеле B(l,k), |At| — число вершин в слое .
При f->oo число вершин N—>œ, |At|/N->. \B(l.k)\/(mN)-+Qlk, где mN — число дуг в графе G(f ). Ои — вероятность того, что с.в.д. принадлежит В(1,к). С учетом этого составим уравнения баланса и найдем 01к.
3.1. При добавлении новой дуги (скажем, первой из тдугновой вершины) ее конец попадает в слой Ак
Юк (т + 1)
(/с> т + 2) с вероятностью Рк= (ку ~ (^ +1) (* + 2)'
где (к) = 2т — средняя степень вершины графа БА |6|. Выбранная дугой вершина вследствие повышения степени переходит в слой Ак и и стягивает из входного туннеля В(т,к) те дуги, которые внес заходили, — в среднем |В(т,/с)|/\Ак\ = |В(т,к)|/(ЫОк) дуг. С учетом вероятности Рк этого собы тия новая дуга стяги-
(т + 1) |В(т,/с)|
ваетизтуннеля В(т,к) всреднем ——і)(£ + 2)"~АИЗ—
луг-
3.2. Число дуг в туннеле В(т,к) уменьшается и тогда, когда конец новой дуги попадает в слой Ат, т.к. при этом вершина, в которую вошла дуга, переходит в слой АпЫ и стягивает из входного туннеля те его дуги, которые из нее исходили.
Поскольку новая дуга выбирает вершину в слое Ат случайно, то среднее число исходящих из этой
|В(/п,*)|
вершины дуг туннеля В(т,к) равно —:—:— =
Иш1
_m\B(m,k)\/(mN) _тОтк ^ учетом вероятности \AjZN От
Р.= -
(т + 1)
га- (т + 1)(/п + 2) этого события и соотношения (2)
среднее число дуг, так стягиваемых изтуннеля В(т,к),
„ ™Отк (Л1 + 1) ™Отк
составляет Рт------— = -----—------гг----— =
От (/п + 1)(я? + 2) 2т(т + \)
т(т + 1)(т + 2)
_
2
3.3. Найдем теперь среднее число дут, добавляемых в туннель В(т,к) новой дугой графа. С вероятностью
_ (*-1К?,_, (т + 1)
1”
(к)
¿(/с + 1) конец новой дуги попадает
в некоторую вершину слоя Ак_,, к > т + 2. Эта вершина переходит в слой А, и втягивает в туннель В(т,к) всреднем \В{т,к -1)|/(NOk_l) заходивших в нее дугтун-неля В[т,к-1), плюс саму добавленную новую дугу. С учетом вероятности Рк_{ этого события новая
дуга добавляет в туннель В(т,к) всреднем
(т + 1) к(к +1)
1 +
|B(m,fc-l)|
NOk. t
ДУГ.
3.4. Т.к. доля дуг туннеля В(т,к) в числе всех дуг стационарного графа С(*) после добавления новой дуги не изменяется, получаем уравнение баланса:
|В(т,*)|
mN
|В(т, к)\+ ^т +—Г: 1 + №т' ^ “ 1)П _
= ________'*(* + 1)1 N0^ )
mN + 1
(ет + 1) |B(m.*)| rnQmk
2
(* + !)(* +2) NQ„
(3)
из которого находим: I В(т,
(mN)
\B(m,k —1)|
(m + 1) |l(m,*)| mQ,„
(* + l)(* + 2) NOk 2
mOm,k (m+1)
k(k +1)
^ ( m|g(m,/c-1)|^ mWH
(m + 1) m|ß(m,*)|
_ (k + l)(/c + 2) mNO,
(m + 2) _ (m + 1) f, . mQmk_, mk 2 *(* + l)[ 0* ,
(m + 1) mQmM
(k + l)(k + 2) Ok
@m k ~
(m + 1) k(k +1)
1 +
mO.
m + 2
m(m + l)
‘(¿ + l)(k + 2)0t
k>m + 2.
(4)
Подставляя в (4) Q =—2m(/n + l)— и q
/с(А + 1)(/с +2)
2т(т +1)
, получаем рекуррентную формулу,
(*-1)*(* + 1)
определяющую всю последовательность ОтЛ через
^ГГІ.ІП * І •
2 (т +1)
+_і*-ч о
к(к + 1)(т + к + 2) (т + к + 2) і > т + 2.
Ог„
(т+1) ¿(* + 1)
т + 2 л?(т + 1)
~2 + (* +1) (* + 2)Оа
(т + 1) к[к +1)
т + 2 т(т + 1)
2 (m + l)(m + 2)CL
Формулы (6), (5) задают всю последовательность Отк, к>т + \-
4. Вігутренние туннели
Внутренние туннели В(І,к), і,к> т + 1 начинаются и заканчиваются во внутренних слоях графа. Уравнения баланса для них составляются на основе рассуждений, подобных рассуждениям о входных туннелях, но учитывающих следующие два отличия.
Первое отличие состоит в том, что наряду с рассмотренными прежде возможностями пополнения туннеля В(1,к) при добавлении к графу новой дуги появляется еще одна. Она состоит в том, что когда конец новой дуги попадает в вершину слоя Л, ,, эта вершина переходит в слой А, и переносит в него начала дуг, концы которых уже лежат в слое Ак, и эти дуги пополняют туннель В(1,к). Среднее число таких дуг равно |В(7-1,А)| /(N0,.,). С учетом вероятности Р,_, новая дута добавляет таким способом в
туннель В(1,к) в среднем Р,_,
\BV-lki (т + 1)
NO.
1(1 + 1)
дуг. Второе отличие сводится к тому, ч то
\B(l-\.kj
сама новая дуга никогда не добавляется во внутренний туннель В(1,к).
Уравнения баланса для внутреннего туннеля получаем, внося в (3) изменения, учигывающиедва отмеченных отличия динамики внутренних туннелей, и заменяя индекс т индексом I:
\ЩЩ_ 1
(mN) (mN) +1
:: W hj I (Ш + 1) і № + _
1 k(k +1) NQk_t 1(1 +1) NO, ,
(m + 1) \В(1,к)\ (m + 1) \B(l,k)\]
(* + !)(*+2) NOk (i+ !)(/ +2) NO, J
(5)
Начальный элемент От тнайдем из специального уравнения баланса для входного туннеля В(т,т +1). Для него, т.е. для к = т +1, приемлемы те же рассуждения, которые выше приведены для туннелей В(т,к) при к > т + 2. Единственная поправка состоит в том, что при попадании конца новой дуги в слой А„_, (в данном случае - в слой Ат) в туннель В(т,к) = = В(т,т +1) добавляется лишь одна эта новая дуга. Соответствующий член уравнения (3) и выражения (4), учитывающий среднюю добавку \В(т,к-Ц/ /(N0* ,), при £ = т + 1 исчезает, и получаемое уравнение баланса решается так:
Решая уравнение (7) с помощью приемов, использованных при решении уравнения (3), находим:
0 _ т(т + 1)Ои_, | т(т + 1)0,.и “ *(* + 1) 1(1+1) О,.,
т(т +1) 01к т(т + 1) 01к (к +1) (А + 2) ~0^ ~ (/ +1) (/ + 2) О, ■
И наконец, подставляя сюда выражения (2) для 0ц,С?4_,,0,,0( ,, получаем:
о,.* =
(*-1)0,» ,+(/-1)0, ,
2+ к +1 l,k = m + 1, т + 2,....
(8)
Вместе с решениями (6), (5) и с учетом того, что в граничный слой Ат дуги не заходят, решение (8) ре-куррен гно определяет вероятности всех туннелей орграфа С = С(°о) и тем самым матрицу О =|| О, к || следующим образом:
2
(m + 2)(2m + 3)
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК N>3 (83) 2009
2________________3_____________ 4 5_______________в________________7_______________8________________9______________10______________11_______________12
2 0 0.071429 0.064286! 0.050794 0.039683 ° 8 О 0.020668 0.017183 0.014486 0.012363
3 0 0.017857 0.020238 0018254 0.015512 0.012987 0.010878 0.009169 0.007792 0.006681 0.005777
4 0 0.005952 0.007857 0 007835 0.007143 0.006294 0 005478 0004755 0.004136 0.003612 0 00317
5 0 0 002381 0 003506 0 003781 0 003652 0.003363 0.00303 0 002704 0.002405 0.002139 0.001905
6 0 0.001082 0.001732 0.001987 0002014 0.001927 0.00179 0001638 0.001487 0.001345 0.001216
7 0 0.000541 0000924 0.001116 0.001177 0 001164 0 001111 0 00104 0 000962 0000885 0.000811
8 0 0.000291 0000524 0.00066 0.000722 0.000734 0.000717 0 000685 0.000645 0 000602 0000559
9 0 0.000167 0 000313 0 000408 0.00046 0.000479 0.000479 0.000466 0 000445 0.000421 0.000396
10 0 9.99Е-05 0 000195 0 000262 0.000303 0.000323 0.000328 0.000325 0.000315 0000302 0.000287
11 0 6.24Е-05 0000126 0.000174 0.000205 0.000223 0000231 0.000231 0.000227 0.000221 0 000212
12 0 4.04Е-05 8.35Е-05 0.000118 0.000142 0.000157 0.000165 0.000168 0.000167 0.000164 0.000159
Рис. 1. Фрагмент матрицы О, рассчитанной по формуле (9) при га= 2
Таблица 1
Статистические оценки вероятностей 01к при л» = 2
О,,
о,
(т + 2)(2т + 3) 2(т +1)
/ > т, к = т,
1 = т, к = т +1,
(/с-1) О
, -I'
к(к + 1)(т + к + 2) (т + к + 2) (9)
1 = т, к > т + 2,
(*-1К?ц-,+0-1)О,.ц
(1 + к + 2)
1> т + 1, к> т + 1.
О,,
/+ш + 3
О,
_ (* ЧО/п.ти , 1>т + 1. (10)
1 + т + З
Начальный член ряда (10) при 1 = т известен:
2
(т + 2)(2т + 3) тО
Для / = т + 1 из (10) получаем: 2т
Расчет матрицы О выполняется, начиная с заполнения крайнеголевого столбца (столбца к = т) нулями и расчета элементов верхней строки (строки 1 = т): сначала по формуле (9) вычисляется ее второй слева элемент О, затем, через него — следующие вправо элементы Отл, к > т + 2. После этого построчно, слева направо, рассчитываются элементы следующих строк матрицы.
На рис. 1 приведен начальный фрагмент матрицы
О при т — 2.
В табл. 1 приведены статистические оценки вероятностей , рассчитанные при т — 2 с помощью имитационного моделирования графа С. Число N вершин в сгенерированном графе равно 100 тыс.
Сравнение оценок в таблице 1 с вероятностями на рис. 1 подтверждает правильность найденного решения (9).
5. Вероятности захода дуг в приграничный слой
Элементы О, т<1 столбца к = т + 1 матрицы О — вероятности того, что с.в.д. исходит из слоя Д (/>Л7) и заходит в приграничный слой Ат+| - можно определить явной общей формулой.
Согласно (9), 0/ т = 0, поэтому при к = т + 1 для всех Оа = имеем:
ш.ш» 1 ________
(2т + 4) (2т + 4)(т + 2)(2я1 + 3)
т
(т + 2)2(2я1 + 3)'
Переходя далее с помощью (10) к 1-т + 2, т + 3 ...,
1 = т + 5, находим:
п _ (т + 4)Ош<Чт>, _
(2т+ 8)
____________2 т(т +1) (т + 3) (т + 4)_____________
~ (2т + 3) (2т + 4) (2т + 5) (2т + 6)(2т + 7) (2т + 8)
и, вообще, для всякого 1> т + 1.
2 т(т + 1)(т + 2)-...-(т+5-1)
(т + 2) (2т + 3)(2т + 4)-...-(2т + я + 3)'
в>1- НИ
При любых я > т + 4 формула (11) сводится к виду:
О, - 2 т(т + 1)(т + 2)-.„-(2т + 2) ,12)
(т + 2) /(/ +1)-...-(/ + т + 3)
и в этом виде, как легко проверить, оказывается справедливой для всех / ¿т-
Исходящий из слоя А, пучок туннелей В(/,*) определим как множество всех дуг, исходящих из вершин слоя А,. Множество всех дуг, заходящих в вершины слоя Ак, образует заходящий пучок В{*,к). Вероятности О,. и О. к принадлежности с.в.д. пучку В(/,«) и, соответственно, пучку В[*,к) можно вычислять, используя матрицу О: О,. ='£кгтО,.к. 0.к = £,гтС>,.* . Компактные выражения вероятностей О,, и 0.к попадания в пучки найдем следующим образом.
Для нахождения О,, заметим, что число дуг в пучке В(1,*) — дуг, исходящих из слоя А,, — в среднем равно О^т (т.к. из всякой вершины графа БА исходит т дуг, а в слое А, находится в среднем вершин). Отсюда, с учетом (2),
2т(т +1)
’ Ц1 + Щ1 + 2)
(13)
Отсюда видно, в частности, что случайный выбор дуги из множества дуг графа БА эквивалентен случайному выбору вершины из множества его вершин, и последующему случайному выбору исходящей из нее дуги.
Для нахождения 0.к учтем, что число дуг в пучке В(*,к) — дуг, заходящих в слой Ак, — всреднемравно [к - m)QkN, т.к. во всякую вершину этого слоя заходит к - т дут, а в слое Ак находится в среднем 0,Ы вершин. Отсюда имеем:
О.Л =
(.к-т)
тЫ
2д?(т + 1) _ 2(к - т)(т +1)
т А(* + 1)(1с + 2) к(к + 1)(/с + 2)
7. Свойства случайно выбранной дуги
(14)
М(/|* = Л! + 1)=Х,.?ш;
I
2___ш(т + 1)(л1 + 2)...-(2ш + 2)
0,га„ £ (/п + 2) /(/ + 1)-...-(/ + т + 3)
2(т + \)
где, согласно (14), 0.,„и =
(т + 1)(т + 2)(/п + 3)
(т + 2)(т + 3)
Поэтому
_ (т + 2)(т + 3) ■
/п(т + 1)(т + 2)-...(2т + 2)
2 Шт + 2) (/+1)-...(/ + т + 3)
_ т(т + 3)
~~ (т + 2)
5). Анализ матрицы О позволяет уточнить асимптотику вероятностей 0,к при 1,к —»оо. При фиксированном/и к ->оо имеем О, к к 2. При фиксированном к и I _» оо имеем Ои «I |"”41. При ¡, к -> оо имеет место сходимость 0: к ~ 2т[т + 1)Г !к 2 (с нулевой относительной погрешностью).
Примечание. Последнее асимптотическое представление имеет заметную погрешность при конечных (даже при весьма больших) к. Так, при/п = 2 она снижается до 1%лишь при /с=3000 (если/=200), и при ¿>3300 (если/ = 250). С ростом/при фиксированном к относительная погрешность аппроксимации Огк ~ а 2т(т + 1)/2/Г2 быстро ухудшается (т.к. в этом случае 01ккГ'""").
Перечислим некоторые свойства с.в.д. графа БА, вытекающие из установленного выше распределения
<НЮ,.Л.
1). Случайный выбор дуги из множества дут рассматриваемого графа эквивалентен случайному выбору вершины из множества его вершин, и последующему случайному выбору исходящей из нее дуги (но не любой инцидентной вершине дуги, или инцидентного ей ребра — в стандартной нотации графа БА).
2). Маргинальное распределение начальной степени с.в.д. определяется формулой (13), концевой степени — формулой (14).
3). Начальная и концевая степени с.в.д. — зависимые случайные величины.
4). С учетом (12) математическое ожидание номера слоя, из которого исходит с.в.д, заходящая в приграничный слой, составляет:
8. Число слоев
Слой АК с наибольшим номером К = ктах может после появления в нем первой вершины быть выбран с вероятностью К\АК\/2.1к1 = К/^2mN) одной из т дуг новой добавляемой в граф вершины. На один шаг выращивания графа вероятность такого выбора возрастает в т раз и составляет величину РК = К / (2Л/). Этот выбор означает увеличение максимального номера слоя К на единицу. Следовательно, йК = Рк, т.е. йК ос К/N и К <хЫ'п.
В действительности при выращивании графа всегда возникает ситуация, когда выбранная новой дугой вершина является единственной вершиной последнего слоя Ак, и, уходя в следующий новый слой Ак,,, оставляет предыдущий слой пустым. С ходом времени закрепляется ситуация, когда несколько предпоследних слоев становятся пустыми, а последний содержит ровно одну вершину. При этом вероятность выбора новой дутой вершины последнего слоя становится выше вероятности пополнения предшествующего ему слоя.
При т = 2 имеем Кср «3.05%/Л/ (рис. 2, непрерывная линия). Маркерами на рис. 1 отмечены оценки Кгр, вычисленные методом Монте-Карло.
9. Коэффициент кластеризации
Матрица О точно характеризует свойства с.в.д. графа БА и позволяет определить ряд важных его характеристик, знание которых необходимо для адекватного моделирования и анализа больших сетевых структур. В частности, эта матрица однозначно определяет аналогичную матрицу, описывающую случайно выбранное ребро (в традиционной нотации графа БА, не использующей ориентированных дуг). Матрица О позволяет определить свойства локальных окрестностей вершин, выбираемых случайно в различных слоях, средний ранг дуги (разность ее концевых степеней), исходящей изданного слоя, находить среднее число подграфов заданной конфш-у-рации и т.д. В качестве иллюстрации приведем без вывода найденную на основе матрицы О формулу коэффициента кластеризации — одного из важнейших структурных показателей графа БА.
Коэффициент кластеризации с определяется как отношение утроенного числа треугольников в
ОМСКИЙ НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК 3 (83) 2009
Рис. 2. Зависимость от ЛГ при т=2
графе к числу «вилок» (или путей длины 2): С = = 3nv / nv, где N — число всех вершин графа [9, 10]. Для графа БА аналитическое выражение этого важного показателя долгое время не удавалось найти [8]. Применение уравнений баланса с учетом асимптотики вероятностей дуг Ql k - 2т(т + 1)1 'к 2 позволило установить, что для графа БА
с (m-l)(\nN)2 iCf[nN\
8 N { N )'
и, таким образом
с (m-1) (InN)2 (15)
8 N
При выводе этой формулы использован факт степенной зависимости среднего числа слоев графа от числа его вершин.
На рис. 3 в логарифмической шкале изображены зависимости от N коэффициента кластеризации (здесь у = In С), рассчитанного с помощью имитационного моделирования графа БА. По оси х отложен логарифм х = ln[(lnN)2 /N\. Форма графиков (независимо от значений Ст, известных лишь приближенно) подтверждает функциональную связь (15), установленную теоретически.
10. Заключение
В статье ставится и решается задача нахождения фундаментальной матрицы Q, определяющей основные конфигурационные свойства и характеристики scale-free графа Барабаши-Альберт (графа БА). Матрица Q представляет собой распределение концевых степеней случайно выбранной дуги ориентированного графа БА, получаемого путем взаимнооднозначной замены ребер обычного графа БА дугами. Рекуррентные формулы, определяющие матрицу Q, найдены путем составления и решения уравнений баланса для стационарного орграфа БА. На основе уравнений баланса и асимптотических свойств мат-
Рис. 3. Логарифмированная функция C(N)
рицы Q получен ряд ранее неизвестные аналитические выражений для конфигурационных характеристик графа БА, в том числе — для его коэффициента кластеризации.
Библиографический список
1. Barabasi, Albert-Laszlo and Albert, Reka. «Emergence ol scaling in random networks». Science, 286:509-12, October 15, 1999.
2. Барабаши А., Бонабо Э. Безмасштабные сети // В мире науки. — 2003. — №8. — С. 55 —63.
3. Newman М. Е. J. The structure and function of complex networks SIAM Review 45,167 — 256 (2003).
4. Barabasi, Albert-Laszlo The Architecture ol Complexity, IEEE CONTROL SYSTEMS MAGAZINE, AUGUST 2007.
5. Aaron Clauset, Cosma Rohilla Shalizi, М. E. J. Newman Power-lawdistribu-tions in empirical data SIAM Review, ubmitted on 7 Jun 2007 (vl), last revised 2 Feb 2009 (this version, v2) in press.
6. Задорожный B.H., Юдин Е.Б. Статистически однородные случайные графы: определение, генерация, применение. — Омский научный вестник (настоящий выпуск).
7. Konstantin Klemm, Victor М. Eguiluz Highly clustered scale-free networks Phys. Rev. E 65.036123 (2002).
8. Albert R., Barabasi A.-L. Statistical mechanics of complex networks//Rev. Mod. Phys. - 2002. - V. 74. - P. 42-97.
9. R.D. Luce and A.D. Perry (1949). « A method of matrix analysis of group structure». Psychometrika 14 (1): 95 — 116.
10. М. E. J. Newman The structure and function of complex networks SIAM Review 45,167 — 256 (2003).
ЗАДОРОЖНЫЙ Владимир Николаевич, кандидат технических наук, доцент кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».
Адрес для переписки: e-mail '[email protected] ЮДИН Евгений Борисович, аспирант кафедры «Автоматизированные системы обработки информации и управления».
Адрес для переписки: e-mail [email protected]
Статья поступила в редакцию 04.09.2009 г.
© В. Н. Задорожный, Е. Б. Юдин
Книжная полка
Демидович, Б. П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу [Текст]: учеб. пособие для вузов / Б. П. Демидович. — М.: АСГ : Астрель, 2009. — 558 с. — ISBN 978-5-17-010062-0. — ISBN 978-5-271-03601-9.
Сборник содержит около 5000 задач и упражнений по важнейшим разделам математического анализа: введение в анализ; дифференциальное исчисление функций одной переменной; неопределенный и определенный интегралы; ряды; дифференциальное исчисление функций нескольких переменных; интегралы, зависящие от параметра; кратные и криволинейные интегралы. Ко всем задачам даны ответы, к наиболее трудным — указания по решению.
