CC BY
25
УДК 519.6:355.77(046)
К ВОПРОСУ ПОСТРОЕНИЯ СИСТЕМ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОЦЕССОМ РЕГЕНЕРАЦИИ ВОЗДУХА НА МНОЖЕСТВЕ СОСТОЯНИЙ БИОТЕХНИЧЕСКОГО КОМПЛЕКСА А.Н. Ильин1, С.В. Матвеев2, И.В. Милованов1, С.Б. Путин2
Кафедра «Системы автоматизированного проектирования», ТГТУ (1);
ОАО «Корпорация «Росхимзащита», г. Тамбов (2)
Представлена членом редколлегии профессором В.Г. Матвейкиным
Ключевые слова и фразы: биотехнический комплекс; герметично замкнутый объем; линейно-квадратичная задача управления; оптимальное управление; процесс регенерации воздуха.
Аннотация: Представлено формирование методики оптимального управления процессом регенерации воздуха в герметично замкнутом объеме. Методика основана на последовательном рассмотрении идеального, нормального и экстремального состояний биотехнического комплекса, для каждого из которых сформулирована задача оптимального управления и предложен алгоритм ее решения. Для реальных режимов функционирования предложены схемы систем оптимального управления с явно выраженной отрицательной обратной связью. Достоинством предлагаемой методики является непрерывное поддержание заданного газового состава воздушной среды герметично замкнутого объема при достаточно эффективном использовании ресурсов регенеративного оборудования.
Обозначения
а0 - предельная емкость сорбента по
компоненту воздуха 1, м3/м3;
а] (г, х) - текущая концентрация вещества у в сорбенте реактора, м3/м3;
Ь - количество человек в ГЗО;
С1 (г) - концентрация компонента воздуха у в ГЗО, м3/м3;
С1 - среднезаданная концентрация компонента воздуха 1 в ГЗО, м3/м3;
С1 (г, х) - концентрация в газовой фазе компонента воздуха у в реакторе, м3/м3;
С1 (г, х) - концентрация компонента
1х=Ь
воздуха 1 на выходе реактора, м3/м3;
О - коэффициент продольной диффузии, м2/ч;
О (г) - объемный расход воздуха через реактор, м3/ч;
О (г) - номинальный объемный расход воздуха через реактор, м3/ч;
Отах - максимальное значение объемного расхода;
Н1 - количество выделяемого/поглощаемого вещества 1 человеком в единицу времени, м3/ч;
1 - компоненты воздуха, 1 = 1,2 (1 - диоксид углерода, 2 - кислород);
Ь - длина реактора, м;
т - количество источников/стоков нерегенеративного оборудования в ГЗО; п - количество реакторов СКЗ;
О1 - количество выделяемого/поглощаемого вещества 1 другими источниками в единицу времени, м3/ч;
V - величина ГЗО, м3;
Р 1 - кинетический коэффициент для вещества 1, ч-1;
Гг- - алгоритм переключения г-о реактора; ю(г) - скорость воздушного потока в реакторе, м/ч.
Аббревиатуры
БТК - биотехнический комплекс;
ГЗО - герметично замкнутый объем;
ПРВ - процесс регенерации воздуха;
СКЗ - средства коллективной защиты органов дыхания человека.
Стремительное развитие науки и техники привело к интенсификации взаимодействия человека и опасных внешних сред. Качество условий жизнедеятельности людей при этом зависит не только от уровня применяемых технических средств и химико-технологических процессов жизнеобеспечения, но и от качества управления ими.
Формирование предлагаемой методики управления ПРВ в ГЗО основывается на следующих аспектах.
1. Объектом управления фактически является газовый состав воздушной среды ГЗО, на который оказываются возмущающие воздействия вследствие жизнедеятельности персонала и функционирования технологического нерегенеративного оборудования. Присутствующие в БТК СКЗ предназначены для компенсации отклонений параметров воздушной среды ГЗО, вызванных возмущающими воздействиями, то есть оказывают управляющее воздействие. Обоснованными, по итогам имитационных исследований, принципами управления являются варьирование величины О, (/) объемного расхода воздушной смеси на каждом реакторе, входящем в состав СКЗ, а также алгоритм Г) переключения исчерпавших ресурс реакторов на новые вследствие их нестационарности.
2. Математическая модель ПРВ в ГЗО записывается следующим образом:
ИГ] (Л п т Ь
V = £ О) (Г! Ц, X) - Г (()) ± £ О] (() ± £ Н] (()
И 1=1 Х) Ь) к=1 s=1
дГ/ (/, X) ^ Э2Г/ (/, X) дГ/ (/, X) ^ Ч
= О,------------ю, (/)—!--------у/(/, X)
dt
дх2
дх
С/ (0, х) = C0 (х), С/ (t, х) |х=0 = CJ (t),
дС- (t, х)
yJ (t, х) =
даj (t, х) dt
-рги2 С- (t, х)
дх
^ a°2 (t, х)
=0
х=Li
i0
(i)
выделение
PC°2 CCO2(t, х)
1 - a
CO2(t, х)
CO2
ao
поглощение
CO2
a 2 (0, х) = 0, aO2 (0, х) = aiO02
i = 1,...,n, J = 1,2.
3. Режимы функционирования (состояния) БТК определены как идеальный, нормальный, экстремальный и аварийный. Идеальный режим характеризуется точно заданными параметрами БТК, но в реальных условиях существуют различного рода отклонения, в связи с чем данный режим является «теоретическим». Нормальный, экстремальный и аварийный режимы являются стадиями действительного функционирования БТК и могут переходить друг в друга. В нормальном режиме различные параметры БТК имеют допустимые отклонения, что не приводит к значительным изменениям концентраций основных компонентов воздуха (диоксида углерода и кислорода). Для экстремального режима характерна резкая дестабилизация газового состава воздушной среды, при этом концентрации одного из веществ выходит за пределы допустимого диапазона. В аварийном состоянии БТК возникают условия, не совместимые с жизнью, в связи с чем здесь слабо применимы рассматриваемые принципы управления и способы защиты, поэтому аварийный режим рассматриваться не будет.
O
2
4. Наиболее распространенной и характерной задачей управления ПРВ в ГЗО является задача поддержания концентраций основных компонентов воздушной
среды ГЗО в заданных диапазонах: для "Н3 е Н необходимо найти такие
О, (?) и Г,, при которых
CJ
"Н
(2)
при уравнениях связи (1).
5. Рассматриваются СКЗ, включающие однотипные регенеративные реакторы (наиболее сложный вариант, обусловленный жестко заданным коэффициентом регенерации); начальные концентрации компонентов воздушной среды ГЗО соответствуют среднезаданным.
Основной целью управления ПРВ в БТК для указанной задачи является поддержание среднезаданных Г3 или близких к ним значений основных компонентов воздушной среды ГЗО (диоксида углерода и кислорода). Для этого необходимо выбрать такую величину объемного расхода, а также порядок переключения реакторов, чтобы максимально компенсировать присутствующие в ГЗО нагрузки.
Предлагаемая методика управления ПРВ основывается на последовательном рассмотрении идеального, нормального и экстремального режимов функционирования БТК.
Характерной чертой идеального режима является формализованность всех технологических и функциональных параметров БТК, задаваемых техническим заданием и по итогам проектных работ, что позволяет определение управляющих воздействий.
Исходя из основной цели управления ПРВ в ГЗО - поддержание постоянного уровня концентраций диоксида углерода и кислорода на среднезаданном уровне -и принимая начальные концентрации равными среднезаданным, можно сделать вывод, что задача управления в идеальном режиме заключается в минимизации
ИГ3 (Л)
изменений концентраций веществ в воздушной среде ГЗО, то есть---------® Ш1П ,
ж
что достигается максимальной компенсацией присутствующих в БТК нагрузок функционирующим регенеративным оборудованием.
Тогда задача управления ПРВ в идеальном режиме формулируется следующим образом:
необходимо найти такие О, (?) и Г,, чтобы функционал
0 J =1
b
X G (t) ( С3 (t, х) = - С3 (t)) ± X OJ (t) ± X H3 (t)
i=1 V хг Li J J=1 3=1
при уравнениях связи (1), (2).
Следует отметить, что на стадии проектирования, когда рассматривается идеальное состояние БТК, ограничения на величину объемного расхода не накладываются. Напротив, исходя из максимума получаемой функции О(/), определяется номинальный режим и, соответственно, тип вентилятора, который обеспечит возможность управления в реальных состояниях БТК.
Принимая во внимание, что в состав СКЗ входят однотипные одновременно функционирующие реакторы, управления О, (?) и Г, будут одинаковыми для всех реакторов, тогда функционал /1 можно записать в следующем виде
е
T2
I1—Viz
0 '—i
G(t) ( CJ (t, x)
- CJ (t) 1 + 7
x, — L, J П
Z O'(t)+Z H (t)
Vk—1 S—1
при уравнениях связи (1), (2).
Здесь Т - время работы реакторов до полного исчерпания ресурсов, которое рассчитывается исходя из совокупной емкости всех реакторов СКЗ, работающих одновременно, и суммарной нагрузки в БТК, то есть время, за которое выделится/поглотится С02/О2 персоналом и технологическим оборудованием в таком количестве, в котором способны поглотить/выделить работающие реакторы СКЗ.
Управление Г,- заключается в переключении исчерпавших ресурс реакторов на новые через время Т, после чего функционирование начинается в соответствии с ( = 0 .
Сформулированная задача является задачей оптимального управления, поэтому для ее решения применяются соответствующие методы, например принцип минимума Понтрягина [2, 5].
Для решения задачи управления выбранным методом введем следующие обозначения:
jJ ——
G(t) I CJ (t, x)
С(t )=
Ф (C(t), G(t)) =
Z O'(t)+Z H/ (t)
V k—1 s—1
1С C°2 (t)
С02 (t)
С=
IС C02 С 02
1 jC°2 (C(t), G(t))^ j02 (C(t), G(t))
Тогда система уравнений материального баланса в ГЗО примет вид (для одного реактора)
йС(/ )
dt
— ф (С(0, G(t)),
а функционал
її — j (ф (C(t), G(t)), ф (C(t), G(t) )) dt
(З)
(4)
при уравнениях связи (1), (2).
Применяя принцип минимума Понтрягина, получаем следующую систему уравнений (Ц/) - дополнительный вектор)
йС(/)
— ф(С(0, G(t)) dt
d1 <') —-ф (С<t), G<t) )dф (С<^)-G<,)) -1 <t) * (С<°,G(t))
dt
dC (t)
dC (t)
ф (С<, ), G<t ))Эф (С(,), G<' )) +1 (t)Эф (С<' >,G<>)) — О
1 (T) — О C(0) — C
dG(t)
dG(t)
которая представляет собой нелинейную двухточечную краевую задачу, решение которой крайне сложно, если вообще возможно. В связи с этим для решения по-
Л
\
T
О
ставленной задачи управления ПРВ для идеального состояния БТК необходимо применять другие методы.
Очевидно, что искомое управление О (?) представляет собой гладкую непрерывную функцию, что разрешает применение прямых методов вариационного исчисления, например метод Ритца. Выбранный метод предполагает поиск функции
О (?) среди линейной комбинации известных функций [6]
V
О( )= X 0^1 ,
1=1
где - искомые коэффициенты; - известные функции.
На таких линейных комбинациях функционал 11 превращается в функцию V переменных О (а!, а2, ... , а^). Коэффициенты выбираются так, чтобы функция О (а1, а2, ... , а^) достигала минимума, следовательно, они должны быть определены из системы уравнений
^° = 0 (1 = 1, 2, ..., V).
да^
В условиях данной задачи аналитическое решение получить достаточно трудно, поэтому для поиска коэффициентов ал необходимо использование какого-либо стандартного метода оптимизации.
Совершая предельный переход при v^•¥, получим в случае существования
V
предела функцию О(/)= X а^Ж^ , являющуюся точным решением рассматривае-1=1
мой задачи. Если не совершать предельного перехода, а ограничиться V первыми
V
членами О(/)= X а^Ж^ , то получим приближенное решение вариационной зада-1=1
чи с заданной точностью.
Практическая ценность решения задачи управления для идеального режима функционирования БТК заключается в том, что найденное оптимальное управление О(?) вполне отвечает поставленной цели управления и может считаться номинальным (о (/)) в дальнейших рассуждениях для нормального и экстремального режимов.
В отличие от идеального режима, нормальный и экстремальный являются реальными режимами функционирования БТК, что характеризуется колебаниями различных параметров. Вследствие этого управление ПРВ в ГЗО должно производиться исходя из текущего состояния воздушной среды, то есть задачей управления в этих режимах будет являться поддержание концентраций диоксида углерода и кислорода на среднезаданном уровне.
В нормальном состоянии БТК различные параметры имеют допустимые отклонения от заданных значений, что в любом случае дестабилизирует газовый состав воздушной среды. В принципе, до некоторых пор его (газового состава) состояние будет удовлетворять основной задаче управления ПРВ - поддержание концентраций в заданных интервалах. В дальнейшем это приведет к переходу БТК в экстремальный режим и, возможно, к развитию нештатной ситуации. Исключение подобного сценария возможно посредством своевременного внесения
управляющих воздействий для удержания концентраций на среднезаданном уровне.
Т аким образом, целью управления ПРВ в нормальном режиме функционирования БТК является определение оптимального управления О(/), устраняющего возникающие отклонения концентраций диоксида углерода и кислорода от среднезаданных. Тогда задача управления ПРВ в нормальном режиме выглядит следующим образом:
¥
1 ^С02^ч ^С02ч2 , „ ^09^4 ^02ч2 , ^чч2>
12 = -1 (91 (СС02 (/) - СС02 )2 + Ц2 (С02 (/) - С02 )2 + г(О(/) - О(/))2 )Л ® ш1и (5)
0
или в векторной форме
¥
h = 2 f[((C(t) - с), Q (C(t) - c)) + r(G(t) - G(t ))2 ] dt ® min, (6)
0
(91 0 ^
при уравнениях связи (1), (2), О(/) е [ 0; Ошах I, где О = I I - постоянная по-
I 0 92 )
ложительно полуопределенная матрица; ц\, д2, г - заданные положительные параметры.
Определим векторы отклонений, приняв
х(/) = С(/) - С; и(/) = О(/) - О(/).
Тогда
= dC(t) - dC = ф (C(t), G(t))-ф (с, G(t)).
dt dt dt
Применяя разложение по формуле Тейлора, получим
ф (с(/), о()) - ф(С, О(/))=ф(С, О(г))+дф (??;О)) (с(/) - С)+
дС(/)
+ (о(/) - О(/))+Е ((С(0 - С), (о(/) - О(/))) - ф(С, О(/)) =
дО(/ )
= дф(ССГ(С(/) - С)+дф (СО(/О(/)) (о(/) - О(/))+Е ((С(/) - С), (о(/) - О(/))),
где Е ((С(/) - С), (О(/) - О(/))) - нелинейный член, включающий производные высшего порядка. Им можно пренебречь в условиях задачи управления в нормальном состоянии БТК, поскольку ошибка х(/) и управление и(/), очевидно, будут достаточно малыми.
Для упрощения обозначим:
Эф (C(t), G(t)) () dC(t)
f Эфс°2 (C(t),G(t)) Эфс°2 (C(t),G(t)) dCC°2 (t) dC°2 (t)
Эф°2 (C(t),G(t)) Эф°2 (C(t), G(t))
dC C°2 (t) dC °2 (t)
B(t) — Эф (C(t), G(t))
ГЭф^2 (C(t), G(t))^ ЭG(t)
Эф° (C(t), G(t))
дО(ґ)
дв(ї)
Таким образом, система (3) примет следующий вид й?х(/ )
dt
- — A(t)x(t) + B(t )u(t)
Принимая во внимание, что управление ПРВ в нормальном состоянии БТК заключается в поддержании концентраций на среднезаданном уровне, то есть
ЛС] (/) _
--------® 0 , можно говорить о стационарности газового состава воздушной сре-
Ж
ды ГЗО, вследствие чего матрицы А(/) и В(/) являются постоянными.
В итоге задача управления ПРВ для нормального режима функционирования БТК формулируется следующим образом: для заданной линейной системы
= Ах(/) + Ви(0, (7)
Ж
необходимо найти оптимальное управление и(/), минимизирующее функционал
¥
І2 — 21 ^x(t), Qx(t)) + ru2 (t)] dt. (8)
0
Следует заметить, что х(0) = 0, и(0) = 0 .
Таким образом, получена задача оптимального управления линейной системой по квадратичному критерию, относящаяся к классу задач о регуляторе состояния [2]. Целью решения поставленной задачи будет определение такого минимального управления и(ґ), чтобы ошибка х(/) была также минимальна.
Рассмотрим каждый член функционала и установим их физический смысл.
Первый член Ьх = 1 (х(/), Ох(ґ)) неотрицателен при любых отклонениях х(/) и
равен нулю если х(/) = 0 . Если отклонение х(/) мало, то и интеграл от Ьх будет мал, то есть Ьх оценивает большие отклонения значительно «дороже», чем малые, поэтому и система «штрафуется» за большие отклонения дороже, чем за малые. 1 2
Второй член Ьи =— ги (Ґ) оценивает прикладываемые управления и, соответственно, «наказывает» систему за большие управления гораздо дороже, чем за малые.
В соответствии с [2] оптимальное управление существует, единственно и определяется уравнением
и *(/) = -1 БКх *(/), (9)
г
где К - постоянная положительно определенная матрица, являющаяся решением нелинейного матричного алгебраического уравнения
-КА - АК +1 КБбК - О = 0. (10)
г
При этом оптимальная траектория является решением линейной однородной системы
*(?) ( 1 ~ ^
УЧ= I А--ББК | х *(?), х* (0) = 0, и* (0) = 0. (11)
Ж ^ г )
Т аким образом, получен закон оптимального управления ПРВ для нормального состояния БТК. На рис. 1 представлена структура соответствующей системы оптимального управления с явно выраженной отрицательной обратной связью.
Данная система является линейной с независящими от времени параметрами. Поскольку параметр г и матрица Б известны, а матрица К постоянна и может быть вычислена предварительно, то поведение системы управления определяется только состоянием газового состава воздушной среды ГЗО.
Приведенная система управления определяет в текущий момент времени величину объемного расхода воздушной смеси, компенсирующую возникающее отклонение концентраций диоксида углерода и кислорода от среднезаданных значений. Это позволяет успешно решать основную задачу управления ПРВ в ГЗО -поддержание концентраций в заданных интервалах для нормального режима функционирования БТК.
В случае резкого изменения газового состава воздушной среды ГЗО, когда одна из концентраций достигает верхней или нижней границы допустимого интервала, БТК переходит в экстремальный режим функционирования, обусловленный возникновением непредвиденных видов нагрузок по веществам.
Целью управления ПРВ в экстремальном режиме функционирования БТК является осуществление максимально быстрого перевода газового состава к заданному состоянию. Другим словами, необходимо установить среднезаданные значения концентраций диоксида углерода и кислорода за минимальное время.
Подобная задача оптимального управления относится к классу задач о быстродействии и формулируется как
?к
I = | Ж (12)
?н
при уравнениях связи (1), (2), О(?) е [0; Отах ].
В [2, 5] показано, что решение задач, оптимальных по быстродействию в указанной постановке, приводит к релейному управлению, что неприемлемо в
Рис. 1. Схема системы оптимального управления ПРВ с обратной связью для нормального режима функционирования БТК.
«Утолщенные» каналы означают, что по ним передаются векторные сигналы
условиях данного химико-технологического процесса. Объяснением этому служит тот факт, что установление максимального значения объемного расхода воздушной смеси приводит к резкому возрастанию величины «проскока», а это значительно снижает качество регенеративных процессов и эффективность расходования ресурсов реактора.
Для получения оптимального управления в виде гладкой непрерывной функции воспользуемся методом, предложенным в [3], который заключается в разложении задачи управления по квадратичному критерию в последовательность задач с изменяющимся конечным временем.
В этом случае критерий выглядит следующим образом
1 -
I3 = - j r (G(t) - G(t))2 dt +
2
f0
+ — (pl (СC°2 (T) - СC°2 )2 + p2 (С°2 (T) - СO2 )2) ® min
(l3)
или в векторной форме
т
Н = 2((С(Т) - с),Р(С(Т) - С)) +1 [ г(0(г) - 0(г))2 йг ® Шп, (14)
2 2 ■’
г0
(Р1 0 ^
где Т - выбранное конечное время перехода; Р= І I - постоянная положи-
I 0 Р2 )
тельно полуопределенная матрица; ді,д2,г - заданные положительные параметры.
Применяя обозначения и рассуждения, использованные выше, получим нелинейную систему уравнений
йх(г) = А(г)х(г) + Б(г)и(г) + Е (х(г), и (г)), (15)
йг
где нелинейным членом Е (х(г), и (г)) уже нельзя пренебречь в силу значительности величин отклонения х(г) и управления и (г). Заметим, что в экстремальном
режиме х(го) = х0, и(го) = и0.
Задача управления в экстремальном режиме заключается в поиске оптимального управления, минимизирующего функционал І3 :
т
1 1
І3 = -(х(Т),Рх(Т)) + - [ ги2(г)йг. (16)
22
г0
Целью решения поставленной задачи будет определение такого оптимального управления и(г), которое позволит за минимальное время [Т -г0 ] привести систему (15) к заданному состоянию, чтобы ошибка х(Т) была минимальной.
Следует отметить, что физический смысл первого члена функционала І3 -
Ьт = !< х(Т), Рх(Т)) - состоит в том, что система «штрафуется» за большие отклонения в конечный момент времени Т дороже, чем за малые. При этом второй член по-прежнему наказывает систему за большие управления.
Легко видеть, что непосредственное применение принципа максимума Пон-трягина к рассматриваемой задаче приводит к достаточно сложной краевой задаче, поэтому воспользуемся подходом, предложенным в [1].
В общем случае для получения оценок решения задач подобного класса применяют различные методы, которые в той или иной форме используют линеаризацию и последовательные приближения, позволяющие свести задачу к некоторой последовательности линейно-квадратичных задач слежения [1].
Для получения решения задачи (15), (16) в виде закона управления с обратной связью используется некая процедура, являющаяся модификацией методов последовательных приближений и заключающаяся в создании некоторой специальным образом генерируемой последовательности вспомогательных линейноквадратичных задач слежения [1].
Следуя [4], рассмотрим задачу о минимизации функционала
т
1 1
1Ъ = -(х(Т),Px(T)) + - [гп2№ (17)
2 2
*0
= A(t)x(t) + B(t )u(t) + E (x(t), u (t)), x(t0) = x0. (18)
с ограничением
dx(t) ё*
Пусть иN (*), Хы (*) - некоторое Ы-е приближение к оптимальному управлению и состоянию в задаче (15), (16). Тогда (Ы+1)-е приближение им+1(*), Хы+1(0 может быть получено как решение вспомогательной задачи о минимизации функционала
т
1ы+1 =- Ы(Т), Px(T)) + -
1 1 -(x(T), Px(T)) + - [ ru2(t)dt 22
2
t0
с ограничением
= А(ґ)хN+1(ґ) + В(ґ)иИ+1 (ґ) + E (xN (ґ), иы (ґ)), xN (/0) = x0.
аґ
Согласно [1], для заданных функций xN (ґ) и uN (ґ) оптимальное управление UN+1 (ґ) в задаче (17), (18) дается законом управления с обратной связью
UN+1 (ґ) = -1 В'(ґ) (К(ґ)хN+1 (ґ) - hN+1(ґ)) , (19)
Г
в котором xN+1(ґ) - решение векторного уравнения (18), соответствующее UN+1 (ґ) и удовлетворяющее начальному условию
xN+1 (ґ0 ) = х0 ;
K (ґ) - решение матричного дифференциального уравнения Риккати
= -К (ґ) A(ґ) - A,(ґ)K (ґ) +1K (ґ )В(ґ )B,(ґ)K (ґ) (20)
а г
с граничным условием
к (Т) = Р , (21)
а h N+1 (ґ) - решение линейного дифференциального уравнения
dhN+l(t)
аґ
с граничным условием
A(t) - - K (t )B(t)B'(t)
r
h N+1
(t) + K(t)E (x N (t),UN (t)) (22)
h n+l(T) = 0. (23)
Таким образом, если начальное приближение х0(Т), м0(/) задано, то соотношения (19) - (23) определяют схему последовательных приближений, которая при всех достаточно малых значениях Т позволяет решение задачи (15), (16).
Следуя [1], начальное приближение определим соотношениями
х0(Г) ° х0
и0(/) = -1 Б'(/)К(/)х0 . г
В соответствии с теоремой, приведенной в [1], для всех t е [?о,Т] задача (15), (16) имеет оптимальное решение и *(Г), х *(Г), причем
u *(t) = -1 B'(t) (K(t)x *(t) - h *(t)),
(24)
где И *(t) - решение дифференциального уравнения
dh *(t) dt
A(t) -1K (t )B(t)B'(t)
h*(t) + K(t)E(x*(t),u *(t))
(25)
с граничным условием
h *(T) = 0.
Таким образом, получен закон оптимального управления ПРВ для экстремального состояния БТК. На рис. 2 представлена структура соответствующей системы оптимального управления с явно выраженной отрицательной обратной связью. Данная система является нелинейной с зависящими от времени параметрами. Поскольку параметр г и матрица Б известны, то поведение системы управления определяется матрицами К(0 и И ). При этом матрица К(0 не зависит от состояния, в связи с чем ее можно вычислить предварительно.
u *(t)
dC *(t) dt
= ф (С *(t), G *(t))
u *(t) = -1 B'(t) (K(t)x *(t) - h *(t)),
r
x *(t) = C *(t) - C, dK(t) = -K (t )A(t) - A'(t )K(t) +
+1K (t)B(t)B'(t)K(t),
dt
dh *(t)
dt
A(t) — K (t )B(t)B'(t)
. r .
+K(t)E ( x *(t), u *(t))
C * (t)
h *(t) +
Рис. 2. Схема системы оптимального управления ПРВ с обратной связью для экстремального режима функционирования БТК.
«Утолщенные» каналы означают, что по ним передаются векторные сигналы
и
r
r
Представленная система управления определяет в текущий момент времени оптимальную величину объемного расхода воздушной смеси, позволяющую максимально быстро привести газовый состав воздушной среды ГЗО к среднезаданному значению без приложения «больших» управлений.
Следует отметить, что другой принцип управления Г заключается в переключении реакторов на новые по мере исчерпания ресурсов, о чем свидетельствует подсистема газового анализа и контроля, включаемая в состав системы управления ПРВ.
В работе проведено формирование методики оптимального управления ПРВ в ГЗО на множестве состояний БТК, в рамках которой для каждого режима сформулированы задачи оптимального управления и приведены алгоритмы их решения, а также представлены схемы систем оптимального управления для нормального и экстремального режимов, обеспечивающих необходимые условия жизнедеятельности. Таким образом, предложенная методика позволяет решать основную задачу управления ПРВ в ГЗО - поддержание концентраций основных веществ воздушной среды ГЗО в заданных диапазонах, в условиях длительной автономии, вплоть до возникновения нештатных аварийных ситуаций, в которых применяются альтернативные средства и способы защиты.
Список литературы
1. On a suboptimal control of nonlinear systems via quadratic criteria I A.P. Afa-nas’ev, S.M. Dzyuba, S.M. Lobanov, A.V. Tyutyunnik II Appl. Comp. Math. - 2004. -Vol. 3, No. 2. - Рр. 158-1б9.
2. Aтанс, М. Оптимальное управление. I М. Aтанс, П. Фалб. - М. ; Машиностроение, 19б8. - 7б4 с.
3. Aфанасьев, A.^ Продолжение траекторий в оптимальном управлении I A.^ Aфанасьев. - М. ; КомКнига, 2005. - 208 с. - (Тр. ин-та систем. анализа Рос. акад. наук. - 2005. - Т. 17).
4. Беллман, Р. Процессы регулирования с адаптацией I Р. Беллман. - М. ; Наука, 19б4. - 3б0 с.
5. Бояринов, A. И. Методы оптимизации в химической технологии. I A.K Бояринов, В.В. Кафаров. - М. ; Химия, 19б9. - 5б4 с.
6. Эльсгольц, Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление I Л.Э. Эльсгольц. - М. ; Наука, 19б5. - 424 с.
To the Problem of Designing Systems of Optimum Control over Air Regeneration Process on the Set of States of Bio-Technical Complex
A.N. Ilyin1, S.V. Matveev2, I.V. Milovanov1, S.B. Putin2
Department “Systems of Automated Designing ”, TSTU (1);
Corporation “Roskhimzashchita”, Tambov (2)
Key words and phrases: air regeneration process; bio-technical complex; linear-quadratic task of control; optimum control; vacuum-sealed enclosed space.
Abstract: The development of methods of optimum control over air regeneration process in vacuum-sealed enclosed space is presented. The methods are based on sequential consideration of ideal, normal and extreme conditions of bio-technical complex; for each of them the task of optimum control is formulated and the algorithm
of its solution is proposed. For ideal modes of functioning the schemes of optimum control systems with clearly marked negative feedback are offered. The advantage of the suggested methods is permanent maintenance of the given gas content of the air medium in vacuum-sealed enclosed space when using effectively the resources of regenerative equipment.
Zur Frage des Aufbaues der Systeme der Optimalsteuerung des Prozesses der Luftregeneration auf Menge der Zustande des biotechnischen Komplexes
Zusammenfassung: Es ist die Formierung der Methodik der optimalen Steuerung des Prozesses der Luftregeneration im dichtgeschlossenen Umfang vorgestellt. Die Methodik ist auf der aufeinanderfolgenden Betrachtung der idealen, normalen und extremen Zustande des biotechnischen Komplexes gegrundet, fur jede von denen die Aufgabe der optimalen Steuerung abgefasst ist und es ist der Algorithmus ihres Beschlusses angeboten. Fur die realen Regimes des Funktionierens sind die Schemen der Systeme der optimalen Steuerung mit der offenbar geausserten negativen Ruckkopplung angeboten. Ein Vorzug der angebotenen Methodik ist die stetige Aufrechterhaltung des aufgegebenen Gasbestandes der Luftumgebung bei der genugend wirksamen Nutzung der Ressourcen der Regenerativausrustung.
Sur la question de la construction des systemes de la commande optimale du processus de la regeneration de l’air sur la multitude des etats du comlexe biotechnique
Resume: Est presentee la formation de la methode de la commande optimale du processus de la regeneration de l’air dans un volume ferme. La methode est basee sur la presentation sequentielle ideale, normale et extreme des etats du complexe biotechnique; pour chacun de ces etats est elaboree la tache de la commande optimale, est propose l’algorithme de sa solution. Pour les regimes reels du fonctionnement sont proposes les schemas des systemes de la commande optimale avec une nette retroaction negative. L’avantage de la methode proposee est le maintient discontinu de l’etat gazeux donne du milieu de l’air du volume hermetiquement ferme avec l’utilisation suffisamment efficace des ressources de l’equipement de regeneration.
