CC BY
1123
Musurmonova M.
"Boshlang'ich ta'lim" kafedrasi o'qituvchisi Chirchiq davlat pedagogika instituti
TO'PLAM TUSHUNCHASI. TO'PLAMLAR USTIDA AMALLAR
BAJARISH
Annotatsiya: Maqolada boshlang^ich talimda matematika fanining o'rni, to'plam haqida tushuncha, sonli to'plamlar, to'plam ustida amallar bajarish, kombinatorika haqida umumiy tushunchalar to'g'risida fikr yuritilib, tavsiyalar berilgan.
Калит сузлар: To'plam, to'plam elementlari. Bo'sh va qism to'plam. Chekli va cheksiz to 'plamlar. Sonli to 'plamlar. To 'plamlarning birlashmasi va kesishmasi qonunlari. Kombinatorika. Kombinatorika elementlari.
Musurmonova M.
lecturer
department of primary education Chirchik State Pedagogical Institute
PACKAGE CONCEPT. PERFORMING ACTIONS ON PACKAGES
Abstract: The article discusses the role of mathematics in primary education, the concept of sets, numerical sets, operations on sets, general concepts of combinatorics and gives recommendations.
Key words: Set, elements of a set. Blank and set of parts. Limited and unlimited packages. Numeric packages. The laws of union and intersection of sets. Combinatorics. Combinatorial elements.
Маълумки, бошлангич синфларда математика фанини укитишнинг узига хос булган жихатлари мавжуд. Жумладан, бошлангич синф укитувчисининг касбий тайёргарлигига куйилган малака талабаларида акс этганидек, аввало укитувчининг узи назарий ва методик жихатдан пухта тайёргарликка эга булиши зарур. Шундагина укитувчи укувчиларда укитиладиган фанларга нисбатан кизикиш уйгота олади ва укувчиларнинг пухта билим олиши хамда куникмаларга эга булишларини таъминлай олади.
Математика фани бошка фанларга нисбатан аниклик ва кенг мушохадани талаб килганлиги учун хам укитувчининг узи математик билим, куникма ва малакаларни тулик узлаштириши ва амалиётга куллай билиши максадга мувофикдир. Булажак бошлангич синф укитувчиларини тайёрлаш жараёнида бу талабларга алохида эътиборни каратиш лозим. Акс холда болаларни бошка фанларга нисбатан анчагина мураккаб булган
фанга ихлосини орттириш кийин кечади. Борган сари мураккаблашиб борадиган математикани бошидан пухта ургатилмаса, укувчиларда фанга нисбатан кизикдш суниб боради.
Ушбу мацоламизда бошланзич синф уцитувчиларига ёрдам сифатида математикага кириш, toplam tushunchasi, to'plamlar ustida amallar bajarish yuzasidan metodik tavsiyalarimizni berishni lozim topdik.
To'plamlar va ular ustida amallar.
To'plam tushunchasi matematikaning boshlang'ich tushunchalaridan bo'lib, unga ta'rif berilmaydi. To'plam tushunchasi nimalardan iborat ekanligini tushunish uchun quyidagi misollarga murojaat qilamiz.
1) Futbol maydonidagi o'yinchilar to'plami.
2) Hamma butun sonlar to'plami.
3) Tekislikdagi biror nuqtadan o'tuvchi to'g'ri chiziqlar to'plami
4) Markazi berilgan nuqtada bo'lgan aylanalar to'plami.
5) N natural sonlar to'plami va hokazo.
Matematikada to'plam haqida so'z yuritilganda, bir qancha narsalar bittaga birlashtirilib qaraladi va A, B, C, D, ... harflar bilan belgilanadi. Yuqoridagi misollardan ko'rinadiki, har bir to'plam nomining o'zi qaysi elementlar bu to'plamga kiritilganini ko'rsatib turibdi. To'plam elementlari kichik a,b,c,d,..harflar bilan belgilanadi. Agar A to'plam a,b,c elementlardan tashkil topgan bo'lsa, A={a,b,c} kabi yoziladi. Agar A to'plamni ixtiyoriy elementini x harfi bilan belgilasak, uni A={x} kabi yozamiz. Masalan, barcha natural sonlar to'plamini N desak, N=(1,2,3,4,...) kabi belgilanadi, buni yana A={n} kabi ham yozish mumkin.
Agar biror a narsa A to'plamning elementi bo'lsa, aeA ko'rinishida yoziladi. agA belgilash esa a element A to'plamga tegishli emasligini bildiradi. Masalan, natural sonlar to'plamini N bilan belgilasak, u holda 5eN, 7eN, 0gN, 5,2 gN ko'rinishlarda yozish mumkin. Birorta elementga ega bo'lmagan to'plam bo'sh to'plam deyiladi.
Masalan, parallel to'g'ri chiziqlarning kesishish nuqtalari to'plami, x2+1=0 tenglamaning haqiqiy ildizlari to'plami, kvadrati ikkiga teng bo'lgan ratsional sonlar to'plami va hokazo. Bo'sh to'plam odatda 0 simvol bilan belgilanadi. A va B to'plamlar bir xil elementlardan iborat bo'lsa, teng to'plamlar deyiladi va A=B kabi yoziladi. Bundan tashqari matematikada yana quyidagi belgilashlar ham ishlatiladi.
V- har qanday degan belgi, 3 - mavjudki degan belgidir.
л - va belgisi, v- yoki belgisidir.
<- bo'lganda faqat shundagina, ^kelib chiqadi. Bu belgilashlarga ko'ra A va B to'plamlar tengligini quyidagicha yozish mumkin:
(A=B)<((VxeA ^xeB)a(VxeB^xeA)).
A va B to'plamlar bir xil elementlarni o'z ichiga olganda va faqat shundagina tengdir.
Masalan, 1 dan 10 gacha bo'lgan natural sonlar to'plamlari bu sonlar qaysi tartibda joylashganligidan qat'iy nazar o'zaro tengdir. Agar A to'plamning har bir elementi B to'plamning ham elementi bo'lsa, u holda A to'plam B to'plamning qism to'plami deyiladi va A^B kabi yoziladi. Bu ta'rifga ko'ra har qanday to'plam o'z-o'zining qism to'plami hisoblanadi.
Masalan, NdZ, QdR, A - sinfdagi o'quvchilar to'plami, B - bir to'garakka qatnashuvchi o'quvchilar to'plami bo'lsa, BcA kabi yoziladi.
Ko'pincha matematikada tadqiqot maqsadlariga qarab berilgan A to'plamdan barcha elementlari biror umumiy xossaga ega bo'lgan qism to'plam ajratiladi, unda A to'plamning hamma elementlari shu xossaga ega bo'lavermaydi. Uni quyidagicha yoziladi:
(xeA ...} bu degan so'z A to'plamga tegishli va . . " xossaga ega bo'lgan barcha x lar to'plami. Masalan, 3 dan kichik natural sonlar to'plami B ni quyidagicha yozish mumkin: B=(xeN: x<3}={1,2}
Ratsional sonlar to'plami.
Ta'rif: cheksiz davriy o'nli kasr ko'rinishida yozish mumkin bo'lgan sonlar ratsional sonlar deyiladi. Barcha musbat va manfiy butun va kasr sonlar nol soni bilan birgalikda ratsional sonlar to'plamini hosil qiladi.
Ratsional sonlar to'plamini yana quyidagicha ta'riflash mumkin. Barcha
p ko'rinishidagi sonlarga ratsional sonlar to'plami deyiladi. Bu erda p, q^Q
q
butun sonlar. Ratsional sonlar Q harfi bilan belgilanadi. Ratsional sonlar to'plami quyidagi muhim xossaga ega:
I. Q ratsional sonlar to'plami tartiblangan to'plamdir. Ixtiyoriy ikkita a va b ratsional sonlar olinsa, ular uchun a=b, a>b yoki a<b munosabatdan faqat bittasigina o'rinlidir.
II. Q ratsional sonlar to'plami zich joylashgan to'plamdir. Ixtiyoriy a va b ratsional son olinsa, bu ratsional sonlar orasida yotuvchi bitta yoki cheksiz ko'p
ratsional son yotadi. Masalan, c = ^^ ratsional son uchun a<c<b bo'ladi.
Ixtiyoriy ikkita a va b ratsional son orasida kamida bitta ratsional son mavjudligidan bu ratsional sonlarning orasida cheksiz ko'p ratsional sonlarni mavjudligi kelib chiqadi.
Irratsional son ta'rifi.
Irratsional son tushunchasini nemis matematigi Dedikind (1831 - 1916) nazariyasi bo'yicha kiritamiz. Shu maqsadda biz barcha ratsional sonlar to'plamini ikkita bo'sh bo'lmagan A va A' to'plamlarga ajratamiz.
Ta'rif: Agar 1) har bir ratsional son A va A' to'plamlardan faqat bittasigina tegishli bo'lsin. 2) A to'plamga tegishli bo'lgan a ratsional son A' to'plamga tegishli bo'lgan a' ratsional sondan kichik bo'lsa, bu bo'linish ratsional sonlar to'plamida bajarilgan kesim deyiladi va uni (A/ A') kabi belgilanadi. Yuqoridagi ta'rifdan ko'rinadiki, Q ratsional sonlar to'plamida
kesim hosil bo'lishi uchun uning qism to'plamlari A va A' lar uchun quyidagi shartlar bajarilishi kerak ekan.
1) A0 A' ?0
2) Au A' =Q
3) VaeA, Va'eA'^a<a'
2.1. To'plamlarning birlashmasi.
Har qanday ikkita to'plamning barcha elementlaridan, ularni A[] B takrorlamasdan, tuzilgan to'plamga shu to'plamlarning birlashmasi (yoki yig'indisi) deb aytiladi.
Bu ta'rifdan ko'rinib turibdiki, to'plamlarning umumiy elementlari shu to'plamlarning birlashmasiga faqat bir martadan
1- kiritiladi. Berilgan to'plamlarning birlashmasidagi har qanday element shu to'plamlarning hech bo'lmaganda bittasiga tegishlidir. A va B to'plamlarning birlashmasi A U B kabi belgilanadi. Bu yerda "A va B to'plamlarga birlashma amalini qo'llab (yoki A va B to'plamlar ustida birlashma amali bajarilib), A U B to'plam hosil qilindi" deyish mumkin. 1-shaklda A va B to'plamlar doiralar ko'rinishida, A U B to'plam esa bo'yab tasvirlangan.
1- misol. A = {a,b}, B = {a,b,c} va C = {e,f,k} bo'lsin. U holda E = A U B = {a, b, c}, E U C = {a, b, c, e, f, k}, C U B = {a, b, c, e, f, k}, A U C = {a, b, e, f, k} bo'ladi. ■
2- misol. O'zbekiston Respublikasining yoshi 16dan 25gacha bo'lgan fuqarolari to'plamini A bilan, yoshi 21dan 30gacha bo'lgan fuqarolari to'plamini esa B bilan belgilasak, A va B to'plamlarning A U B birlashmasi O'zbekiston Respublikasining yoshi 16dan 30gacha bo'lgan fuqarolari to'plamini tashkil etadi. ■
3- misol. N U R = R. ■
Shuni ta'kidlash kerakki, to'plamlar bilan bog'liq tushunchalar va ular ustidagi amallar, mos ravishda, sonlar bilan bog'liq tushunchalar va oddiy arifmetik amallar bilan qiyoslanadi. Jumladan, to'plamlar yig'indisini (birlashmasini) topish amali sonlarni qo'shish amali bilan qiyoslanadi. Bunday qiyoslashlar, ko'pincha, bir-biriga o'xshash natijalarning mavjudligini ko'rsatadi, ba'zan esa ular to'plamlarning farqli xususiyatlarga egaligini namoyon etadi. Masalan, ixtiyoriy A va B to'plamlar uchun A œ B bo'lsa, u holda A U B = B va B U A = B bo'ladi, lekin, ixtiyoriy a va b sonlar uchun a < b bo'lgan holda a+b = b va b+a = b tengliklar bajarilmasligi mumkin, ular faqat a = 0 bo'lsagina o'rinlidir.
2.2. To'plamlarning kesishmasi.
Har qanday ikkita to'plamning barcha umumiy elementlaridan tuzilgan to'plamga to'plamlarning kesishmasi (yoki ko'paytmasi) deyiladi.
Berilgan A va B to'plamlarning kesishmasi ARB kabi belgilanadi. Bu yerda "A va B to'plamlarga kesishma amalini qo'llab, ARB to'plam hosil qilindi" deyish mumkin. 2- shaklda A va B to'plamlar doiralar ko'rinishida, ARB to'plam esa bo'yab tasvirlangan. To'plamlar ustidagi A ^j5—amallarning yuqorida ta'kidlangan o'ziga xos xususiyatlari to'plamlar ko'paytmasini (kesishmasini) topishda ham namoyon bo'ladi. Masalan, A œ b bo'lsa, u holda A R B = A
2 h kl va =bo'ladi.
- Bitta ham umumiy elementga ega bo'lmagan ikkita
to'plamlarning kesishmasi bo'sh to'plam bo'lishi tabiiydir. Kesishmasi bo'sh bo'lgan to'plamlar o'zaro kesishmaydigan, kesishmasi bo'sh bo'lmagan to'plamlar esa o'zaro kesishadigan to'plamlar deb ataladi.
4- misol. A = {a,b,c}, B = {a,b,c,d}, C = {e,f,k} bo'lsa, u holda D = A R B = {a, b, c}, D R C = 0 , A R C = 0 , B R C = 0 , D R B = {a, b, c} bo'ladi. ■
5- misol. 2- misolda aniqlangan A va B to'plamlarga kesishma amalini qo'llasak, O'zbekiston Respublikasining yoshi 21dan 25gacha bo'lgan fuqarolari to'plami ( A R B to'plam) hosil bo'ladi. Bu yerda A va B to'plamlar o'zaro kesishadigan to'plamlardir. ■
6- misol. N R R = N . ■
7- misol. Butun dunyoda 2005 yilda tug'ilgan bolalar to'plamini T5 bilan, 2006 yilda tug'ilgan bolalar to'plamini esa T bilan belgilasak, u holda T RT =0 bo'ladi. Demak, T5 va T to'plamlar o'zaro kesishmaydigan to'plamlardir. ■
2.3. To'plamlarning ayirmasi.
Ixtiyoriy A va B to'plamlar berilgan bo'lsin. A to'plamning B to'plamda bo'lmagan barcha elementlaridan tuziladigan to'plamni hosil qilish A to'plamdan B to'plamni ayirish deb, tuzilgan to'plam esa, shu A va B to'plamlarning ayirmasi deb ataladi.
A to'plamdan B to'plamni ayirish natijasida hosil bo'lgan to'plam, ya'ni A va B to'plamlarning ayirmasi A \ B yoki A - B ko'rinishida belgilanadi. Bu yerda"A to'plamdan B to'plamni ayirish amalini qo'llab, A\B to'plam hosil qilindi" deyish mumkin. 3- shaklda A va B to'plamlar doiralar ko'rinishida, A\B to'plam esa bo'yab tasvirlangan.
3- shakl Ixtiyoriy A va B to'plamlar uchun A R B = 0 bo'lsa, u
holda A\B = 0 va B\A = 0 bo'lishi ta'rifdan bevosita kelib chiqadi.
8- misol. 1- misoldagidek, A = {a,b}, B = {a,b,c}, C = {e,f,k} bo'lsa, u holda A\B = 0, B\A = {c}, B\C=0 bo'ladi. ■
9- misol. A va B to'plamlar 2- misoldagidek aniqlangan bo'lsin. U holda, A to'plamdan B to'plamning ayirmasi A \ B O'zbekiston Respublikasidagi yoshi 16dan 21gacha bo'lgan fuqarolari to'plamini, B
to'plamdan A to'plamning ayiгmasi B\A esa O'zbekiston Respublikasining yoshi 25dan 30gacha bo'lgan fuqaгolaгi to'plamini anglatadi. ■
1G- misol. R\N ayiгma taгkibida natoal sonlar qatnashmagan baгcha haqiqiy sonto to'plamidan iboгatdiг va N\R = 0. ■
2.4. To'ldiruvchi to'plam. Fa^ qilaylik, A va B to'plamlaг beгilgan va A œ B bo'lsin. Bu holda B to'plamning A to'plamga kiгmagan baгcha elementlaгidan tashkil topgan B\A to'plam A to'plamning B to'plamgacha to'ldiruvchi to'plami deb ataladi.
A to'plamning B to'plamgacha to'ldimvchi to'plami, _ odatda, A ko'rinishda belgilanadi. Bu yeráa " A to'plam A Ab to'plamni в to'plamgacha to'ldiradi" yoki "A to'plamni в to'plamgacha to'ldiгish amalini qo'llab, A to'plam hosil qilindi" deyish mumkin. 4- shaklda A to'plam kichik doira, в to'plam katta doiгa ko'rinishida, AB to'plam esa bo'yab tasviriangan. 4- shakl
To'plamlaг ustidagi yuqorida keltiгilgan biгlashma, kesishma va to'ldimvchi to'plam tushunchalari ta'гiflaгini bevosita qo'llab, AU ~AB = в, A n AB =0, A \ AB = A va AB \ A = AB tengliklami hosil qilish qiyin emas.
11- misol. Barcha juft sonto to'plamini A = {2,4,...,2n,...} (neN) deb belgilasak, A to'plamni N to'plamgacha to'ldirish amalini qo'llab An = {1,3,...,2n-1,...} to'plamni, ya'ni barcha toq sonto to'plamini hosil qilamiz. Demak, barcha toq sonto to'plami barcha juft sonto to'plamini natural sonto to'plamigacha to'ldiradi. Xuddi shunga o'xshash, baгcha toq sonto to'plamini natuгal sonlaг to'plamigacha to'ldirish amalini qo'llab, barcha juft sonlaT to'plamini hosil qilish mumkin. ■
2.5. Universal to'plam va bulean3 tushunchalari. To'plamto nazariyasida, odatda, to'plamto oгasidagi tuгli munosabatlami hisobga olishga to'g'ri keladi. Masalan, qaralayotgan to'plamlaming baгchasi qandaydiг boshqa bn to'plamning qism to'plami bo'lishi mumkin. Bu holda qaralayotgan barcha to'plamlami o'zida qism to'plam sifatida saqlovchi to'plamga universal to'plam deb aytiladi.
Univereal to'plam, odatda, U deb belgilanadi. Unive^al to'plamni universum deb ham atashadi.
Shuni ta'kidlash kerakki, univereal to'plam tushunchasi nisbiy tushunchadir Masalan, O'zbekiston sharaitida aholi bilan bog'liq qandaydiï masala qaгalayotgan bo'lsa, u holda O'zbekiston aholisi to'plamini univereal to'plam deb qarash mumkin. O'z navbatida, O'zbekiston aholisi to'plami dunyo aholisi to'plamining qism to'plamidir
Univereal to'plamning ta'гifiga binoan, uning hamma qism to'plamlaгi oгasida ikkita xosmas qismi boг: bittasi univereal to'plamning o'zi, ikkinchisi
3 Bu ibora ingliz matematigi va mantiqchisi Jorj Bul (George Boole, 1815-1864) shaMiga shunday nomlangan.
esa bo'sh to'plam. Tabiiyki, universal to'plamning qolgan barcha qism to'plamlari xos qism to'plamlaridir.
Ko'pincha, berilgan " A to'plamning universal to'plamgacha to'ldiruvchisi" deyish o'rniga, qisqa qilib, berilgan " A to'plamning to'ldiruvchisi" deb aytiladi va a ko'rinishda belgilanadi. Bu yerda "a to'plam A to'plamni to'ldiradi" yoki "a to'plam A to'plamdan to'ldirish amalini qo'llab hosil qilindi" deyish mumkin.
To'plamlar nazariyasida bulean tushunchasi kiritilgan bo'lib, u muhim tushunchalardan biri hisoblanadi. Berilgan A to'plamning barcha qism to'plamlaridan tuzilgan to'plam A to'plamning buleani (A to'plam uchun bulean) deb ataladi.
A to'plamning buleani 2A ko'rinishda belgilanadi4.
12- misol. To'rtta elementga ega A = {a,b,c,d} to'plam uchun 2A bulean o'n oltita element-to'plamlardan iborat bo'ladi:
2A = {0, {a}, {b}, {c}, {d},{a, b},{a, c},{a, d}, {b, c}, {b, d}, {c, d}, {a, b, c},{a, b, d},{a, c, d}, {b, c, d},{a, b, c, d}}.
Ravshanki, | A |= 4 va |2 A = 16. ■
Muammoli masala va topshiriqlar
1. A = {a,b,c}, B = {d,e,f,g} va C = {a,f,g,k,c} to'plamlardan har ikkitasining kesishmasi, birlashmasi va ayirmalarini toping.
2. Markazlari bitta nuqtada joylashgan hamda radiuslari 1 va 3ga teng doiralar nuqtalaridan iborat to'plamlarning kesishmasi, birlashmasi va ayirmalarini toping.
3. To'plamlarning ayirmasi bilan bog'liq masala o'ylab toping va uni hal
qiling.
4.Ushbu amallar natijalarini aniqlang: 0H{0}, {0}H{0}, {0}U{0}, {0, {0}}-{0}, {0, {0}}-0, {0,{0}}-{{0}}.
5. Ixtiyoriy A to'plam uchun A U 0, A H 0, A-0, A - A, 0-A to'plamlarni aniqlang.
6. A - B = B - A tenglik o'rinli bo'ladigan A va B to'plamlarga misollar keltiring.
7. O'zaro kesishmaydigan to'plamlar bilan bog'liq masala o'ylab toping va uni hal qiling.
8. O'zaro kesishadigan to'plamlar bilan bog'liq masala o'ylab toping va uni hal qiling.
9. Ixtiyoriy A to'plam uchun A U A = A U A = U bo'lishini ko'rsating.
10. Ixtiyoriy A va B to'plamlar uchun quyidagi tasdiqlarning o'rinli bo'lishini ko'rsating:
a) A \ B = 0^ A ç B ;
b) A ç B ^ A \ B = 0 - a) banddagi tasdiqqa teskari tasdiq;
4 Bunday belgilashni izohlovchi ma'lumotlar II bobning 1- paragrafida keltiriladi.
d) A\B = B\A = 0^A = B ;
e) A = B ^ A \ B = B \ A = 0 - d) banddagi tasdiqqa teskari tasdiq;
f) A\ B = A f|B , ya'ni ayirish amali kesishma va to'ldirish amallari yordamida ifodalanishi mumkin;
g) 0ç A n B ç A u B .
11. Chekli A va B to'plamlar uchun | A |, | B |, |A UB\ va |A nB| sonlar
orasidagi bog'lanishni toping.
12. Ixtiyoriy A, B va C to'plamlar uchun quyidagi tasdiqlarni isbotlang:
a) A U B ç C ^ (A ç C va B ç C);
b) (A ç C va B ç C) ^ A U B ç C - a) banddagi tasdiqqa teskari tasdiq;
d) A ç B n C ^ (A ç B va A ç C) ;
e) (A ç B va A ç C) ^ A ç B | C - d) banddagi tasdiqqa teskari tasdiq;
f) A ç B ^ A U C ç B U C ;
g) A ç B ^ A1C ç B1C ;
h) A ç B ^ A \ C ç B \ C ;
i) A ç B ^ C \ B ç C \ A .
13. 12- topshiriqning f), g), h) va i) bandlaridagi tasdiqlarga teskari tasdiqlarni tahlil qiling va ular bajarilmaydigan hollarda A, B va C to'plamlarga misol keltiring.
14. Ixtiyoriy a, b va c sonlar uchun to'g'ri bo'lgan a < b a + c <b + c, a < b ^ a - c < b - c va a < b ^ c—b < c - a munosabatlardagi a, b va c sonlarni A, B va C to'plamlar bilan, " < ", "+" va "-" belgilarni " ç" U " va " \ " belgilar bilan mos ravishda almashtirib, hosil bo'lgan munosabatlarning to'g'riligini tahlil qiling.
15. B = (x e N | x 3ga bo'linadi} bo'lsin. N to'plamni universal to'plam deb
hisoblab, b to'plamni toping.
16. Natural, butun, haqiqiy va irratsional sonlar to'plamlari bilan bog'liq universal to'plamlarga misollar keltiring.
17. A = (a,b,c,d,e} to'plam uchun 2A buleanni aniqlang.
18. Bir uyda yashovchi oilada ota ( t ), ona (n ) va to'rt nafar farzand ( 1,2,3,4 ) bo'lsa, oila a'zolarining uyda bo'lishlari vaziyatlariga mos barcha imkoniyatlarni to'plamlar ko'rinishida yozing va bu imkoniyatlar to'plamlari to'plamining quvvatini aniqlang.
19. Universal to'plam tushunchasi bilan bog'liq masala o'ylab toping va uni hal qiling.
20. Bulean tushunchasi bilan bog'liq masala o'ylab toping va uni hal
qiling.
1. Amaliy mashg'ulot To'plamlar va ular ustida amallar
M i s o 1:
A={ juft sonlar}={2,4,6,8,10,12...} B={3ga bulinadigan sonlar}={3,6,9,12...} A n B={6,12,18,...}={6 ga bulinadigan sonlar}
A={talabalar}, V= {futbolchilar}, A n V={futbol bilan shugullanuvchi talabalar}
Arifmetikada sonlarni kupaytirish uchun kommutativlik va assotsiativlik konunlari urinli.Tuplamlar kupaytmasi ta'rifidan bu konunlar bu erda xam saklanib kolishini kurish mumkin,ya'ni A n V=V n A,(A n V) n S=A n (V n S)
Arifmetikada kushish va kupaytirish amallari uzaro distributivlik konuni bilan boglangan.
(a+v)s=as+vs.
Bu konun tuplamlar uchun xam urinlidir.
(AuV)nS=(AnS)u(VnS).
SHu tenglikni isbotlaymiz: Bu munosabatni isbotlash uchun xeAU V va xe S. xeAU V^ x eA eki x eV eki x e(AnV) x eA bulsin^ x eAnS ^ x e(AnV)u (VnS).
xeV^xeVnS^ xe(AnS)u (VnS). x eA va x eV^ x eAnS , xe VnS ^ x e(AnS)u (VnS). SHunday kilib, ^ x e(AuV)nS ^ x e(AnS)u (VnS). ya'ni (AuV)nSc (AnS)u (VnS).
Endi u e (AnS)u (VnS) bulsin.Unda u e (AnS) eki u e (VnS) eki u e (AnS) va u e (VnS) .
u e (AnS) bulsin.Bu xolda u e A, u e S ^ u e(AuV) ,u eS ^u e(AuV)nS.
u e AnS, u e VnS^ u e A, u e V,u eS ^ u e(AuV) ,u eS ^u e(AuV)nS.
Demak, (AnS)u (VnS)c e(AuV)nS.
2 ta'rifga asosan (AuV)nS = (AnS)u (VnS) ekanligi kelib chikadi.Xuddi shunday kilib yana bir distributivlik konunini isbotlash mumkin.
(AnV)uS= (AuS)n(VuS) (*)
M i s o l : 1. Korxonada 10 erkak va 8 ayol ishlasa bir erkak va bir ayol xodimdan iborat juftlikni n (a va P) = 10 ® 8 = 80 usulda tanlash mumkin.
2. 10 talabadan iborat guruxga ikkita yullanma berildi. Bu yullanmalarni necha xil usulda tarkatish mumkin ? a - I yullanma, P - II yullanma n (a) = 10 , n ( P) = 9, chunki birta talabaga I-chi yullanma berildi. Demak, n (a va p) = 10 ® 9 = 90
Umumiy xolda a 1, a 2 .. ,.am tanlovlarni mos ravishda n (a 1), n ( a 2 ).. ..n (am) usullarda amalga oshirish mumkin bulsa,
n (a 1 yoki a 2 yoki... .yoki am ) = n (a 1)+ n ( a 2 )+..+n (am) n (a 1 va a 2 va.. ..va am ) = n (a 1) ® n ( a 2 ) ®,..,®n (am) formulalar urinli buladi.
M i s o l : 1) Z={butun sonlar}, V={juft sonlar}, Z \ V={tok sonlar}. 2) A={barcha talabalar}, V={I kurs talabalar}, A\V={II - V kurs talabalar}.
3) A={1,2,3,4,5}, V={1,3,7,9}, A\V={2,4,5}, V\A={7,9}.
Foydalanilgan adabiyotlar: 1.Mirziyoeyv SH.M. Eгkin va farovon, demokratik O'zbekiston davlatini birgalikda baгpo etamiz.Toshkent, "O'zbekiston", 2016 yil, 56 bet.
2.Mirziyoyev SH.M. Tanqidiy tahlil, qat'iy taгtib intizom va shaxsiy javobgaгlik- har biг rahbar faoliyatining kundalik qoidasi bo'lishi kerak. Toshkent, "O'zbekiston", 2017 yil, 104 bet.
3. Buraonov S. Va boshqalar 3-sinf matematika daгsligi. Toshkent, "Sharq" 2015.
4. Bikboeva.N.U.. 4- sinf matematika darsligi. Toshkent. "Oqituvchi" 2017 yil.
5. Jumayev M.E. Bolalarda boshlang'ich matematik tushunchalarni rivojlantirish nazariyasi va metodikasi Oquv qollanma. (KHK uchun ) Toshkent. "Ilm Ziyo" 2013 yil.
6. Jumayev E.E, Boshlang'ich matematika na'zariyasi va metodikasi. (KHK uchun) Toshkent. " Turon-iqbol," 2012 yil.
7.Jumayev M.E. va boshq. Birinchi sinf matematika daftari. Toshkent. " Turon -Iqbol," 2015 yil., 64 bet
