CC BY
3ТИЛЛО ГЕОМЕТРИК ЭЛЕМЕНТЛАР ВА УЛАРДАН ТУЗИЛАДИГАН БАДИИЙ ГРАФИК КОМПОЗИЦИЯЛАР
Абдурах,монов Ш. пед.ф.н., доцент (НамМКИ), +998906901866
Кодирова М.
магистрант КДПИ
Холдорова Д.
магистрант КДПИ
Аннотация. Илмий маколада "тилло элементлар" деб номланувчи унлаб хил геометрик шакллар ва улар иштирокида х,осил килинадиган, пентакл, Пентагон, декагон, Пенроуз мозаикаси каби унлаб хил бадиий график композициялар хдкида суз юритилган.
Аннотация. В научной статье освещен материал, связанный с геометрическими фигурами, называемыми "золотыми элементами" и художественными композициями на подобие пентаклов, пентагонов, декагонов, мозаик Пенроуза, создаваемыми с участием таких элементов.
Annotation. The scientific article highlights the material associated with geometric figures called "golden elements" and artistic compositions like pentagons, pentagons, decagons, Penrose mosaics created with the participation of such elements.
Калит сузлар: тилло нукта, тилло туграм, тилло учбурчак, тилло гномон, Робинсон учбурчаги, тилло тугри туртбурчак, тилло ромб, Пенроуз мозаикаси.
Ключевые слова: золотая точка, золотое сечение, золотой треугольник, золотой гномон, треугольник Робинсона, золотой прямоугольник, золотой ромб, мозаика Пенроуза.
Keywords: golden dot, golden ratio, golden triangle, golden gnomon, Robinson triangle, golden rectangle, golden rhombus, Penrose tiling.
Тилло нуцта. Бу шундай D нуктаки, у тугри чизикда ётган AB кесмани 62 нисбатда иккига булиб туради (1расм).
38
1-расм.
2-расм.
Тилло туграм ("Олтин реза"). Икки соннинг 62 : 38 куринишидаги нисбати. Бу ибора инглиз тилида "The Golden Ratio", лотин тилида "Aurea Ratio", рус тилида "Золотое сечение" куринишларида ишлатилади. Унинг келиб чикиши асосида илк бор Пифагор (мил. авв. VI аср) илгари сурган "кесмани четки ва урта нисбатда булаклаш" гояси ётади. Бунда кесма шундай икки кисмга булинадики, кесма узунлиги a нинг узун кисм х га нисбати канча булса, узун кисм х нинг киска кисм (a - х) га нисбати ушанга тенг булади (2расм). Бу гапни a : х = х : (a - х) мутаносиблик (иккита касрнинг узаро тенглиги) куринишида ифодалаш, унинг асосида х2 + ах - а2 = 0 куринишидаги тенглама тузиш, х
сонининг мусбат кийматини аниклашда х=\/(а/2)2 + а2-а/2 ифодада н фойдаланиш
мумкин. Бу ифода буйича АВ кесманинг четки ва урта нисбатда булиниши АВ : АП = АП : 1)В мутаносибликни юзага чикдради. Агар \А1)\ = х; \АВ\ = 1 деб олсак, Х = (\ 5 - 1)/2 = 0,618... БВ = 1 - х = 0,382... каби аник арифметик кимматларга эга буламиз. Айтайлик, кесма 100% узунликка эга булса, унинг четки ва урта нисбатда булинишида узун кисм = 62 % ни, киска кисм 38% ни ташкил этади. Ана шу 62 : 38 нисбат кесмадаги "тилло туграм" ("олтин реза") деб аталади.
Тилло туграм (олтин реза) элементларини белгилашлардаги шартлиликлар. Илмий адабиётда 2расмдаги а катталик юнонча босма Ф (фи) хдрфи билан белгиланади ва унинг 1,618... га, шу чизмадаги АП катталикнинг 1 га, \ОВ\ катталикнинг Ф 1 = 0,618...
га тенглиги таъкидланади. Охирги катталик 1/Ф = <Р = (Ч' 5 - 1)/2 = 0,618 куринишида х,ам учрайди.
"Тилло туграм" нинг бошцача аталишлари. Евклид (мил.авв. 365 - 355) "тилло туграм" ни "чекка ва урта мослиги" деб [6], Абу Али ибн Сино (980 - 1037) "гармоник пропорция" деб [1], Лука Пачоли (1445 - 1517) "илох,ий мутаносиблик" деб, [6] Иоган Кепплер (1571 - 1630) "геометриянинг икки хазинасидан бири" деб номлашган. "Тилло туграм" иборасини илмий муомалага Леонардо да Винчи (1452 - 1519) киритган, дейишади. Китобларда бу ибора "Тилло пропорция" [4], "Носимметрик симметрия" [7] каби куришларда хдм учрайди.
6-расм.
Тилло т^рамни кесмада геометрик ясашлар йули билан х,осил килиш.
Зрасмда тилло туграмни АВ кесмани ички геометрик кесиш йули билан ва 4расмда АП кесмани ташки геометрик кесиш йули билан х,осил килиш тартиблари келтирилмокда. Шулар билан бир каторда тилло туграмни тадкик этишга багишланган илмий адабиётга каралса, тилла туграмни геометрик ясашлар йули билан пайдо килишнинг юзлаб усуллари мавжудлигига гуво^ булиш мумкин. 5расмда ва брасмдаги а - е чизмаларда шу фикрни тасдикловчи далиллардан айрим намуналар келтирилмокда.
Тилло учбурчак. Бу шундай тенг ёнли учбурчакки, унинг ён томони а билан асоси Ь тилло туграм ташкил килиб туради. Ён томонлари орасидаги бурчак 36° га, асосига ёпишган бурчаклар 72° га тенг (7расм, АВСП).
Тилло гномон (Тилло мицёс). Бу шундай тенг ёнли учбурчакки, унинг узаро тенг ён томонларидан бири асос билан 1/Ф нисбат ташкил этиб туради. Ён томонлари орасидаги бурчак 108° га, асосига ёпишган бурчаклар 36° га тенг (7расм, ААСП).
Робинсон учбурчаги. Бу битта умумий томонга эга булган шундай иккита кушни учбурчакки, бу учбурчаклардан бири булиб тилло учбурчак, иккинчи учбурчак булиб тилло гномон хизмат килади (7расм, ААВС). Робинсон учбурчагини куриш жараёнида ишлайдиган хоссаларга асосланиб, Евклид айланани тенг 5 га булиш (7-расм) йулини топган [6]. Птоломей (II аср) айланани тенг 5 га булиш масаласини ечишда Робинсон учбурчагидан урин олган тилло туграм геометрияси хоссаларидан фойдаланган (8расм). Абу Али ибн Сино шу учбурчакдаги айрим хоссаларга асосланиб, айланани тенг 10 га булиш йулини таклиф килган [3]. Альбрехт Дюрер (1471 - 1528) Птоломей чизмасидаги а масофанинг айланага ички чизилган мунтазам 10 бурчакнинг битта томонига тенглигини исботлаган [3]. Тилло туграмга оид адабиётларда Робинсон учбурчагининг кичрайиб ёки каттайиб борувчи катори воситасида логарифмик спираль х,осил килиниши хдкида х,ам суз боради.
Тилло тугри туртбурчак. Бир томони 1 ва иккинчи томони 0,618... га тенг тугри туртбурчак. Архимед (мил.авв. 287 - 212) тилло тугри туртбурчакдан томонлари 0,618 га тенг булган квадрат олиб ташланса, туртбурчакнинг колган кисмида яна бир тилла туртбурчак, ундан х,ам тегишли квадрат олиб ташланса, яна янги бир тилла туртбурчак х,осил булиб бора веришини аниклаган (9расм). Альбрехт Дюрер бу квадратларнинг х,ар бирига чорактадан айлана чизилса, уларнинг кетмакетлиги узига хос спирал х,осил килишлигини курсатган (10расм). Ушбу спирал фонида маълум катталиклар асосида катак пайдо килинса, чорак айланалар квадратлари томонларидаги катаклар сонлари катори Леонардо Фибоначчи сонлари (0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...) ни бериши аникланган
А
7-расм.
8-расм.
9-расм. 10-расм.
Мунтазам унбурчак. XI асрда Багдодда яшаган номаълум муаллиф томонидан ёзилган "Ухшаш ва мос шакллар хдкидаги таълимотга кириш" рисоласида иккита мунтазам кичик унбурчак ва учларидаги бурчаги 72° булган беш учли юлдуздан битта катта мунтазам ун бурчак ясаш мисоли келтирилган (11-расм).
а)
б)
11-расм.
12-расм.
Мунтазам беш бурчак ва беш учли юлдуз. Италия математиги Лука Пачоли (1445 - 1517) узининг "Илох,ий мутаносиблик" деб номланган асарида мунтазам бешбурчак, беш учли юлдуз ва мунтазам купёкликларнинг элементларида тилло туграм билан богли; жуда куп катталикларнинг мажудлигини аниклаган (12-расм).
Тилло ромб. Тилло тугри туртбурчак томонларининг урталарини бирлаштириш натижасида х,осил булувчи ромб. Унинг диагоналлари нисбати тилло туграмдаги нисбатга тенг. Бу ромбнинг утмас бурчаги икосаэдрнинг икки ёкли бурчагига тенг (14-расм).
13-расм.
Тилло учбурчаклар жуфтлигидан иборат ромблар. Бундай ромблар иккита бир хил тилло учбурчакни уларнинг асосларини жуфтлаш йули билан х,осил килинади (13-расм а ва б чизмалар). Улар энсиз ромблар деб аталади.
Тилло гномонлар жуфтллигидан иборат ромблар. Бундай ромблар иккита бир хил тилло гномонни уларнинг асосларини жуфтлаш йули билан х,осил килинади (13расм в ва г чизмалар). Улар энли ромблар деб аталади.
14-расм. 15-расм.
Асримиз бошида дизайн сохдсида бир давр кечдики, унда мунтазам ун бурчакни 20 дона энли ва 20 дона энсиз ромб билан тулдириб чикишга оид композициялар тузиш буйича ижодий машклар кенг таркалди (15расм).
16-расм. 17-расм.
Пенроуз сополаклари, "найза учи" ва "варрак" деб номланувчи элементлар.
1970йилларда Британиялик таникли математик ва физик Роджер Пенроуз (1931 йилда тугилган) текис юзани ностандарт (нодаврий) тартибда териб тушаб чикиш мумкин булган сополак (плитка) намуналарини таклиф килди. Уларнинг бири "найза учи" деб аталиб, у иккита бир хил тилло гномоннинг ён томонларини жуфтлаш йули билан х,осил
килинади (16-расм б чизма). Иккинчиси "варрак" деб аталиб, y иккита бир хил талго yчбyрчaкнинг yлaрнинг ён тoмoнлaрини жyфтлaш йули билан хoсил килинади (16-расм а чизма). Пенрoyз 6у икки хил сoпoлaклaрдaн етти хил (17-расм) йирик сoпoлaклaр ясайди ва yлaрдaн бирини ёки иккитасини кyпaйтириб, текис юзада мaълyм тартибда ёнмаён жoйлaштириб чикиш йули билан мисли кyрилмaгaн накш нaмyнaлaрини пaйдo килади (18-расм). Бyндaй мoзaик кoмпoзициялaр усиз хам катта шухрат эгаси булган Пенрoyзгa янада катта шухрат келтиради.
а)
б)
в)
18-расм.
Ypma Осиё мeъморлaри ижодидa mилло элeмeнmлaр. 2007 йилда чиккан "Сайнс" журналида америка oлимлaри Питер Лу ва Паул Стейнхардтнинг [8] урта асрлар ислoм архитектурасига бaFишлaнгaн ма^ласи эълoн килинди. Maкoлaдa уларнинг Узбекистонга ташрифи пайтида Пенрoyз мoзaикaсигa ухшаш кoмпoзициялaрнинг бу ердаги XIV - XV асрлар нак^шлари ва меъмoрлaри тoмoнидaн кенг кУллaнилгaни хакида суз юритилади (19-расм).
а)
б)
с)
19-расм.
AДAБИЁTЛAP
1. Лбу Лли ибн Сина. Избранные филoсoфские прoизведения. - Moсквa: «Иаука»
1980.
2. Лбдyрaхмoнoв Ш. Чизмалар яратишда кулланилган хандаса илми. - T.: "Fan va texnologiya", 2017.
3. Асадова М. Урта Осиёлик машхур олимлар ва уларнинг математикага доир ишлари. - Т.: Укитувчи, 1983. - 216 б. (120б.).
4. Васютинский Н.А. Золотая пропорция. - М.: Мол.гвардия, 1990.
5. Введение в учение о подобных и соответственных фигурах //М.С. Булатов. Геометрическая гармонизация в архитектуре Средней Азии IX - XV вв. - М.: «Наука», 1978. - С.: 325 - 354.
6. Пидоу Д. Геометрия и искусство. Пер. с англ. - М.: Мир, 1979.
7. Стахов А.П. Коды золотой пропорции. - Москва, «Радио и связь», 1984.
8. Эгамбердиев Ш. Мозаика Пенроуза, или как среднеазиатские зодчие на пять веков предвосхитили открытие европейских учёных. - "Фан ва турмуш" № 7, 2008.
АКСОНОМЕТРИЯЛАР ЦУРАДИГАН МАШИНАВИЙ ГРАФИКА КОНСТРУКЦИЯСИ АСОСИГА ТАВСИЯ ЭТИЛУВЧИ МЕХАНИЗМЛАР
Абдурахмонов Ш. пед.ф.н., профессор НамМКИ
Мирзаабдуллаев М.
НамМКИ магистранти
Мухандисликдаги лойихалаш фаолияти таркибидан етарлича салмокли урин олган - чизиш (графика) билан боглик булган сермашаккат жараённи механизациялаштириш ва автоматлаштириш ишлари утган асрнинг, асосан, иккинчи ярмидан бошлаб, икки хил йуналишда жадал ривожланиб келмокда. Биринчи йуналиш: махсус ишлаб чикилган электрон график тахрир дастурларидан биронтаси воситасида керакли чизмани компютер дисплейида хосил килиб олиш, натижани чоп этиш курилмаси ёрдамида когозга олиб утиш. Х,озирги кунда бу йуналиш компютер графикаси [1] деб юритилади.
Иккинчи йуналиш: харакати автоматик тарзда бошкариладиган чизувчи паткалам (перо)га эга булган, керакли чизмани тугридан-тугри когознинг узида чизиб берадиган "робот"-механизмлар яратиб, улардан фойдаланиш. Бу йуналиш машинавий графика [2], [3], [4] деб ном олди, бугунги кунда у лойихдлаш ишларини автоматлаштириш (САПР) тизимларидан бири сифатида ривожланиб келмокда.
Геометрик ахборотни когоз сахифасида (ёки экранда) чизиклар воситасида авто-матлашган ёки механик усулда визуаллаштириб берувчи жараёнларнинг бари чизмачилик ва чизма геометрия фанларида асрлар мобайнида ривожланиб келган чизма хосил килиш-нинг классик коидалари асосида лойихаланади. Ушбу коидаларга биноан чизмаси хосил килинадиган объект учта х, у, z улчовли тугри бурчакли декарт координаталар аппарати нинг купрок I октантига жойлаштирилиб: х, y, z укларининг хар бирига параллел йуналишда уч карра: ху (H), хz (V), yz (W) текисликларига проекциялаб юборилади. Объектни уч улчовли тугри бурчакли декарт координаталар аппарати ичига жойлаштираётганда, объектни хосил килишда иштирок этган тугри чизиклардан ва текисликлардан имкон кадар купрогининг ё проекция текисликларидан бирортасига, ё координата укларидан бирор-тасига ё паралллел ёки перпендикуляр булиб жойлашишига алохида ахамият берилади. Шундай килинганда, объектнинг горизонтал, фронтал ва профил деб аталувчи проекция-лари когоз юзасида асосан горизонтал ва вертикал вазиятдаги чизиклар воситасида визуаллашган чизмадан иборат булиб колади (1-расм). Бу йул билан хосил килинган проекциялар рационал тасвирлар деб аталади.
Горизонтал ва вертикал вазиятдаги чизикларни чизиш компютер графикасининг ускуналари учун хам машинавий графиканинг курилмалари (2-расм) учун хам айтарлик
