CC BY
31
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Маджара Т.И., Горнов А.Ю.
УДК 681.3.06, 519.688, 004.891
ТЕСТОВАЯ КОЛЛЕКЦИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ С ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫМИ ОСОБЕННОСТЯМИ
Практика численного исследования задач оптимального управления (ЗОУ) с использованием современных программных комплексов [1-4] показывает, что далеко не всегда удается провести решение от начала и до конца без использования специальных подходов [5], подразумевающих многократный запуск комплекса в совокупности с изменением программной постановки задачи. В частности, это связано с возникновением в процессе счета разного рода внештатных ситуаций, следствием которых является аварийное завершение работы программного комплекса. Применение таких специализированных подходов при решении практических задач требует от пользователя углубленных знаний предметной области. С целью повышения уровня отчуждаемости программных комплексов от разработчика созданы конструктивные средства экспертной поддержки пользователя в работе с определенными классами задач. Эффективным методом всесторонней оценки возможностей таких средств, а также выявления недостатков в их реализации является тестирование. К сожалению, общепризнанных и широко известных тестовых коллекций, подобных коллекциям тестов для задач математического программирования [6, 7], для ЗОУ рассматриваемого класса пока не существует. В данной статье авторами представлены принципы создания такой коллекции и ее краткое описание, а также приведены результаты решения некоторых задач коллекции, полученные автоматизированным программным комплексом ОРТСО^МАЯТ.
Задача оптимального управления (ЗОУ).
Пусть задан отрезок времени Т = [0,], на
котором определены вектор-функции и(') е Ят ,
х(') е Я", ' еТ, задающие управление и фазовое состояние некоторого объекта в момент времени ' и удовлетворяющие системе дифференциальных уравнений:
х = /(',х,и), х('0) = х0. (1)
Наложены ограничения на управление: и(') е и с Ят, ' е Т .
Вектор-функция х(') предполагается кусочно-дифференцируемой, а и (') - кусочно-непрерывной. Множество пар (х('), и(')), удовлетворяющих перечисленным условиям, называют множеством допустимых и обозначают О. На множестве О задан функционал
ч
I = ^(х(г1)) +1/0(',х(г),и(г))&.
'0
Задача состоит в поиске последовательности |хх ('),и5 (')}с О , на которой I(х5,и5) ^ тГ I(х, и), 5 ^<х>.
(х,и)еО
Задача оптимального управления с вычислительными особенностями (ЗОУВО). В
данной работе под задачей оптимального управления с вычислительными особенностями будем понимать имеющую решение задачу, у которой в последовательности улучшающих управлений, генерируемых программным комплексом, существует элемент, использование которого в последующих процедурах вычислительного метода приводит к аварийному завершению работы. На всем множестве ЗОУВО выделим класс задач, в которых:
в системе дифференциальных уравнений (1), описывающих исследуемую модель, нарушаются условия роста [8], гарантирующие существование решения на заданном отрезке времени;
генерируемые в процессе работы программного комплекса улучшающие управления и соответствующие им траектории на некоторых участках отрезка времени нарушают области определения элементарных функций, входящих в правую часть системы дифференциальных уравнений;
генерируемые в процессе работы программного комплекса траектории имеют участки со значениями, выходящими за границы возможностей машинного представления чисел с плавающей точкой (появляются уходящие «в бесконечность» траектории, условия роста при этом могут и не нарушаться).
Общим подходом, позволяющим успешно решать задачи оптимального управления с вычислительными особенностями можно назвать метод «продолжения по параметру» [9]. Так, в нашем случае этот метод подразумевает ввод в задачу постановочного параметра р, задающего параметрическое семейство аппроксимирующих вспомогательных ЗОУ следующего вида: X = р/(г,х,и), х(г0) = х0;
и (О е Ят, х(0 е Я", г е Т = [г0, и (О е и с Ят, г е Т;
I =
F (x(t,)) + j f \t, x(t), u(t ))dt
^ min.
Здесь p e (0,1] . Очевидно, что при p = 1 задача из параметрического семейства полностью идентична исходной. Поиск решения исходной задачи производится путем построения и решения серии задач из параметрического семейства. При этом решение каждой последующей задачи из этой серии проводится с использованием управления, являющегося оптимальным для предыдущей задачи, в качестве начального.
В программном комплексе OPT-CON/SMART формированием аппроксимирующего семейства, а также поиском на нем решения исходной задачи (отысканием конструктивной последовательности значений постановочного параметра) управляет интеллектуальный динамический планировщик (ИДП). ИДП представляет собой реализацию модели действий эксперта на основе формализма правил-продукций, выполненную на языке декларативного программирования CLIPS [10].
Принципы построения коллекции тестовых задач. Основу любой методики тестирования программных комплексов для решения ЗОУ составляют специально собранные коллекции (библиотеки) тестовых задач. Такие задачи, согласно [11], должны:
• быть унифицированными и общепризнанными;
• моделировать сложности целевого класса задач;
• иметь известное или, по крайней мере, эталонное решение;
• быть компактными;
• не давать преимуществ тому или иному методу.
При тестировании разработанного автоматизированного программного комплекса OPT-CON/SMART, содержащего помимо традиционных вычислительных процедур интеллектуальные механизмы управления ходом решения, данные принципы в той или иной мере отражаются следующими способами.
Унификация и общепризнанность. Ввиду отсутствия в научной литературе упоминаний о существующих коллекциях задач рассматриваемого класса для тестирования комплекса применялись как собственные оригинальные задачи, составленные авторами, так и общепризнанные задачи.
Моделирование сложности целевого класса задач. Каждая задача тестовой коллекции вызывает аварийную остановку исполнительного модуля при неудачном задании начального управления, например, в виде константы.
Наличие эталонного решения. Функционалы всех задач тестовой коллекции, за исключением задачи о брахистохроне и задачи Годдарда, представляют собой сумму (интеграл) квадратов величин, поэтому, очевидно, наилучшее возможное решение доставляет функционалу нулевое значение. Справедливо отметить, что ввиду отсутствия результатов аналитического исследования мы не можем утверждать принципиальную достижимость такого решения, поэтому на данном этапе правильнее считать его псевдо-решением и использовать лишь для оценки адекватности полученного результата.
Компактность. Большинство задач тестовой коллекции имеют по две фазовых траектории и одному управлению.
Отсутствие преимуществ для того или иного метода оптимизации. Первым шагом любого метода оптимизации является интегрирование динамической системы на заданном начальном управлении для получения соответствующих ему траекторий. Большинство задач тестовой коллекции вызывает исключительные ситуации именно на этом этапе. Кроме того, основным объектом тестирования являлся не столько конкретный метод оптимизации, реализованный в программном комплексе, сколько механизмы экспертной поддержки.
К настоящему моменту коллекция содержит 36 тестовых ЗОУВО. Коллекция также включает в
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
себя известную задачу о брахистохроне и задачу Годдарда.
Задача о брахистохроне. Эта классическая задача рассматривалась, например, в [12, 13]. Для данной задачи характерным является уход траекторий в «бесконечность» за конечное время
1 + u2
х(0) = (3, 0), t е [ 0, 2], I (х,u) = х2 (2) +1000.0 * (x1 (2) -10)2 ^ min; |u|< 10.
Ниже в табл. 1 приводятся результаты решения, полученные с использованием программного комплекса OPTCON/SMART. В представленных расчетных таблицах здесь и далее p - значение постановочного параметра, однозначно определяющее вспомогательную задачу аппроксимирующего параметрического семейства. При p = 1 задача полностью совпадает с исходной. Далее, iter - количество итераций, status - результат вычислений (FAIL - аварийное, а OK - штатное завершение работы вычислительной компоненты), func - значение функционала в задаче с соответствующим значением постановочного параметра p .
Таблица1
Ход решения
p iter status func
1.0e+00 0 FAIL ---
9.0e-01 0 FAIL ---
5.0e-01 0 FAIL ---
2.0e-01 6 OK 9.00001836e+05
4.0e-01 1 FAIL ---
3.0e-01 8 OK 1.00002548e+05
4.0e-01 1 FAIL ---
2.5e-01 8 OK 4.00002203e+05
3.0e-01 7 OK 1.00002548e+05
3.5e-01 6 OK 2.87472014e+00
4.0e-01 1 FAIL ---
2.2e-01 9 OK 6.76001986e+05
2.4e-01 11 OK 4.84002132e+05
2.6e-01 10 OK 3.24002274e+05
2.8e-01 9 OK 1.96002413e+05
3.0e-01 12 OK 1.00002548e+05
3.2e-01 14 OK 3.60026810e+04
3.4e-01 10 OK 4.00281083e+03
3.6e-01 4 OK 2.87554486e+00
3.8e-01 3 OK 2.87726323e+00
4.0e-01 3 OK 2.87907337e+00
6.0e-01 1 FAIL ---
5.0e-01 1 FAIL ---
4.5e-01 3 OK 2.88399908e+00
5.0e-01 3 OK 2.88949434e+00
5.5e-01 3 OK 2.89555592e+00
6.0e-01 7 OK 2.90218027e+00
8.0e-01 1 FAIL ---
7.0e-01 1355 OK 2.91642674e+00
8.0e-01 87 OK 2.93263267e+00
1.0e+00 1 FAIL ---
9.0e-01 303 OK 2.95113557e+00
1.0e+00 6 OK 2.97187886e+00
Рис. 1. Оптимальное управление
Xi - U ;
х
D(h, v) = Dcv 2e
h(0)
D = 1v m(0).
c 2 c .
g(h) = g 0
h(0) h
g 0
2
t
И(г/) = 1.01283 при = 0.2. С использованием
разработанного программного комплекса было получено значение Ъ($^)= 1.0128385105 при том
же значении . При этом т(г^) = 0.59995256.
Ход решения задачи представлен в табл. 2.
Рис. 2. Оптимальные траектории
Задача Годдарда (классическая задача о вертикальном подъеме ракеты на максимальную высоту) [14]. Движение ракеты в атмосфере описывается следующей динамической системой:
, . Т - D(h,v) . Т
h = v; v =--g(h); m =--.
m c
Здесь h(t) - высота полета ракеты относительно центра планеты, v(t) - вертикальная скорость подъема, Т(t) - тяга двигателя, D(h, v) -аэродинамическое сопротивление, m(t) - масса
ракеты, g(h(t)) - сила гравитации, c = 2-yJg0h(0) .
Тяга ракеты ограничена соотношениями
0 < Т (t) < Т .
\ / — max
В начале процесса при t = 0 ракета находится в состоянии покоя на поверхности планеты: h(0) = 1, v(0) = 0, m(0) = 1. Силы аэродинамического сопротивления и гравитации описаны следующими соотношениями:
' h-h(0) Л
В рассматриваемом варианте модели = 3.5, g0 = 1, Нс = 500, = 620. Целью задачи является максимизация высоты полета в конечный момент времени при выполнении терминального ограничения т(?/) = 0.6 т(0). Управлением в задаче служит
тяга Т(г). Наилучшее из известных [15] для данного варианта задачи значение функционала
Таблица 2
Ход решения
p iter status func
1.0e+00 1 FAIL ---
9.0e-01 1 FAIL ---
5.0e-01 207 OK 1.00877031e+00
6.0e-01 6 FAIL ---
5.5e-01 6 FAIL ---
5.2e-01 385 OK 1.00910663e+00
.Ap=0.02...
6.0e-01 614 OK 1.01029028e+00
8.0e-01 6 FAIL ---
7.0e-01 6 FAIL ---
6.5e-01 1420 OK 1.01090051e+00
7.0e-01 474 OK 1.01142090e+00
7.5e-01 477 OK 1.01185959e+00
8.0e-01 539 OK 1.01221774e+00
1.0e+00 1207 OK 1.01283851e+00
Рис. 3. Оптимальное управление
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Ход решения
П ПЛЛ Л ПО ГИ1 Г\ л я пт
Рис. 4. Высота полета
"1 | I | I | I | Г О 0.04 0.08 0.12 0.1S 0.2 Рис. 5. Вертикальная скорость
Таблица 3
Рис. 6. Масса
Тест 1. Рассматривается следующая задача с вычислительной особенностью:
х1 - х2 + и ;
V-2- 2
- 0,5 х22 ;
х(0) = (1,1); t е [0,4,5]; I (х, u) = х2 (4,5) + х22 (4,5) ^ min; luí < 1.
p iter status func
1.0e+00 0 FAIL ---
9.0e-01 0 FAIL ---
5.0e-01 0 FAIL ---
2.0e-01 0 FAIL ---
1.0e-01 0 FAIL ---
5.0e-02 288 OK 2.58697778e+00
6.0e-02 190 OK 2.70532293e+00
8.0e-02 170 OK 2.94185493e+00
1.0e-01 56 OK 3.17688528e+00
2.0e-01 99 OK 4.26330488e+00
3.0e-01 25 OK 5.01861017e+00
4.0e-01 24 OK 5.23733782e+00
6.0e-01 25 OK 3.88349133e+00
8.0e-01 20 OK 1.31606934e+00
1.0e+00 0 FAIL ---
9.0e-01 39 OK 3.64299122e-01
1.0e+00 0 FAIL ---
8.5e-01 10 OK 7.78865339e-01
9.0e-01 15 OK 3.64298117e-01
9.5e-01 25 OK 1.00228124e-01
1.0e+00 0 FAIL ---
8.2e-01 57 OK 1.08869365e+00
8.4e-01 22 OK 8.77578446e-01
8.6e-01 0 OK 6.85094160e-01
8.8e-01 3 OK 5.13381862e-01
9.0e-01 11 OK 3.64302075e-01
9.2e-01 7 OK 2.39486692e-01
9.4e-01 26 OK 1.40087835e-01
9.6e-01 8 OK 6.69906622e-02
9.8e-01 20 OK 2.05868433e-02
1.0e+00 36 OK 8.24918442e-04
Рис. 7. Оптимальное управление
4
Рис. 8. Оптимальные траектории
Для данной тестовой задачи также удалось численно построить аппроксимацию множества достижимости [16], представленную на рис. 9. Зона, обозначенная на рисунке черным цветом, представляет собой проекцию на множество достижимости конечных значений траекторий, вызвавших аварийное завершение работы вычислительного модуля.
Тест 2. Рассматривается следующая задача с вычислительной особенностью:
Х2 = (Xj + u)log10 Xj + 0,01 u2; x(0) = (0,5, 1); t e [ 0, 8]; I (x, u) = Xj2 (8) + x22 (8) ^ min; I u I < 1.
Таблица 4
Ход решения
p iter status func
1.0e+00 1 FAIL —
9.0e-01 1 FAIL —
5.0e-01 1 FAIL —
2.0e-01 31 OK 7.65203828e-01
4.0e-01 56 OK 4.15927550e-01
6.0e-01 172 OK 1.80271517e-01
8.0e-01 129 OK 4.86802872e-02
1.0e+00 1 FAIL —
9.0e-01 160 OK 1.67149870e-02
1.0e+00 86 OK 2.49783998e-03
Рис. 10. Оптимальное управление
Рис. 9. Аппроксимация множества достижимости
x1 — u,
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЗАДАЧАХ ДИНАМИКИ И УПРАВЛЕНИЯ
Рис. 11. Оптимальные траектории
Тест 3. Рассматривается следующая задача с вычислительной особенностью:
Xj = -1 - arcsin(xj + x2) + u + 5sin( x1 + x2); x2 = 1 + arcsin(x1 - x2) - u + 0,2cos(70x1); x(0) = (0,0); t e [0,1];
I (x,u) = |(x12 + x22 + u2)dt ^ min; | u | < 1.
Таблица 5
Ход решения
5.2e-01
5.4e-01 0 FAIL ---
5.3e-01 9 OK 1.17449608e-01
5.4e-01 9 OK 1.24289867e-01
5.6e-01 0 FAIL ---
5.5e-01 9 OK 1.31217572e-01
5.6e-01 10 OK 1.38169273e-01
5.8e-01 0 FAIL ---
5.7e-01 12 OK 1.45076138e-01
5.8e-01 12 OK 1.51873350e-01
6.0e-01 0 FAIL ---
5.9e-01 13 OK 1.58509312e-01
6.0e-01 14 OK 1.64950292e-01
8.0e-01 0 FAIL ---
7.0e-01 0 FAIL ---
6.5e-01 0 FAIL ---
6.2e-01 25 OK 1.77184281e-01
Ap = 0.02
8.0e-01 23 OK 2.51808399e-01
1.0e+00 523 OK 3.00185318e-01
p iter status func
1.0e+00 0 FAIL ---
9.0e-01 0 FAIL ---
5.0e-01 0 FAIL ---
2.0e-01 4 OK 6.17643374e-03
4.0e-01 6 OK 4.83438662e-02
6.0e-01 0 FAIL ---
5.0e-01 0 FAIL ---
4.5e-01 6 OK 7.00391487e-02
5.0e-01 9 OK 9.79215520e-02
5.5e-01 0 FAIL ---
4.2e-01 5 OK 5.63212164e-02
... Ap=0.02 ...
9 OK 1.10749299e-01
0 0.4 0.8 1.2
Рис. 12. Оптимальное управление
Рис. 13. Оптимальные траектории
Заключение. С помощью разработанной коллекция тестовых ЗОУВО удалось исследовать новый класс задач оптимального управления. Задачи, представленные в коллекции, в дальнейшем могут быть использованы при оценке возможно -стей различных комплексов программ для численного решения ЗОУ.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ, проект № 09-07-00267; РГНФ, проект № 09-02-00650; СО РАН, междисциплинарный интеграционный проект № 4.
БИБЛИОГРАФИЯ
1. Федоренко, Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления / Р.П. Федоренко. - М.: Наука, 1978. - 488 с.
2. Евтушенко, Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации / Ю.Г. Евтушенко. - М.: Наука, 1982. - 432 с.
3. Тятюшкин, А.И. Численные методы и программные средства оптимизации управляемых систем / А.И. Тятюшкин. - Новосибирск: Наука, 1992. - 193 с.
4. Горнов, А.Ю. Программный комплекс ОРТ-СОК для решения задач оптимального управления. Руководство пользователя / А.Ю. Горнов, А.О. Диваков. - Иркутск, 1990. - 36 с.
5. Маджара, Т.И. Подход к численному решению задач оптимального управления с вычислительными особенностями / Т.И. Маджара // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. - ИрГУПС. - 2008. - № 3 (1). - С. 24-29.
6. Floudas, C.A. A Collection of Test Problems for Constrained Global Optimization Algorithms / C.A. Floudas, P.M. Pardalos. - Berlin: SpringerVerlag, 1990. - 180 p.
7. Schittkowski, K. Nonlinear Programming Codes / K. Schittkowski. - Berlin: Springer-Verlag, 1980. - 242 p.
8. Филиппов, А.Ф. Дифференциальные уравнения с разрывной правой частью / А.Ф. Филиппов. - М.: Наука, 1985.
9. Холодниок, М. Методы анализа нелинейных динамических моделей / М. Холодниок, А. Клич, М. Кубичек, М. Марек. - М.: Мир, 1991. - 368 с.
10. Частиков, А.П. Разработка экспертных систем. Среда CLIPS / А.П. Частиков, Т.А. Гаврилова, Д.Л. Белов. - СПб., 2003. -608 с.
11. Поляк, Б.Т. Введение в оптимизацию / Б.Т. Поляк. - М.: Наука, 1983. - 382 с.
12. Моисеев, Н.Н. Элементы теории оптимальных систем / Н.Н. Моисеев. - М.: Наука, 1975.
13. Грачев, Н.И. Решение задач оптимального управления в системе ДИСО / Н.И. Грачев, А Н. Фильков. - М., 1986. - 66 с. - (Препринт / ВЦ АН СССР).
14. Bryson, A.E. Dynamic Optimization / A.E. Bryson. - Addison-Wesley, 1999.
15. Dolan, E.D. Benchmarking Optimization Software with COPS 3.0 / E.D. Dolan, J.J. Moré, T S. Munson // Technical Report ANL/MCS-TM-273. Argonne National Laboratory, Mathematics and Computer Science Division. - La-mont (USA), 2004.
16. Gornov, A.Yu. On a Class of Algorithms for Constructing Internal Estimates of Reachable Set / A.Yu. Gornov // Proc. of the Intern. Workshop DIC-98., Sept. 7-11, 1998. - Pereslavl-Zalessky, 1998. - P. 10-12.
