CC BY
49
Формула (28) описывает наиболее экономичное изменение мощности двигателя при разгоне транспортного средства.
Третьему режиму, как обобщающему, соответствует значение постоянных интегрирования
С = та ?0 и С2 = т0и0 ?0, поэтому сразу запишем выражение для мощности двигателя
N = У счрБ(и0 + аг)3 + та(и0 + аг). (29)
Видно, что при ускорении а > 0 происходит разгон движения от равномерного, при а < 0 имеет место
торможение.
Таким образом, построенные режимы движения с постоянной скоростью, постоянным ускорением (замедлением) и их суперпозиция являются основными энергосберегающими при транспортировке лесоматериалов водным путем.
Отметим, что для оценки изменения массы сплавляемой древесины в процессе проплава можно воспользоваться формулами водопоглощения, полученными в [4].
Литература
1. Минаев, А.Н. Вариационный метод решения задачи транспорта лесоматериалов / А.Н. Минаев, М.В. Та-рабан // Изв. СПбЛА. - СПб., 2005. - Вып. 172. - С. 59-64.
2. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики / В.И. Арнольд. - М.: Наука, 1974. - 431 с.
3. Водный транспорт леса / А.А. Камусин[и др.]; под ред. В.И. Патякина. - М.: Изд-во МГУЛ. - 434 с.
4. Патякин, В.И. Проблема повышения плавучести круглых лесоматериалов / В.И. Патякин. - М.: Лесн. пром-сть, 1976. - 264 с.
--------♦'----------
УДК 514.7 А.В. Вяткин
ТЕСТИРОВАНИЕ ЯВНЫХ ЧИСЛЕННЫХ МЕТОДОВ ТИПА РУНГЕ-КУТТЫ В ТОЧКЕ ОСОБЕННОСТИ ЗАДАЧИ ДВУХ ТЕЛ*
Представлены и исследованы два алгоритма интегрирования переменного шага 2-го и 4-го порядков точности на основе явных методов типа Рунге-Кутты применительно к поведению решения задачи двух тел в точке особенности задачи. С целью оценки адекватности вычислений проверен закон сохранения энергии системы, а полученное решение сравнено с аналитическим.
Задача многих тел широко известна, ее постановка уже давно не составляет большого труда. Однако при ее решении возникает сложность с выбором эффективного численного метода, результаты которого соответствуют физическим законам, характерным для данной модели. Подобные исследования встречаются в [1]. Здесь в качестве такого закона рассматривается закон сохранение полной механической энергии системы. Исследуется поведение решения в точке особенности, а именно, когда расстояние между двумя точками стремится к нулю. Тестирование проводится на задаче двух тел. В этом случае можно получить условно аналитическое решение и сравнить его с численным.
Далее будем предполагать, что даны п материальных точек, для каждой из которых на начальный
момент времени г0 заданы следующие величины:
• масса т.;
• координаты в пространстве Г'■ = (г*, гу- , г7);
• начальные скорости = (Vх-, V7),
* Работа поддержана грантами РФФИ №08-01-00621 и Президента НШ-3431.2008.9.
где 1 < ' < п. Требуется вычислить координаты г. и скорости Vj всех материальных точек, а также полную механическую энергию системы на момент времени г.
Согласно принципам классической механики [2] дифференциальное уравнение движения ' -й точки под действием суммарной гравитационной силы имеет вид
п
г' = X - о)■ 1 <'< п, (1)
к=1, к #. I Гк Г. I
где О = 6,6720 • 10-11 м3 /(кг • с2) - гравитационная постоянная.
Систему уравнений (1) удвоением размерности приведем к системе уравнений первого порядка
Г'=V,
тк ґ_ _ Л 1 < 7 < п (2)
к=1, к ї ] \’к — —
Далее задачу (2) будем записывать в виде
У= I(УХ У (О = Уо. ?0 <г < ?к. (3)
Здесь у и / - вещественные N -мерные вектор-функции, где N = 6п. Согласно [3] полная механическая энергия Е системы материальных точек имеет вид
п т-IV, I2 ^ т,т,
Е = X (-^------------------X О-------]—^~). (4)
м 2 21 Тк — г. Г
Полная энергия не должна меняться со временем.
Для решения задачи (3) рассмотрим явный метод типа Рунге-Кутта вида
Уп+1 = Уп + 0,5к1 + 0,5к2> к1 = к/(УпX к2 = к/(Уп + к1) , (5)
где кп - шаг интегрирования, к1 и к2 - стадии метода. Локальную ошибку схемы (5) можно записать в виде
8п = ——Ь3 //2 +1Ь3 //2/ + 0(к4п),
п л п ** ** п о ** ^ п ’
12 6
где элементарные дифференциалы вычислены на точном решении у(1п), / ’ = д/(у(1п))/ду, / ” = д 2/ ( у (гп ))/ду 2. Отсюда следует, что метод (5) имеет второй порядок точности. Величину глобальной ошибки £п 2 оценим по формуле £п 2 = 0,5(к2 — к1). Тогда неравенство для контроля точности примет вид
0,5II к2 — к1И<£,
где II • II - некоторая норма в , £ - требуемая точность интегрирования. Для контроля устойчивости используем (5) предложенный в [4] способ. Для этого рассмотрим вспомогательную стадию к3 = к/(уп+1). Используя [5], вычислим оценку максимального собственного числа vn2 = НЛптах матрицы Якоби системы (3) по формуле
vn2 = 2max(|kзj — к' |/|Ц — к/ I).
п’2 1<'<^ 32 2 I
Здесь vn 2 = 0(Пп ). Интервал устойчивости приблизительно равен двум, поэтому для контроля устойчивости применим неравенство vn 2 < 2. В результате прогнозируемый шаг Нп+1 определим следующим образом:
1. Новый шаг Нас по точности определим по формуле
Пас = дА,
где q1 вычислим из уравнения д^ II к2 — к11|= 2£.
т зг
2. Шаг П по устойчивости представим формулой
где д2 найдем из соотношения д2^ 2 = 2.
3. Прогнозируемый шаг зададим следующим образом:
Пп+1 = max[hп, min(hac,hs‘)]. (6)
Отметим, что подход, описанный формулой (6), позволяет стабилизировать поведение шага на участке установления решения, где определяющую роль играет устойчивость.
Теперь для решения задачи (3) рассмотрим явный метод типа Рунге-Кутта вида
5
уп+1 = уп + X р-. . (7)
'=1
Здесь
к1 = Пп/(гп,уп ) . к2 = Пп/(гп + Пп/3, уп + к1/3) к3 = Пп/(гп + Пп/3, уп + к1/6 + +к2/6)
к4 = Пя/(гп + Пп / 2, уп + 0.125*1 + 0.375к3),
к5 = Пп/(гп + Пп. уп + 0-5к1 — 1 -5к2 + 2к4)’
Р1 = Р5 = 1/6, Р2 = Р3 = 0 Р4 = 2/3,
где Пп - шаг интегрирования. Представленный метод имеет четвертый порядок точности. Локальную
ошибку дп 4 запишем в виде
1
^,4 = 30(2к1 — 9к3 + 8к4 — к5 ) .
(8)
Для контроля глобальной ошибки будем использовать предложенное в [6] неравенство || 5п4 ||< 5£
5/4
где || • || - некоторая норма в Ям, £ - требуемая точность интегрирования. Обозначим
к ' — к '
V 4 = 6max | —----------1.
’ 1<'<м к. — к.
Здесь Уп4 = 0(Пп). В соответствии [7], для контроля устойчивости будем использовать неравенство Уп < 3,5. В конечном счете алгоритм интегрирования сформулируем в следующем виде:
1. Вычислим к' и 8п 4.
2. Определим значение зп 4 по формуле д434 || 8п 4 ||= 5£5/4, где д > 1 есть некоторая постоянная.
3. Если Ц8п,4 ||> 5£5/‘ 4, то Пп положим равным дз 4Пп и проведем повторное вычисление к.
(возврат на шаг 1).
4. Вычислим решение по формуле (7).
5. Определим значения зя5 и гп по формулам д53я>5 ||^я41|= 5£5/4, дГяУп 4 = 3,5.
6. Зададим новый шаг Пя+1 по формуле
Пп+1 = max(hn,hngIшn(■V5 ,гп)). (9)
Далее, поскольку нас интересует поведение численного решения в точке особенности задачи, возьмем нулевые начальные скорости. Аналитическое решение в этом случае имеет вид
N т . т2 Т(г0) — гХО,
г1(г) =------7^- г1(г0) +-----^[г2(г0) + Р(г )_.Д
т2 + т1 т2 + т1 г1 (г0) — г2 (г0)
т2 1 ^ ^(О — гК^с)
v1(t)=—2— 2g (m+m1)(—- ——,,
m2 + m^ p(t) p(t0) |r2(t0) - ri(t0)|
-/n m2 m, r2(t0) -ГХО-,
r2(t) =----2— r2(t2) +-------1—[ri(t0) + P(t )-,\ -Л|]’
' ' r2(t0) - ri(t0)|
(10)
m2 + m1 m2 + m.
V,(t) =_m_ Gm + m.)(—1— _L_) ,r(t°>-F2(t°> .
m2 + m^ p(t) p(t0) |ri(t0) - r2(t0)|
Здесь p(t0) =1 Г(0 - rf(t0) I, p(t) e (0, p(t0)] - корень уравнения.
2\l-e7p(t0 ) - ft1 pl (t0 ) - 2yl-Pyp(t) -^2p2(t) + (11)
Y[arcsin(-1 + -2^p(t0)) - arcsin(-1 + —2^p(t))] + ipJ-lfiU -10) = 0,
Y Y
где Y= G(m0 + m1 )> 0, f5 = -G(m0 + m1)/p(t0) < 0, a p(t) характеризует расстояние между точками на момент времени t. При вычислении корня уравнения (11) используем метод деления отрезка пополам. Известно, что в случае непрерывной функции этот метод сходится к решению. В наших расчетах
точность составляла 10-10, поэтому будем считать, что решение совпадает с аналитическим.
Найдем численное решение задачи (2) двумя вышеописанными методами (5), (7) и сравним его с условно аналитическим решением (10). Пусть
m1 = 1030 кг, r =(0,0,0) м, Vj = (0,0,0) м/с, m2 = 1 024 кг, г; =( 1 017 0,0) м, Vj =( 0,0,0) м/с.
Перейдем к обезразмеренным переменным следующим образом:
* m * r * t m =—гг—, r =—j—, t =—^ ■
1025 кг 108м 103 с
Тогда
• m* = 105, r* = ( 0,0,0), V* =( 0,0,0),
• m* = 10—1, r2* = (103,0,0), v* =( 0,0,0)
и G = 6,6720•10—4 ■ Расчеты проведем с точностью £ = 10—6 ■ Результаты вычислений и сравнений с условно аналитическим решением представлены в таблице, где
S Einit = — 6,672 • 10-3 - энергия системы в начальный момент времени;
S tcon = 4,3000810677011 • 103 - время, когда согласно точному решению расстояние между двумя точками равно нулю;
S tan - время, когда согласно точному решению расстояние между двумя точками равно минимально допустимому distMin = 10—2;
S tcom - время, когда согласно приближенному решению расстояние между двумя точками равно
минимально допустимому distMin = 10—2;
S distan - расстояние между точками, вычисленное на основе точного решения на указанный момент времени;
S distcom - расстояние между точками, вычисленное на основе приближенного решения на указанный момент времени;
S E - энергия системы, вычисленная на основе приближенного решения на указанный момент времени.
Соотношение t /tcon показывает адекватность выбора минимально допустимого расстояния при тестировании. Соотношение I tan — tcom I /tcon показывает точность вычисления времени достижения минимального расстояния относительно точного времени слипания. Соотношение I Einit — EI / I Einit I, показывающее
относительное значение прироста энергии, в таблице приведено в процентах. Как видно из таблицы, небольшая погрешность во времени приводит к существенному изменению энергии.
Результаты сравнения численного и аналитического решений
Показатель Метод 2-го порядка точности Метод 4-го порядка точности
t an t com t an t com
t 4,300081009 9890•103 4,300082968 2497•103 4,300081009 9890•103 4,300136320 5556•103
t /1 con 0,999999986 1,000000441 0,999999986 1,000012849
I t — t I /1 an com con 4,554008794 • 10-7 1,286267996 • 10-5
dist com 0,106853897 9208 1 • 10-2 0,972596657 6097 1 • 10-2
n ta i d 1 • 10-2 0 1 • 10-2 0
E -6,586648520 0452 • 10-3 -5,964381203 1709 • 10-3 -6,511078116 5165 • 10-3 0,583970568 4707 • 10-3
I Ent - EI I Einit I 1,2% 10,6% 2,4% 108,7%
Литература
1. Conf on Numerical Methods for Partial Differential Equations / In Ying [und alt.]. - Singapore: World Scientific, 1992 - С. 15-22.
2. Ландау, Л.Д. Механика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 1969.
3. Д. терХаар. Основы гамильтоновой механики. - М.: Наука, 1974. - 224 с.
4. Кнауб, Л.В. Алгоритмы интегрирования переменного порядка и шага на основе явного двухстадийного метода Рунге-Кутты / Л.В. Кнауб, Ю.М.Лаевский, Е.А. Новиков// СибЖВМ. - Новосибирск, 2007. - Т.10. -№ 2. - С. 177-185.
5. Новиков, Е.А. Явные методы для жестких систем / Е.А. Новиков. - Новосибирск: Наука, 1997. - 197 с.
6. Демидов, Г.В. Программа STEK (модификация программы MERSON): Препринт № 313 / Г.В. Демидов, Е.А. Новиков. - Новосибирск: ВЦ Со РАН СССР, 1981. - 26 с.
7. Новиков, В.А. Контроль устойчивости явных одношаговых методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений / В.А. Новиков, Е.А. Новиков // ДАН СССР. - 1984. - Т.277. - № 5. - С. 1058-1062.
---------♦'----------
УДК 004.91 Т.Г. Пенькова
ФУНКЦИОНАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ГЕНЕРАЦИИ ДОКУМЕНТОВ НА ОСНОВЕ СПЕЦИАЛИЗИРОВАННЫХ ШАБЛОНОВ*
Представлено решение задачи оперативного формирования документов, основанное на формальном моделировании информационной структуры и процессов генерации документов. Рассмотрена реализация функциональной модели процесса генерации документов, приведены примеры практического применения.
Введение. Автоматизация процессов разработки и формирования документов имеет важнейшее значение для повышения эффективности организационного управления. Поскольку деятельность любого учреждения неразрывно связана с необходимостью подготовки и создания различного рода отчетной и организационно-распорядительной документации. Подготовка и создание документа - достаточно сложный и трудоемкий процесс. Даже формирование простых типовых документов занимает значительную часть времени. Разнообразие, сложность и изменчивость форм документов требует разработки особых подходов, моделей и методов, позволяющих автоматизировать создание документов сложной структуры и доступных пользователям, не обладающим специальной подготовкой в области информационных технологий.
В работе представлена функциональная модель процесса генерации документов, основанного на построении специализированных шаблонов. Описаны средства моделирования информационной структуры документа с помощью языка разметки, позволяющие разрабатывать документы различной структуры. Рассмотрен процесс анализа и автоматического заполнения шаблона в соответствии с заданными параметрами. Представлены средства оперативного построения пользовательских запросов на основе OLAP-моделирования, обеспечивающие сложную логику формирования документов. Рассмотрена реализация функциональной модели и примеры практического применения.
Функциональная модель генерации документов реализована в автоматизированной системе поддержки размещения муниципального заказа. Обеспечена автоматизация создания и модификации документов с возможностью настройки параметров шаблона, не требующей программирования и знания физической структуры базы данных. Предложенный подход характеризуется универсальностью и возможностью применения для задач организационного управления.
* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для ведущих научных школ НШ-3431.2008.9.
