Тестирование модели виброкипящего слоя, использующей метод дискретного элемента Текст научной статьи по специальности «Физика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2017. № 4-1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2017. No. 4-1

УДК 519.87:66.096.5 DOI 10.23683/0321-3005-2017-4-1-18-23

ТЕСТИРОВАНИЕ МОДЕЛИ ВИБРОКИПЯЩЕГО СЛОЯ, ИСПОЛЬЗУЮЩЕЙ МЕТОД ДИСКРЕТНОГО ЭЛЕМЕНТА*

© 2017г Е.С. Каменецкий1, Н.С. Орлова1'2, М.В. Волик1'2, Д.Г. Минасян1

1Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, Владикавказ, Россия, 2Финансовый университет при Правительстве РФ, Владикавказ, Россия

TESTING OF THE VIBRATED FLUIDIZED LAYER MODEL USING THE DISCRETE ELEMENT METHOD

E.S. Kamenetsky1, N.S. Orlova1'2, M.V. Volik1'2, D.G. Minasyan1

1Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Vladikavkaz, Russia, 2Financial University under the Government of Russian Federation, Vladikavkaz, Russia

Каменецкий Евгений Самойлович - доктор физико-математических наук, доцент, главный научный сотрудник, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: esk@smath.ru

Орлова Наталья Сергеевна - кандидат технических наук, старший научный сотрудник, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия; старший преподаватель, кафедра математики и информатики, Владикавказский филиал Финансового университета при Правительстве РФ, ул. Молодежная, 7, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362001, Россия, e-mail: norlova.umi.vnc@gmail.com

Волик Мария Владимировна - научный сотрудник, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия; старший преподаватель, кафедра математики и информатики, Владикавказский филиал Финансового университета при Правительстве РФ, ул. Молодежная, 7, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362001, Россия, e-mail: volikmv@mail.ru

Минасян Давид Григорьевич - научный сотрудник, Южный математический институт - филиал Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, РСО-Алания, 362027, Россия, e-mail: da-vidmd @yandex. ru

Evgeny S. Kamenetsky - Doctor of Physics and Mathematics, Associate Professor, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Osse-tia - Alania, 362027, Russia, e-mail: esk@smath.ru

Natalya S. Orlova - Candidate of Technical Sciences, Senior Researcher, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia; Senior Lecturer, Department of Mathematics and Informatics, Vladikavkaz Branch, Financial University under the Government of Russian Federation, Molodezhnaya St., 7, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia, e-mail: norlova.umi.vnc@gmail.com

Maria V. Volik - Researcher, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia; Senior Lecturer, Department of Mathematics and Informatics, Vladikavkaz Branch, Financial University under the Government of Russian Federation, Molodezhnaya St., 7, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia, e-mail: volikmv@mail. ru

David G. Minasyan - Researcher, Southern Mathematical Institute - Branch of the Vladikavkaz Scientific Center, Russian Academy of Sciences, Marcusa St., 22, Vladikavkaz, Republic of North Ossetia - Alania, 362027, Russia, e-mail: davidmd@yandex.ru

Исследовалась модель виброкипящего слоя, в которой используется метод дискретного элемента. Рассматривался тонкий слой частиц силикагеля (монослой), средний диаметр которых равен 4 мм. Проведены численные расчеты среднего по времени распределения объемной доли частиц в слое в процессе виброкипения при разных значениях амплитуды и частоты колебаний. Для проведения вычислений использовался свободный открытый программный код LIGGGHTS, в котором реализован метод дискретного элемента. Представлены результаты сравнения численных расчетов с экспериментальными данными. В нижней и верхней части слоя по результатам расчетов значения объемной доли частиц занижены по сравнению с экспериментальными данными, в средней части слоя - завышены. В верхней части слоя наблюдаются единичные частицы. Во всех случаях площадь области, ограниченной расчетной

* Работа выполнена в рамках программы фундаментальных исследований по стратегическим направлениям развития науки Президиума РАН 1.33П «Фундаментальные проблемы математического моделирования. Фундаментальные проблемы факторизационных методов в различных областях. Алгоритмы и математическое обеспечение для вычислительных систем сверхвысокой производительности».

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

кривой, примерно совпадает с площадью области, ограниченной экспериментальной кривой, что свидетельствует о качественном совпадении результатов. Проведено сравнение результатов расчетов среднего значения высоты виброкипящего слоя с экспериментальными данными. Получено удовлетворительное совпадение результатов расчетов с экспериментальными данными.

Ключевые слова: виброкипящий слой, континуальный подход, метод дискретного элемента, численные расчеты, LIGGGHTS, сравнение с экспериментальными данными.

A model of the vibrated fluidized layer was investigated, in which the discrete element method is used. A thin layer of silica gel particles (a monolayer) was considered. The average particle diameter is 4 mm. Numerical calculations of the time-average distribution of the volume fraction ofparticles in the layer during the vibrated fluidization are performed. The results were obtained at different values of amplitude and frequency of vibrations. The free open source code LIGGGHTS was used for the calculations, in which the discrete element method was implemented. The results of comparison of numerical calculations with experimental data are presented. The values of the particle volume fraction in the lower and upper parts of the layer are underestimated in comparison with the experimental data, and in the middle part of the layer they are overestimated. Single particles are observed in the upper part of the layer. In all cases, the area of the region bounded by the calculated curve roughly coincides with the area of the region bounded by the experimental curve. It indicates a qualitative coincidence of the results. The results of calculations of the average value of the height of the vibrated fluidized layer with experimental data were compared. A satisfactory agreement between the results of the calculations and the experimental data was obtained.

Keywords: vibrated fluidized layer, continuum approach, discrete element method, numerical calculations, LIGGGHTS, comparison with experimental data.

Существуют два основных подхода к моделированию процесса виброкипения: континуальный и дискретный. Для описания виброкипения тонких слоев (монослоев, т.е. слоев с толщиной засыпки, высота которых лежит в диапазоне между характерным размером частицы и ее полуторным значением) целесообразно использовать дискретный подход. Движение частиц описывается как детерминированное движение их достаточно представительного дискретного набора. В вычислительном отношении такой подход является достаточно трудоемким, так как для имитации движения слоя частиц требуется проведение большого числа расчетов движения отдельных частиц, поэтому модели, основанные на этом подходе, в отличие от остальных, требуют мощных вычислительных ресурсов [1].

Дискретный подход непосредственным образом связан с реальными движениями отдельных частиц, поэтому его можно считать физически более естественным, чем континуальный. При использовании континуального подхода, при котором движение слоя рассматривается как движение двух взаимодействующих континуумов, связанных с газом и частицами, необходимо учитывать отношение размера ячейки к размеру (диаметру) частиц, поэтому моделирование монослоев в рамках континуального подхода представляется практически невыполнимой задачей. Более подробное описание моделей на основе континуального подхода представлено в работах [2-4].

Если сравнивать два подхода (континуальный и дискретный), то следует отметить, что континуальный подход больше подходит для моделирования

динамики относительно тонких виброкипящих слоев (но не монослоев, так как необходимо учитывать отношение размера ячейки к размеру частиц), дискретный подход больше подходит для моделирования динамики тонких слоев и монослоев, так как требует мощных вычислительных ресурсов. Моделирование более толстых слоев с использованием дискретного метода возможно в случае наличия суперкомпьютеров и больших объемов внешней памяти.

Метод дискретного описания движения каждой отдельной частицы с учетом ее взаимодействия с соседними частицами получил название метода дискретного элемента (МДЭ) (discrete element method) [5]. В основе МДЭ - баланс механического движения частицы [6, 7]:

' dV *

dt

' ' (1)

av>- i. mr—=mb + 1 F;

j=i

% = 1 (t, + M , )

dt

где тг - масса частицы; I - индекс частицы, относительно которой рассматривается система уравнений (1); Уг- - вектор линейной скорости центра масс; 11 - момент инерции; - вектор угловой скорости; Ь - вектор массовой силы; Еу - внешняя сила, действующая на частицу г через контакт с частицей _/; у - индекс частицы, находящейся в контакте с частицей г; к - число частиц в контакте с частицей г; Ту - внешний крутящий момент, связанный с контактным взаимодействием частиц г и у; Му - момент сопротивления качению.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

В МДЭ применяется допущение, что каждая частица представляет собой сферу радиусом Яг. Схематически взаимодействие между частицами г и у представлено на рис. 1 (где У г, Уу - векторы скорости центров масс частиц; щ щ - векторы угловой скорости; г г, Гу - радиус-векторы; п - вектор нормали вдоль линии, соединяющей центры частиц г и у).

Fn'lj = kn^nn - ynVn ,

F, = -min fet- Yt у ;R5F„},

(2) (3)

где kn =(4/3)E £n - коэффициент упруго-

сти _1___

E* ~ E

при контактном

2 1 lA

взаимодеиствии;

1 - v 2 1 - v2

E

- эффективный модуль упру-

гости; Б^, Б. - модуль упругости при одноосном растяжении/сжатии; - коэффициент Пуассо-

на; 1/Я* = 1/Дг +1/Я- - приведенный радиус частиц;

-~Ri + ^j -(r, - ri'n)

Ъп = я + я. г. - гг, п^ - относительное нормальное перекрытие частиц при контактном взаимодействии; уп = -2>/5 / 30 VЕ*т*4Я*£,п > 0 - коэффициент демпфирования в нормальном направлении к контакту; Р = 1п е. / ^1п2 е. + п2 - безразмерный коэффициент демпфирования; е„ - коэффициент вос-

у

становления между материалами частиц г и у;

1/ т* = 1/ т +1/ т - соотношение для нахождения

1 .

приведенной массы; у. = - у. + (Я1Ш1- + Я.ш. )х п -относительная скорость в точке контакта частиц;

Рис. 1. Две контактирующие сферические частицы i и j / Fig. 1. Two contacting spherical particles i and j

Для описания контактного взаимодействия между частицами в МДЭ применяются различные постановки. Наиболее часто используется модель Герца - Миндлина [8], в которой предполагается, что частицы при контакте не деформируются, а перекрывают друг друга на величину образуя пятно контакта. Суммарная сила взаимодействия между двумя частицами состоит из нормальной и тангенциальной составляющих Fn y, Ft'j [5-9]:

у = ^у, п^п - нормальная составляющая У„; У =(п х у)хп - тангенциальная составляющая Угу; ^ - коэффициент трения скольжения;

Ъ = ||(п х у)х п- относительное тангенци-

ч

альное перекрытие частиц, которое началось в момент времени to и длится до данного момента времени t; t = у /|у | - единичный тангенциальный вектор; к, = Ъп - коэффициент сдвига при контактном взаимодействии;

1 2(2 + у,Х1 -у,) 2(2 + у. Л -у. ) _ = -¡л-1± + ^-^-- эффективный

G Е Е:

модуль сдвига; у( = -4>/5 / 30 л/0*т*4Я*Ъп > 0 -

коэффициент демпфирования в тангенциальном направлении к контакту.

Крутящий момент, действующий на частицу, создается тангенциальной силой ^у и определяется выражением

Т. = (Дп)х . (4)

При относительном движении частиц также возникает момент сопротивления качению Му [9]

m j =-ц ¿л nR*=,

ю,

(5)

где р г - коэффициент трения качения.

В качестве начальных условий примем координаты всех частиц системы и их начальные скорости, а в качестве граничных условий - взаимодействие с границами расчетной области.

Рассчитывая силы взаимодействия (2)-(5) и интегрируя по времени систему уравнений (1), находим скорости и перемещения каждой частицы системы [6].

+

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

Для проведения вычислений по виброкипению монослоев использовался свободный открытый программный код LIGGGHTS [10], в котором реализован МДЭ.

Рассматривалось виброкипение частиц силикаге-ля, средний диаметр которых равен 4 мм. Толщина слоя - 6 мм. Результаты численных расчетов получены при амплитуде колебаний Л=1,5 мм, частоте f=24 и 28 Гц, а также при Л=2 мм и j=36 Гц. Полученные результаты расчетов сравнивались с экспериментальными данными, полученными в работе [11]. Следует отметить, что в качестве значения коэффициента восстановления в случае столкновения частиц друг с другом использовалось значение 0,15, полученное по результатам экспериментов.

При проведении параллельных вычислений на четырехядерном процессоре с частотой 3,1 ГГц время расчета одного варианта составляло примерно 10 ч.

Для обработки полученных численных расчетов применялась методика из работы [11] для обработки экспериментальных данных. Использовались кадры видеосъемки экспериментов; выделялся участок слоя шириной 20 мм, который разбивался на несколько одинаковых зон по высоте. В каждой зоне подсчитывалось число частиц у передней стенки. Количество частиц, пересекающих границы зон, уменьшалось вдвое. Форма частиц принималась шарообразной. По определенному среднему диаметру частиц рассчитывались объем материала и значения объемной доли частиц (аД Расчеты проведены в разные моменты времени (когда слой частиц начинает отрываться от полки; когда слой полностью отрывается от полки и высота слоя максимальна; когда слой частиц сталкивается с полкой и уплотняется). По результатам вычислений построены средние по времени графики изменения а6-по высоте слоя [11].

На рис. 2 представлено сравнение результатов численных расчетов среднего по времени распределения объемной доли частиц с экспериментальными данными.

Из рис. 2 видно, что средние по времени кривые распределения объемной доли частиц, полученные в результате расчетов, удовлетворительно описывают экспериментальные данные. В нижней и верхней части слоя по результатам расчетов значения объемной доли частиц занижены по сравнению с экспериментальными данными; в средней части слоя - завышены. В самой верхней части слоя наблюдаются единичные частицы (в этих зонах значение объемной доли частиц не превышает 0,1).

as 0,6

0,5

0,4

0,3 0,2 0,1

as

0,40

0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05

as

0,30

0,25 0,30 0,25 0,15 0,10 0,05

10

15

20

a/a

10

15

20

б/ b

10

—I— 20

—I

30

в/с

- экспериментальные данные;

----результаты численных расчетов

Рис. 2. Распределение объемной доли частиц по высоте:

а - А = 1,5 мм, f = 24 Гц; б - А = 1,5 мм и f = 28 Гц; в - А = 2 мм и f = 36 Гц / Fig. 2. The distribution of volume fraction in height: a - A = 1.5 mm, F = 24 Hz; b - A = 1.5 mm and F = 28 Hz; c - A = 2 mm and f = 36 Hz

z, мм

z, мм

0

z, мм

0

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2017. No. 4-1

Во всех случаях площадь области, ограниченной расчетной кривой, примерно совпадает с площадью области, ограниченной экспериментальной кривой, что свидетельствует о качественном совпадении результатов.

Кроме того, было проведено сравнение результатов расчетов среднего значения высоты виброки-пящего слоя с экспериментальными данными. Расчет высоты слоя проводился в разные моменты времени, затем выводилось среднее значение высоты. На рис. 3 представлены результаты сравнения при разных значениях частоты колебаний. В дан* * 2 ном случае ъ - приведенная высота (ъ = —).

А

Z*

14

12 -10

2 О

f Гц

10

20

30

40

- экспериментальные данные; -■- - результаты расчетов

Рис. 3. Средняя высота виброкипящего слоя / Fig. 3. The average height of the vibrated fluidized layer

Из рис. 3 видно, что с увеличением частоты колебаний расхождение расчетных данных с экспериментальными уменьшается. Следует отметить, что при виброкипении монослоя, так же как и при виброкипении более толстых слоев, наблюдаются волнообразная поверхность и отдельные всплески над поверхностью слоя.

Как отмечалось ранее, дискретный подход и, в частности, метод дискретного элемента являются достаточно ресурсоемкими, т.е. требуют, во-первых, мощных вычислительных ресурсов; во-вторых, больших объемов оперативной и внешней памяти для хранения и обработки полученных результатов. Поэтому в настоящей работе представлены результаты только по виброкипению монослоя, так как с увеличением количества частиц в слое увеличивается время, затрачиваемое на выполнение расчетов. В дальнейшем планируется

проведение вычислительных экспериментов по виброкипению более толстых слоев.

Таким образом, использование дискретного подхода (в частности, метода дискретного элемента) позволяет получить результаты моделирования виброкипящего монослоя, которые хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Литература

1. Орлова Н.С. Разработка и исследование математических моделей виброкипящего слоя. Deutschland, Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013. 173 с.

2. Орлова Н.С. Сравнение расчетов по двухжид-костной модели виброожиженного слоя с экспериментальными данными // Инженерно-физ. журн. 2012. Т. 85, № 6. C. 1202-1207.

3. Орлова Н.С. Сравнение результатов экспериментального исследования виброкипящего слоя с расчетами по гидродинамической модели гранулярного газа // Инженерно-физ. журн. 2014. Т. 87, № 2. C. 429435.

4. Каменецкий Е.С., Орлова Н.С., Тагиров А.М., Волик М.В. Трехмерное моделирование виброкипяще-го слоя с использованием двухжидкостной модели гранулярного газа // Инжен.-физ. журн. 2016. Т. 89, № 6. С. 1480-1486.

5. Poschel T. Computational Granular dynamics models and algorithms. Berlin; Heidelberg; New York : Springer, 2005. 322 p.

6. K. Kesava Rao., Prabhu R. Nott. An Introduction to Granular Flow. New York : Cambridge University Press, 2008. 512 p.

7. Карвацкий А.Я., Лазарев Т.В. Оценка метода дискретного элемента для прогнозирования поведения сыпучих сред на примере нефтяного кокса // Химическое и нефтегазовое машиностроение. 2014. № 3. С. 32-36.

8. Makse H.A., Gland N., Johnson D.L., Schwartz L. Granular packings: Nonlinear elasticity, sound propagation, and collective relaxation dynamics // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 061302.

9. Jun Ai, Jian-Fei Chen, Rotter J.M., Jin Y.O. Assessment of rolling resistance models in discrete element simulations // Powder Technology. 2011. Vol. 206 (3). P. 269-282.

10. LIGGGHTS Open Source Discrete Element Method Particle Simulation Code. URL: http://www.liggghts.com (дата обращения: 11.04.2016).

11. Свердлик Г.И., Рево А.А., Каменецкий Е.С., Орлова Н.С. Сравнение результатов экспериментов и математического моделирования виброожиженного слоя // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2011. № 1. C. 24-27.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

References

1. Orlova N.S. Razrabotka i issledovanie matematicheskikh modelei vibrokipyashchego sloya [Development and research of mathematical models of the vibrated fluidized layer]. Deutschland, Saarbrucken: LAP LAMBERT Academic Publishing, 2013, 173 p.

2. Orlova N.S. Sravnenie raschetov po dvukh-zhidkostnoi modeli vibroozhizhennogo sloya s eksperimental'nymi dannymi [Comparison of calculations for a two-fluid model of a vibrating fluid layer with experimental data]. Inzhen.-fiz. zhurn. 2012, vol. 85, No. 6, pp. 1305-1310.

3. Orlova N.S. Sravnenie rezul'tatov eksperimen-tal'nogo issledovaniya vibrokipyashchego sloya s raschetami po gidrodinamicheskoi modeli granulyarnogo gaza [Comparison of the results of an experimental study of the vibro-boiling layer with calculations based on the hydrodynamic model of a granular gas]. Inzhen.-fiz. zhurn. 2014, vol. 87, No. 2, pp. 443-449.

4. Kamenetskii E.S., Orlova N.S., Tagirov A.M., Volik M.V. Trekhmernoe modelirovanie vibrokipyashchego sloya s ispol'zovaniem dvukhzhidkostnoi modeli granulyarnogo gaza [Three-dimensional modeling of the vibro-boiling layer using the two-fluid model of granular gas]. Inzhen.-fiz. zhurn. 2016, vol. 89, No. 6, pp. 1459-1465.

5. Poschel T. Computational Granular dynamics models and algorithms. Berlin; Heidelberg; New York, Springer, 2005, 322 p.

NATURAL SCIENCE. 2017. No. 4-1

6. K. Kesava Rao., Prabhu R. Nott. An Introduction to Granular Flow. New York, Cambridge University Press, 2008, 512 p.

7. Karvatskii A.Ya., Lazarev T.V. Otsenka metoda diskretnogo elementa dlya prognozirovaniya povedeniya sypuchikh sred na primere neftyanogo koksa [Estimation of discrete element method for forecasting the behavior of loose media on the example of petroleum coke]. Khimicheskoe i neftegazovoe mashinostroenie. 2014, No. 3, pp. 32-36.

8. Makse H.A., Gland N., Johnson D.L., Schwartz L. Granular packings: Nonlinear elasticity, sound propagation, and collective relaxation dynamics. Phys. Rev. E. 2004, vol. 70, p. 061302.

9. Jun Ai, Jian-Fei Chen, Rotter J.M., Jin Y.O. Assessment of rolling resistance models in discrete element simulations. Powder Technology. 2011, vol. 206 (3), pp. 269-282.

10. LIGGGHTS Open Source Discrete Element Method Particle Simulation Code. Available at: http://www.liggghts.com (accessed 11.04.2016).

11. Sverdlik G.I., Revo A.A., Kamenetskii E.S., Orlova N.S. Sravnenie rezul'tatov eksperimentov i matematicheskogo modelirovaniya vibroozhizhennogo sloya [Comparison of experimental results and mathematical modeling of the vibrated fluidized layer]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Tekhn. nauki. 2011, No. 1, pp. 24-27.

Поступила в редакцию /Received_29 июня 2017 г. / June 29, 2017