CC BY
8
001: 10.18721ЛРМ.14104 УДК 519.6:533.6.011
ТЕСТИРОВАНИЕ ГИБРИДНОГО МЕТОДА КРУПНЫХ ЧАСТИЦ НА ДВУМЕРНЫХ ЗАДАЧАХ РИМАНА
Д.В. Садин, И.О. Голиков, Е.Н. Широкова
Военно-космическая академия имени А.Ф. Можайского, Санкт-Петербург, Российская Федерация
Изучены возможности гибридного метода крупных частиц с использованием известных и новых задач Римана в двумерных областях. Метод обладает вторым порядком аппроксимации по пространству и времени на гладких решениях. Монотонность решений обеспечивается нелинейной коррекцией искусственной вязкости и гибридизацией конвективных потоков. Детально исследованы центрально-симметричные задачи со сложной ударно-волновой структурой и развитием неустойчивости на контактной границе. Тестовые расчеты продемонстрировали высокую разрешающую способность, малую диссипативность и устойчивость метода.
Ключевые слова: гибридный метод крупных частиц, двумерные задачи Римана, разрешающая способность
Ссылка при цитировании: Садин Д.В., Голиков И.О., Широкова Е.Н. Тестирование гибридного метода крупных частиц на двумерных задачах Римана // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. 2021. Т. 14. № 1. С. 58-71. DOI: 10.18721ДРМ.Ш04
Статья открытого доступа, распространяемая по лицензии СС BY-NC 4.0 (https://creative-commons.Org/licenses/by-nc/4.0/)
TESTING OF THE HYBRID LARGE-PARTICLE METHOD USING TWO-DIMENSIONAL RIEMANN PROBLEMS
D.V. Sadin, I.O. Golikov, E.N. Shirokova
Military Space Academy named after A.F. Mozhaysky, St. Petersburg, Russian Federation
The full potential of the hybrid large-particle method using the known and new Riemann problems in two-dimensional domains has been studied. The method includes a space-time second-order approximation for smooth solutions. Using the artificial viscosity nonlinear correction and the convective fluxes hybridization maintained monotonicity of solutions. Centrally symmetrical problems with a complex shock-wave structure and with the development of instability on the contact boundary were studied in details. The test calculations demonstrated high resolution, low dissipation, and stability of the method.
Keywords: hybrid large-particle method, two-dimensional Riemann problems, high resolution
Citation: Sadin D.V., Golikov I.O., Shirokova E.N., Testing of the hybrid large-particle method using two-dimensional Riemann problems, St. Petersburg Polytechnical State University Journal. Physics and Mathematics. 14 (1) (2021) 58-71. DOI: 10.18721/JPM.14104
This is an open access article under the CC BY-NC 4.0 license (https://creativecommons.org/ licenses/by-nc/4.0/)
Введение
Вычислительная гидродинамика интенсивно развивается в последние десятилетия, что стимулируется разработкой исследовательских и коммерческих пакетов прикладных программ для расчета и обоснования параметров технических устройств, применяемых в различных технологических процессах, на разных стадиях производства, например в авиастроении, ракетно-космической технике и энергетике.
К настоящему времени сформировался ряд подходов построения дискретных моделей, сохраняющих монотонность и имеющих повышенный порядок аппроксимации для расчетов газодинамических течений. Такие расчеты основаны на точном или приближенном решении распада разрыва (схемы типа Годунова [1 — 3]); схемах с уменьшением полной вариации (TVD-реконструкции, англ. Total Variation Diminishing [4 — 6]); взвешенных, существенно неосциллирую-щих схемах (WENO-схемы, англ. Weighted Essentially Non-Oscillatory schemes) на переменных шаблонах [7 — 9]; гибридных алгоритмах [10 — 12], компактных схемах [13 - 15] и др.
Наряду с тенденцией построения схем четвертого, пятого и более высоких порядков аппроксимаций [8, 9, 15], для широкого круга задач сохраняют актуальность дискретные модели второго порядка точности [16 — 20]. Например, достаточно подробное обсуждение таких схем можно найти в работе [19], в которой развивается MUSCL-под-ход (Monotonic Upstream-Centered Scheme) с применением различных квазиодномерных схем реконструкции.
Гибридный метод крупных частиц был предложен для решения задач динамики многофазных сред на основе схемы с настраиваемыми диссипативными свойствами (англ. CDP2 — Customizable Dissipative Properties), которая меняет порядок аппроксимации в зависимости от гладкости решения [21, 22]. Вместе с тем прикладные задачи зачастую содержат области как «чистого» газа, так и зоны течений смеси газа
с дисперсной фазой. Поэтому развиваемый метод должен обладать универсальностью и демонстрировать высокую разрешающую способность и монотонность в этих двух случаях. Обязательным требованием к новому численному методу является его проверка на серии тестовых задач в широком диапазоне параметров течения. Ранее метод верифицировался на стандартных одномерных и двумерных тестах [23 — 25].
Достоинства метода перед известными схемами, учитывающими характеристические свойства законов сохранения, заключаются в расширении класса задач с уравнениями как гиперболического, так и смешанного типа с мнимыми компонентами характеристик. Алгоритм гибридного метода крупных частиц дает успешные результаты при решении традиционно сложных вычислительных проблем, таких как образование искусственного пограничного слоя и фиктивной ножки Маха, возникновение ударных волн разрежения, «карбункул»-неустойчивости на гиперзвуковых режимах обтекания, что характерно для схем типа Годунова [26]. Метод обладает алгоритмической простотой, а также хорошим соотношением диссипативных и дисперсионных свойств. Например, в тесте с двойным маховским отражением (англ. Double Mach reflection) гибридный метод крупных частиц превосходит по вихреразрешающей способности популярные схемы HLLC (Harten — Lax - van Leer Contact [27]) и WENO5 [11] (см. сопоставление схем в статье [25]).
В настоящей работе проверяются вычислительные свойства (монотонность, дис-сипативность, вихреразрешающая способ -ность) гибридного метода крупных частиц второго порядка точности по пространству и времени [28] при решении задач Римана в двумерных областях. Результаты сопоставляются с базовым методом [29] и решениями по современным схемам повышенного порядка аппроксимации [15, 30]. Детально рассмотрены вопросы численного воспроизведения сложных ударно-волновых и вихревых структур.
В цитируемых работах тестовые зада-
чи решаются в формулировке Эйлера. Для корректности сравнения наши расчеты также проводятся в невязкой постановке. Это объясняется необходимостью обоснования
Замыкающее уравнение состояния имеет вид
p = (y-1)p(E -v72),
разрешения сетки для корректного решения где у — показатель адиабаты.
уравнений Навье — Стокса при заданном
Реализация метода. Запишем алгоритм
числе Рейнольдса, когда схемная вязкость гибридного метода крупных частиц с на-
становится существенно меньше физической [8].
Гибридный метод крупных частиц Основные уравнения. Рассмотрим законы
страиваемыми диссипативными свойствами (CDP2 — Customizable Dissipative Properties) в конечно-объемной формулировке на ортогональной равномерной сетке [28].
Схемы формулируются с расщеплением сохранения калорически совершенного газа на Лагранжев (0), Эйлеров и заключитель-
в форме уравнений Эйлера:
^ + V d G + V d F = 0, dt
ный (1) этапы, без ограничения общности в одномерном случае:
(1)
q = [р, pv, pEf , G = [pv, pvv, pEvf, F = [0, p, pv]T, Vd = diag (V-, V, V-),
q(0) = q *
q(1) = q(0)
"n in
(F ( G
к
n+1/2
(0) - G n+1/2 "и-1/2
n-1/2
(0)
)vh, )vh
(2) (3)
Для повышения до второго порядка аппроксимации по времени используем кор-где р, V, р, Е — плотность, вектор скорости с ректирующий шаг: компонентами и и V, давление, полная энергия газа единицы массы; ц, С, Е — консервативные, потоковые, градиентные и деформационные величины соответственно; t — время.
Уравнения (1) записаны в безразмерном виде для искомых функций
,(2)
qr = 0,5 (qn + qni} )-
"0,5(Fn+1/2 -Fn-1/2)т/h,
(4)
qk+1 = q(2)
Mn Mn
u = u
p ' = p / ©0, yjPJ ©0:
p'=p / P '4PJ ©0,
-0,5 (G
(2) - G (2) n+1/2 " n-1/2
)vh,
(5)
v = v
относительно произвольных размерных констант 0О, Р0.
Координаты отнесены к характерному линейному размеру области определения задачи
х' = х/Ь, у' = у/Ь, а безразмерное время определяется как
t' = t| (^ 0О/ Р0).
В уравнениях (1) и далее в постановках задач штрихи опущены.
где т = — ^ — шаг по времени (^ — временной слой); к — размер ячейки с ее центром хп и гранями
Х„±1/2 = X ± к12 •
Если величины на гранях ячеек определить как среднее арифметическое в центрах примыкающих ячеек, то получим бездисси-пативную, но абсолютно неустойчивую схему второго порядка аппроксимации. В базовом методе крупных частиц потоки рассчитываются с учетом их направлений схемами первого порядка [29].
Нелинейная коррекция метода. Для обеспечения устойчивости и монотонности
метода с сохранением второго порядка точности на гладких решениях используется нелинейная коррекция градиентных и деформационных величин Гп±1/2 и потоков Ся±1/2.
На Лагражевом этапе (2) в схему
Гп±1/2 [ 0, Рп±1/2, Рп±1/2«п±1/2
вносится нелинейная скалярная искусственная вязкость
+ Ф/ (Гп++1/2 )ф(П+1/2
Ф-+1/2 =[(1 -Ф/ (Гп+1/2 ))ф + Ф/ ('-у2 )фп°+1/2
+ _Ф? - ф(п°Л
Г =
п+1/2 (0)
Фп+1 - Ф
(0)
Рп±1/2 = Рп+1/2 + [1 - (Гп±тШ
п±1/2'
где б1/2 — обычная линейная диссипация, например типа Ландшоффа; ^у(гп±1/2) — ограничитель вязкости с параметром отношения
Ф(0) -ф(0)
г - = У п+ 2 М^п+1 'п+1/2 _ (0)
(0) '
наклонов г
п±1/2'
Параметр гп±1/2 вычисляется по условию
Фп+1 -Ф
Затем формируются численные потоки массы
г(0) _ А(0) . (0) т
/О
2 = Р
п±1/2 Нп±1/2"п±1/2 ^
Г = <
п+1/2 '
/к к I ^ - «„
если
(икп+2 - икп+1
1VI «п+1 - «п),
(«п+1 - ^)(Ркп+1 - Р! 0;
У(«п+1 - «п),
иначе.
импульса й^2Л^п°±)1/2 и энергии Е^^мп0±1/2
и определяются искомые функции:
На гладких решениях сохраняется второй порядок аппроксимации:
Р(1) = р(0) +
(ллт-1
- М(0) п—1/ 2 1У1 п+1/2
й,((1) =
Л(0) +(й(°) М(0)
Рп Мп + 1/2М п-1/2
Е (0) М (0) ) И
йп+1/2М п+1/2)1 И
Гп±1/2 ^ 1 ^ ф у (Гп±1/2) ^ 1
Г ^
п±1/2 ^
Г + О (И2).
На Эйлеровом и заключительном этапе (3) рассчитываются примитивные переменные ф = {р, «, Е} с использованием гибридной нелинейной коррекции (взвешена ограничителем потоков ^ аддитивной комбинации противопоточной и центральной аппроксимаций) с точностью О(И2) на гладких решениях:
Е(1) =
у:0) е(0) +(е(0) м (0)
}п ^п ^у^п-1/п-1/
е(0) лл (0) ) /и
^п+1/21У1 п+1/2 Л"
/Р(п1).
Для нелинейной коррекции вязкости и потоков пригодны функции лимитирования TVD-типа. Далее используются следующие ограничители:
тах
Фп+1/2 = -
Ф++1/2 ПРИ «п+1/2 ^ 0,
Ф-+1/2 иначе;
ф( г ) =
Ф++1/2 =[(1 -Ф/ ( Г+1/2 ))Ф(п0)
[ т1п (г,1) ,0] (ММ - Мттоё ), (г + |г | )/(1 + г ) ( УЬ - Уап Ьеег), тах [ тт ( 2г ,1) ,тт ( г, 2 ) ,0] (ББ - БирегЬее),
Численные эксперименты позволили обосновать границу устойчивости гибридного метода крупных частиц как CFL < 0,7. Число Куранта задано в расчетах настоящей работы с учетом надежности и точности алгоритма — CFL = 0,4.
Результаты расчетов и их обсуждение
Рассматриваемые тестовые задачи служат для проверки свойств численных методов по воспроизведению скачков уплотнения, волн разрежения, контактных разрывов и вихревых структур в двумерных областях.
Тесты 3, 4 и 12. Из большой коллекции двумерных задач Римана рассмотрим тесты 3, 4 и 12 [30]. Далее полагаем, что газ — идеальный с показателем адиабаты у = 1,4. Задачи решаются до момента времени Т в квадрате
( х, у )е( 0,1) х( 0,1),
который разделен линиями х = 1/2 и у = 1/2 на четыре квадранта.
В каждом квадранте заданы постоянные начальные условия в безразмерном виде (см. таблицу).
Таблица
Постоянные начальные условия при расчетах для трех тестов
Позиция в квадрантах Параметр Значение параметра в тесте и квадрантах
Тест 3, Т = 0,30 Тест 4, Т = 0,25 Тест 12, Т = 0,25
Сверху Снизу Сверху Снизу Сверху Снизу
Слева Р 0,3000 0,0290 0,3500 1,1000 1,0000 1,0000
Р 0,5323 0,1380 0,5065 1,1000 1,0000 0,8000
и 1,2060 1,2060 0,8939 0,8939 0,7276 0,0000
V 0,0000 1,2060 0,0000 0,8939 0,0000 0,0000
Справа Р 1,5000 0,3000 1,1000 0,3500 0,4000 1,0000
р 1,5000 0,5323 1,1000 0,5065 0,5313 1,0000
и 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000 0,0000
V 0,0000 1,2060 0,0000 0,8939 0,0000 0,7276
О б о з н а ч е н и я: р, р — безразмерные давление и плотность; и, V — безразмерные компоненты вектора скорости у; Т — безразмерный момент времени, до которого решались задачи. П р и м е ч а н и я. 1. Квадрат 0,1 х 0,1 разделен на 4 квадранта. 2. Номера тестов соответствуют принятым в работе [30].
которые будем указывать подстрочными индексами, например ^мм — ограничитель вязкости Minmod.
Опыт расчетов показал, что ограничители наделяют гибридный метод крупных частиц численной диссипацией в порядке возрастания ее уровня: SB, УЬ, ММ.
На корректирующем шаге (4), (5) расчетные формулы численных градиентов, мощности деформаций и конвективных потоков аналогичны приведенным, с заменой верхних индексов к обозначением (1), (0) — обозначением (2), (1) — обозначением (к + 1). В целом гибридный метод крупных частиц обладает суммарной аппроксимацией второго порядка по пространству и времени 0(к2 + + т2) на гладких решениях.
Устойчивость метода. Шаг по времени определяется из условия Куранта — Фридрих-са - Леви ^Ь):
ик = СБЬ- к
тах
V«
(| <\ + а« У
где CFL — фиксированное число Куранта, а1 - скорость звука.
к
Расчеты выполнены гибридным методом крупных частиц на равномерной сетке 400 * х 400 с ограничителями потоков у и вязкости у УЬ (УЬ — Ван Леер, тесты 3 и 12), а тест 4 — у/УЬ, УуММ (ММ — Minmod). На внешних границах заданы «мягкие» краевые условия эстраполяции.
Точные решения для этих задач неизвестны. Численные решения показаны на рис. 1 в виде изолиний плотности и векторов скоростей (стрелки). Для корректности сравне-
ния линии уровня плотности соответствуют приведенным в работе [30].
В рассматриваемых задачах реализуются течения с маховским (рис. 1, в,/ и двойным маховским (рис. 1, С) отражениями, а также конфигурации с близко расположенными контактными разрывами вдоль большей стороны «линзы» (см. рис. 1, в, /). Для тестов 3 и 12 дополнительно образуются диагонально направленные вихревые струи. В работе [30] обращено внимание на артефакт в тестовой
Рис. 1. Результаты численного решения задач Римана в двумерных областях базовым методом крупных частиц (а — с) и гибридным методом (С — И) с использованием тестов [30]: 3 (а, С, g), 4 (Ь, в) и 12 (с,/, И).
Для теста 3 получены 32 изолинии плотности от 0,16 до 1,71; для тестов 4 и 12 соответственно 29 изолиний от 0,52 до 1,92 и 30 изолиний от 0,54 до 1,70; g — решение с коррекцией стартовой ошибки; И — решение сопоставлено с WENO5 из работы [30]; векторы скоростей показаны стрелками
задаче 12, присущий в большей или меньшей степени всем рассматриваемым разностным схемам: в месте начального разрыва, в процессе его распада и дальнейшего расчета остается энтропийный след.
Указанная вычислительная проблема проявляется в ряде других проверочных задач и объясняется тем, что стартовая ошибка возникает в течение короткого промежутка времени установления («размазывания») счетного профиля ударной волны и сохраняется в виде энтропийного следа [31]. Этот численный дефект может быть устранен переустановкой газодинамических параметров в спутном потоке за ударной волной через несколько шагов по времени до начальных значений (см. пример расчета на рис. 1, g). Обратим внимание также, что в тесте 12, в малой области порядка численного размера неподвижного тангенциального контактного разрыва, наблюдаются колебания плотности.
Гибридный метод крупных частиц (рис. 1, С — /) демонстрирует значительные улучшения по точности воспроизведения структур течений по отношению к базовому методу [29] (рис. 1, а — с) и схеме Годунова первого порядка аппроксимации [32]. Алгоритм CDP2 в данных тестах превосходит по разрешающей способности цитируемые метод адаптивной искусственной вязкости второго порядка аппроксимации [16] и схему с кусочно-параболической реконструкцией третьего порядка [18]. Результаты расчетов хорошо согласуются с лучшими схемами, представленными в статье [30].
Например, на рис. 1, И проведено прямое сопоставление со схемой WENO5 пятого порядка точности — нижний слой, поверх которого наложен верхний слой с результатами расчета гибридным методом CDP2. Заметим, что изолинии плотности практически совпадают во всем диапазоне их нанесения. Расчеты по схеме CDP2 находятся в хорошем соответствии с бикомпактной схемой с консервативной монотонизацией [15] (результаты данных тестов не опубликованы, но любезно предоставлены нам для сопоставления).
Тесты A, B, Cи D. Для проверки работоспособности гибридного метода крупных частиц, в частности уровня его диссипативных свойств и возможности выявления неустойчивости на контактной границе, представляют интерес двумерные задачи Римана с центральной симметрией, например известный тест с цилиндрическим разлетом газа в бесконечную невозмущенную среду (Explosion problem) [30] — тест A. В дополнение к этому рассмотрим еще три модифицированные задачи: тесты B, C и D. Тестовая задача B формулирует разлет в неограниченный неподвижный газ из области повышенного давления квадратного сечения, а тесты C и D — это описанные выше проблемы в пространстве, ограниченном твердыми стенками.
В силу центральной симметрии, расчеты выполняются в правом верхнем квадранте на равномерной сетке 400 * 400 с ограничителем потоков у и вязкости SB. Для исключения (минимизации) влияния внешних границ в случаях A и B, расчетная сетка увеличена до размера 500 * 500. Бесконечность моделировалась расширением сетки на 100 ячеек с возрастанием шага ячейки вправо и вверх по закону
h\+l = h\ + 0,1h,
при котором возмущения за время расчета не достигали внешних границ.
Краевые условия для тестов С и В являются стандартными условиями отражения на стенках.
В начальный момент времени в круге (случаи А и С) и квадрате (случаи В и В) заданы плотность р. = 1 и давление р. = 1, а вне этих областей их значения равны р0 = 0,125 и р0 = 0,1. Принято допущение, что газ во всей области определения неподвижен. Размер расчетной области по координатным осям принят единичным
( х, у )е( 0;1,5 )х( 0;1,5 ),
радиус круга и половина длины квадрата равны 4/15.
Для графического представления результатов расчетов в виде численных шлирен-изображений используем нелинейную функцию градиента плотности:
^ = ехР
-к-
Ур
Л
i • 1
тах ур
V?,] 1
i• 1
где 1 — нумерация ячеек по х и у соответственно; Ур? 1 — градиент плотности; к — настроечный коэффициент для качественного (контрастного) отображения особенностей течения.
На рис. 2 для последовательных моментов безразмерного времени 0,2, 1,1, 1,3 и 3,2 представлены численные шлирен-изображе-ния функции градиента плотности для задач разлета газа в безграничное пространство (верхний ряд — начальная область повышенного давления в виде круга, нижний ряд — в виде квадрата). После распада начального разрыва образуются ударная волна s1, кон-
тактный разрыв с, движущиеся от центра, волна разрежения w (случай А) или две волны и w2 (случай В) — к центру. С течением времени формируется вторичный сходящийся к началу координат скачок уплотнения s2 в форме окружности (рис. 2, Ь, с) или почти квадратной формы (рис. 2, /, g). На границе раздела газов, обозначенной буквой с, начинает развиваться неустойчивость. После фокусировки скачка уплотнения s2 возникает отраженная от центра симметрии ударная волна s3, взаимодействующая с контактной границей с (рис. 2, й, к). Сопоставление численного решения (рис. 2, й) с результатами работы [30] подтверждает малую диссипа-тивность схемы CDP2 в задачах с развитием неустойчивости на контактной границе.
Влияние возмущенной (ступенчатой) начальной границы круга на развитие неустойчивости обсуждается в работах [3, 30]. Как показывают расчеты, даже сглаженный контактный разрыв не является стабильным. В этом смысле интересен тест В, в котором
Рис. 2. Численные шлирен-изображения функции градиента плотности в последовательные моменты времени: 0,2 (а, е), 1,1 (Ь, /), 1,3 (с, g) и 3,2 (й, к). Использованы тесты А (а — й) и В (е — к).
Размер сетки — 400 х 400; с — контактная граница; — ударные волны; я2 — скачок уплотнения, w, w1, w2 — волны разрежения
контактная граница (квадрат) в начальный момент времени совпадает с гранями ячеек. В этом случае возмущения начинают развиваться с вершин квадратной области, а затем распространяются по всей границе раздела газов (рис. 2, И).
Варианты решения задач в ограниченном пространстве (С и Б) для указанных выше последовательных моментов времени обладают более «богатой» конфигурацией течений газа и приведены на рис. 3. Начало разлета при t1 = 0,2 не отличается от рассмотренных случаев (рис. 2, а, в), поскольку фронт ударной волны ^ не дошел до стенок. В последующие моменты времени t2 = 1,1 и t3 = 1,3 формируются структуры, включающие ударные волны: отраженная от стенки s4, прошедшая 55 и отраженная от контактной границы s6, вторично отраженная от стенки сфокусированная 58 и образованная после столкновения скачков уплотнения s9. В дальнейшем, при t4 = 3,2 течение
газа сопровождается многократными взаимодействиями ударных волн со стенками, между собой и контактной границей и развивается турбулентность.
Для пояснения физического механизма развития неустойчивости и образования вихрей на контактной границе рассмотрим транспортное уравнение для завихренности ю = Уху :
Л ю УрхУр
Л
Р
+ (ю-У) у-ю(У-у),
где Л/Л — производная вдоль траектории завихренности.
В начальный момент времени ю = 0. Из приведенного уравнения следует, что причиной генерации вихрей является несовпадение градиентов давления и плотности
(УрхУр)/р2 * 0 (бароклинный эффект).
Рис. 3. Численные шлирен-изображения функции градиента плотности в последовательные моменты времени: 0,2 (а, в), 1,1 (Ь,/), 1,3 (с, g) и 3,2 (Л, И). Использованы тесты С (а — Л) и Б (в — И).
Размер сетки — 400 х 400; с — контактная граница; ^ — — ударные волны;
^— волны разрежения
Рис. 4. Численные шлирен-изображения функции градиента плотности в последовательные моменты времени, аналогичные представленным на рис. 3, но полученные при размере сетки 800 х 800
Этот эффект ярко выражен при многократном взаимодействии отраженных от стенок ударных волн с контактной границей, с формированием вторичных вихрей и развитием турбулентности (см. рис. 3, 4, й и к).
Для проверки сходимости, а также влияния разрешения сетки на формирование вихревых структур выполнен расчет с уменьшением вдвое размеров ячейки. Результаты для случаев С и В представлены на рис. 4. Наложение численных полей течений (рисунки не приведены), полученных на разных сетках, подтверждает практическое совпадение линий ударных волн и их сопряжения в тройных точках. Вихревые элементы имеют большую детализацию на подробной сетке, а расчеты согласуются между собой вследствие стохастической природы в осредненном смысле.
Заключение
Рассмотрен класс разностных схем с настраиваемыми диссипативными свойствами, с расщеплением по физическим процессам — гибридный метод крупных частиц второ-
го порядка аппроксимации по пространству и времени на гладких решениях. Метод верифицирован на известных задачах Римана в двумерных областях, имеющих надежные численные решения.
Показано значительные улучшение точности воспроизведения структур течения, по сравнению с базовым методом крупных частиц. Продемонстрирована высокая конкурентоспособность предложенного алгоритма при сопоставлении с современными схемами повышенного порядка аппроксимации.
Проведено детальное исследование работоспособности метода на новых тестовых задачах с многократными взаимодействиями ударных волн с контактной границей, стенками канала и развитием неустойчивости.
Гибридный метод крупных частиц подтвердил высокую разрешающую способность как в областях ударно-волновых конфигураций, так и в зонах вихревых структур.
Предложенные тестовые задачи могут быть востребованы для проверки других разностных схем.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Годунов С.К. Разностный метод численного расчета разрывных решений гидромеханики // Математический сборник. 1959. Т. 47 (89). № 3. С. 271-306.
2. Колган В.П. Применение принципа минимальных значений производных к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики // Ученые записки ЦАГИ. 1972. Т. 3. № 6. С. 68-77.
3. Toro E.F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics. Berlin, Heidelberg: Springer-Verlag, 2009. 724 p.
4. Harten A. High resolution schemes for hyperbolic conservation laws // Journal of Computational Physics. 1983. Vol. 49. No. 3. Pp. 357-393.
5. Sweby P.K. High-resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws // SI-AM Journal of Numerical Analysis. 1984. Vol. 21. No. 5. Pp. 995-1011.
6. Hirsch C. Numerical computation of internal and external flows. Vol. 2. Computational methods for inviscid and viscous flows. New York: John Wiley & Sons, 1990. 691 p.
7. Jiang G.-S., Shu C.-W. Efficient implementation of weighted ENO schemes // Journal of Computational Physics. 1996. Vol. 126. No. 1. Pp. 202-228.
8. Shi J., Zhang Y.-T., Shu C.-W. Resolution of high order WENO schemes for complicated flow structures // Journal of Computational Physics. 2003. Vol. 186. No. 2. Pp. 690-696.
9. Евстигнеев Н.М. О построении и свойствах WENO-схем пятого, седьмого, девятого, одиннадцатого и тринадцатого порядков. Часть 2. Численные примеры // Компьютерные исследования и моделирование. 2016. Т. 8. № 6. 885-910.
10. Федоренко Р.П. Применение разностных схем высокой точности для численного решения гиперболических уравнений // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1962. Т. 2. № 6. С. 1122-1128.
11. Liu X., Zhang S., Zhang H., Shu C.-W. A new class of central compact schemes with spectral-like resolution II: Hybrid weighted nonlinear schemes // Journal of Computational Physics.
2015. Vol. 284. 1 March. Pp. 133-154.
12. Лобанов А.И., Миров Ф.Х. Гибридная разностная схема с обобщенным условием аппроксимации. Анализ в пространстве неопределенных коэффициентов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2018. Т. 58. № 8. С. 73-82.
13. Толстых А.И. О семействах компактных аппроксимаций 4-го и 5-го порядков с обращением двухточечных операторов для уравнений с конвективными членами // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2010. Т. 50. № 5. С. 894-907.
14. Shen Y.-Q., Zha G.-C. Generalized finite compact difference scheme for shock/complex flow field interaction // Journal of Computational Physics. 2011. Vol. 230. No. 12. Pp. 4419-4436.
15. Bragin M.D., Rogov B.V. Conservative limiting method for high-order bicompact schemes as applied to systems of hyperbolic equations // Applied Numerical Mathematics. 2020. Vol. 151. May. Pp. 229-245.
16. Попов И.В., Фрязинов И.В. Расчеты двумерных тестовых задач методом адаптивной искусственной вязкости // Математическое моделирование. 2010. Т. 22. № 5. С. 57-66.
17. Карабасов С.А. О возможностях методов второго порядка аппроксимации на примере модельных задач газо- и гидродинамики // Математическое моделирование. 2010. Т. 22. № 7. С. 93-120.
18. Булат П.В., Волков К.Н. Решение двумерных задач Римана при помощи метода кусочно-параболической реконструкции // Инженерно-физический журнал. 2017. Т. 90. № 3. С. 558-568.
19. Колесник Е.В., Смирнов Е.М. Тестирование различных схем с квазиодномерной реконструкцией газодинамических переменных при расчетах на неструктурированных сетках // Научно-технические ведомости СПБГПУ. Физико-математические науки. 2017. Т. 10. № 3. С. 123-139.
20. Чижонков Е.В. О схемах второго порядка точности для моделирования плазменных колебаний // Вычислительные методы и про-
граммирование. 2020. Т. 21. № 1. С. 115-128.
21. Садин Д.В. TVD-схема для жестких задач волновой динамики гетерогенных сред негиперболического неконсервативного типа // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2016. Т. 56. № 12. С. 2098-2109.
22. Садин Д.В. Схемы с настраиваемыми диссипативными свойствами для численного моделирования течений газа и газовзвесей // Математическое моделирование. 2017. Т. 29. № 12. С. 89-104.
23. Садин Д.В., Давидчук В.А. Сравнение модифицированного метода крупных частиц с некоторыми схемами высокой разрешающей способности. Одномерные тесты // Вычислительные методы и программирование. 2019. Т. 20. № 2. C. 138-146.
24. Садин Д.В., Беляев Б.В., Давидчук В.А. Сравнение модифицированного метода крупных частиц с некоторыми схемами высокой разрешающей способности. Двумерные тесты // Вычислительные методы и программирование. 2019. Т. 20. № 3. C. 337-345.
25. Садин Д.В. Анализ диссипативных свойств гибридного метода крупных частиц для структурно сложных течений газа // Компьютерные исследования и моделирование. 2020. Т. 12. № 4. С. 757-772.
26. Тагирова И.Ю., Родионов А.В. Применение искусственной вязкости для борьбы с карбункул-неустойчивостью в схемах типа
Годунова // Математическое моделирование. 2015. Т. 27. № 10. С. 47-64.
27. Balsara D.S. A two-dimensional HLLC Riemann solver for conservation laws: Application to Euler and magnetohydrodynamic flows // Journal of Computational Physics. 2012. Vol. 231. No. 22. Pp. 7476-7503.
28. Садин Д.В. Модификация метода крупных частиц до схемы второго порядка точности по пространству и времени для ударно-волновых течений газовзвеси // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Сер. Математическое моделирование и программирование. 2019. Т. 12. № 2. C. 112-122.
29. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Нестационарный метод «крупных частиц» для газодинамических расчетов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1971. Т. 11. № 1. С. 182-207.
30. Liska R., Wendroff B. Comparison of several difference schemes on 1D and 2D test problems for the Euler equations // SIAM Journal on Scientific Computing. 2003. Vol. 25. No. 3. Pp. 995-1017.
31. Woodward P., Colella P. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // Journal of Computational Physics. 1984. Vol. 54. No. 1. Pp. 115-173.
32. Brio M., Zakharian A.R., Webbz G.M. Two-dimensional Riemann solver for Euler equations of gas dynamics // Journal of Computational Physics. 2001. Vol. 167. No. 1. Pp. 177-195.
Статья поступила в редакцию 28.10.2020, принята к публикации 26.11.2020.
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ
САДИН Дмитрий Викторович — доктор технических наук, профессор Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского, Санкт-Петербург, Российская Федерация.
197198, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Ждановская ул., 13 sadin@yandex.ru
ГОЛИКОВ Игорь Олегович — кандидат технических наук, доцент Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского, Санкт-Петербург, Российская Федерация.
197198, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Ждановская ул., 13 igira55@yandex.ru
ШИРОКОВА Елена Николаевна - кандидат химических наук, преподаватель Военно-космической академии имени А.Ф. Можайского, Санкт-Петербург, Российская Федерация. 197198, Российская Федерация, г. Санкт-Петербург, Ждановская ул., 13 shirokelen-78@mail.ru
REFERENCES
1. Godunov S.K., A difference method for numerical calculation of discontinuous solutions of the equations of hydrodynamics, Matematicheskii Sbornik. 47 (89) (3) (1959) 271-306 (in Russian).
2. Kolgan V.P., Primeneniye printsipa mini-malnykh znacheniy proizvodnykh k postroyeniyu konechno-raznostnykh skhem dlya rascheta raz-ryvnykh resheniy gazovoy dinamiki [An application of the minimal derivative values concept to construction of the finite-difference schemes for calculating the discontinuous solutions of gas dynamics], Uchenyye Zapiski TsAGI. 3 (6) (1972) 68-77 (in Russian).
3. Toro E.F., Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 2009.
4. Harten A., High resolution schemes for hyperbolic conservation laws, J. Comput. Phys. 49 (3) (1983) 357-393.
5. Sweby P.K., High-resolution schemes using flux limiters for hyperbolic conservation laws, SIAM J. Numer. Anal. 21 (5) (1984) 995-1011.
6. Hirsch C., Numerical computation of internal and external flows, Vol. 2, Computational methods for inviscid and viscous flows, John Wiley & Sons, New York, 1990.
7. Jiang G.-S., Shu C.-W., Efficient implementation of weighted ENO schemes, J. Comp. Phys. 126 (1) (1996) 202-228.
8. Shi J., Zhang Y.-T., Shu C.-W., Resolution of high order WENO schemes for complicated flow structures, J. Comp. Phys. 186 (2) (2003) 690-696.
9. Evstigneev N.M., On the construction and properties of WENO schemes order five, seven, nine, eleven and thirteen. Part 2. Numerical examples, Computer Research and Modeling. 8 (6) (2016) 885-910 (in Russian).
10. Fedorenko R.P., The application of difference schemes of high accuracy to the numerical solution of hyperbolic equations, USSR Comput. Math. and Math. Phys. 2 (6) (1963) 1355-1365.
11. Liu X., Zhang S., Zhang H., Shu C.-W.,
A new class of central compact schemes with spectral-like resolution II: Hybrid weighted nonlinear schemes, J. Comp. Phys. 284 (1 March) 133-154.
12. Lobanov A.I., Mirov F.Kh., Hybrid difference scheme under generalized approximation condition in the space of undetermined coefficients, Comput. Math. and Math. Phys. 58 (8) (2018) 1270-1279.
13. Tolstykh A.I., On families of compact fouth- and fifth-order approximations involving the inversion of two-point operators for equations with convective terms, Comput. Math. and Math. Phys. 50 (5) (2010) 848-861.
14. Shen Y.-Q., Zha G.-C., Generalized finite compact difference scheme for shock/complex flow field interaction, J. Comp. Phys. 230 (12) (2011) 4419-4436.
15. Bragin M.D., Rogov B.V., Conservative limiting method for high-order bicompact schemes as applied to systems of hyperbolic equations, Appl. Num. Math. 151 (May) (2020) 229-245.
16. Popov I.V., Fryazinov I.V., Calculations of two-dimensional test problems by the method of adaptive viscosity, Math. Models Comput. Simul. 2 (6) (2010) 724-732.
17. Karabasov S.A., On the power of second-order accurate numerical methods for model problems of gas- and hydrodynamics, Math. Models Comput. Simul. 3 (1) (2011) 92-112.
18. Bulat P.V., Volkov K.N., Solution of two-dimensional Rieman problems using the method of piecewise parabolic reconstruction, J. Eng. Phys. Thermophys. 90 (3) (2017) 525-534.
19. Kolesnik E.V., Smirnov E.M., Testing of various schemes with quasi-one-dimensional reconstruction of gasdynamic variables in the case of unstructured-grid calculations, St. Petersburg Polytechnic University Journal. Physics and Mathematics. 10 (3) (2017) 123-139.
20. Chizhonkov E.V., On second-order accu-
racy schemes for modeling of plasma oscillations, Numerical Methods and Programming. 21 (1) (2020) 115-128 (in Russian).
21. Sadin D.V., TVD scheme for stiff problems of wave dynamics of heterogeneous media of non-hyperbolic nonconservative type, Comput. Math. and Math. Phys. 56 (12) (2016) 2068-2078.
22. Sadin D.V., Schemes with customizable dissipative properties as applied to gas-suspensions flow simulation, Matem. Mod. 29 (12) (2017) 89-104 (in Russian).
23. Sadin D.V., Davidchuk V.A., Comparison of a modified large-particle method with some high resolution schemes. One-dimensional test problems, Numerical Methods and Programming. 20 (2) (2019) 138-146 (in Russian).
24. Sadin D.V., Belyayev B.V., Davidchuk V.A., Comparison of a modified large-particle method with some high resolution schemes. Two-dimensional test problems, Numerical Methods and Programming. 20 (3) (2019) 337-345 (in Russian).
25. Sadin D.V., Analysis of dissipative properties of a hybrid large-particle method for structurally complicated gas flows, Computer Research and Modeling. 12 (4) (2020) 757-772 (in Russian).
26. Tagirova I.Yu., Rodionov A.V., Application of the artificial viscosity for suppressing the carbuncle phenomenon in Godunov-type schemes,
Mathematical Models and Computer Simulations. 8 (3) (2016) 249-262.
27. Balsara D.S., A two-dimensional HLLC Riemann solver for conservation laws: Application to Euler and magneto hydrodynamic flows, J. Comput. Phys. 231 (22) (2012) 7476-7503.
28. Sadin D.V., A modification of the large-particle method to a scheme having the second order of accuracy in space and time for shockwave flows in a gas suspension, Bulletin of the South Ural State University. Ser. Mathematical Modelling, Programming & Computer Software (Bulletin SUSU MMCS). 12 (2) (2019) 112-122 (in Russian).
29. Belotserkovskii O.M., Davydov Yu.M., A non-stationary "Coarse particle" method for gas-dynamical computations, URSS Comp. Math. and Math. Phys. 11 (1) (1971) 241-271.
30. Liska R., Wendroff B., Comparison of several difference schemes on 1D and 2D test problems for the Euler equations, SIAM J. Sci. Comp. 25 (3) (2003) 995-1017.
31. Woodward P., Colella P., The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks, J. Comp. Phys. 54 (1) (1984) 115-173.
32. Brio M., Zakharian A.R., Webbz G.M., Two-dimensional Riemann solver for Euler equations of gas dynamics, J. Comp. Phys. 167 (1) (2001) 177-195.
Received 28.10.2020, accepted 26.11.2020.
THE AUTHORS
SADIN Dmitriy V.
Military Space Academy named after A.F. Mozhaysky
13, Zhdanovskaya St., St. Petersburg, 197198, Russian Federation
sadin@yandex.ru
GOLIKOV Igor O.
Military Space Academy named after A.F. Mozhaysky
13, Zhdanovskaya St., St. Petersburg, 197198, Russian Federation
igira55@yandex.ru
SHIROKOVA Elena N.
Military Space Academy named after A.F. Mozhaysky
13, Zhdanovskaya St., St. Petersburg, 197198, Russian Federation
shirokelen-78@mail.ru
© Санкт-Петербургский политехнический университет Петра Великого, 2021
