CC BY
36
РОССИЙСКОЕ ПРЕДПРИНИМАТЕЛЬСТВО
Том 18 • Номер 2 • январь 2017
ISSN 1994-6937 Russian Journal of Entrepreneurship
издательство
Креативная экономика
тестирование единичных корней в панельных данных против неоднородной альтернативы с приложением к региональным индексам потребительских цен РФ
Скроботов А.А. 1
1 Российская академия народного хозяйства и государственной службы при Президенте РФ, Москва, Россия
АННОТАЦИЯ:_
В работе рассматриваются некоторые тесты для проверки гипотезы о наличии единичных корней в панельных данных против неоднородной альтернативы. Обсуждаются возможные проблемы, связанные с наличием пространственной корреляции. Гипотеза о наличии единичных корней тестируется для региональных индексов потребительских цен РФ.
КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: динамические свойства временных рядов, тестирование на единичный корень, панельные данные, неоднородная альтернатива, пространственная корреляция, российские временные ряды, индекс потребительских цен РФ.
unit root tests for panel data against plural alternatives with application to regional consumer price index of the Russian Federation
Skrobotov A.A. 1
1 The Russian Presidential Academy of National Economy and Public Administration under the President of the Russian Federation or RANEPA, Moscow, Russia
введение
Тестирование наличия единичных корней в данных имеет большое значение для эмпирического анализа. Практически ни одно макроэкономическое исследование не обходится без тестирования того, является ли конкретный временный ряд стационарным относительно тренда или является стационарным в первых разностях.
Однако если рассматривать не отдельные временные ряды для конкретного субъекта (например, одной конкретной страны или одного конкретного региона), а группу (панель) временных рядов по каждому субъекту, то могут возникнуть некоторые проблемы. Как известно, феномен ложной регрессии появляется в том случае, если временные
ряды в одномерной регрессии являются нестационарными. Когда у нас имеется группа (панель) временных рядов, эффект ложной регрессии для панельных данных намного более существенен, чем для отдельных временных рядов. Таким образом, выводы на основе панельной регрессии для нестационарных временных рядов не будут обоснованными, и необходимо проверять наличие коинтеграции между всеми временными рядами в панели, предполагая, что долгосрочная зависимость между различными показателями одинаковая.
Однако до проверки наличия коинтеграции между панелями временных рядов необходимо проверить наличие единичного корня в панелях, и проверка коинтегра-ции происходит, если гипотеза о наличии панельного единичного корня (единичного корня во всех временных рядах в панели) не была отвергнута. Соответственно, в данном исследовании мы акцентируем внимание на проблемах тестирования наличия панельного единичного корня в данных. В данной работе мы приводим краткий обзор методов, связанных с тестированием наличия единичного корня в панельных данных против неоднородной альтернативы. Данные методы мы используем для проверки гипотезы единичного корня для региональных индексов потребительских цен РФ. Результаты показывают, что среди индексов потребительских цен российских регионов есть существенаня доля стационарных.
модель
Рассмотрим простейший случай, в котором временные ряды {у10,...для кросс-секционных субъектов I = 1,2, ...,Я порождаются для каждого г простой авторегрессией первого порядка :
ABSTRACT:_
This paper investigates the tests of hypothesis testing of unit root occurrence in panel data against plural alternative. We review the possible problems related to the spatial correlation.We test the hypothesis of unit root occurrence in regional consumer price index of the Russian Federation.
KEYWORDS: dynamic features of time series, unit root testing, panel data, plural alternative, spatial correlation, Russian time series, Russian consumer price index
Received: 01.02.2017 / published: 31.01.2017
© Author(s) / Publication: CREATIVE ECONOMY Publishers For correspondence: Skrobotov A.A. (skrobotov0ranepa.ru)
CITATION:_
Skrobotov A.A. (2017) Testirovanie edinichnyh korney v panelnyh dannyh protiv neodnorodnoy alternativy s prilozheniem k regionalnym indeksam potrebitelskikh tsen RF [Unit root tests for panel data against plural alternatives with application to regional consumer price index of the Russian Federation]. Rossiyskoe predprinimatelstvo. 18. (2). - 175-184. doi: 10.18334/rp.18.2.37274
где начальное значение yi0 является фиксированной константой, ошибки eit являются независимыми и одинаково распределенными (i.i.d.) по всем i и t с = £(4) = а} < оо и E(sft) < оо. Эти процессы можно эквивалентно записать следующим образом, по аналогии с простой регрессией Дики-Фуллера:
где Ayit = yÉt — Уц-1> ф< — pi — 1- Нас интересует тестирование нулевой
гипотезы:
(3)
то есть гипотезы о том, что все временные ряды имеют единичный корень (являются независимыми случайными блужданиями), против одной из следующих альтернатив Н1а и Н1Ь-
Н1Ь:ф1 < 0,...,<
< О, N0 < N.
(5)
При первой альтернативе Н1а авторегрессионный параметр одинаков для всех кросс-секционных субъектов. Эта альтернатива была рассмотрена в [8] (Levin, Lin, and Chu, 2002) (далее LLC) и была названа однородной альтернативой (homogeneous alternative). При второй альтернативе предполагается, что все N0 кросс-секционных объектов (0 < N0 < N) являются стационарными с индивидуальными авторегрессионными коэффициентами. Эта альтернатива была рассмотрена в [7] (Im, Pesaran, and Shin, 2003) (далее IPS) и была названа неоднородной альтернативой (heterogeneous alternative). В данной работе мы акцентируем внимание на неоднородной альтернативе.
IPS-тест
Рассматривая неоднородную альтернативу fflb> состоящую из множества неравенств, IPS предлагают тест, основанный на среднем индивидуальных f-статистик:
ОБ АВТОРЕ:_
Скроботов Антон Андреевич, научный сотрудник (skrobotov0ranepa.ru)
ЦИТИРОВАТЬ СТАТЬЮ:_
Скроботов А.А. Тестирование единичных корней в панельных данных против неоднородной альтернативы с приложением к региональным индексам потребительских цен РФ // Российское предпринимательство. - 2017. - Том 18. - № 2. - С. 175-184. doi: 10.18334/rp.18.2.37274
является f-статистикой Дики-Фуллера для i-ого кросс-секционного субъекта. В [3] (Chang and Song, 2009) предлагается вместо усреднения тестовых статистик брать минимум из всех статистик, что позволяет получить более высокую мощность при очень малом количестве стационарных временных рядов в панели.
Рассмотрим, к какому предельному распределению будет сходиться эта статистика IPS. Понятно, что при Т —* оо каждая статистика Т,- в (7) сходится к обычному распределению Дики-Фуллера:
JoViMdWjO)
Т,-
V г
/>,"(уулт '
где статистика:
независимые Винеровские процессы. Поскольку
,
при фиксированном NuT —> оо, то при N нормальное предельное распределение.
статистика
Vwi
имеет стандартное
наличие детерминированной компоненты
Более подробно остановимся на вопросе наличия детерминированных компонент в данных, а именно на спецификации детерминированной компоненты. Обычно нас интересуют два наиболее распространенных случая:
Лу^ = + ФьУы-1 + Случай 1, (8)
,
(9)
где уравнение (8) соответствует случаю индивидуально-специфических констант (фиксированных эффектов), а (9) соответствует случаю индивидуально-специфических трендов («случайных трендов», incidental trends в терминологии [10] (Moon and Phillips, 1999)).
Для тестов IPS коррекция связана только с конкретными детерминированными компонентами для каждого г, то есть каждая статистика тг- в (7) корректируется на некоторые средние и дисперсию, заданные в IPS, Table 3 (средние и дисперсии распределений Дики-Фуллера). Другими словами, строится статистика:
которая снова имеет стандартное нормальное распределение.
Тесты, основанные на комбинации р-значений
Отметим некоторые недостатки наиболее популярных тестов LLC и IPS. Во-первых, данные тесты требуют, чтобы число временных рядов в панели было бесконечным, но в то же время чтобы число групп должно было быть достаточно мало относительно временного интервала (формально N/T —> 0). В противном случае тесты не будут иметь корректный размер и в случае очень малых N, и в случае очень больших N. Во-вторых, для каждой группы требуется тот же самый тип детерминированной компоненты. В-третьих, предполагается одинаковый временной интервал для каждой группы (для IPS допускается ослабление этого предположения, но возникают проблемы вычисления моментов для тестовой статистики).
В [4] (Choi, 2001)и [9] (Maddala and Wu, 1999) независимо предлагается подход для решения данных проблем. В [9] (Maddala and Wu, 1999) предлагается тест против неоднородной альтернативы основанный на р-значениях статистик, индивидуальных для каждого временного ряда, используя подход [6] (Fisher, 1932). Обозначим некоторый тест на единичный корень для i-го временного ряда как G, тогда Pi = fffij) - р-значение для этого теста, где F(-) - его функция распределения. Тогда предложенная авторами (правосторонняя) тестовая статистика будет иметь вид:
(11)
При нулевой гипотезе и при фиксированном N статистика Р имеет распределение X2 с 2Ы степенями свободы. При N —» оо хесх р расходится к бесконечности и его необходимо модифицировать следующим образом:
р* =
(12)
поскольку £(— 21п(Р;)) = 2 и Уаг(— 21п(д)) = 4. Однако при N —> оо тест X все еще имеет стандартное нормальное распределение, то есть его можно использовать как при малых, так и при больших N.
Тесты на единичный корень
для пространственно-коррелированных панелей
Предположение об отсутствии пространственной корреляции в ошибках является достаточно сильным и, вероятно, не выполняется во многих приложениях. Многие макроэкономические теории утверждают, что существуют одни и те же ненаблюдаемые общие факторы (такие как шоки технологии, привычки и фискальная политика). Соответственно, логично ожидать, что эти общие факторы влияют на
многие макроэкономические переменные, такие как процентные ставки, инфляция, выпуск и другие.
В [11] (O'Connell, 1998) и [9] (Maddala and Wu, 1999) было показано, что в пространственно-коррелированных панелях наблюдаются сильные искажения размера для панельных тестов на наличие единичного корня, и мощность не увеличивается при росте VTV, и панели с большим значением N показывают более серьезные искажения размера.
Это привело к разработке множеств тестов, учитывающих пространственную корреляцию в панелях. Хотя корреляционная структура ошибок в общем случае неизвестна, и ее оценивание в общем случае недоступно вследствие ограничений на степени свободы, упрощенное задание некоторой формы зависимости является обычной практикой в теоретических работах. Одним из самых удобных способов упрощения структуры зависимости является включение общей временной дамми переменной (common time effects, CTE) в панельную регрессию. Обоснованием этого является то, что некоторое со-движение в многомерных временных рядах может происходить из-за общего фактора (common factor).
Подход [2] (Bai and Ng, 2004) являестя наиболее популярным в эмпирических приложениях. Баи и Ын предлагают так называемый подход PANIC (Panel Analysis of Nonstationary in the Idiosyncratic and Common components, панельный анализ нестационарности в общей и идиосинкразической компонентах). Их модель имеет вид:
где C(L) и D(L) - матричные полиномы. Идиосинкразическая ошибка ejt является 1(1), если pi = 1, и является стационарной, если \pi | < 1. Факторы также могут быть как стационарными, так и интегрированными первого порядка (ранг матрицы C(1) равен количеству общих трендов). Аналогичный процесс порождения данных (DGP) использовался в [12] (Phillips and Sul, 2003) и [5] (Choi, 2006).
Оценить факторы можно методом главных компонент. Если ошибки ejt являются 1(0), то, оценивая методом главных компонент, мы получаем состоятельные оценки Ft и \i , когда все факторы являются 1(0) или некоторые из них 1(1). Но в случае, когда ejt являются 1(1), регрессия Yit на Ft будет ложной, даже если бы факторы являлись наблюдаемыми. Для получения состоятельных оценок авторы предлагают сначала
привести данные к стационарному виду. Конкретнее, в случае = 0 в (13) (случай отсутствия трендов) определим yit = Д^, ft = A^V и Zit = ¿£!t. Тогда мы можем оценить модель
методом главных компонент. Затем можно выполнить обратное преобразование Eit = Zis и F,t ~ fs> получая состоятельные оценки факторов. Отметим,
что хотя zit может быть передифференцированным, если исходные данные zit были стационарными, оценки факторов все равно будут состоятельными, хотя и неэффективными. После оценивания мы можем использовать ряды êit для тестирования панельного единичного корня, поскольку эти ряды являются некоррелированными. В [2] (Bai and Ng, 2004) также предлагается тестировать общие факторы на наличие единичного корня на основе процедуры [13] (Stock and Watson, 1988). Единичный корень может наблюдаться или в идиосинкразической ошибке, или в общих факторах, или в обоих. Если только общий фактор содержит единичный корень, то мы не сможем выиграть в мощности относительно одномерных тестов, поскольку используется только информация относительно временного ряда {ft}.
Отметим, что количество факторов выбирается согласно информационным критериям, предложенным в [1] (Bai and Ng, 2002), в которых штрафная функция зависит и от N, и от T.
Баи и Ын акцентировали внимание на тесте [4] (Choi, 2001), описанном в уравнении (12): ^
где рр i = 1,...,N являются р-значениями ADF-теста без детерминированной компоненты для i-ого субъекта, используя очищенные от факторов остатки. Напомним, что данный тест является асимптотически стандартным нормальным.
Эмпирическое приложение
Мы продемонстрируем, как тестировать наличие единичного корня в панели региональных индексов потребительских цен РФ, построенных как год к году по отношению к среднероссийскому. Период наблюдений с января 2002 по декабрь 2015 г.
На основе информационных критериев количество общих факторов выбирается или равным 5, или равным 0. Однако мы предполагаем, что маловероятно отсутствие пространственной корреляции между субъектами, и строим тестовую статистику для двух случаев, когда общих факторов 1 или 5. В первом случае статистика для
неоднородной альтернативы P- равна 9.502, а во втором случае - 9.092. В обоих случаях гипотеза отвергается на любом разумном уровне значимости (тестовая статистика сравнивается со стандартным нормальным критическим значением). Гипотеза единичного корня для каждого из общих факторов также отвергается. Вывод на основе этого теста заключается в том, что мы получили свидетельство о наличии некоторой доли стационарных временных рядов в панели.
Заключение
В данной работе был проведен обзор основных методов тестирования гипотезы о наличии единичного корня в панельных данных против неоднородной альтернативы. Был описан как классический тест IPS, так и тесты, основанные на р-значениях. Кроме этого было показано, что делать, когда временные ряды в панели являются коррелированными друг с другом. Описанные тесты использовались для проверки гипотезы единичного корня для панели региональных индексов потребительских цен РФ, построенных как год к году по отношению к среднероссийскому, и эта гипотеза была отвергнута. Данный результат может быть полезен при дальнейшем моделировании инфляционных процессов российской экономики в регионах, а также будет влиять на стратегические решения российского предпринимательства.
источники:
1. Bai, J. and Ng, S. Determining the Number of Factors in Approximate Factor Models //
Econometrica. - 2002. - № 70. - p. 191-221.
2. Bai, J. and Ng, S. A PANIC attack on unit roots and cointegration // Econometrica. - 2004.
- № 72. - p. 1127-1177.
3. Chang, Y. and Song, W. Unit Root Tests for Panels in the Presence of Short-run and Long-
run Dependencies: Nonlinear IV Approach with Fixed N and Large T // The Review of Economic Studies. - 2009. - № 76. - p. 903-935.
4. Choi, I. Unit Root Tests for Panel Data // Journal of International Money and Finance. -
2001. - № 20. - p. 249-272.
5. Choi, I. Combination unit root tests for cross-sectionally correlated panels. In D. Corbae,
S.N. Durlauf, & B.E. Hansen (eds.) // Econometric Theory and Practice: Frontiers of Analysis and Applied Research: Essays in Honor of Peter C.B. Phillips. - 2006. - p. 311333.
6. Fisher, R.A. Statistical Methods for Research Workers. - Oliver and Boyd, London., 1932.
7. Im, K.S., Pesaran, M.H., and Shin, Y. Testing for Unit Roots in Heterogenous Panels //
Journal of Econometrics. - 2003. - № 115. - p. 53-74.
8. Levin, A., Lin, C.F., and Chu, C.J. Unit Root Tests in Panel Data: Asymptotic and Finite-
sample Properties // Journal of Econometrics. - 2002. - № 108. - p. 1-24.
9. Maddala, G.S. and Wu, S. A Comparative Study of Unit Root Tests with Panel Data and
a New Simple Test // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. - 1999. - № 61. - p. 631-652.
10. Moon, H.R. and Phillips, P.C.B. Maximum likelihood estimation in panels with incidental trends // Oxford Bulletin of Economics and Statistics. - 1999. - № 61. - p. 771-748.
11. O'Connell, P. The overvaluation of purchasing power parity // Journal of International Economics. - 1998. - № 44. - p. 1-19.
12. Phillips, P. C. B. and Sul, D. Dynamic panel estimation and homogeneity testing under cross-section dependence // Econometrics Journal. - 2003. - № 6. - p. 217-239.
13. Stock, J.H. and Watson, M.W. Unit Root Tests for Panel Data // Testing for Common Trends. - 1988. - № 83. - p. 1097-1107.
REFERENCES:
Bai, J. and Ng, S. (2002). Determining the Number of Factors in Approximate Factor Models Econometrica. (70). 191-221.
Bai, J. and Ng, S. (2004). A PANIC attack on unit roots and cointegration Econometrica. (72). 1127-1177.
Chang, Y. and Song, W. (2009). Unit Root Tests for Panels in the Presence of Short-run and Long-run Dependencies: Nonlinear IV Approach with Fixed N and Large T The Review of Economic Studies. (76). 903-935.
Choi, I. (2001). Unit Root Tests for Panel Data Journal of International Money and Finance. (20). 249-272.
Choi, I. (2006). Combination unit root tests for cross-sectionally correlated panels. In D. Corbae, S.N. Durlauf, & B.E. Hansen (eds.) Econometric Theory and Practice: Frontiers of Analysis and Applied Research: Essays in Honor of Peter C.B. Phillips. 311-333.
Fisher, R.A. (1932). Statistical Methods for Research Workers London: Oliver and Boyd.
Im, K.S., Pesaran, M.H., and Shin, Y. (2003). Testing for Unit Roots in Heterogenous Panels Journal of Econometrics. (115). 53-74.
Levin, A., Lin, C.F., and Chu, C.J. (2002). Unit Root Tests in Panel Data: Asymptotic and Finite-sample Properties Journal of Econometrics. (108). 1-24.
Maddala, G.S. and Wu, S. (1999). A Comparative Study of Unit Root Tests with Panel Data and a New Simple Test Oxford Bulletin of Economics and Statistics. (61). 631652.
Moon, H.R. and Phillips, P.C.B. (1999). Maximum likelihood estimation in panels with incidental trends Oxford Bulletin of Economics and Statistics. (61). 771-748.
O'Connell, P. (1998). The overvaluation of purchasing power parity Journal of
International Economics. (44). 1-19. Phillips, P. C. B. and Sul, D. (2003). Dynamic panel estimation and homogeneity testing
under cross-section dependence Econometrics Journal. (6). 217-239. Stock, J.H. and Watson, M.W. (1988). Unit Root Tests for Panel Data Testing for Common Trends. (83). 1097-1107.
