CC BY
35
УДК 744 + 72.01
Н.М. Бурова
ФГБОУВПО «МГСУ»
ТЕССЕЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВА ГЕОПЛАСТИЧЕСКИХ ФОРМ НЕКОТОРЫМИ ПРАВИЛЬНЫМИ МНОГОГРАННИКАМИ
Для создания искусственных рельефов при проектировании ландшафтов применяется метод геопластики, который позволяет формировать различные геопластические формы, создавая необходимое идейно-выразительное пространство.
Рассмотрение этого метода сравнивается с классической задачей математики об эффективном разбиении трехмерного пространства на отдельные ячейки — многогранники без общих внутренних точек (тесселяция).
Предложенный способ определения объемов геопластических форм позволяет простейшими операциями выполнить расчеты с достаточно высокой степенью точности. Проектируемые очертания и размеры этих форм не влияют на точность вычислений. Таким образом, упрощается практическое создание искусственного рельефа поверхности в ландшафтном проектировании.
Ключевые слова: геопластика, геопластическая форма, правильные многогранники, тесселяция пространства, показатель «плотности упаковки».
При использовании тех или иных разработок геометрографических моделей квадрик, как правило, возникает вопрос, какая из моделей оптимальна в целях планируемого практического приложения. Бывает так, что приходится искать новый способ моделирования, в котором потребные свойства квадрики могут выявляться эффективнее. В свою очередь, названные обстоятельства имеют отношение к вопросам: существует ли единственное решение вопроса о построении модели; либо — сколько решений и, следовательно, моделей можно получить вообще [1].
Одним из направлений современной начертательной геометрии является практическое использование различных поверхностей, которое предполагает определение их геометрических характеристик: размеров, площадей поверхностей, объемов.
При благоустройстве территорий вокруг строительных объектов, вдоль автомагистралей, в нарядных зонах парковых комплексов и т.п. часто создаются искусственные рельефы земной поверхности, включающие различные геометрические формы в виде сочетания плоскостей и поверхностей, в т.ч. случайных. Эта геопластика формирует необходимое идейно-выразительное пространство, гармонизирует окружающую среду, акцентирует основные идеи ландшафтной композиции [2].
Для создания искусственного рельефа поверхности необходимо экономическое обоснование, включающее определение объемов геопластических форм [3]. При этом аппроксимация таких форм с поверхностями, например, второго порядка в виде полусфер, цилиндров, конусов и т.д. позволяет достаточно быстро и легко вычислить их объемы, но носит весьма приближенный характер, учитывая сложность искусственного рельефа [4].
Рассмотрение этой задачи можно сравнить с классической задачей математики об эффективном разбиении трехмерного пространства на ячейки — многогранники одинакового объема без общих внутренних точек (тесселяция) с перегородками, имеющими наименьшую поверхность.
Еще в 1887 г. физик У Кельвин предложил использовать ячейки в форме усеченного восьмигранника (октаэдры). Такое заполнение пространства получило название материалосберегающей пены Кельвина [1].
© Н.М. Бурова, 2012
15
вестник 812012
Для характеристики плотности заполнения пространства (плотность упаковки) используют отношение площади поверхности ячейки разбиения к площади поверхности сферы такого же объема. У Кельвина этот показатель составил 0,757.
В 1993 г. физики дублинского колледжа Д. Уэйр и Р. Филан с помощью программного обеспечения (Surface Evolver) составили упаковку трехмерного пространства из двух строительных элементов — ячеек: шести с четырнадцатью гранями и двух с двенадцатью гранями (смешанная тесселяция). Такие составные многогранники, грани которых имеют форму правильного многоугольника и неправильного пятиугольника, заполняют пространство с показателем плотности упаковки 0,782, что на 0,3 % выше, чем у Кельвина [5].
Оттолкнувшись от показателя «плотности упаковки» при проектировании геопластических форм для простоты вычисления удобнее перейти к соотношению объемов поверхности сферы и вписанных в нее правильных многогранников. Эти показатели составляют: тетраэдр — 0,123; куб — 0,368; октаэдр — 0,318; додекаэдр — 0,665; икосаэдр — 0,605.
Вывод 1. Таким образом, додекаэдр или двенадцатигранник из всех тел Платона наиболее плотно заполняет поверхность сферы. При определении «плотности упаковки» по У. Кельвину, сопоставляя отношения объемов правильных многогранников и сферы, при одинаковых площадях поверхностей получим следующие показатели: тетраэдр — 0,541; куб — 0,724; октаэдр — 0,777; додекаэдр — 0,868; икосаэдр — 0,910.
Вывод 2. Таким образом, в этом случае икосаэдр или двадцатигранник из всех тел Платона имеет максимальный показатель плотности заполнения.
Для практического использования при определении объемов «случайных» геоповерхностей удобно заполнять их одинаковыми «простыми» телами, что существенно облегчает вычисления. Поэтому для объемов при проектировании геоформ будем заполнять их додекаэдрами, для площадей — икосаэдрами.
Воспользовавшись графической программой CINEMA 4D, будем заполнять одну и ту же случайную поверхность проектируемой геопластической формы сначала сферами и их половинками одинакового диаметра (рис. 1), затем додекаэдрами (рис. 2) и икосаэдрами (рис. 3).
Рис. 1. Заполнение геопластической формы сферами
16
ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2012. № 8
Рис. 2. Заполнение геопластической формы додэкаэдрами
Рис. 3. Заполнение геопластической формы икосаэдрами
Функция «динамика», имеющаяся в программе, определяет количество элементов для заполнения и обеспечивает тесселяцию рассматриваемого пространства. Простое умножение объема единичной поверхности на их общее количество определяет полный объем геоформы.
Максимальное значение из трех рассмотренных вариантов будет являться оптимальным.
Очевидно, что уменьшение геометрических размеров сфер и многогранников позволит более плотно заполнять пространство формы, а следовательно, точнее вычислить ее объем.
Фактически процесс проектирования в нашем случае сводится к следующему:
1) определение размеров и очертания геопластической формы;
2) заполнение пространства правильными многогранниками с первоначально заданными размерами в программе CINEMA 4D;
3) вычисление общего объема;
4) изменение первоначальных размеров заполняющих поверхностей;
5) сопоставление результатов.
Библиографический список
1. Глэзер Г., Полтир К. Картины математики. 2-е изд. / пер. с нем. Г.Н. Сальникова. М. : Спектрум, 2002.
вестник 812012
2. Николаев В.А. Ландшафтоведение, эстетика и дизайн. М. : Аспект Пресс, 2005.
3. Бурова Н.М., Мацеевич А.В. Определение объемов геометрических поверхностей второго порядка при создании искусственных рельефов // Тр. седьмой Всеросс. науч.-практ. конф. «Фундаментальная наука в современном строительстве». М. : МГСУ, 2010.
4. Мацеевич А.В. Исследование некоторых геометрических поверхностей для формирования геопластических форм в ландшафтном проектировании // Материалы Междунар. науч.-техн. конф. студентов «Промышленное и гражданское строительство в современных условиях». М. : МГСУ, 2011.
5. Балл П. Идеальная пена: все дело в волшебных пузырьках : пер. с англ., 2011. Режим доступа: http://www.popmech.ru/articll/10099-idealnaya-pena. Дата обращения: 10.03.2012.
Поступила в редакцию в июне 2012 г.
Об авторе: Бурова Наталья Михайловна — кандидат технических наук, доцент, профессор кафедры начертательной геометрии и графики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-98-97, dekanat-iafml@mgsu.ru.
Для цитирования: Бурова Н.М. Тесселяция пространства геопластических форм некоторыми правильными многогранниками // Вестник МГСУ. 2012. № 8. С. 15—19.
N.M. Burova
TESSELLATION OF GEOPLASTIC SHAPES THROUGH THE EMPLOYMENT OF REGULAR POLYHEDRA
Geoplastics-related solutions are applied to generate the artificial terrain within the framework of landscape design projects. The proposed solutions are employed to generate a variety of geo-plastic shapes capable of embodying particular design ideas.
The author compares the proposed geoplastic solutions with the classical problem of mathematics that consists in the effective partition of the three-dimensional space into individual cells that represent non-overlapping polyhedra (tessellation).
The proposed method of identification of volumes of geoplastic shapes employs simple operations to make sufficiently accurate calculations. Countours and dimensions of patterns designed hereunder make no impact onto the accuracy of calculations. Thus, the practical problem of generation of an artificial terrain within the framework of landscape design is simplified.
Therefore, the design process is reduced to the following sequence of actions:
1) Identification of dimensions and contours of the geoplastic pattern;
2) Space filling with regular polyhedral that have pre-set dimensions through the employment of CINEMA 4D software;
3) Calculation of the overall volume;
4) Alteration of initial dimensions of the surfaces employed for filling purposes;
5) Comparison of the results.
Key words: geoplastics, geoplastic shape, regular polyhedra, tessellation of space, "filling density" index.
References
1. Glezer G., Poltir K. Kartiny matematiki [Images of Mathematics]. Spektrum Publ., 2002.
2. Nikolaev V.A. Landshaftovedenie, estetika i dizayn [Landscape Studies, Aesthetics and Design]. Moscow, Aspekt Press Publ., 2005.
3. Burova N.M., Matseevich A.V. Opredelenie ob"emov geometricheskikh poverkhnostey vtorogo poryadka pri sozdanii iskusstvennykh rel'efov [Identification of Volumes of Second Degree Geometric Surfaces within the Framework of Generation of the Artificial Terrain]. Fundamental'nye nauki v sovre-mennom stroitel'stve [Fundamental Sciences in Contemporary Civil Engineering]. Proceedings of the Seventh All-Russian Scientific and Practical Conference. Moscow, MGSU Publ., 2010.
4. Matseevich A.V. Issledovanie nekotorykh geometricheskikh poverkhnostey dlya formirovaniya geoplasticheskikh form vlandshaftnom proektirovanii [Research of Some Geometric Surfaces Applied for the Generation of Geoplastic Shapes in Landscape Design]. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo
18
ISSN 199J-Q935. Vestnik MGSU. 2Q12. № S
v sovremennykh usloviyakh [Industrial and Civil Engineering in the Present-day Environment]. Proceedings of the International Scientific and Practical Conference of Students. Moscow, MGSU Publ., 2011.
5. Ball P. Ideal'naya pena: vse delo v volshebnykh puzyr'kakh [Ideal Foam: It's All about Magic Bubbles]. Available at: http://www.popmech.ru/articll/10099-idealnaya-pena. Date of access: 10.03.2012.
About the author: Burova Natal'ya Mikhaylovna — Candidate of Technical Sciences, Professor, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; dekanat-iafml@mgsu.ru; +7 (499) 183-98-97.
For citation: Burova N.M. Tesselyatsiya prostranstva geoplasticheskikh form nekotorymi pravil'nymi mnogogrannikami [Tessellation of Geoplastic Shapes through the Employment of Regular Polyhedra]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 8, pp. 15—19.
